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江苏省扬州中学2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题


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闰土教育江苏省扬州中学 2012-2013 学年第一学期期中考试

高一数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.不等式 2
x ?2

>1 的解集为_____________

2.设集合 A ? { y | y ?| x |, x ? R} , B ? { y | y ? 3.函数 f(x)=

x ? 2 , x ? R},则 A ? B =



1 的最大值为___________ 。 1 ? x ?1 ? x ?
2 ) ,则 f (4) 的值等于 2

4.幂函数 f(x)的图象经过点 (2, 5.已知 a 2 ?
1

4 (a>0) ,则 log 2 a ? 9 3

6 .若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,那么当 x ? (??,0) 时,

f ( x) =________.
7. 函数 f ( x) ? lg(3 ? x) ? lg(1 ? x) 的单调增区间为____________。 8.若函数 f ( x) ? log a ( x ?

x 2 ? 2a 2 ) 是奇函数,则 a=

9.已知 f ( x), g ( x) 均为 R 上的奇函数,且 f ( x) ? 0 解集为(4,10) , g ( x) ? 0 解集为(2,5) ,则 f ( x) ? g ( x) ? 0 的 解集为 10.设二次函数 f(x)= ax2+bx(a≠0),若 f(x1-1)=f(x2+1) (x1-x2≠2),则 f(x1+ x2)= 11 . 由 等 式

x 4 ? a1 x 3 ? a2 x 2 ? a3 x ? a4 ? ( x ? 1) 4 ? b1 ( x ? 1) 3 ? b2 ( x ? 1) 2 ? b3 ( x ? 1) ? b4 定 义 映 射

f : (a1 , a2 , a3 , a4 ) ? (b1 , b2 , b3 , b4 ) ,则 f (1,2,3,4) ? _____________
12.区间 ? x1 , x2 ? ? x1 ? x2 ? 的长度为 x2 ? x1 .已知函数 y ? 2 的定义域为 ? a, b? ,值域为 ?1, 2? ,则区间 ? a, b? 的长度
| x|

的最大值与最小值的差为_________.

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 13.设函数 f ( x) ? ? ,若互不相同的实数 x1 , x2 , x3 满足 ?6 ? log2 (1 ? x), x ? 0
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,则 x1 ? x2 ? x3 的取值范围是
14. 集合{23, -34, 57,

18 3 , 86, -75, , -1}每一个非空子集的元素乘积 (单元素集取元素本身) 之和为__________ 7 17

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. 已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x+x2.
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(1)求 x<0 时,f(x)的解析式; (2)问是否存在这样的非负实数 a,b,当 x ? [a,b]时,f(x)的值域为[4a-2,6b-6]?若存在,求出所有 a,b 的值; 若不存在,请说明理由。 16.二次函数 f(x)满足 f (x+1)-f (x)=2x 且 f (0)=1. (1)求 f (x)的解析式; (2)在区间[-1,1]上,y=f (x)的图象恒在 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的范围.

ex a ? 是 R 上的偶函数.? 17.设 a>0,f(x)= a ex
(1)求 a 的值;? ( 2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数. 18.定义:在 R 上的函数 f(X)满足:若任意 X 1 ,X 2 ∈R,都有 f( 的凹函数.
[

x1 ? x2 1 ) ≤ [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ,则称函数 f(X)是 R 上 2 2

已知二次函数 f(X)= a X +X( a ∈R, a ≠0). (1)求证:当 a >0 时,函数 f(X)是凹函数. (2)如果 x∈[0,1]时,|f(x)|≤1,试求实数 a 的范围. 19.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药,对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用 1 个单位量 的水可 洗掉蔬 菜上残留农药用量的

2

1 ,用水越多洗掉的农药量也越多,但总还有农药残留在蔬菜上.设用 x 单位量的水清洗一次 2

以后,蔬菜上残留的农药与本次清洗前残留有农药量之比为函数 f(x). (1)试规定 f (0)的值,并解释其实际意义; (2)试根据假定写出函数 f(x)应该满足的 条件和具有的性质; (3)设 f(x)=

1 ,现有 a(a>0)单位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成 2 份后清洗两次.试问 1? x2

用哪种方案 清洗后蔬菜上的农药量比较少?说明理由. 20.设函数 f ( x) ? ax2 ? 8x ? 3 ,对于给定的负数 a,有一个最大的正数 M (a) ,使得 x ?[0, M (a) ],时,恒有 | f ( x ) | ? 5, ( 1)求 M (a) 关于 a 的表达式; (2)求 M (a) 的最大值及相应的 a 的值。

江苏省扬州中学 2012-2013 学年第一学期期中考试

高一数学试卷答案
2012.11
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一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. ?2,??? 2. [0, ?? ) 3.

4 3

4.

1 2

5..3 9. ?4,5? ? ?? 5,?4?

6. x(1 ? 3 x ) 10. 0

7. (-3,-1) 11.(0,-3,4,-1)

8.

2 2

12.1

13. (-11, 4) 14.-1 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.解: (1)设 x<0,则-x>0,于是 f(-x)=-x+x2,又 f(x)是奇函数,即 x<0 时,f(x)=x-x2 (2)假设存在这样的数 a,b,因为 a≥0,且 f(x)=x+x2 在 x≥0 时为增函数, 所以 x ? [a,b]时,f(x) ? [f(a),f(b)]= [4a-2,6b-6]
源:学*科*网 Z*X*X*K]

16.解:(1)设 f(x)=ax2+bx+c,由 f(0)=1 得 c=1,故 f(x)=ax2+bx+1. ∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+ bx+1)=2x. 即 2ax+a+b=2x,所以 ?

?a 2 ? 3a ? 2 ? 0 ?4a ? 2 ? f (a) ? a 2 ? a ?? 2 所以 ? 考虑到 0≤a<b 且 4a-2<6b-6 2 ? b ? 5b ? 6 ? 0 ? 6b ? 6 ? f (b) ? b ? b ? a ? 1 ? a ? 1 ?a ? 2 可得符合条件 a,b 的值分别为 ? 或? 或? ?b ? 2 ?b ? 3 ?b ? 3

?2a ? 2 ?a ? 1 ,∴f(x)=x2-x+1. ,? ? ?a ? b ? 0 ?b ? ?1

(2)由题意 x2-x+1>2x+m 在[-1,1]上恒成立.即 x2-3x+1-m>0 在[-1,1]上恒成立. 3 设 g(x)= x2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线 x= ,所以 g(x) 在[-1,1]上递减. 2 故只 需 g(1)>0,即 12-3× 1+1-m>0,解得 m<-1. 17. (1)解 ∵f(x)是 R 上的偶函数,∴f(-x)=f(x) , ∴ ?

e?x a ex a ? ?x ? ? , a a ex e
1 a
x

∴(a- )( e ? ∴a-

1 ) =0 对一切 x 均成立, ? ex

1 =0,而 a>0,∴a=1. a
x1

(2)证明 在(0,+∞)上任取 x1、x2,且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= e = (e
x2

+

1 1 x -e 2 - x x1 e e2 ? 1).
?

? e x1 ) (
x1

1 e
x1 ? x2

∵x1<x2,∴ e

? e x2 , 有 e x2 ? e x1 ? 0. ??
x1 ? x2

∵x1>0,x2>0,∴x1+x2>0,∴ e

>1,

?

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1 e
x1 ? x2

-1<0.∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),?

故 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 18.解: (1)对任意 X 1 , x2 ? R,? a >0, ∴ [ f(X = a X 1 ? ax 2 ?
2 2

1

)+

f (X

2

) ] -2

f(

x1 ? x2 x ?x x ?x 2 ) ? ax12 ? x1 ? ax 2 ? x2 ? 2 [ a ( 1 2 ) 2 ? 1 2 ) ] 2 2 2

1 1 2 a( x12 ? x2 ? 2 x1 x 2 ) ? a( x1 ? x2 ) 2 ≥0. 2 2 x1 ? x2 1 ) ≤ [f ( x1 ) ? f ( x2 ) ]. ∴f( ∴函数 f(X)是凹函数; 2 2
2

(2)由| f(X )|≤1 ? -1≤f(X) ≤1 ? -1≤ ax +X≤1.(*) 当 X= 0 时, a ∈R;当 X∈(0,1]时,(*)即 ?
2 ? ?ax ? ? x ? 1, 2 ? ?ax ? ? x ? 1恒成立,

1 1 1 1 1 ? a ? ? 2 ? ? ?( ? ) 2 ? ? ? x x x 2 4 即? 1 1 1 1 1 ?a ? ? ? ( ? ) 2 ? 恒成立. 2 ? x x x 2 4 ?
1 ≥1. x 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 ∴当 =1 时,-( + ) - 取得最大值是-2 ;当 =1 时,( - ) - 取得最小值是 0. x x 2 4 x x 2 4
∵X∈(0,1],∴ ∴-2 ≤ a ≤0 ,结合 a ≠0,得-2≤ a <0. 综上, a 的范围是[-2,0). 19. 解: (1)f(0)=1 表示 没有用水时,蔬菜上的农药量将保持原样; (2)函数 f(x)应满足的条件和具有的性质是: f(0)=1, f(1)=

1 ,在[0,+∞)上 f(x)单调递减,且 0<f(x)≤1; 2
1 , 1? a2
2

(3)设仅清洗一次,残留的农药量为:f1=

? ? ? ? 1 16 ? ? = 清洗两次后残留的农药量为:f2= 2 ? ? a ? ? (4 ? a 2 ) 2 ?1 ? ? ? ? ? ? ?2? ? ?
则由 f1-f2 可得:

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①当 a>2 2 时,f1>f2;②当 a=2 2 时, f1=f2;③当 0<a <2 2 时,f1<f2.

20. 解: (1)由 a<0, f ( x) ? a ( x ? 当3?

4 2 16 ) ?3? a a

16 >5,即 ? 8 ? a ? 0 时,要使| f ( x ) | ? 5,在 x ?[0, M (a) ]上恒成立,要使得 M (a) 最大, M (a) 只能是 a 2a ? 16 ? 4 ax2 ? 8 x ? 3 ? 5 的较小的根,即 M (a) = ; a 16 当3? ? >5,即 a ? ?8 时,要使| f ( x) | ? 5,在 x ?[0, M (a) ]上恒成立,要使得 M (a) 最大, M (a) 只能是 a ? 2 4 ? 2a ? 4 ax2 ? 8x ? 3 ? ?5 的较大的根,即 M (a) = ; a ? 2a ? 16 ? 4 (?8 ? a ? 0) ? ? a 所以 M (a) = ? ? ? 2 4 ? 2a ? 4 (a ? ?8) ? a ?
(2)当 ? 8 ? a ? 0 时, M (a) =

1 2 2a ? 16 ? 4 = < ; a 2a ? 16 ? 4 2 4 4 ? 2 4 ? 2a ? 4 5 ?1 当 a ? ?8 时, M (a) = = = ; ? a 2 4 ? 2a ? 2 20 ? 2

所以 M (a) 的最大值为 M(-8)=

5 ?1 2
命题:唐一良 校对:侯绪兵

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