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2019年黑龙江省双鸭山市第一中学高三第四次模拟考试数学(理)试题及答案

高考数学精品复习资料

2019.5

双鸭山市第一中学高三第四次模拟考试(理科数学)

第I卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

目要求的.

? ? 1.设集合 M ? x ? R | x2 ? x ? 6 ? 0 , N ? ?x ? R || x ?1|? 2?. 则 M ? N = (



A.(-3,-2]

B.[-2,-1)

C.[-1,2) D.[2,3)

2.设 i 是虚数单位,复数 1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 为 2?i





A. 2

B. ? 2

C. ? 1

D. 1

2

2

3.直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“△OAB 的面积为 1 ”的( ) 2

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

4.已知 tan(? ? ?) ? ?2 ,则

1

?

cos 2? ? cos2 ?





A.-3

B. 2 5

C.3

D. ? 5

2

5.如右图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有(



A.11 种

B. 12 种

C.20 种

D. 21 种

6.在等差数列{an}中, a2 ? 1 , a4 ? 5 则{an}的前 5 项和 S5 = (



7.

A.7

B.15

C.20

D.25

?x ? y ? 2

7.已知 O 是坐标原点,点

A(-1,1),

若点

M(x,y)为平面区域

? ?

x

?

1

上的一个动点,则 OA ·OM

? ?

y

?

2

的取值范围是 (



A.[0,1]

B. [0,2] C.[-1,0]

D.[-1,2]

理科数学试卷 第 1 页(共 5 页)

8.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为(



A.2 B.1

C. 1 D. ?1 2

9.变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1),

(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5)

变量 U 与 V 相对应的一组数据为(10,5),

(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),

r1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数, r2

表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数,则(



A. r2 ? r1 ? 0

B. r2 ? 0 ? r1

C. 0 ? r2 ? r1

r ? r D.

2

1 [:]

10.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a,b,c .

若 sin B ? 2sin C, a2 ? b2 ? 3 bc ,则角 A 等于 2

A. ? 6

B. ? 3

C. 2? 3

D. 5? 6

11. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),

则该几何体的表面积为(单位:m2)

A.(11 ? 4 2)?

B.(12 ? 4 2)?

C.(13 ? 4 2)?

D.(14 ? 4 2)?

12.已知双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?

0, b

?

0)

的右焦点为 F (2, 0) ,设

A,B

为双曲线上关于原点对称

的两点, AF 的中点为 M ,BF 的中点为 N ,若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上,直线 AB

的斜率为 3 7 ,则双曲线的离心率为 7

A. 4

B. 2

C. 5

D. 3

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
13.已知向量 a =( 3 ,1),b =(0,-1),c =(k, 3 ).若 a ? 2b 与 c 共线,则 k=______________.

14.设集合

P={x|

x
?0

(3t 2

? 10t

?

6)dt

?

0,

x

?

0

},则集合

P

的非空子集个数是

15.已知 Sn 为数列{an} 的前 n 项和,且满足 a1 ? 1 , anan?1 ? 3n???(n? N? ) ,则 S2014 ?



?1? x ?1, x ??0,2?

16.已知函数 f (x)

?

? ?1 ?? 2

f

(x ? 2), x ? (2,??),

若x ? 0,f (x) ? k ?1 恒成立,则 K 的取值范围 x

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤

17. (12 分)已知函数 f (x) ? sin x ? cos(x ? ? ) ? cos2 x ? 1 .

6

2

(I)求函数 f (x) 的单调递增区间和对称中心。

(II)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, ,若 f (A) ? 1 ,b ? c ? 3. 求 a 的最小值.
2

18.(本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 3 的菱形,
且∠BAD=120°,且 PA⊥平面 ABCD,PA=2 6,M,N 分 别为 PB,PD 的中点.
(1)证明:MN∥平面 ABCD; (2) 过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值.

19.(本小题满分 12 分) 双市一中从参加新生体验营知理识科竞数赛学的试同卷学中第,3选页取(共405名页同) 学,将 他 们 的 成 绩 ( 百 分 制 )
( 均 为 整 数 ) 分 成 6 组 后 , 得 到 部 分 频 率 分 布 直 方 图 ( 如 图 ), 观 察 图 形 中 的 信 息 , 回 答下列问题。 ( Ⅰ ) 求 分 数 在 [70, 80) 内 的 频 率 , 并 补 全 这 个 频 率 分 布 直 方 图 ; (Ⅱ)从频率分布直方图中,估计本次考试的平均分; (Ⅲ)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到的学生成绩在[40,70)记 0 分,在[70, 100]记 1 分,用 X 表示抽取结束后的总记分,求 X 的分布列和数学期望.
20.(本小题满分 12 分)
已知椭圆 x 2 ? y 2 ?(1 a ? b ? 0)的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 3x 的焦点 F 重合,且椭圆短轴的 a2 b2
两个端点与点 F 构成正三角形. (1)求椭圆的方程; (2)若过点(1,0)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 P,Q,试问在 x 轴上是否存在定点 E(m,0),使
P→E·Q→E恒为定值?若存在,求出 E 的坐标,并求出这个定值;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? a ln x ? x 2 ( a 为实常数) .
(1)当 a ? ?4时,求函数 f (x) 在?1,e? 上的最大值及相应的 x 值; (2)当 x ? ?1, e?时,讨论方程 f ?x? ? 0 根的个数.

(3)若 a ? 0 ,且对任意的 x1, x2 ??1,e? ,都有

f ?x1 ? ?

f ?x2 ?

?

1 x1

?

1 x2

,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲.
如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形, AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE.
(1)证明:∠D=∠E; (2)设 AD 不是圆 O 的直径,AD 的中点为 M, 且 MB=MC,证明:△ADE 为等边三角形.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程.

极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴。已知

曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin(? ? ? ) ,曲线 C2 的极坐标方程为 ? sin? ? a(a ? 0) ,射线 4

? ? ?,? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ,? ? ? ?? 与曲线 C1 分别交异于极点 O 的四点 A,B,C,D.

4

42

(1)若曲线 C1 关于曲线 C2 对称,求 a 的值,并把曲线 C1 和 C2 化成直角坐标方程;

(2)求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
已知函数 f (x) ? 2x ? a ? a .
? ? (I)若不等式 f (x) ? 6 的解集为 x ? 2 ? x ? 3 ,求实数 a 的值;
(II)在(I)的条件下,若存在实数 n 使 f (n) ? m ? f (?n) 成立,求实数 m 的取值范围.

理科数学试卷 第 5 页(共 5 页)

双鸭山市一中高三第四次模拟考试(理科数学答案)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A A D D D B C B C B A

二、填空题:

13. k=1; 14. 7 ; 15.2×31007﹣2 ;

16.

17. 【答案解析】(I) 单增区间为 ?? k? ? ? .k? ? ? ?? ?k ? Z ?

?3

6?

对称中心

????

k? 2

?

? 12

.1 4

??? , ?k
?

?

Z?

(II) 3 2

? (I) f (x) ? sin x ?
?

3 2

cos

x

?

1 2

sin

x

? ? ?

?

cos2

x

?

1 2

?

3 sin x cos x ? 1 cos2 x

2

2

?

1 2

? ? ?

3 2

sin

2x

?

1 2

cos 2x

? ? ?

?

1 4

?

1 2

sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

?

1 4

.

单增区间为 ?? k? ? ? .k? ? ? ?? ?k ? Z ?

?3

6?

对称中心

????

k? 2

?

? 12

.1 4

???? , ?k

?

Z ? ........................(6

分)

(II)由题意

f

( A)

?

1 2

sin

? ??

2

A

?

? 6

? ??

?

1 4

?

1 2

,化简得

sin(2A ? ? ) ? 1 . 62

? A ? ?0,? ?,?2A ? ? ? (? ,13? ) , ∴ 2A ? ? ? 5? , ∴ A ? ? .

6 66

66

3

在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos ? ? (b ? c)2 ? 3bc . 3

由b

?

c

?

3 ,知 bc

?

? ??

b

? 2

c

2
? ??

?

9 4

,即 a2

?

9 4

.

∴当 b ? c ? 3 时, a 取最小值 3 . ..........................(12 分)

2

2

18.【解析】(1)如图,连接 BD.∵M,N 分别为 PB,PD 的中点,∴在△PBD 中,MN∥BD. 又 MN?平面 ABCD,∴MN∥平面 ABCD.
(2)如图建系:A(0,0,0),P(0,0,2 6),M???- 23,32, 6???,N( 3,0, 6),C( 3,3,0).
设 Q(x,y,z),则 C=(x- 3,y-3,z), C=(- 3,-3,2 6).
∵C=λ C=(- 3λ ,-3λ ,2 6λ ),

∴Q( 3- 3λ ,3-3λ ,2 6λ ).
由 A⊥C? A·C=0,得λ =13.即:Q???2 3 3,2,2 3 6???.
对于平面 AMN:设其法向量为 n=(a,b,c).
∵A=???- 23,32, 6???,A=( 3,0, 6).

?? - 则? ?

23a+32b+

6c=0,

?? 3a+ 6c=0

?a=

3 9,

??? b=13,

??c=- 186.

z P
M A

∴n=??? 93,13,- 186???.

B

x

同理对于平面 QMN,得其法向量为 v=??? 33,1,5 6 6???.
记所求二面角 A-MN-Q 的平面角大小为θ ,则 cosθ =|nn|··v|v|= 3333.

∴所求二面角

A-MN-Q

的平面角的余弦值为

33 33 .

P(X ? 0) ? C224 ? 46 C620 295

解:(Ⅰ )设分数在 (70,80) 内的频率为 x ,根据频率分布直方图, 则有 (0.01? 0.015? 2 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? x ? 1 , 可得 x ? 0.3,所以频率分布直方图如图所示.

N
Q Dy
C

(Ⅱ )平均分: x ? 45? 0.1? 55? 0.15 ? 65? 0.15 ? 75? 0.3 ? 85? 0.25 ? 95? 0.05 ? 71
(Ⅲ )学生成绩在?40,70? 的有 0.4?60 ? 24 人,在?70,100?的有 0.6?60 ? 36 人,

并且 X 的可能取值是 0,1,2。

, P(X

? 1) ?

C214C316 C620

?

144 ; P(X 295

? 2) ?

C326 C620

?

105 295

?

21 59 。

所以 X 的分布列为

X P

所以 EX ? 0? 46 ?1? 144 ? 2? 21 ? 354 。 295 295 59 295

20. 解 (1)由题意,知抛物线的焦点为 F( 3,0),所以 c= a2-b2= 3.因为椭圆短轴的两个端

点与 F 构成正三角形,所以 b=



3 3 =1.可求得

a=2,故椭圆的方程为x42+y2=1.

(2)假设存在满足条件的点 E,当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=k(x-1).

由??? x42+y2=1, ??y=k(x-1),

得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,

设 P(x1,y1),Q(x2,y2),所以 x1+x2=4k82k+2 1,x1x2=44kk22- +41.

则=(m-x1,-y1),=(m-x2,-y2), 所以·=(m-x1)(m-x2)+y1y2=m2-m(x1+x2)+x1x2+y1y2 =m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1-1)(x2-1)=m2-48kk2+2m1+44kk22- +41+k2(44kk22- +41-4k82k+2 1+1)

=(4m2-8m4+k21+)k12+(m2-4)=(4m2-8m+1)(k2+14)4+k2(+m21-4)-14(4m2-8m+1):.]

=14(4m2-8m+1)+24mk-2+1417. 要使它为定值,令 2m-147=0,即 m=187,此时·=3634.

当直线 l 的斜率不存在时,不妨取 P(1, 23),Q(1,- 23),

由 E(187,0),可得=(98,- 23),=(89, 23),所以·=8614-34=3634. 综上,存在点 E(187,0),使·为定值6343.

? ? 21. 解:(1) f ?(x) ? 2x2 ? 4 (x ? 0) ,当 x ?[1, 2) 时, f ?(x) ? 0 .当 x ? 2,e 时, f ?(x) ? 0 ,又 x f (e) ? f (1) ? ?4 ? e2 ?1 ? 0 ,故 f (x)max ? f (e) ? e2 ? 4 ,当 x ? e 时,取等号
(2)易知 x ? 1,故 x ? ?1, e?,方程 f ?x? ? 0 根的个数等价于 x ? ?1, e?时,

方程 ? a ?

x2

根的个数.

设 g?x? =

x2

,

g ?( x)

?

2x ln

x ? x2

1 x

?

x(2 ln

x ?1)

ln x

ln x

ln 2 x

ln 2 x

? ? 当 x ? 1, e 时, g?(x) ? 0 ,函数 g(x) 递减,当 x ?( e,e?时, g?(x) ? 0 ,函数 g(x) 递增.又

g(e) ? e2 , g( e) ? 2e ,作出 y ? g(x) 与直线 y ? ?a 的图像,由图像知:

当 2e ? ?a ? e2 时,即 ? e2 ? a ? ?2e 时,方程 f ?x? ? 0 有 2 个相异的根;

当 a ? ?e2



a

?

?2e

时,方程

f

?x?

?

0有

1

个根; :]

当 a ? ?2e 时,方程 f ?x? ? 0 有 0 个根;

(3)当

a

?

0 时,

f

(x)



x ?[1, e]

时是增函数,又函数

y

?

1 x

是减函数,不妨设1 ?

x1

?

x2

?

e

,



f ?x1 ? ?

f ?x2 ? ?

1 x1

?

1 x2

等价于

f (x2 ) ?

f (x1 ) ?

1 x1

?1 x2



f (x2 ) ?

1 x2

?

f (x1 ) ?

1 x1

,故原题等价于函数 h?x? ?

f (x) ?

1 x

在 x ?[1, e] 时是减函数,

?h?(x) ?

a x

? 2x ?

1 x2

? 0 恒成立,即 a ?

1 x

? 2x 2 在 x ?[1, e] 时恒成立.

? y ? 1 ? 2x2 在 x ?[1, e] 时是减函数 ? a ? 1 ? 2e2

x

e

22.证明:(1)∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,

∴∠D=∠CBE,

∵CB=CE,∴∠E=∠CBE,∴∠D=∠E;

(2)设 BC 的中点为 N,连接 MN,

则由 MB=MC 知 MN⊥BC,∴O 在直线 MN 上,

∵AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,∴OM⊥AD,

∴AD∥BC,∴∠A=∠CBE,

∵∠CBE=∠E,∴∠A=∠E,由(Ⅰ)知,∠D=∠E,∴△ADE 为等边三角形

23.解:(1) C1 : (x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 ,-------------------2 分

C2 : y ? a ,-----------------------------------4 分

因为曲线 C1 关于曲线 C2 对称, a ? 1 , C2 : y ? 1------5 分

| OA |? 2 2 sin(? ? ? ) | OB |? 2 2 sin(? ? ? ) ? 2 2 cos?

(2)

4;

2

| OC |? 2 2 sin? ,| OD |? 2 2 sin(? ? 3? ) ? 2 2 cos(? ? ? ) ----8 分

4

4

| OA | ? | OC | ? | OB | ? | OD |? 4 2 -----------------------10 分

24.解:(Ⅰ)由 2x ? a ? a ? 6 得 2x ? a ? 6 ? a ,∴ a ? 6 ? 2x ? a ? 6 ? a ,即 a ? 3 ? x ? 3 ,

∴ a ? 3 ? ?2,∴ a ? 1。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x? ? 2x ?1 ?1,令? ?n? ? f ?n? ? f ??n? ,

??2 ? 4n, ?

n??1 2

则,? ?n? ? 2n ?1 ? 2n ?1 ? 2 ? ??4,
?

?1 ?n? 1

2

2

???2 ? 4n,

n?1 2

∴? ?n? 的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是?4, ??? 。

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