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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.2充分条件和必要条件 苏教版选修2-1


1.1.2

充分条件和必要条件

课时目标 1.结合实例,理解充分条件、必要条件、充要条件的意义 .2.会判断(证明) 某些命题的条件关系.

1.一般地,如果 p? q,那么称 p 是 q 的____________,同时 q 是 p 的______________. 2. 如果 p? q, 且 q? p, 就记作________. 这时 p 是 q 的______________条件, 简称________ 条件,实际上 p 与 q 互为 ________ 条件.如果 p ? q 且 q ? p ,则 p 是 q 的 ________________________条件.

一、填空题 1.用符号“? ”或“ ? ”填空. 2 2 (1)a>b________ac >bc ; (2)ab≠0________a≠0. 2.已知 a,b,c,d 为实数,且 c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的______________条件. 3.不等式(a+x)(1+x)<0 成立的一个充分而不必要条件是-2<x<-1,则 a 的取值范围 为________. 2 4.函数 y=ax +bx+c (a>0)在[1,+∞)上单调递增的充要条件是__________. 5.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必 要条件,则丙是甲的____________条件. 2 2 ?a+b?2≤a +b , 6. 设 a, b∈R, 已知命题 p: a=b; 命题 q: 则 p 是 q 成立的________________ ? 2 ? 2 ? ? 条件. 2 7. “b =ac”是“a,b,c 成等比数列”的________________条件. 2 2 8. “k=1”是“直线 x-y+k=0 与圆 x +y =1 相交”的________________条件. 二、解答题 2 9.设 α 、β 是方程 x -ax+b=0 的两个实根,试分析“a>2 且 b>1”是“两根都大于 1” 的什么条件?

10.设 x,y∈R,求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是 xy≥0.

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能力提升 11. 记实数 x1, x2, ?, xn 中的最大数为 max{x1, x2, ?, xn}, 最小数为 min{x1,x2,?,xn}. 已知△ABC 的三边边长为 a,b,c(a≤b≤c),定义它的倾斜度为
?a b c? ?a b c? l=max? , , ? ? min? , , ?, b c a ? ? ?b c a? 则“l=1”是“△ABC 为等边三角形”的____________条件. 2 12.已知 P={x|a-4<x<a+4},Q={x|x -4x+3<0},若 x∈P 是 x∈Q 的必要条件,求 实数 a 的取值范围.

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1.充分条件和必要条件是数学中的重要概念,主要用来区分命题中的条件 p 和结论 q 之 间的关系,主要以其他知识为载体对条件 p 是结论 q 的什么条件进行判断. 2. 证明充要条件时, 既要证明充分性, 又要证明必要性, 即证明原命题和逆命题都成立. “A 是 B 的充要条件”的命题的证明:A? B 证明了充分性;B? A 证明了必要性. 1.1.2 充分条件和必要条件 知识梳理 1.充分条件 必要条件 2.p?q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要 作业设计 1.(1) ? (2)? 2.必要不充分 解析 ∵c>d,∴-c<-d,a>b, ∴a-c 与 b-d 的大小无法比较; 当 a-c>b-d 成立时,假设 a≤b,又-c<-d, ∴a-c<b-d,与题设矛盾,∴a>b. 综上可知,“a>b”是“a-c>b-d”的必要不充分条件. 3.(2,+∞) 解析 不等式变形为(x+1)(x+a)<0,因当-2<x<-1 时不等式成立,所以不等式的解为 -a<x<-1.由题意有(-2,-1) 4.b≥-2a (-a,-1),∴-2>-a,即 a>2.

解析 由二次函数的图象可知当- ≤1,即 b≥-2a 时,函数 y=ax +bx+c 在[1,+ 2a ∞)上单调递增. 5.充分不必要 解析

b

2

∵甲是乙的必要条件, ∴乙? 甲. 又∵丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件, ∴丙? 乙,但乙 ? 丙.如图所示. 综上有丙? 乙? 甲,但乙 ? 丙, 故有丙? 甲,但甲 D? /丙, 即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件. 6.充分不必要 2 2 ?a+b?2=a2,a +b =a2, 解析 由 a=b 知,? ? 2 ? 2 ? ∴p? q; 反之,若 q 成立,则 p 不一定成立, 例如取 a=-1,b=1, a+b?2 a2+b2 ? 则? ? =0≤1= 2 ,但 a≠b. ? 2 ?
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7.必要不充分 2 解析 由 b =ac ? a,b,c 成等比数列, 例如,a=0,b=0,c=5. 2 若 a,b,c 成等比数列,由等比数列的定义知 b =ac. 8.充分不必要 2 2 解析 把 k=1 代入 x-y+k=0,推得“直线 x-y+1=0 与圆 x +y =1 相交” ;但“直 2 2 线 x-y+k=0 与圆 x +y =1 相交”不一定推得“k=1” .故“k=1”是“直线 x-y+k 2 2 =0 与圆 x +y =1 相交”的充分不必要条件.
? ?α +β =a 9.解 由根与系数的关系得? ?α β =b ?



?α >1 ? ,结论是 q:? (Δ ≥0). ? ? ?b>1 ?β >1 ①由 α >1 且 β >1? a=α +β >2,b=α β >1? a>2 且 b>1,故 q? p. 1 1 1 ②取 α =4,β = ,则满足 a=α +β =4+ >2,b=α β =4× =2>1,但 p ? q. 2 2 2 综上所述, “a>2 且 b>1”是“两根都大于 1”的必要不充分条件. 10.证明 ①充分性:如果 xy≥0,则有 xy=0 和 xy>0 两种情况,当 xy=0 时,不妨设 x=0, 则|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|,∴等式成立. 当 xy>0 时,即 x>0,y>0,或 x<0,y<0, 又当 x>0,y>0 时,|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y, ∴等式成立. 当 x<0,y<0 时,|x+y|=-(x+y),|x|+|y|=-x-y,∴等式成立. 总之,当 xy≥0 时,|x+y|=|x|+|y|成立. ②必要性:若|x+y|=|x|+|y|且 x,y∈R, 2 2 则|x+y| =(|x|+|y|) , 2 2 2 2 即 x +2xy+y =x +y +2|x||y|, ∴|xy|=xy,∴xy≥0. 综上可知,|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是 xy≥0. 11.必要而不充分 解析 当△ABC 是等边三角形时,a=b=c,

判定的条件是 p:?

?a>2 ?

∴l=max? , , ?·min? , , ? =1×1=1. ∴“l=1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件.

?a

b c? ?b c a?

?a

b c? ?b c a?

b c? c ?b c a? a ?a b c? a 又∵l=1,∴min? , , ?= , ?b c a? c a a b a 即 = 或 = , b c c c 得 b=c 或 b=a,可知△ABC 为等腰三角形,而不能推出△ABC 为等边三角形. ∴“l=1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件. 12.解 由题意知,Q={x|1<x<3},Q? P, ? ?a-4≤1 ∴? ,解得-1≤a≤5. ?a+4≥3 ? ∴实数 a 的取值范围是[-1,5].
∵a≤b≤c,∴max? , , ?= .

?a

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