tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关文章
当前位置:首页 >> 高二数学 >>

2.4.2抛物线的简单几何性质


2.4.2 抛物线的简单 几何性质
2008-10-23

上节课,我们认识了抛物线的标准方程 物线的标准方程, 上节课 ,我们认识了抛物线的标准方程,得到 的表. 课本第 66 页的表.

抛物线的标准方程的不同形式与图形、焦点坐标、 抛物线的标准方程的不同形式与图形、焦点坐标、 准线方程的对应关系是有规律的,这个规律是什么? 准线方程的对应关系是有规律的,这个规律是什么?

观察课本第 66 页的表 抛物线的标准方程 四种不同形式与 标准方程的 不同形式与图 抛物线的 标准方程 的 四种 不同形式与 图 焦点坐标 准线方程的对应关系是有规律 坐标、 方程的对应关系 形、焦点坐标、准线方程的对应关系是有规律 这个规律是什么? 的,这个规律是什么? 第一:一次项的变量如为x( ), ),则 轴 第一:一次项的变量如为 (或y),则x轴(或y 为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴上. 轴)为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴上. 第二:一次项的系数的正负决定了开口方向. 第二:一次项的系数的正负决定了开口方向.

求过点A(的抛物线的标准方程. 例1.求过点 -3,2)的抛物线的标准方程 求过点 的抛物线的标准方程

解:(1)当抛物线的焦点在 y 轴 当抛物线的焦点在 的正半轴上时, 的正半轴上时,把A(-3,2) 代入x 代入 2 =2py,得p= ,


A

y

(2)当焦点在 x 轴的负半轴上时, 当焦点在 轴的负半轴上时, 代入y 把A(-3,2)代入 2 = -2px, 代入 , 得p=

9 4

O

x

2 9 ∴抛物线的标准方程为x2 = y 或y2 3 2

=

4 ? x 3

思考( 思考(课本第 69 页例 4) 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点 F 两点, 的长. 且与抛物线相交于 A 、B 两点,求线段 AB 的长.

解这题,你有什么方法呢? 解这题,你有什么方法呢?

法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般); 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理, 法三 :设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长. 算弦长. 计算, 思维. 法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.
一般地, 题目改为: 一般地, 题目改为: 倾斜角为 α 的直线经过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的 焦点, 的长. 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长.

还有没有其他方法? 其他方法? 方法

2p AB = 2 sin α

y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点 的 的焦点F的 例2、已知过抛物线 、 直线交抛物线于 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 。 两点。 两点
是否为定值? (1)x1 ? x2 是否为定值?y1 ? y2 呢? ) 1 1 + 是否为定值? (2) ) 是否为定值? | FA | | FB |
y

A ( x1 , y1 )
F

这一结论非常奇妙, 变中有不变,动中有不动.
O

x

B ( x2 , y2 )

变式题( 年高考题) 变式题(2001年高考题) 年高考题 的焦点为F,经过点F的 设抛物线 y = 2px( p > 0) 的焦点为 ,经过点 的 直线交抛物线于A, 两点 两点, 在抛物线的准线上, 直线交抛物线于 ,B两点,点C在抛物线的准线上, 在抛物线的准线上 证明:直线AC经过原点 经过原点O。 且BC||x 轴,证明:直线 经过原点 。
2

l

y

A O D B
F
x

问题( 思考) 问题(接上一节的思考): 倾斜角为 α 的直线经过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的 的长. 焦点, 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长.

解本题,可尝试用的方法有: 解本题,可尝试用的方法有: 法一:设而不求,运用韦达定理 韦达定理, 法一:设而不求,运用韦达定理, 计算弦长; 计算弦长; 法二: 数形结合, 法二:设而不求,数形结合,运用 定义转化 计算弦长. 转化, 定义转化,计算弦长.

法三: 纯几何计算, 法三: 纯几何计算,这也是一种 较好的思维. 较好的思维.

继续

问题: 问题: 倾斜角为 α 的直线经过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的 焦点, 的长. 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长. 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
p ∵焦点 F ( , 0) ,直线 AB 的倾斜角为 α 2

( x1 , y1 )

p ∴直线 AB 的方程为 x = y cot α + 2 p ? ( x 2 , y2 ) ? x = y cot α + 由? 2 消去 x 并整理得 y 2 ? 2 py cot α ? p 2 = 0 与直线 ? y 2 = 2 px ? 的倾斜角 ∴ y1 + y2 = 2 p cot α , y1 ? y2 = ? p 2 无关! 无关 2 2 2 AB = ( x1 ? x2 ) + ( y1 ? y2 ) = (1 + cot α )( y1 ? y2 )2 很奇怪! 很奇怪 2p 2 2 = (1 + cot α ) ? ( y1 + y2 ) ? 4 y1 y2 = 2 sin α
解完后回味一下,这是一个很好的解题习惯,利于提高! 解完后回味一下,这是一个很好的解题习惯,利于提高!

发现一 结论: 发现一个结论: 2 过抛物线 y = 2 px( p > 0) 的焦点的一条直 线和抛物线相交, 线和抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 , 则 y1 ? y2 = ? p .
2

M

这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.

几何解释,就是 几何解

K?
N

MK ? NK = KF

2
2

思考: 一条直线和 思考: “一条直线和抛物线 y = 2 px( p > 0) 相交 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 ? y2 = ? p 2 . 则 焦点. 成立吗 这条直线过焦点.”成立吗?

课外思考题: 课外思考题: 1.AB 是抛物线 x=y2 的一条焦点弦, |AB|=4, 的一条焦点弦, 且 | , 的距离为( 则 AB 的中点到直线 x+1=0 的距离为 D ) 5 11 (A) (B)2 (C)3 (D) 2 4 2 2.点 A 的坐标为 ,1),若 P 是抛物线 y = 4 x 上 点 的坐标为(3, , 的一动点, 是抛物线的焦点, 的一动点,F 是抛物线的焦点,则|PA|+|PF|的最小 的最小 值为( ) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 值为

的距离. 选 B 如右图 准线为 l, | PF |= P 到 l 的距离 , ∴ (| PA | + | PF |)min = A 到 l 的距离=4.

刚才发现的结论的逆命题是否成立? 刚才发现的结论的逆命题是否成立? 发现 已知直线 相交, 已知直线 l 和抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 相交,两个交点的纵坐 p 2 求证: 标为 y1 、y2 ,且 y1 ? y2 = ? p ,求证:直线 l 过焦点 F ( , 0) . 2

太漂亮了! 太漂亮了! 大胆猜想: 大胆猜想: 继续大胆猜想 过 定点 P (a , 0) (a>0) 的一条直 线和抛物 线 0
y = 2 px ( p > 0) 相 交 , 两 个 交 点 的 纵 坐 标 为 y1 、y2 ,求证: y1 ? y2 是定值. 求证: 是定值. 关于过焦点弦还有一条性质,请大家思考: 关于过焦点弦还有一条性质,请大家思考: 思考:( :(课本第 思考:(课本第 70 页例 5) 两点, 过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点, 通过点 A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 求证: 平行于抛物线的对称轴. D, 求证:直线 DB 平行于抛物线的对称轴.
2

1:(课本第 思考 1:(课本第 71 页例 6) 已知抛物线的方程为 y 2 = 4 x , 直线 l 过定 点 P ( ?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时, 直线 l 与抛物 为何值时 , 只有一个公共点; 有两个公共点; 线 y 2 = 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; 没有公共点? ⑶没有公共点? 分析: 用坐标法解决这个问题 解决这个问题, 分析 : 用坐标法 解决这个问题 , 只要讨论直线 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况, 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况, 由方程组的解的个数判断直线与抛物线的公共点 解的个数判断直线与抛物线的 由方程组的 解的个数 判断直线与抛物线的 公共点 个数. 个数.

尝试解答

作图直觉

1:(课本第 思考 1:(课本第 70 页例 6) 2 已知抛物线的方程为 y = 4 x , 直线 l 过定 为何值时, 点 P ( ?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 , 直线 l 与抛物 只有一个公共点; 有两个公共点; 线 y 2 = 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; 没有公共点? ⑶没有公共点?

?y?1= k(x+2) 2 联立 ? 2 (*) 消去 x可得 ky ?4y +4(2k +1) = 0(Ⅰ) ?y = 4x 方程( x 呢,还是消 y 呢? 当 k=你认为是消只有一解,∴直线与抛物线只有一个公共点 =0时,方程(Ⅰ)只有一解,
1 ①当△=0 时,即 k = 0 或 ? 2

解:依题意直线 l 的方程为 y ? 1 = k( x + 2)

方程( 的根的判别式△ 当 k≠0时,方程(Ⅰ)的根的判别式△= ?16(2k +k?1) ≠
2

……

……

……

作图直觉

1:(课本第 思考 1:(课本第 70 页例 6) 2 已知抛物线的方程为 y = 4 x , 直线 l 过定 为何值时, 点 P ( ?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 , 直线 l 与抛物 只有一个公共点; 有两个公共点; 线 y 2 = 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; 没有公共点? ⑶没有公共点?

?

练习巩固

几何画板演示

课堂练习: 课堂练习: 1.过 1.过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 = 4 x 仅有一个公共点的 直线的方程是 y = 1 或 x = 0 或 y = 直线的方程是__________________________. x + 1

? y = k x +1 联立 ? 2 ? y = 4x

k

消去 x 得 ky 2 ? 4 y + 4 = 0

课堂练习: 课堂练习: 2. 已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y = x + 4 上 , 顶 求正方形的边长. B 点 A 、 在抛物线 y 2 = x 上,求正方形的边长.
2答案 答案

课堂练习: 课堂练习: 2. 已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y = x + 4 上 , 顶 求正方形的边长. B 点 A 、 在抛物线 y 2 = x 上,求正方形的边长.

设 A(x1,y1) , B(x2,y2), 则 y1+y2=1 , y1y2=b,
1 ∴ AB = 1 + 2 k
又 AB 与 CD 的距离 d=

解:设 AB 的方程为 y=x+b, ?y = x+b 由? 2 消去 x 得 y2-y+b=0, , ?y = x

( y1 + y1 )2 ? 4 y1 y2 = 2 ? 8b ,
,由 ABCD 为正方形有 2 ? 8b = 由

4? b 2

4? b 2

,

解得 b= -2 或 b=-6.∴正方形的边长为 3 2 或 5 2 . - ∴

思考 2: 若抛物线 y 2 = x 存在关于直线 l : y ? 1 = k ( x ? 1) 对称的两点, 的取值范围. 答案: 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案 ?2 < k < 0

分 析 : 假设 存 在 关于 直 线 l : y ? 1 = k ( x ? 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 不合题意, 显然 k = 0 不合题意,∴ k ≠ 0 1 的方程为 ∴直线 AB 的方程为 y = ? x + b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件. 估计主要也是设而不求 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
运用: 中点条件 条件, 判别式 这里有两个东西可以运用:一是中点条件,二是根的判别式.

试试看! 试试看!

学习小结: 学习小结: 无论是 问题, 问题, 无论是弦长问题,还是中点问题,以及对 问题, 方法的核心都 称问题,其方法的核心都是设而不求,联立方 分析的 程组,韦达定理,大胆计算分析的实践.
课外思考: 课外思考: 1.求抛物线 1.求抛物线 y = 2 x 2 的一组斜率为 2 的平行弦的中点 (即在抛物线的内部 (即在抛物线的内部) 的轨迹方程. 的轨迹方程. x = 2 ( y ≥ 2 2 ) 即在抛物线的内部) 2.若抛物线 2.若抛物线 y = 2 x 2 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 关于直 3 1 对称, 线 y = x + m 对称,且 x1 x2 = ? ,则 m = _____ . 2 2

直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离. ⑴直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离. 相交: 直线与抛物线交于两个不同点, 相交 : 直线与抛物线交于两个不同点 , 或直线与抛物线 的对称轴平行; 的对称轴平行; 相切: 直线与抛物线有且只有一个公共点, 相切 : 直线与抛物线有且只有一个公共点,且 直线不平 行于抛物线的对称轴; 行于抛物线的对称轴; 相离:直线与抛物线无公共点. 相离:直线与抛物线无公共点. 直线与抛物线的位置关系的判断 位置关系的判断. ⑵直线与抛物线的位置关系的判断. 直线的方程和抛物线的方程联立得一方程组 于是: 得一方程组, 把直线的方程和抛物线的方程联立得一方程组,于是: ①方程组有一组解 ? 直线与抛物线相交或相切(1 个公 直线与抛物线相交或相切(1 共点; 共点; 直线与抛物线相交(2 个公共点); ②方程组有两组解 ? 直线与抛物线相交(2 个公共点); 方程组无解 ③ 方程组无解 ? 直线与抛物线相离


推荐相关:

2.4.2抛物线的简单几何性质(综合)_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质(综合) - 一、温故知新 (一) 圆锥曲线的统一

2.4.2抛物线的简单几何性质.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质 - 第二章 圆锥曲线与方程 第二章 2.4 抛物

2.4.2抛物线的简单几何性质 (2)_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质 (2) - X §2.4.2 抛物线的 简单几何性质(2) 直线与抛物线的位置关系 复习回顾: 直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系 直线与圆、...

2.4.2抛物线的简单几何性质课件_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质课件 - 2.4.2 抛物线的简单几何性质 学习目

2.4.2抛物线的简单几何性质(第1课时)_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质(第1课时) - 抛物线的几何性质 (1) 一.抛

2.4.2抛物线的简单几何性质(二)_图文.doc

2.4.2抛物线的简单几何性质(二)_职高对口_职业教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 | 举报文档 2.4.2抛物线的简单几何性质(二)_职高对口_职业教育_教育...

2.4.2抛物线的简单几何性质.doc

2.4.2抛物线的简单几何性质 - 2.4.2 抛物线的简单几何性质 1. 过抛

2.4.2抛物线的简单几何性质_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质 - 抛物线的开口方向 与标准方程 y y 2 2

2.4.2 《抛物线的简单几何性质》_图文.ppt

2.4.2 《抛物线的简单几何性质》_数学_自然科学_专业资料。本专题栏目开关 2.4.2 抛物线的简单几何性质 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何 ...

2.4.2抛物线的简单几何性质_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质 - 一、温故知新 (一) 圆锥曲线的统一定义 平

2.4.2抛物线的简单几何性质_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质 - 2.4.2抛物线的简单几 何性质(1) 一、

2.4.2抛物线的简单几何性质.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质2.4.2抛物线的简单几何性质隐藏>> 2.4.2 抛物线的简单 几何性质 2008-10-23 上节课,我们认识了抛物线的标准方程 物线的标准方程, 上...

2.4.2 抛物线的简单几何性质_图文.ppt

2.4.2 抛物线的简单几何性质 - 边城高级中学 张秀洲 1、掌握抛物线的性质

2.4.2.抛物线的简单几何性质(2)_图文.ppt

2.4.2.抛物线的简单几何性质(2) - 2.4.2抛物线的简单 几何性质(2

2.4.2抛物线的简单几何性质(2)_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质(2) - X §2.4.2 抛物线的简单几何性质(2) 一、直线与抛物线位置关系种类 1、相离;2、相切;3、相交(一个交点, 两个交点) y ...

2.4.2抛物线的简单几何性质教案.doc

2.4.2抛物线的简单几何性质教案 - 课题:抛物线的简单几何性质 教学目的:

2.4.2抛物线的简单几何性质2_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质2 - 2.4.2 抛物线的简单几何性质(2) 例

2.4.2(1)抛物线的简单几何性质_图文.ppt

2.4.2(1)抛物线的简单几何性质 - 超级好的资料,保证是精品文档... 2.4.2(1)抛物线的简单几何性质_教学案例/设计_教学研究_教育专区。超级好的资料,保证是精品文...

2.4.2抛物线的简单几何性质2_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质2 - 2.4.2 抛物线的简单几何性质2 思考

2.4.2抛物线的简单几何性质(1).doc

2.4.2抛物线的简单几何性质(1) - 课题§ 2.4.2 抛物线的简单几何性质(1) ※ 学习探究 一、 1、抛物线定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com