第二章 § 2.1 2．1.1 数 数 数列 列 列(一) 自主学习 知识梳理 1．数列的概念 按照一定 ________ 排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 ________． 2．数列的一般形式 数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，…，an，…，简记为________，其中______称为 数列{an}的第 1 项(或称为______)，a2 称为第 2 项，…，________称为第 n 项． 3．数列的分类 (1)根据数列的项数可以将数列分为两类： 有穷数列：项数________的数列； 无穷数列：项数________的数列． (2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类： 递增数列：从第 2 项起，每一项都________它的前一项的数列； 递减数列：从第 2 项起，每一项都________它的前一项的数列； 常数列：各项________的数列； 摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 4．数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个公式叫做 这个数列的通项公式． 5．数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前 n 项)及相邻两项间的关系可用一个公式来表示，那么这 个公式叫做数列的递推公式． 自主探究 1．数列 1,2,3,4，…的一个通项公式是________． 1 1 1 2．数列 1， ， ， ，…的一个通项公式是______________． 2 3 4 3．数列 2,4,6,8，…的一个通项公式是____________． 4．数列 1,3,5,7，…的一个通项公式是____________． 5．数列 1,4,9,16，…的一个通项公式是____________． 6．数列 1,2,4,8，…的一个通项公式是____________． 7．数列－1,1，－1,1，…的一个通项公式是____________． 8．数列 1，－2,3，－4，…的一个通项公式是____________． 9．数列 9,99,999,9 999，…的一个通项公式是____________． 10．数列 0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的一个通项公式是____________． 对点讲练 知识点一 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 例 1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； 1 1 5 13 29 61 (3) ， ，－ ， ，－ ， ，…； 2 4 8 16 32 64 3 7 9 (4) ，1， ， ，…； 2 10 17 (5)0,1,0,1，…. 总结 解决本类问题的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，要善于 利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决． 变式训练 1 写出下面数列的一个通项公式． 1 1 1 1 (1)2 ，4 ，6 ，8 ，…； 2 4 8 16 (2)10,11,10,11,10,11，…； 8 15 24 (3)－1， ，－ ， ，…. 5 7 9 知识点二 根据递推公式写出数列的前几项 例2 a ＝1， ? ? 1 设数列{an}满足? 1 * ?an＝1＋an－1?n>1，n∈N ?. ? 写出这个数列的前 5 项． 总结 由递推公式可以确定数列，它也是给出数列的一种常用方法． 变式训练 2 在数列{an}中，已知 a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，写出此数列 的前 6 项． 知识点三 例3 数列通项公式的应用 ?9n2－9n＋2? ?； 2 ? 9n －1 ? 已知数列? (1)求这个数列的第 10 项； 98 (2) 是不是该数列中的项，为什么？ 101 (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内； 1 2? (4)在区间? ?3，3?内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由． 总结 判断某数是否为数列中的项， 只需将它代入通项公式中求 n 的值， 若存在正整数 n，则说明该数是数列的项，否则就不是该数列中的项． ?－1?n?n＋1? 变式训练 3 已知数列{an}的通项公式 an＝ . ?2n－1??2n＋1? 2 (1)写出它的第 10 项；(2)判断 是不是该数列中的项． 33 1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质： (1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复． (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关． 2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π 的不同近似值，依据精确的程度 可形成一个数列 3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式． 3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－ 1,1，－1,1，…的通项公式可写成 an＝(－1)n，也可以写成 an＝(－1)n＋2，还可以写成 an＝ ? ?－1 ?n＝2k－1?， ? 其中 k∈N*. ?1 ?n＝2k?， ? 课时作业 一、选择题 1．设数列 2， 5，2 2， 11，…，则 2 5是这个数列的( ) A．第 6 项 B．第 7 项 C．第 8 项 D．第 9 项 2．数列 1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) n ? n － 1 ? A．an＝n2－n＋1 B．an＝ 2 n?n＋1? C．an＝ D．an＝n2＋1 2 3．已知数列{an}中，an＝2n＋1，那么 a2n 为( ) A．2n＋1 B．4n－1 C．4n＋1 D．4n 4．若数列的前 4 项为 1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( 1 － A．an＝ [1＋(－1)n 1] 2 ) 1 B．an＝ [1－c