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高一数学《2.3.1直线与平面垂直的判定》


2.3.1直线与平面垂直的判定

实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例,你能举出 几个吗?

旗杆与底面垂直

直线与平面垂直

如果直线 l 与平面? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直, 记作 l ? ? .
平面 ? 的垂线

垂足

l
P

直线 l 的垂面

?

直线与平面垂直

除定义外,如何判断一条直线与平面垂直
呢?

l

?

P

直线与平面垂直判定定理
判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂

直,则该直线与此平面垂直.

? ? ? a ?? ?? l ?? ? b ?? a ?b ? A ? ?

l?a l ?b

l

b

?

A

a

作用: 判定直线与平面垂直. 思想: 直线与平面垂直

直线与直线垂直

典型例题
例1 如图,已知 a // b, a ? ? ,求证

b ? ?.

即:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一 条也垂直于同一个平面

证明:在平面 ? 内作 a 两条相交直线m,n. 因为直线 a ? ?, 根据直线与平面垂直的定义知
a ? m, a ? n.

b
A

?

m

n

又因为 b // a 所以 b ? m, b ? n. 又 m ? ? , n ? ? , m, n 是两条相交直线, 所以 b ? ? .

随堂练习
如图,直四棱柱 A?B?C?D? ? ABCD (侧棱与底面垂直 的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形 ABCD 满足什么 条件时,A?C ? B?D? ?
A? D? B?

底面四边形 ABCD 对角 线相互垂直.

C?

A D B
C

几个概念

(1)自一点P向平面α引垂 线,垂足P/叫做点P在平 面α内的正射影(射影) (2)点P与垂足P/间的线段 叫点P到平面α的垂线段 (3)如果图形F上的所有点 在一平面内的射影构成图 形F/,则F/叫做图形F在 这个平面内的射影

斜线与斜线段 一条直线和一个平面相交, 但不和这个平面垂直,这条直 线叫这个平面的斜线,斜线和 平面的交点叫斜足,斜线上一 α 点和斜足间的线段叫这点到这 个平面的斜线段. 平面外一点到这个 平面的垂线段有且只有 一条,而这点到这个平 面的斜线段有无数条 P o A

a

斜线在平面内的射影 从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线, 过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面内的射 影.垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线 段在这个平面上的射影

AB ? ?

斜线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所 成的夹角,叫做斜线和平面所成的角 (或斜线 和平面的夹角). 简称线面角

l为一斜线,O为斜足, A为l上任一点, AB ? ? , B为垂足

斜线和平面所成的角 1、直线和平面垂直<=>直线和平面所成的角是 直角 直线和平面平行或在平面内<=>直线和平面所 成的角是0°

2、直线与平面所成的角θ的取值范 ? 0 ?? ? 围是:___________ 2 斜线与平面所成的角θ的取值范围 ? 0 ?? ? 是:______________ 2

典型例题

例2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直 线A1B和平面A1B1CD所成的角
D1 C1

A1

B1

O
D C

A

B

知识小结
1.直线与平面垂直的概念 2.直线与平面垂直的判定 (1)利用定义;垂直与平面内任意一条直线 (2)利用判定定理. 线线垂直 线面垂直
(3)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那 么另一条也垂直于同一个平面

3.数学思想方法:转化的思想

空间问题

平面问题

4.直线与平面所成的角.

范围: ,90 ] [0

?

?

课堂练习
(1)若两直线a与b异面,则过a且与b垂直的平 面( B )
A.有且只有一个 C.有无数多个 B.可能存在也可能不存在 D.—定不存在

(2)正方形ABCD,P是正方形平面外的一点,且 PA⊥平面ABCD,则在△PAB、 △PBC、△PCD、△PAD、 △PAC及△PBD中, 5 为直角三角形有______个


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