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黑龙江省高三普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(五)数学试题(理科)---精校解析Word版


普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟(五)

理科数学
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. (2017·成都市二诊)已知集合 A. 【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式 【详解】 可得 ,从而可求 ,故 . B. C. D. , ,则 ( )

,故选 B.

【点睛】本题考察集合的运算-并,为基础题. 2. (2017·太原市一模)已知 是虚数单位,则复数 A. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的除法计算后取所得结果的共轭即可. 【详解】 ,故所求共轭复数为 ,故选 A. B. C. D. 的共轭复数是( )

【点睛】本题考察复数的概念及其运算,是基础题. 3. (2017·合肥市质检)某校高三年级共有学生 900 人,编号为 1,2,3,…,900,现用系统抽样的方 法抽取一个容量为 45 的样本,则抽取的 45 人中,编号落在区间 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 的人数为( )

【答案】C 【解析】 【分析】 因用系统抽样的方法抽取,所以 900 人分成 45 组,每组 20 人,每组取 1 人,因此可用等差数列的通项公 式计算落在区间 的人数.
-1-

【详解】900 人分成 45 组,每组 20 人,每组取 1 人,其编号构成等差数列, 故编号落在区间 的人数为 ,故选 C.

【点睛】抽样方法共有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种, (1)简单随机抽样是每个个体等可能被抽取; (2)系统抽样是均匀分组,按规则抽取(通常每组抽取的序号成等差数列) ; (3)分层抽样就是按比例抽取. 4. 已知双曲线 : 的离心率为 ,则 的渐近线方程为( )

A. 【答案】C 【解析】

B.

C.

D.

根据题意, 双曲线 :

的离心率为 , 则有

, 即

, 即有



又由双曲线的焦点在 轴上,则其渐近线方程为

,故选 C. )

5. 如图所示,当输入 , 的值分别为 2,3 时,最后输出的 的值是(

..............................

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】C 【解析】 【分析】 题设中的算法是求 中的较大者.
-2-

【详解】算法是求

中的较大者,故最后输出的是 3,故选 C.

【点睛】本题考查算法中的选择结构,属于容易题. 6. 某几何体的三视图如图所示,其中俯视图下半部分是半径为 1 的半圆,则该几何体的表面积是( )

A. 【答案】B 【解析】 【分析】

B.

C.

D.

几何体为正方体中挖掉半个圆柱,故可求其表面积. 【详解】几何体为正方体中挖去半个圆柱, 正方体的棱长为 2,正方体的 3 个侧面的面积为 ,上下底面的面积为 为 , ,故选 B. ,半个圆柱的侧面积

因此所求几何体的表面积为

【点睛】本题考察三视图,要求根据三视图复原几何体,注意复原后表面积的合理计算. 7. (2017·陕西省质检)已知等比数列 A. B. C. D. 的前 项和为 .若 , ,则 ( )

【答案】A 【解析】

试题分析:由已知可得

,解之得

,应选 A。

考点:等比数列的通项与前 项和公式及运用。 8. 一组样本数据的频率分布直方图如图所示,试估计此样本数据的中位数为( )

-3-

A. 13

B. 12

C. 11.52

D.

【答案】D 【解析】 【分析】 设中位数为 ,则 可把诸矩形分成面积相等的两个部分,据此可求出 . 上的频率为 , . ,

【详解】设中位数为 ,样本数列落在 在 则 故选 D. 上的频率为 ,故 ,

【点睛】从频率分布直方图中,我们可求样本均值、中位数等数据. (1)求样本均值时,可用组中值代替组中的平均值; (2)利用矩形面积的平分线(垂直于横轴)计算中位数. 9. (2017·河南八市联考)已知 ( A. -16 【答案】B 【解析】 试 题 分 析 : 对 已 知 ,令 令 得 ,得 , 两式相加得 两 边 求 导 得 , , 选B B. -8 ) D. 16 ,则

C. 8

考点:二项式定理 10. 已知函数 A. B. C. ,若 D. ,则 的取值范围是( )

-4-

【答案】C 【解析】 试题分析:由题意作出函数 点的直线,当直线 二象限的解析式为 所以只需直线 和 的图像(如图) ,由图象得,函数 在图象为经过原 在第 ,

介于直线 和 轴之间时符合题意,直线 为曲线的切线,且此时 ,导数为 的斜率 介于 ,因为 ,所以 ,故直线 的斜率为

与 0 之间即可,即

;故选 C.

考点:1.导数的几何意义;2.数形结合思想. 视频

11. (2017·保定市一模)已知函数 ,且 A. 2 B. -2 ,则 C. 6 ( D. -6

是定义在 上的奇函数,当 )

时,

,若数列

满足

【答案】C 【解析】 【分析】 是周期数列且周期为 ,因此 ,利用题设的函数解析式可求函数值.

【详解】由

可得





,因此

是周期数列且周期为 ,







,故选 C.

-5-

【点睛】 (1)当从数列的递推关系无法求通项时,可以从先计算数列的若干初始项,找出规律后可得通项 (必要时用数学归纳法证明) . (2)对于奇函数 ) . 12. (2017·海口市调研)在平面直角坐标系 中,点 为椭圆 : 的下顶点, , 在 (或偶函数) ,若已知 的解析式,则当 的时的解析为 (偶函数时为

椭圆上,若四边形 为( A. 【答案】A 【解析】 【分析】 垂直于 轴且 【详解】因为 故 因 所以 ) B.

为平行四边形, 为直线

的倾斜角,若

,则椭圆 的离心率的取值范围

C.

D.

,因为

,故

,所以 且 , .

,从该式可求出离心率的取值范围.

是平行四边形,因此 ,所以 ,

,代入椭圆方程可得 ,所以 即 即 ,解得

,故选 A. 的不等关系,它来自圆锥曲线上点的坐标的范围或

【点睛】求离心率的取值范围,关键在于构建关于 某些几何量的范围或点、直线与椭圆的位置关系等.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸上) 13. 已知 【答案】 【解析】 试题分析:由 , ,可得 ,由诱导公式可得 . 即 ,即 . ,则 的值是__________.

考点:1.角的和差公式;2.三角函数的辅助角公式;3.三角函数的诱导公式.

-6-

14. 设 为数列 【答案】-601. 【解析】 【分析】 利用 【详解】 又

的前 项和,且



,则

__________.

把题设中的递推关系化为 , ,因此 , 即

,由后者可以求出

的通项.



因此

,所以

,故



从而 故

即 ,填 .



【点睛】一般地,数列

的通项与前 项和 之间的关系式

,利用它可把含

的递推关系转

化为只含 或只含 的递推关系. 15. 已知向量 【答案】 【解析】 【分析】 ,因此 【详解】 故 因为 ,故 ,因此 . ,所以填 . ,其模为 , ,根据 的范围可求模的取值范围. . , ,则当 时, 的取值范围是__________.

【点睛】一般地, 表示与 共线同向的单位向量, 16. 设函数 __________. , ,对于任意的

表示与 共线反向的单位向量. ,不等式 恒成立,则实数 的取值范围是

-7-

【答案】 【解析】 【分析】

.

恒成立,则 【详解】法一:如图,

的图像在

的上方(可以由公共点) ,故可得实数 的取值范围.

因为 所以 即

恒成立,则 ,填 . ;

的图像在 .

的上方(可以由公共点) ,

法 2:由题设有 当 当 故 时, 时,有 或 即

恒成立或 ,填 .

恒成立,

【点睛】 (1)若不等式 (2)若不等式 恒成立的条件) .

在 上恒成立,则 在 上恒成立,则

在 上恒成立. 在 上恒成立或 在 上恒成立(注意

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知 、 、 、 为同一平面上的四个点,且满足 面积为 , (1)当 (2)当 的面积为 . 时,求 的值; 时,求 的值. , ,设 , 的

【答案】 (1) . (2) 【解析】 试题分析: (I)在 中,由余弦定理得 ,在
-8-

.

中,由余弦定理得到

,即可求解 的值;

(II)由

,得到 ,由此能求出 .

,从而

试题解析: (Ⅰ)在

中,由余弦定理得

所以 在 中,由余弦定理得

所以 所以 (Ⅱ) .

因为 所以 解得

,所以

考点:余弦定理;三角函数的恒等变换. 【方法点晴】本题主要考查了三角形的面积的求法等问题,其中解答中涉及到三角形的面积,余弦定理, 三角恒等变换等知识点综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,同 时考查了转化与化归思想,解题是要认真审题,注意余弦定理的合理运用,试题有一定的难度,属于中档 试题. 18. (2017·成都市二诊) 在三棱柱 为 的中点, 为 上一点, . 中, 已知侧棱与底面垂直, , 且 , ,

-9-

(1)若三棱锥 (2)证明: 【答案】 (1) (2)见解析. 【解析】 【分析】 (1)因 (2)连接 交 平面 .

的体积为 ,求 .

的长;

,而 于 ,连接 ,

可求,故能求得 ,可证明 即可证明

. 平面 .

【详解】 (1)设 ∵ 三棱锥 ∴ 解得 ,即 交

, 的高为 , , . 于 ,连接 .

(2)如图,连接

∵ 为 又 而

的中点,∴ ,∴ 平面 , , 平面





- 10 -



平面

.

【点睛】点到平面的距离的计算,可利用题设中的线面垂直,也可以利用已知的面面垂直构建线面垂直. 线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线,找线的方法是平行投影或中心投影,我 们也可以通过面面平行证线面平行,这个方法的关键是构造过已知直线的平面,证明该平面与已知平面平 行. 19. 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从本班 24 名女同学,18 名男同学中随机抽取一个 容量为 7 的样本进行分析. (1)如果按照性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?(写出算式即可,不必计算出结果) (2)如果随机抽取的 7 名同学的数学,物理成绩(单位:分)对应如下表: 学生序号 数学成绩 物理成绩 1 60 70 2 65 77 3 70 80 4 75 85 5 85 90 6 87 86 7 90 93

①若规定 85 分以上(包括 85 分)为优秀,从这 7 名同学中抽取 3 名同学,记 3 名同学中数学和物理成绩 均为优秀的人数为 ,求 的分布列和数学期望; ②根据上表数据,求物理成绩 关于数学成绩 的线性回归方程(系数精确到 0.01) ;若班上某位同学的数 学成绩为 96 分,预测该同学的物理成绩为多少分? 附:线性回归方程 ,

其中



.

76

83

812

526

【答案】 (1)不同的样本的个数为

.

- 11 -

(2)①分布列见解析, ②线性回归方程为 【解析】 【分析】

. .可预测该同学的物理成绩为 96 分.

(1)按比例抽取即可,再用乘法原理计算不同的样本数. (2) 名学生中物理和数学都优秀的有 3 名学生,任取 3 名学生,都优秀的学生人数 服从超几何分布, 故可得其概率分布列及其数学期望.而线性回归方程的计算可用给出的公式计算,并利用得到的回归方程 预测该同学的物理成绩. 【详解】 (1)依据分层抽样的方法,24 名女同学中应抽取的人数为 18 名男同学中应抽取的人数为 故不同的样本的个数为 . 名, 名,

(2)①∵7 名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为 3 名, ∴ 的取值为 0,1,2,3. ∴ , ,

, ∴ 的分布列为 0

.

1

2

3

∴ ②∵ , . .

. .

∴线性回归方程为 当 时,

可预测该同学的物理成绩为 96 分. 【点睛】在计算离散型随机变量的概率时,注意利用常见的概率分布列来简化计算(如二项分布、超几何 分布等) .
- 12 -

20. 已知椭圆 : (1)四边形 (2)求

的右焦点为 ,过 作互相垂直的两条直线分别与 相交于 , 和 , 四点. 能否成为平行四边形,请说明理由; 的最小值.

【答案】 (1)见解析. (2) .

【解析】 【分析】 (1)若为平行四边形,则该四边形为菱形,因此对角线的两个顶点的纵坐标互为相反数,因此两条对角 线垂直于 轴,这不可能. (2) 设 , 直线 , 联立直线方程和椭圆方程并消元, 再利用韦达定理把

表示成 的函数,利用换元法可求其最小值. 【详解】设点 (1)若四边形 ∴ ∴ 显然这时 ∴四边形 (2)当直线 由 与 . 为平行四边形,则四边形 , 垂直于 轴, 为菱形,

在点 处互相平分,又 的坐标为 ,由椭圆的对称性知 不是平行四边形, 不可能成为平行四边形.

垂直于 轴,则

的斜率存在且不为零时,设直线 消去 得,

的方程为 ,



) ,









,同理得,

.





令 当直线

,则 的斜率不存在时, ,

, ,

- 13 -

∴ 当直线 ∴ ∵ ,∴

, 的斜率为零时, . 的最小值为 . , ,

【点睛】圆锥曲线中的最值问题,往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式,自变量可以斜率或点的 横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过二次函数或基本不等式或导数等求得. 21. (2017·青岛市一模)已知函数 (1)对于 (2)当 , 时,令 .

恒成立,求实数 的取值范围; ,求 的最大值; . . .

(3) 求证: 【答案】 (1) (2) (3)见解析. 【解析】 【分析】 (1)参变分离后用导数求 (2) 在

上的取值范围即可.

,利用导数讨论函数的单调性后可得其最大值. 时 , ,故有 即 ,从而可证原不等式.

(3)利用(2)中的结论有 【详解】 (1)由 因为 令 再令 所以 所以 所以 所以 (2)当 ∴ 时, , 在 ,所以 , , 上单调递减, , ,则 在 ,得: ,

, ,

上单调递减, . , ,

,所以

- 14 -

由 当 当 ∴

,得: 时, 时, .

, , , 在 在 上单调递增; 上单调递减;

(3)由(2)可知,当 即 令 分别令 , ,则 得,

时,



,即



, 将上述 个式子相加得: .

【点睛】求参数的取值范围,优先考虑参变分离.而导数背景下数列不等式的证明,需根据数列不等式的 形式构建新的函数不等式,该函数不等式可用导数证明. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请写清题号. 22. 选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 中,以坐标原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 : , . ,

,曲线 :

(1)求曲线 的一个参数方程; (2)若曲线 和曲线 相交于 、 两点,求 【答案】 (1) 的一个参数方程为 (2) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)将曲线的极坐标系方程转化为平面直角坐标系下的方程,可知曲线 为圆,再利用圆 的参数方程写出答案; (Ⅱ)将 的极坐标方程转化为平面直角坐标系下的方程,知其为直线,利用点到 . 的值. ( 为参数, ).

直线的距离求出弦心距,再利用弦心距,半径,弦长的一半间的关系可得弦长. 试题解析: (Ⅰ)由 可知: ,所以 .



;所以

的一个参数方程为



- 15 -

(Ⅱ)



所以

,即



因为直线 所以圆心到直线的距离为 所以 23. 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 (1)求实数 的值; (2)若 ,求不等式 或 .

与圆 , .

相交于



两点,

的最小值为 2.

的解集.

【答案】 (1) (2) 【解析】 试题分析 .

(Ⅰ)运用分类整合思想对实数进行分类讨论,分别去掉绝对值符号,将其化为分段函数的形式分别进行 分析求解; (Ⅱ)借助题设条件,运用(Ⅰ)的结论将绝对值符号去除,再建立不等式分别进行求解:

(Ⅰ)当

时,

所以





时,

所以



所以

. 时 .不等式 即 ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

- 16 -

由(Ⅰ)知,



,得到

;由

,得到

, 所以不等式解集为



- 17 -

- 18 -


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