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2.2.1(二)用样本的频率分布估计总体分布(二)


2.2.1(二)

2.2.1 【学习目标】

用样本的频率分布估计总体分布(二)

1.了解频率折线图和总体密度曲线的定义; 2.理解茎叶图的概念; 3.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自 特征,从而恰当地选择上述方法分析样本的分布,准确地做出 总体估计. 【学法指导】 通过对频率折线图、总体密度曲线和茎叶图的学习、探索,理 解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法;在经历样本分 析和总体估计的过程中,感受数学对实际生活的需要,体会数 学知识与现实世界的联系.

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填一填· 知识要点、记下疑难点

2.2.1(二)

1.频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图 连接频率分布直方图中各小长方形 上端的中点 ,就得到 了频率分布折线图. (2)总体密度曲线 随着样本容量的增加,作图时所分的 组数 增加,组距减小, 相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条 光滑曲线 , 统计中称之为总体密度曲线,它反映了总体在各个范围内 取值的百分比.

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填一填· 知识要点、记下疑难点
2.茎叶图

2.2.1(二)

(1)适用范围:当样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效 果较好. (2)优点:它不但可以 保留所有信息 ,而且可以 随时记录 , 给数据的记录和表示都带来方便. (3)缺点:当样本数据 就显得不太方便.

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较多

时,枝叶就会很长,茎叶图

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2.2.1(二)

复习1 列出一组样本数据的频率分布表可以分哪几个步骤进行?

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答 第一步,求极差.
第二步,决定组距与组数. 第三步,确定分点,将数据分组. 第四步,统计频数,计算频率,制成表格.

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2.2.1(二)

复习2 频率分布直方图是在平面直角坐标系中画若干个依次 相邻的小长方形,这些小长方形的宽、高和面积在数量上 分别表示什么?
答 频率 长方形的宽表示组距,长方形的高= ,长方形的面 组距

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积表示相应各组的频率.

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探究点一 频率分布折线图、总体密度曲线的概念

2.2.1(二)

问题1 如下图,在城市居民月均用水量样本数据的频率分布 直方图中,各组数据的平均值大致是哪些数?

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大致是这小长方形下端的中点的横坐标,即0.25,0.75,

1.25,1.75,2.25,2.75,3.25,3.75,4.25.

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2.2.1(二)

问题2 在频率分布直方图中,依次连接各小长方形上端的中 点,就得到一条折线,这条折线称为频率分布折线图,你 认为频率分布折线图能大致反映样本数据的频率分布吗?

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由于折线图是取了长方形上端的中点,即每一组数据平

均值对应的频率,所以能大致反映样本数据的频率分布.

问题3 当总体中的个体数很多时(如抽样调查全国城市居民月 均用水量),随着样本容量增加,作图时所分的组数增多,组距减 少,你能想象出相应的频率分布折线图会发生什么变化吗?
答 由于组数的增多,组距减少,长方形上端中点的数量

增多,且相距越近,各相临长方形上端中点的折线越短, 折线变得近似于曲线.

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2.2.1(二)

问题4 在上述背景下,相应的频率分布折线图越来越接近于 一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.那 么下图中阴影部分的面积有何实际意义?

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图中阴影部分的面积,就是总体在区间(a,b)内的取值

的百分比.

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2.2.1(二)

问题5 当总体中的个体数比较少或样本数据不密集时,是否 存在总体密度曲线?为什么?

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答 不存在,因为组距不能任意缩小.
问题6 对于一个总体,如果存在总体密度曲线,能否通过样 本数据准确地画出总体密度曲线?为什么?
答 不能.由于频率分布折线图是随着随机抽取的样本、

样本的容量和分组情况的变化而变化的,因此不能由样本 的频率分布折线图得到准确的总体密度曲线.

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探究点二 导引 茎叶图

2.2.1(二)

某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下:

甲运动员得分:13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39; 乙运动员得分:49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39.

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问题1 你能理解这个图是如何记录这些数据的吗?你能通过 该图说明哪个运动员的发挥更稳定吗? 答 中间的数字表示得分的十位数,旁边的数字分别表示两
个人得分的个位数.从图中看出乙运动员的发挥更稳定.

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2.2.1(二)

问题2 在统计中,上图叫做茎叶图,它也是表示样本数据分 布情况的一种方法,其中“茎”指的是哪些数,“叶”指 的是哪些数?

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答 茎是指中间的一列数,叶就是从茎的旁边生长出来的数.
小结 茎叶图的定义:当数据是两位有效数字时,用中间

的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示 个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎, 两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图 叫做茎叶图.

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例1

2.2.1(二)

用茎叶图表示样本数据:3.1,2.5,2.0,0.8,1.5,1.3,4.3,

2.7,3.1,3.5.



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小结 茎叶图和频率分布表极为类似,事实上,茎相当于 频率分布表中的分组;茎上叶的数目相当于频率分布表中 指定区间组的频率.

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2.2.1(二)

跟踪训练1 下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分 的茎叶图,据下图可知 ( A )

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A.甲运动员的成绩好于乙运动员 B.乙运动员的成绩好于甲运动员 C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异 D.甲运动员的最低得分为0分

解析 从茎叶图上看,由于甲运动员的成绩多数集中在31以上, 而乙运动员的成绩集中在12到29之间,所以甲运动员成绩较好.

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2.2.1(二)

问题3 一般地,画出一组样本数据的茎叶图的步骤如何?



第一步,将每个数据分为“茎”(高位)和“叶”(低位)

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两部分;
第二步,将最小的茎和最大的茎之间的数按大小次序排成 一列,写在左(右)侧;
第三步,将各个数据的叶按次序写在茎右(左)侧.

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2.2.1(二)

问题4 用茎叶图表示数据的分布情况是一种好方法,你认为 茎叶图有哪些优点?

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(1)保留了原始数据,没有损失样本信息;(2)数据可以

随时记录、添加或修改.

问题5 茎叶图有什么缺陷?
答 茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图

只方便记录两组的数据,两组以上的数据虽然能够记录, 但是没有表示两组记录那么直观、清晰.

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例2

2.2.1(二)

甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎

叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别是x甲,x乙,则下 列正确的是 ( )

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A.

x 甲 >x 乙;乙比甲成绩稳定

B.x 甲 >x 乙;甲比乙成绩稳定 C.x 甲 <x 乙;乙比甲成绩稳定 D.x 甲 <x 乙;甲比乙成绩稳定

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2.2.1(二)

解析 从茎叶图可知,甲五次成绩中一次茎为8,一次茎为 9,而乙五次成绩中,茎8和茎9各两次,故可知x甲<x乙,乙 比甲成绩稳定.
答案
小结

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C
从茎叶图观察比较甲、乙成绩哪个稳定的问题,主

要是看它们的成绩的分布,如果相对集中在中位数附近, 则成绩稳定,如果分散,则成绩不稳定.

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跟踪训练2

2.2.1(二)

某校举行演讲比赛,9位评委给选手A打出的分

数如茎叶图所示,统计员在去掉一个最高分和一个最低分后, 算得平均分为91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图 中的x)无法看清,若统计员计算无误,则数字x应该是 ( D )

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A.5

B.4

C.3

D.2

解析 去掉最低分87,去掉最高分94(假设x≤4),则7×91 =80×2+9+8+90×5+2+3+2+1+x,
∴x=2,符合题意.
同理可验证x>4不合题意.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

2.2.1(二)

1.如图是总体密度曲线,下列说法正确 的是 A.组距越大,频率分布折线 图越接近于它 B.样本容量越小,频率分布折线图越接近于它 C.阴影部分的面积代表总体在(a,b)内取值的百分比 D.阴影部分的平均高度代表总体在(a,b)内取值的百分比 ( C )

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练一练· 当堂检测、目标达成落实处

2.2.1(二)

2.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所 示,则这组数据的中位数和平均数分别是 ( A )

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A.91.5和91.5 C.91和91.5
解析

B.91.5和92 D.92和92

91+92 87 89 90 91 92 93 94 96 的中位数= =91.5, 2

87+89+90+91+92+93+94+96 平均数= =91.5. 8

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

2.2.1(二)

1.总体的分布分两种情况:当总体中的个体取值很少时,用 茎叶图估计总体的分布;当总体中的个体取值较多时,将 样本数据恰当分组,用各组的频率分布描述总体的分布, 方法是用频率分布表或频率分布直方图. 2.茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本 数据的分布情况的.茎叶图由所有样本数据构成,没有损 失任何样本信息,可以在抽样的过程中随时记录;而频率 分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息,必须 在完成抽样后才能制作.

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练一练· 当堂检测、目标达成落实处

2.2.1(二)

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3.正确利用三种分布的描述方法,都能得到一些有关分布的 主要特点(如分布是否具有单峰性、是否具有对称性、样本 点落在各分组中的频率等),这些主要特点受样本的随机性 的影响比较小,更接近于总体分布的相应的特点.


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