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平面上两点间的距离公式及中点坐标公式课件

平面上两点间距离公式 及中点坐标公式

教学目标:
1、理解平面上两点间距离公式的推导 2、掌握平面上两点间的距离公式并会应用 它解决相关的问题 3、掌握线段的中点坐标公式,并会灵活运 用

重点难点:
重点:平面上两点间的距离公式和中点坐标 公式的应用 难点:两个公式的灵活应用

教学过程
一、平面上两点间的距离公式
设平面上任意两点P ( 1 x1 , y1 )、P 2 ( x2 , y2 ), ???? ? 有P 1P 2 ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ),则 ???? ? 2 2 P P (y2 ? y1 ) 1P 2 ? 1P 2 ? (x2 ? x1 ) ?

已知两点

P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )

y 如果 x1 ? x2 , y1 ? y2,过P 分别向 轴、 轴作 , P 1 2 垂线交于点 Q,则点 Q 的坐标为 ( x2 , y1 ) .
y2 x1

x

y

P2 ( x2 , y2 )

P1 ( x1, y1 ) y1 Q( x2 , y1 )

o

x2

x

因为

PQ ? x2 ? x1 , PQ ? y2 ? y1 1 2

y2
所以,在

y

P2 ( x2 , y2 )

Rt ?PP 1 2Q 中,
2 2

x1

P ? PQ ? P2Q 1P 2 1

2

P1 ( x1, y1 ) y1 Q(x2 , y2 )
(

o

x2

x

? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

?

)

如果 (

x1 ? x2 , 那么 PP 1 2 ? y2 ? y1
) 式也成立

y


如果 y1

? ?

y2
y1

P2 ( x2 , y2 )

? y2 , 那么 PP 1 2
) 式仍成立.

? x2 ? x1

o

(

P1 ( x1 , y1 )

x

由此,我们得到平面上两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 间的 距离公式

P ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) 1P 2 ?
2

2

想一想

x1与x2或y1与y2能否互换位置?

x1与y1或x2与y2能否互换位置?

练习1:求两点距离
1.已知平面内A、B两点坐标,求这两点间的距离:

(1) A(-1,3),
(2) A(-1,3),

B(2,3)
B(-1,-7)

3 10 5

(3) A(-1,3),

B(2,-1)

二、中点坐标公式
已知线段P 1P 2两个端点的坐标P 1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ), 线段P 1P 2的中点为P ( x, y)

??? ? P 1 P ? ( x ? x1 , y ? y1 ) ???? PP2 ? ( x2 ? x, y2 ? y )

P( x, y)
P 1 ( x1 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

??? ? ???? P 1P ? PP 2

? x ? x1 ? x2 ? x ? ? y ? y1 ? y2 ? y

中点坐标公式

x1 ? x2 ? x? ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? 2 ?

练习2:求A,B两点的中点坐标 (1) A(-1,3), (2) A(-1,3), B(2,3) B(-1,-7)
1 ( ,3) 2

(-1 ,) -2

例题讲解 例1
(1) 求 A(?1,3), B(2,5) 两点间的距离;

13

(2)已知 A(0,10), B(a, ?5)两点间的距离是17,求实数 的值.

a

a ? ?8

总结:利用距离公式

例2:已知三角形的顶点分别为A(2, 6), B(?4,3), C (0,0), 求? ABC 三条边的长
解: 根据两点间距离公式,可 得?ABC三条边的长分别为 AB ? (-4-2) ? (3-6) =3 5 BC ? (0 ? 4) 2 ? (0 ? 3) 2 ? 5 AC ? (0 ? 2) ? (0 ? 6) ? 2 10
2 2 2 2

例3:已知线段AB,它的中点坐标是(3,2),端 点A的坐标是(,),求另一个端点 1 -4 B的坐标
解: 设端点B的坐标为(x, y ) 根据中点坐标公式,有 1+x 3= 2 解得 ?4 ? y , 2? 2 x?5 y ?8

所以,端点B的坐标为(5,8)

例4:已知三角形的三个顶点分别为A(1,2), B(-3,4),C(2,6),如图,求?ABC中BC边上 的中线AD的长
解:设BC边上的中点D的坐标为(x, y) 根据中点坐标公式得 x? ?3 ? 2 1 ?? 2 2 y? 4?6 ?5 2

1 故D点的坐标为( ? , 5),所以 2 1 3 2 2 AD ? (? ? 1) ? (5 ? 2) ? 5 2 2
即BC边上的中线AD的长为 3 5 2

课堂小结
1:平面上任意两点P ( 1 x1 , y1 )、P 2 ( x2 , y2 ) : 之间的距离 PP (y2 ? y1 ) 1 2 ? (x2 ? x1 ) ?
2 2

2:线段P 1P 2两个端点的坐标P 1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ), 线段P 1P 2的中点为P ( x, y)
中点坐标公式 x1 ? x2 ? x ? ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? 2 ?

课堂练习
课本72页74页练习

课后作业
课本74页习题A组第1,2,3,4题


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