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山东省滕州市第二中学2015届高三上学期期末考试数学(文)试题WORD版含答案


山东省滕州市第二中学 2015 届高三上学期期末考试 数学文试题
选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知 i 是虚数单位,则 A. i

1 ? 2i 等于( 2?i 4 B. ? i 5

) C.

4 3 ? i 5 5

D. ? i

2 2.命题 p : a ? 1 ;命题 q :关于 x 的实系数方程 x ? 2 2 x ? a ? 0 有虚数解,则 p 是 q 的



) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.把函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度,所得图象恰与函数 y ? e x 的反函数图像重 合,则 f(x) A. ln x ? 1 B. ln x ? 1 C. ln( x ? 1) D. ln( x ? 1)

2 4 .已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c ,其中 0 ? b ? 4 , 0 ? c ? 4 ,记函数 f ( x) 满足条件:

f (2) ? 12 为事件 A ,则事件 A 发生的概率为.
A.

1 4

B.

1 2

C.

3 8

D.

3 4

5. 在 ?ABC 中, D 是 BC 的中点, AD=3, 点 P 在 AD 上且满足 AD ? 3AP, 则 DA ? ( PB ? PC) ? A.6 B. ? 6 C.-12 D. 12

6.某几何体的三视图如下图所示,则它的表面积是

第 1 页 共 11 页

A. 24 ? 5? C. 24 ?

B. 24 ? ?

?

5 ?1 ?

?

D. 20 ?

?

5 ?1 ?

?

7.已知 cos ? ? ?

? ?

5 ? π? 4 ? ?? ? 3 ,且 ? ? ? 0, ? 则 sin ? ? ? ? ? 的是 ? ? sin ? ? 12 ? 6? 5 ? 3? ?
B.

A. ?

2 3 5

2 3 5

C.

7 2 10

D.

7 2 15

8.阅读下侧程序框图,输出的结果 s 的值为

A. 0

B.

3 2

C. 3

D. ?

3 2

x2 y2 9.已知双曲线 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,它的左、右焦点分别 F1 , F2 ,左右 a b
顶点为 A1 , A2 ,过焦点 F2 先作其渐近线的垂线,垂足为 P ,再作与 x 轴垂直的直线与曲 线 C 交于点 Q, R ,若 PF2 , A1 A2 , QF 1 依次成等差数列,则离心率 e=

第 2 页 共 11 页

A. 2

B. 5

C. 2 或 5

D.

5 ?1 2

10.如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴正方向滚动.设顶点 P ? x, y ? 的轨迹方程 是 y ? f ?x ? ,设 y ? f ( x) 在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域为 S,则直线 x ? t 从 t ? 0到t ? 4 所匀速移动扫过区域 S 的面积 D 与 t 的函数图象大致为.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11 .已知过原点的直线与圆 ( x ? 2) ? y ? 1 相切,若切点在第二象限,则该直线的方程
2 2




2

12.若命题“ ?x ? R,2 x ? 3ax ? 9 ? 0 ”为假命题,则实数 a 的取值范围是

?3x ? y ? 6 ? 0, ? 13. 设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0, ?
12, 则

2 3 ? 的最小值为_____________. a b
第 3 页 共 11 页

14.已知定义在 R 上的函数 f ( x)、g ( x) 满足

f ?x ? ? b x ,且 f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) , g ?x ?

f (1) f (?1) 5 f ?4? ? ? ,若 ?an ?是正项等比数列,且 a5 a7 ? 2a6 a8 ? a4 a12 ? ,则 a6 ? a8 g (1) g (?1) 2 g ?4?
等于 . 15.函数 f ?x ? 的定义域为 D ,若存在闭区间 ?m, n? ? D ,使得函数 f ?x ? 满足以下两个条 件: (1) f ?x ? 在[m,n]上是单调函数; (2) f ?x ? 在[m,n]上的值域为[2m,2n],则称区 间[m, n]为 y ? f ?x ? 的“倍值区间”. 下列函数中存在“倍值区间”的有 上所有正确的序号) ① f ?x ? =x2(x≥0) ; ③ f ?x ? = ② f ?x ? =ex(x∈ R) ; ④ f ?x ? = log a (a ? )( a ? 0, a ? 1) .
x

(填

4x ( x ? 0) ; x ?1
2

1 8

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤。 (注 意:在试题卷上作答无效) 16 . (本题满分为 12 分)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对边分别为 a , b , c ,且向量

? ? ? ? m ? ?sin A, sin B ? , n ? ?cos B, cos A? ,满足 m ? n ? sin 2C
(1)求角 C 的大小; (2)若 sin A,sin C,sin B 成等差数列,且 AC ? ( AC ? AB) ? 18 ,求边 c 的长 17 . (本题满分为 12 分)数列 ?an? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1 , 点 (Sn , an?1) 在直线 y ? 2x ? 1 上,n∈ N*. (1)求证:数列 ?an? 是等比数列,并求数列 ?an? 的通项公式 a n
{ (2)设 bn ? log 3 an ?1 , Tn 是数列 1 } 的前 n 项和,求 T2014 的值. bn ? bn ?1

18. (本题满分为 12 分) 某公司研制出一种新型药品, 为测试该药品的有效性, 公司选定 2000 个药品样本分成三组,测试结果如下表:

第 4 页 共 11 页

分组 药品有效 药品无效

A组

B组

C组

670
80

a

b
c

50

已知在全体样本中随机抽取 1 个,抽到 B 组药品有效的概率是 0.35. (1)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360个测试结果,问应在 C 组抽取样本 多少个? (2)已知 b ? 425 , c ? 68 ,求该药品通过测试的概率(说明:若药品有效的概率不 小于 90 %,则认为测试通过) . 19. (本题满分为 12 分)在 Rt ?ABF 中,AB=2BF=4,C,E 分别是 AB,AF 的中点(如下 左图) .将此三角形沿 CE 对折,使平面 AEC⊥ 平面 BCEF(如下右图) ,已知 D 是 AB 的中点.

(1)求证:CD∥ 平面 AEF; (2)求证:平面 AEF⊥ 平面 ABF; (3)求三棱锥 C-AEF 的体积, 20. (本题满分为 13 分)已知动圆 M 与直线 l : x ? ? 切。 (1)求圆心 M 的轨迹 C 方程; (2) 过定点 D?m,0?(m ? 0) 作直线 l 交轨迹 C 于 A, B 两点,E 是 D 点关于坐标原点 O 的对称点,求证: ?AED ? ?BED; 21. (本题满分为 14 分) 已知函数

1 1 2 2 相切且与圆 F :? x ? 1? ? y ? 外 4 2

?? x 3 ? x 2 ? bx ? c, x ? 1 的图像过坐标原点 O , f ( x) ? ? ?a ln x, x ? 1

且在点 (?1, f (?1)) 处的切线的斜率是 ? 5 .
第 5 页 共 11 页

(1)求实数 b, c 的值;

(2)求 f ?x ? 在区间 ?? 1,2?上的最大值;

(3)对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O 为 直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在 y 轴上?请说明理由.

第 6 页 共 11 页

2013-2014 学年度山东省滕州市第二中学高三第一学期期末考 数学(文)试题参考答案
一、选择题:1~5.DBD D C 6~10.C C B A D

三、解答题: 16. (1)由 m ? n ? sin 2C 可得 sin A cos B ? sin B cos A ? sin 2C …………2 分 即 sin( A ? B) ? 2 sin C cosC ,又 C ? ? ? ( A ? B) 得 sin C ? 2 sin C cos C 而 sin C ? 0 ………4 分? cos ?

1 2

即 C=

? …………. .6 分 3

(2)? sin A, sin C, sin B 成等差数列 ? 由正弦定理可得 2c=a+b…………. ①

? AC ? ( AC ? AB) ? 18可得 AC ? BC ? 18 而 C=
由余弦定理可得 cosC ?

? , ? ab ? 36 …… 3



a2 ? b2 ? c2 1 ? …………③ 2ab 2

由① ② ③ 式可得 c=6………12 分 17. (1)由题意得 a n+1=2Sn+1, a n =2Sn-1+1(n≥2) (1 分) 两式相减,得 a n+1- a n =2 a n 即 a n+1=3 a n, (3 分)? a1 ? 1? a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ,则

a2 ? 3, a1
当 n ? 1 时 ?an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列. (5 分)

?an ? 1? 3n?1 ? 3n?1 (6 分)
(2)由(1)得知 a n=3n-1,bn=log3an+1=n, (8 分)

1 1 1 1 ,(10 分) ? ? ? bn ? bn ?1 (n ? 1)n n n ? 1
第 7 页 共 11 页

T2014 ?

1 1 1 ? 2014 ? 1? ? 1 1? ? 1 . ??? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? b1b2 b2014 b2015 ? 2 ? ? 2 3 ? ? 2014 2015? 2015
(12 分)

18.解: (1)?

a ? 0.35,? a ? 700 ???? 2分 2000

?b ? c ? 2000? 670? 80 ? 700? 50 ? 500??4分
应在 C 组抽取样本个数是 360 ?

500 ? 90(个) ??? 6分 2000

(2)?b ? c ? 500 , b ? 425, c ? 68,??b, c?的可能性是

?425,75?, ?426,74?, ?427,73?, ?428,72?, ?429,71?, ?430,70?, ?431,69?, ?432,68???8分
若测试通过,则 670 ? 700 ? b ? 2000? 90% ? 1800? b ? 430???10分

3 ? ?b, c ? 的可能有 ?430,70?, ?431 ,69?, ?432,68? ? 通过测试的概率为 ………………12 分 8
19. (1)取 AF 中点 M ,连结 DM , EM ,

因为 D , M 分别是 AB, AF 的中点 所以 DM 是 ?ABF 的中位线,? DM ?
// // 1 1 BF , 且CE ? BF ,四边形 CDME 是平行四 2 2

边形,所以 CD // EM , 又EM ? 面AEF且CD ? 面AEF ?CD // 面AEF???4分

AC ? BC ? C ,?CE ? 面ABC ,又 (2)由左图知 CE ? AC, CE ? BC, 且右图中:
CD ? 面ABC ? CE ? CD, 所以四边形 CDME 为矩形,则 EM ? MD ,?AEF 中 EA ? EF ,M 为 AF
的中点,

第 8 页 共 11 页

所以 EM ? AF, 且AF ? MD ? M ,所以 EM ? 面ABF,又EM ? 面AEF ,

面AEF ? 面ABF?8分
(3)?VC ? AEF ? VA?CEF , 由左图知 AC ? CE , 又面 AEC⊥ 平面 BCEF, 且 AEC ? 平面 BCEF=CE,

? AC ? 面B C E F ,即 AC 为三棱锥 A ? CEF 的高,
1 1 1 2 ?VA?CEF ? S ?CEF ? AC ? ? ?1? 2 ? 2 ? ??12分 3 3 2 3
20.解析: (1)法 1:根据题意动圆圆心 M ?x, y ? 到定点 F ?1,0? 和到定直线 x ? ?1 的距离相 等,根据抛物线的定义可知,动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程为 y ? 4 x . ……………5 分
2

法 2:设 M ?x, y ? ,则 MF ? ? x ?

? ?

1? 1 ? ? ,即 MF ? x ? 1? 2? 2

?x ? 1?2 ? y 2

? x ?1得

y 2 ? 4x . …………5 分
(2)依题意,设直线 l 的方程为 x ? ty ? m(m ? 0), A?x1 , y1 ?, B?x2 , x2 ? ,则 A, B 两点 的坐标满足方程组: ?

? x ? ty ? m 消去并 x 整理,得 2 ? y ? 4x

y 2 ? 4ty ? 4m ? 0 , y1 ? y2 ? 4t , y1 y2 ? ?4m??7分
设直线 AE 和 BE 的斜率分别为 k1 , k 2 ,则:

1 1 y y 2 ? y y 2 ? m? y1 ? y 2 ? y1 y2 y1 ?x 2 ? m ? ? y 2 ?x1 ? m ? 4 1 2 4 2 1 k1 ? k 2 ? ? ? ? ?x1 ? m ??x2 ? m ? ?x1 ? m??x2 ? m ? x1 ? m x 2 ? m 1 1 ?? 4m ??4t ? ? 4m t y1 y2 ? y1 ? y2 ? ? m? y1 ? y2 ? 4 4 ? ? ? 0???11分 ?x1 ? m??x2 ? m ? ?x1 ? m ??x2 ? m?

? tan?AED? tan? 1800 ? ?BED ? 0? tan?AED ? tan?BED
? 0 ? ?AED ?

?

?

?
2

,0 ? ?BED ?

?
2

? ?AED ? ?BED ???13分
3 2 2

21.解: (1)当 x ? 1 时, f ( x) ? ? x ? x ? bx ? c, 则 f ?( x) ? ?3x ? 2 x ? b

(1 分)

第 9 页 共 11 页

依题意,得 ?

? f (0) ? 0 ?c ? 0 即? ,解得 b ? c ? 0 . ? f ?(?1) ? ?5 ?? 3 ? 2 ? b ? ?5

(3 分)

(2)由(1)知, f ( x) ? ?

?? x 3 ? x 2 , x ? 1 ?a ln x, x ? 1
2 3
2 3
(4 分)

2 ① 当 ? 1 ? x ? 1 时 f ?( x) ? ?3 x ? 2 x ? ?3 x( x ? ), 令 f ?( x) ? 0, 得 x ? 0, 或 x ?

当 x 变化时 f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(?1,0)

0 0 +

2 (0, ) 3

2 3
0



2 ,1 ) 3



— 极小值 单调递增 极大值 单调递减

f ( x)

单调递减

又 f (?1) ? 2, f ( ) ?

2 3

4 , f (0) ? 0, 27
(6 分)

所以 f ( x ) 在 ?? 1,1? 上的最大值为 2 . ② 当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? a ln x 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 的最大值为 0 ;

当 a ? 0 时, f ( x ) 在 ?1,2 ?上单调递增,所以 f ( x ) 在 ?1,2 ?上的最大值为 a ln 2 . (7 分) 综上所述,

2 时, f ( x ) 在 ?? 1,2? 上的最大值为 2; ln 2 2 当 a ln 2 ? 2 ,即 a ? 时, f ( x ) 在 ?? 1,2? 上的最大值为 a ln 2 . ln 2
当 a ln 2 ? 2 ,即 a ?

(9 分)

(3)假设曲线 y ? f ( x) 上存在两点 P, Q 满足题设要求,则点 P, Q 只能在 y 轴的两侧.
3 2 不妨设 P(t , f (t )),(t ? 0) ,则 Q(?t , t ? t ) ,显然 t ? 1

因为 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形, 所以 OP ? OQ ? 0 ,即 ? t ? f (t )(t ? t ) ? 0
2 3 2



第 10 页 共 11 页

若方程① 有解,则存在满足题意的两点 P, Q ;若方程① 无解,则不存在满足题意的两点 P, Q 若 0 ? t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t 3 ? t 2 ,代入① 式得 ? t 2 ? (?t 3 ? t 2 )(t 3 ? t 2 ) ? 0 ,
4 2 即 t ? t ? 1 ? 0 ,而此方程无实数解,因此 t ? 1 .

(11 分)

此时 f ?t ? ? a ln t ,代入① 式得, ? t 2 ? (a ln t )(t 3 ? t 2 ) ? 0 即 令 h?x ? ? ?x ? 1?ln x( x ? 1) ,则 h ? x ? ? ln x ?
'

1 ? (t ? 1) ln t a



1 ? 1 ? 0 ,所以 h( x) 在 ?1,??? 上单调递增, x

因为 t ? 1 ,所以 h(t ) ? h(1) ? 0 ,当 t ? ?? 时, h(t ) ? ?? ,所以 h (t ) 的取值范围为

?0,??? 。所以对于 a ? 0 ,方程② 总有解,即方程① 总有解.

第 11 页 共 11 页


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