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苏教版高中数学必修1-3.1《分数指数幂(第1课时)》教学教案

1.根式及分数指数幂 教学目的: 1.掌握根式的概念和性质,并能熟练应用于相关计算中 2.理解分数指数幂的概念.掌握有理指数幂的运算性质. 3.会对根式、分数指数幂进行互化. 4.培养学生用联系观点看问题. 教学重点: 1.分数指数幂的概念. 2.分数指数幂的运算性质. 教学难点:对分数指数幂概念的理解. 授课类型:新授课 教学过程: 一、复习引入: 1.整数指数幂的概念 新疆 王新敞 奎屯 an ? a???a?? a???a(n ? N*) n个a a0 ? 1(a ? 0) a ?n ? 1 an (a ? 0, n ? N*) 2.运算性质: am ? an ? am?n (m, n ? Z ) (am )n ? amn (m, n ? Z ) (ab)n ? an ? bn (n ? Z ) 3.注意 ① am ? an 可看作 am ? a?n ∴ am ? an = am ? a?n = am?n ② ( a )n 可看作 an ? b?n b ∴ ( a b )n = a n ? b?n = an bn 二、讲解新课: 1.根式: (1)计算(可用计算器) ① 32 = 9 ,则 3 是 9 的平方根 ; ② (?5)3=-125 ,则-5 是-125 的立方根 ; ③若 64 =1296 ,则 6 是 1296 的 4 次方根 ; ④ 3.75 =693.43957 ,则 3.7 是 693.43957 的 5 次方根 . (2)定义: 一般地,若 xn ? a(n ? 1, n ? N*) 则 x 叫做 a 的 n 次方根 新疆 王新敞 奎屯 n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数 例如,27 的 3 次方根表示为 3 27 ,-32 的 5 次方根表示为 5 ? 32 , a 6 的 3 次 方根表示为 3 a6 ;16 的 4 次方根表示为? 4 16 ,即 16 的 4 次方根有两个, 一个是 4 16 ,另一个是- 4 16 ,它们绝对值相等而符号相反. (3)性质: ①当 n 为奇数时:正数的 n 次方根为正数,负数的 n 次方根为负数 记作: x ? n a ②当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个(互为相反数) 记作: x ? ?n a ③负数没有偶次方根, ④ 0 的任何次方根为 0 注:当 a ? 0 时, n a ? 0,表示算术根,所以类似 4 16 =2 的写法是错误的. (4)常用公式 根据 n 次方根的定义,易得到以下三组常用公式: ①当 n 为任意正整数时,( n a ) n =a.例如,( 3 27 ) 3 =27,( 5 ? 32 ) 5 =-32. ②当 n 为奇数时, n an =a;当 n 为偶数时, n an ?a(a ? =|a|= ??? a(a 0) ? 0) . 例如, 3 (?2)3 =-2, 5 25 =2; 4 34 =3, (?3)2 =|-3|=3. (3)根式的基本性质: np amp ? n am ,(a ? 0). 注意,(3)中的 a ? 0 十分重要,无此条件则公式不成立. 例如 6 (?8)2 ? 3 ? 8 . 用语言叙述上面三个公式: (1)非负实数 a 的 n 次方根的 n 次幂是它本身. (2)n 为奇数时,实数 a 的 n 次幂的 n 次方根是 a 本身;n 为偶数时,实数 a 的 n 次幂的 n 次方根是 a 的绝对值. (3)若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂,那么这个根式的 根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数,根式的值不变. 三、讲解例题: 例 1 求值 ① 3 (?8)3 = -8 ; ② (?10)2 = |-10| = 10 ; ③ 4 (3 ? ? )4 = | 3?? | = ? ? 3 ; ④ (a ? b)2 (a ? b) = |a- b| = a- b . 去掉‘a>b’结果如何? 练习求值: (1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 ; (2)2 3 ? 3 1.5 ? 6 12 分析:(1)题需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质; 解: (1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 ? ( 3)2 ? 2 3 ? 2 ? ( 2)2 ? 22 ? 2? 2 3 ? ( 3)2 ? 22 ? 2? 2 2 ? ( 2)2 ? (( 3 ? 2))2 ? (2 ? 3)2 ? (2 ? 2)2 ?| 3 ? 2 | ? | 2 ? 3? | ? | 2 ? 2 | ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? (2 ? 2) ?2 2 注意:此题开方后先带上绝对值,然后根据正负去掉绝对值符号。 (2)2 3 ? 3 1.5 ? 6 12 =2 ? 3 ? 3 3 ? 6 22 ? 3 2 =2 ? 6 33 ?6 32 22 ?6 22 ?3 =2 ? 6 33 ? 32 ? 22 ? 3 22 =2 ? 3 ? 6 引例:当 a>0 时 10 ① 5 a10 ? 5 (a2 )5 ? a2 ? a 5 12 ② 3 a12 ? 3 (a4 )3 ? a4 ? a 3 2 2 ③ 3 a2 ? 3 (a 3 )3 ? a 3 1 1 ④ a ? (a 2 )2 ? a 2 上述推导过程主要利用了根式的运算性质,例子③、④、⑤用到了推广的整 数指数幂运算性质(2).因此,我们可以得出正分数指数幂的意义. 正数的正分数指数幂的意义 m a n ? n a m (a>0,m,n∈N*,且 n>1) 要注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式;二是根式与分数指 数幂可以进行互化. 另外,我们还要对正数的负分数指数

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