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# 南昌大学第六届高等数学竞赛(理工类)试题答案

1、1.

2、 xf x 2 .

( )

3、 ∫π3 dθ ∫
4

π

2 sec θ

0

f (r )rdr .

4、8 π .

5、 a .

y′ =

y 2x ， 3y2 x
1 8 1 . 4

y′′

1 1 x= , y= 8 4

=

( y′ 2 ) ( 3 y 2 x ) ( y 2 x )( 6 yy′ 1)

(3 y

2

x)

2

1 1 x = , y = , y′ = 0 8 4

= 32<0. 故当 x =

1 1 时， y 取极大值 . 8 4

x+ y u 2 u 四、 设 u = arctan ，求 , . 1 xy x x 2

u = x

1 x+ y 1+ 1 xy
2

1 xy + ( x + y ) y

(1 xy )

2

=

1 , 1+ x2

2x 2u = 2 x 1+ x2

(

)

2

.

L

xdy ydx ，其中 L 是以点（1，0）为中心， R 为半径的圆周 4x2 + y 2

R > 0, R ≠ 1 ,取逆时针方向.

P ( x, y ) =

y x P y 2 4x 2 Q , Q ( x, y ) = , 当 ( x, y ) ≠ (0,0) 时, = = 2 2 2 2 2 y x 4x + y 4x + y 4x 2 + y 2

(

)

ε x = cos θ 当 R > 1 时, (0,0 ) ∈ D ,作足够小的椭圆曲线 C : , θ 从 0 到 2π . 2 y = ε sin θ

L +C

xdy ydx = 0， 4x2 + y 2

xdy ydx xdy ydx = ∫C 2 2 L 4x + y 4x2 + y 2

=∫

0

1 2 ε 2 dθ

ε2

f (t ) = 2 ∫∫ x 2 + y 2 f
D
2π t

(

)

(

x 2 + y 2 dxdy + t 4 ，

)

2 2 2

f ( t ) = 2∫ dθ ∫ r 2 f ( r ) rdr + t 4
= 4π 两边对 t 求导得

∫ r f ( r ) dr + t
3 0

0 t

0

4

,

f ′ ( t ) = 4π t 3 f ( t ) + 4t 3 ，且 f ( 0 ) = 0 ，

f (t ) =

(e π
1

π t4

1 .

)

0

∞ 1 1 x sin x dx ，求级数 ∑ a n+1 n =1 a n nπ

0

(nπ t ) sin t dt
nπ 0

= nπ ∫

sin t dt a n .

an =

nπ 2

0

sin t dt

=

n 2π 2

π

0

sin t dt =

n 2π 2

π

0

sin tdt = n 2π .
1 1 . n n +1
1 1 , n +1

1 1 1 = an an +1 π

n 1 1 n 1 1 1 1 Sn = ∑ =∑ = a ak +1 k =1 π k k +1 π k =1 k 1 1 1 S = lim 1 = n →∞ π π n +1

∫a xf (x )dx ≥ 2 b ∫0 f (x )dx a ∫0 f (x )dx .
b

1

[

b

a

]

x 0

∫ f ( t )dt ，
x 0
b x

∫ f ( t )dt + xf ( x ) , F ( b ) F ( a ) = ∫ F ′ ( x )dx = ∫ ∫ f ( t )dt + xf ( x ) dx
b a
a 0

≤ ∫ xf ( x ) + xf ( x ) dx a
b

=2 于是

b

a

xf ( x )dx ,

b

a

xf ( x )dx ≥

b a 1 1 F ( b ) F ( a ) = b ∫ f ( x ) dx a ∫ f ( x ) dx . 2 0 0 2

a

z z +b . x y

z z + 2′ i b = 0 , x x z z 两边对 y 求偏导得 1′ i a + 2′ i 1 b = 0 , y y z 1′ z 2′ = ， = , x a1′ + b 2′ x a1′ + b 2′

a

z z + b =1. x y

1 1

1 2

1 n
k

，判别数列 {xn }的敛散性.

∑u
k =1

n

= xn ,

1 2 n 1 , n

=

2 n + n 1

1 n n 1 = = n n n + n 1 n

(

)

(

1 n + n 1

)

2

.

un 1 = , n →∞ 1 4 n n ∞ ∞ 1 由∑ 可知 ∑ un 收敛，从而 {xn }收敛. n =1 n n n =1 十一、设半径为 r 的球面 Σ 的球心在球面 Σ 0 ： x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ( R > 0 ) 上，问当 r 为何 lim

2

z = R r 2 x2 y2 ， z x z y = , = , x r 2 x 2 y 2 x r 2 x2 y2
z z 1+ + = x 2
2 2

r r 2 x2 y2

.

r4 ，令 4R2

r4 l= r 2 4R
2

∫∫
D

2π l rρ z z 1 + + dxdy = ∫ dθ ∫ dρ , 0 0 x 2 r2 ρ 2 2 2

= 2π r r

r2 . 2R

4 R, 3

4 R 时，球面 Σ 在球面 Σ 0 内部的那部分面积最大. 3

L

( x 1)

x2 + y2
2

+y

2

ds ，其中曲线弧 L 为： x 2 + y 2 = 2 x ， y ≥ 0 .
(1)

y = 2x x2 , 1 x y′ = , 2 2x x

ds = 1 + y′2 dx =

1 2x x2

dx ，

(2)

L

( x 1)2 + y 2
2

x2 + y2

ds 得 dx

I = ∫0 2 x
= 2∫ =4. 2.计算曲面积分 I =
2 0

1 2x x 2

1 dx 2 x
3 3 2

3

∫∫ 2 x dydz + 2 y dzdx + 3 ( z Σ

1) dxdy ，其中 ∑ 是曲面 z = 1 x 2 y 2

∫∫ 2 x dydz + 2 y dzdx + 3 ( z Σ Σ
3

2

+

1) dxdy = ∫∫∫ 6 ( x 2 + y 2 + z ) dv

1 1 r
2

1

=6

0 1

dθ ∫ dr ∫
0

0

( z + r ) rdz
2

= 12π

2 1 r (1 r 2 ) + r 3 (1 r 2 ) dr ∫0 2

∫∫ 2 x dydz + 2 y dzdx + 3 ( z Σ
3 3
1

=2 π .

2

1) dxdy =

∫∫
x 2 + y 2 ≤1

3dxdy =3 π

I = 2π 3π = π