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春八年级数学下册 17.2 勾股定理的逆定理课件 (新版)新人教版_图文

古埃及人曾用下面的方法得到直角

?古埃及人曾用下面的方法得到直角:

用13个等距的结,把一根绳子 分成等长的12段,然后以3个结, 4个结,5个结的长度为边长, 用木桩钉成一个三角形,其中 一个角便是直角。

按照这种做法真能得到一个 直角三角形吗?

动手画一画
下面的三组数分别是一个三 角形的三边长a,b,c:

5,12,13;

7,24,25; 8,15,17。

2 2 2 a ? b ? c 吗? (1)这三组数都满足

(2)它们都是直角三角形吗?

勾股定理的逆命题
如果三角形的三边长a、b、c满足
2 a

+

2 b

=

2 c

那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理

互逆命题

如果直角三角形两直角边分别为a,b, 斜边为c,那么 a2 + b2 = c2

勾股定理的逆命题
已知:在△ABC中,AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2 求证:△ ABC是直角三角形 证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b
A

A'

c b

b

在△ ABC和△ A’B’C’中 BC=a=B’C’ CA=b=C’A’

B

a

C

B'

a

C'

∵∠ ∴ A’B’2= a2+b2 ∵ a2+b2=c2 ∴ A’B’ 2=c2 ∵ 边长取正值 ∴ A’B’ =c

C’=900

AB=c=A’B’ ∴ △ ABC ≌△ A’B’C’(SSS) ∴ ∠ C= ∠ C’(全等 三角形对应角相等) ∴ ∠C= 900 ∴ △ ABC是直角三角形 (直角三角形的定义)

勾股定理的逆命题 逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足

a2 + b 2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。且边C年 所对的角为直角.
勾股定理

互逆命题 定理

如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边 为c,那么 a2 + b2 = c2

定理与逆定理
开启 智慧
?如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个
定理称另一个定理的逆定理. 我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.

?想一想:

?互逆命题与互逆定理有何关系?

驶向胜利 的彼岸

试一试

说出下列命题的逆命题.这些命题的逆命题成立吗?

(1)两条直线平行,内错角相等.
逆命题: 内错角相等,两条直线平行. 成立

(2)如果两个实数相等,那么它们的平方相等.
逆命题:如果两个实数的平方相等,那么这两个实数相等.

(3)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等. (4)全等三角形的对应角相等.
逆命题:如果两个实数的绝对值相等,那么这两个实数相等. 不成立 逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立

不成立

一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.

感悟: 原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成立

例题解析

例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形: (1) a=15 , b =8 , c=17 (2) a=13 , b =15 , c=14

分析:由勾股定理的逆定理,判断三角形是不是直角三角形, 只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。 解:∵152+82=225+64=289 172=289 ∴ 152+82=172 ∴这个三角形是直角三角形

是 ∠_____ A=90; (1) a=25 b=20 c=15 ____ 不是 (2) a=13 b=14 c=15 ____ _____ ; 是 ∠ _____ (3) a=1 b=2 c= 3 ____ B=900; 0 ∠ C=90; 是 (4) a:b: c=3:4:5 _____ _____
像25,20,15,能够成为直角三角形
三条边长的三个正整数,称为勾股数.

下面以a,b,c为边长的三角形是不是直 角三角形?如果是那么哪一个角是直角? 0

例题解析

例2 一个零件的形状如左图所示,按规定这个零 件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这 个零件各边尺寸如右图所示,这个 零件符合要求 吗? C
C D A B 13 D 4 5 12

A 3 B

1. 三角形三边长a、b、c满足条件 2 2 (a ? b) ? c ? 2ab, 则此三角形是(

练一练

B

)

A、锐角三角形
C、钝角三角形

B、直角三角形
D、等边三角形

中考链接

2.已知:如图,四边形ABCD 中,∠B=900,AB=3,BC=4, CD=12,AD=13,求四边形 ABCD的面积? C S =36
四边形ABCD

准备好了吗? B A

D

练一练

3、已知 △ABC三角形的三边 分别为 a,b,c 且a = m 2 - n 2 ,b = 2mn, c = m 2 ? n2 (m > n,m,n是正整数), △ABC是直角三角形 吗?说明理由

解: ? a ? b ? (m ? n ) ? (2mn) ? (m ? n ) ? c
2 2 2 2 2 2 2 2 2

分析:先来判断a,b,c三边哪条最长, 可以代m,n为满足条件的特殊值来试, m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。
∴△ABC是直角三角形

2

挑战自我

1、请你写出三组勾股数;

2、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗? 为什么?

思维训练

4、 已知a,b,c为△ABC的三边,且 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状.

思维训练

5、△ABC三边a,b,c为边向外作 正方形,正三角形,以三边为 直径作半圆,若S1+S2=S3成立, 是直角三角形吗? 则
C S2 b a c A

S1
B

S2 b
A

C
c a

S1
B

S3

S3

自主评价:
1、勾股定理的逆定理 2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题 3、什么称为互为逆定理。

勾股定理的逆命题
如果三角形的较长边的平方等于其它两条较短边 的平方和,那么这个三角形是直角三角形。 已知:在△ABC中,AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2 求证: △ ABC是直角三角形

证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a,
A

C’A’=b
A’

c b

b
B’

B

a

C

a

C’

……


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