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1.3.1 柱、锥、台的表面积和体积课


1.3.1 柱体、锥体、台体的 表面积和体积

多面体的展开图和表面积
在初中已经学过正方体和长方体的表面积,你知道正 方体和长方体的展开图的面积与其表面积的关系吗?

几何体表面积

展开图

平面图形面积 平面问题

空间问题

探究

棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形 围成的几何体,它们的展开图是什么?如 何计算它们的表面积?

棱柱的展开图
正六棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?
a

h

正棱柱的侧面展开图

棱锥的展开图
正五棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

侧面展开

h'

正棱锥的侧面展开图

h'

棱锥的展开图
正四棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

侧面展开
h'

h'

正棱台的侧面展开图

棱柱、棱锥、棱台的表面积

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体,它们的侧面展开图还是平面图形,计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和.

棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图 形,棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图 形,棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。 这样,求它们的表面积的问题就可转化为求平行 四边形、三角形、梯形的面积问题。

已知棱长为a, 各面均为等边三角形的四 面体S ? ABC (如下图), 求它的表面积.
S

A B D C

典型例题
1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体 S-ABC,求它的表面积 . 分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成,因此只要求…... S 解:先求 ?SBC 的面积,过点S作 SD ? BC
a

交BC于点D. A

3 a 因为SB=a,SD ? SB ? sin 60 ? 2
?

B

D

C
S 所以: ?ABC

1 1 3 3 2 ? BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4

因此,四面体S-ABC 的表面积



圆柱的表面积
r O?
l
O

2?r

圆柱的侧面展开图是矩形

S圆柱表面积 ? 2?r ? 2?rl ? 2?r (r ? l )
2

圆锥的表面积

2?r

l

r O
圆锥的侧面展开图是扇形

S圆锥表面积 ? ?r ? ?rl ? ?r (r ? l )
2

圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台的侧 面展开图是什么 .

r 'O’
l

2?r '

2?r

r O
圆台的侧面展开图是扇环

S圆台表面积 ? ? (r ? ? r ? r ?l ? rl )
2 2

三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系?这种关系是巧合还是存在必然联系?

r O?
l
O

r 'O’
l
l

r O
r’=r r’=0

r

O

S柱 ? 2?r (r ? l )

S 锥 ? ?r (r ? l )

?2 ? r 2 ? r ?l ? rl ) S台 ? ? (r

如下图, 一个圆台形花盆直径为20cm, 盆底 直径为15cm, 底部渗水圆孔直径为1.5cm, 盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米(? 取 3.14, 结果精确到1cm)?
10cm

15cm

7.5cm

典型例题
2 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆底 直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米( ? 取 3.14,结果精确到1 cm 2 )? 20cm 解:由圆台的表面积公式得 花盆的表面积:
2 15cm ?? 15 ? 2 15 ? 20 ? 1.5 ? S ? ? ?? ? ? ?15 ? ?15? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? ? ?

15cm

? 999 (cm2 )
cm 2 . 答:花盆的表面积约是999

蜜蜂爬行的最短路线问题.
B

易拉罐的 底面直径 为8cm,高 25cm.

A
分析: 可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开, 将问题转化为平面几何的问题.

知识小结
圆柱 S ? 2?r (r ? l )

r ? r?
柱体、锥体、台体的表面积 圆台S ? ? (r ?2 ? r 2 ? r ?l ? rl )

r? ? 0
展开图
圆锥 S ? ?r (r ? l )

各面面积之和

练习 1 . 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形, 则这个圆柱的全面积与侧面积的比是( A )
A.

1 ? 2? 2?

B.

1 ? 4? 4?

C.

1? 2? ?

D.

1? 4? 2?

2 . 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么这个 圆锥的侧面积展开图----扇形的圆心角为____ ______度 180

情景设置
取一些书堆放在桌面上(如图所示) ,并改 变它们的放置方法,观察改变前后的体积是 否发生变化?

从以上事实中你得到什么启发?

夹在两个平行平面之间的两个几何体,被 平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得 的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体 的体积相等.

问题:两个底面积相等、高也相等的柱体 的体积如何?

棱柱(圆柱)可由多边形(圆)沿某一方向得 到,因此,两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆 柱)应该具有相等的体积. V柱体= sh

h

h

S

S

S

柱体、锥体、台体的体积
正方体、长方体,以及圆柱的体积公式可以统 一为:

V = Sh(S为底面面积,h为高)

一般棱柱的体积公式也是V = Sh,其中S为 底面面积,h为高。

1 棱锥的体积公式也是 S ? Sh ,其中S为 3 底面面积,h为高。 1 即它是同底同高的圆柱的体积的 。
3

经探究得知,棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱) 1 的 ,即棱锥(圆锥)的体积:
3

1 V ? Sh(其中S为底面面积,h为高) 3

由此可知,棱柱与圆柱的体积公式类似, 都是底面面积乘高;棱锥与圆锥的体积公式 类似,都是等于底面面积乘高的 . 1
3

探究

探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系?
圆台(棱台)的体积公式:

1 ` ` V ? ( S ? S S ? S )h 3

其是S‘,S分别为上底面面积,h为圆台(棱台) 高。

x ? ? x?h
?x ?

s' s

S

'

x
h

h s' s ? s'

S

1 1 1 ' 1 1 ' V台 ? S(h ? x) ? S x ? Sh ? Sx ? S x 3 3 3 3 3
1 1 ? Sh ? ( S ? S ' ) 3 3 h s' s? s'

1 1 ? Sh ? ( s ? 3 3

s )h s

'

'

1 ? h( s ? 3

ss ' ? s ' )

柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

V ? Sh

S' ? S

S' ? 0 1 1 ' ' V ? Sh V ? ( S ? S S ? S )h 3 3

有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8 g / cm )
3

六角螺帽(如下图)共重5.8kg ,已知底面是正六边形, 边长为12mm,内孔直径10mm, 高为10mm,问这堆螺帽 大约有多少个(? 取3.14)?

有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8 g / cm )六角 螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边形,边长为12mm,内 孔直径为10mm,高为10mm,问这堆螺帽大约有多少个 ? ( 取3.14,可用计算器)? 解:六角螺帽的体积是六棱柱的体积与 圆柱体积之差,即:
3 10 2 2 V? ?12 ? 6 ?10 ? 3.14 ? ( ) ?10 4 2

3

? 2956(mm3 ) ? 2.956(cm3 )

所以螺帽的个数为 5.8 ?1000 ? (7.8 ? 2.956) ? 252(个)
答:这堆螺帽大约有252个.

柱体 V ? Sh

S ? S'
柱体、锥体、台体的体积
1 台体 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

S '? 0
1 锥体V ? Sh 3

练习:已知一正四棱台的上底边长为4cm, 下底边长为8cm,高为3cm,求其体积 解(略)

小结
1.求几何体的表面积的方法: 将空间图形问题转化为平面图形问题, 利用平面图形求面积的方法求立体图 形的表面积 2.求几何体的体积


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