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关于含参数(单参)的一元二次不等式的解法探究


关于含参数(单参)的一元二次不等式的解法探究
含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的, 这 类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答, 但遗憾的是这类问题始终成 为绝大多数学生学习的难点,此现象出现的根本原因是学生不清楚该如何对参数进行讨论, 笔者认为这层“纸”捅破了,问题自然得到了很好的解决,在教学的过程中本人发现参数的 讨论实际上就是参数的分类, 而参数该如何进行分类有一个非常好的方法, 下面我们通过三 个例子找出其中的奥妙! 一.二次项系数为常数 例 1 解关于 x 的不等式: x 2 ? (a ? 2) x ? a ? 0. 解: x 2 ? (a ? 2) x ? a ? 0
2

(?)

? ? ?a ? 2? ? 4a ? 0 ? a ? 4 ? 2 3或a ? 4 ? 2 3 ,
此时两根为 x1 ?

( 2 ? a) ?

?a ? 2?2 ? 4a
2

, x2 ?

( 2 ? a) ?

?a ? 2?2 ? 4a
2

.

(1)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 ,

(?) 解集为( ? ?,

(2 ? a) ? a 2 ? 8a ? 4 (2 ? a) ? a 2 ? 8a ? 4 )?( ,?? ); 2 2

(2)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?, 3 ? 1) ? ( 3 ? 1,?? ); (3)当 4 ? 2 3 ? a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为 R ; (4)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?,? 3 ? 1 ) ? ( ? 3 ? 1,?? ); (5)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 ,

(2 ? a) ? a 2 ? 8a ? 4 (2 ? a) ? a 2 ? 8a ? 4 (?) 解集为( ? ?, )?( ,?? ). 2 2
二.二次项系数含参数 例 2 解关于 x 的不等式: ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0.
2

解:若 a ? 0 ,原不等式 ? ? x ? 1 ? 0 ? x ? 1.

1 1 )( x ? 1) ? 0 ? x ? 或 x ? 1. a a 1 (?) 若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? )( x ? 1) ? 0. a 1 其解的情况应由 与 1 的大小关系决定,故 a
若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ?
1

(1)当 a ? 1 时,式 (?) 的解集为 ? ;

1 ? x ? 1; a 1 (3)当 0 ? a ? 1 时,式 (?) ? 1 ? x ? . a
(2)当 a ? 1 时,式 (?) ? 综上所述, 当 a ? 0 时, 解集为{ x x ?

1 当 a ? 0 时, 解集为{ x x ? 1}; 当0 ? a ? 1 或x ? 1 }; a

时,解集为{ x 1 ? x ?

1 1 ? x ? 1 }. };当 a ? 1 时,解集为 ? ;当 a ? 1 时,解集为{ x a a
2

例 3 解关于 x 的不等式: ax ? ax ? 1 ? 0. 解: ax ? ax ? 1 ? 0.
2

(?)

(1) a ? 0 时, (?) ? ?1 ? 0 ? x ? R.
2 (2) a ? 0 时,则 ? ? a ? 4a ? 0 ? a ? 0 或 a ? ?4 ,

此时两根为 x1 ?

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a , x2 ? . 2a 2a ? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a ; ?x? 2a 2a

①当 a ? 0 时, ? ? 0 ,? (?) ?

②当 ? 4 ? a ? 0 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? R ; ③当 a ? ?4 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? R且x ? ?

1 ; 2

④当 a ? ?4 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ?

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a . 或x? 2a 2a

综上,可知当 a ? 0 时,解集为(

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a , ); 2a 2a
1 1 ) ? ( ? ,?? ); 2 2

当 ? 4 ? a ? 0 时,解集为 R ; 当 a ? ?4 时,解集为( ? ?,?

当 a ? ?4 时,解集为( ? ?,

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a )?( ,?? ). 2a 2a

上述两题分别代表一元二次不等式中多项式可否直接进行因式分解, 其共同点是二次项 系数含参数,故需对二次项系数的符号进行讨论.
2

上面三个例子,尽管分别代表了两种不同的类型,但它们对参数 a 都进行了讨论,看起 来比较复杂,特别是对参数 a 的分类,对于初学者确实是一个难点,但通过对它们解题过程 的分析, 我们可以发现一个很好的规律: 原来参数 a 的分类是根据一元二次不等式中二次项 系数等于零和判别式 ? ? 0 时所得到的 a 的值为数轴的分点进行分类,如: 解关于 x 的不等式: (a 2 ? 1) x 2 ? 3ax ? 3 ? 0 解: (a 2 ? 1) x 2 ? 3ax ? 3 ? 0

(?)

a 2 ? 1 ? 0 ? a ? 1 或 a ? ?1 ;

? ? 9a 2 ? 4 ? (a 2 ? 1) ? 3 ? 0 ? a ? 2 或 a ? ?2 ;

? 当 a ? ?2 时, a 2 ? 1 ? 0 且 ? ? 0 , (?) 解集为 R ;
2 当 a ? ?2 时, a ? 1 ? 0 且 ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?,1 ) ? ( 1,?? ); 2 当 ? 2 ? a ? ?1 时, a ? 1 ? 0 且 ? ? 0 ,

(?) 解集为( ? ?,

? 3a ? 12 ? 3a 2 ? 3a ? 12 ? 3a 2 ) ( ,?? ); ? 2a 2 ? 2 2a 2 ? 2

当 a ? ?1 时, (?) ? ?3x ? 3 ? 0 ? x ? 1 , (?) 解集为( ? ?,1 );
2 当 ? 1 ? a ? 1 时, a ? 1 ? 0 且 ? ? 0 ,

(?) 解集为(

? 3a ? 12 ? 3a 2 ? 3a ? 12 ? 3a 2 , ); 2a 2 ? 2 2a 2 ? 2

当 a ? 1 时, (?) ? 3x ? 3 ? 0 ? x ? ?1 , (?) 解集为( ? 1,?? );
2 当 1 ? a ? 2 时, a ? 1 ? 0 且 ? ? 0 ,

? 3a ? 12 ? 3a 2 ? 3a ? 12 ? 3a 2 (?) 解集为( ? ?, )?( ,?? ); 2a 2 ? 2 2a 2 ? 2
2 当 a ? 2 时, a ? 1 ? 0 且 ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?,?1 ) ? ( ? 1,?? ); 2 当 a ? 2 时, a ? 1 ? 0 且 ? ? 0 , (?) 解集为 R .

综上,可知当 a ? ?2 或 a ? 2 时,解集为 R ;当 a ? ?2 时,( ? ?,1 ) ? ( 1,?? ); 当 ? 2 ? a ? ?1 或 1 ? a ? 2 时,解集为

? 3a ? 12 ? 3a 2 ? 3a ? 12 ? 3a 2 ( ? ?, )?( ,?? );当 a ? ?1 时,解集为( ? ?,1 ); 2a 2 ? 2 2a 2 ? 2
3

当 ? 1 ? a ? 1 时, (?) 解集为(

? 3a ? 12 ? 3a 2 ? 3a ? 12 ? 3a 2 , );当 a ? 1 时, (?) 解 2a 2 ? 2 2a 2 ? 2

集为( ? 1,?? );当 a ? 2 时,解集为( ? ?,?1 ) ? ( ? 1,?? ). 通过此例我们知道原来解任意含参数 (单参) 的一元二次不等式对参数进行分类讨论时 只需求出二次项系数等于零和判别式 ? ? 0 时所得到的参数的值,然后依此进行分类即可, 这样这类问题便有了“通法” ,都可迎刃而解了。

4


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