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大学物理习题与作业答案5-1~~5-14

大学物理练习册—分子动理论

理想气体状态方程 (1)气体分子的数密度; (2)氧气的质 5-1 一容器内储有氧气,其压强为 1.01×105Pa,温度为 270C,求: 量密度; (3)氧分子的质量; (4)分子间的平均距离(设分子均匀等距分布) 。 解:(1) p = nkT , n =

p 1.01× 105 = = 2.44 × 10 25 /m 3 kT 1.38 × 10 ?23 × (273 + 27)

(2) Q

m pM mol 1.01× 105 × 32 × 10 ?3 pV m = = 1.30 kg/m 3 = R ,∴ ρ = = T M mol V RT 8.31× (273 + 27)

(3) Q ρ = mO2 n , ∴ mO2 = (4) d = 3

ρ
n

=

1.30 = 5.33 ×10 ?26 kg 25 2.44 × 10

1 3 1 = = 3.45 ×10 ?9 m n 2.44 × 10 25

5-2 在容积为 V 的容器中的气体, 其压强为 p1,称得重量为 G1。然后放掉一部分气体,气体的压强降至 p2, 再称得重量为 G2。问在压强 p3 下,气体的质量密度多大? 即放气前容器中气体质量为 m1 = 解: 设容器的质量为 m ,

G G1 ?m, 放气后容器中气体质量为 m 2 = 2 ? m 。 g g

由理想气体状态方程有

G1 ?m m1 g p1V = RT = RT , M mol M mol
上面两式相减得

p2V =

m2 M mol

G2 ?m g RT = RT M mol

RT (G2 ? G1 ) = ( p2 ? p1 )V , M mol g
当压强为 p 3 时, ρ =

M mol =

RT G2 ? G1 ( ) gV p2 ? p1

m3 M mol p3 p G ? G1 = = 3 ? 2 V RT gV p2 ? p1

压强、温度的微观意义 5-3 将 2.0×10 2kg 的氢气装在 4.0×10 3m2 的容器中,压强为 3.9×105Pa,则氢分子的平均平动动能为多少? 解: Q pV =

M pV m RT ,∴T = mol mR M mol
3 M mol pV 3 2 × 10 ?3 × 3.9 × 105 × 4.0 × 10 ?3 = × 1.38 × 10 ?23 × = 3.88 × 10 ?22 J 2 mR 2 2 × 10 ?2 × 8.31

ε t = kT = k

3 2

5-4 体积 V = 10 ?3 m 3 ,压强 p = 10 5 Pa 的气体分子平均平动动能的总和为多少? 解: ∑ ε t = N

N 3 pV kT ,其中 N 为总分子数。 Q p = nkT = kT , N = 2 kT V pV 3 3 3 ∴ ∑ εt = kT = pV = × 105 × 10 ?3 = 150 J kT 2 2 2
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大学物理练习册—分子动理论

5-5 温度为 0℃和 100℃时理想气体分子的平均平动动能各为多少?欲使分子的平均平动动能等于 1eV,气 体的温度需多高?(1eV=1.6×10 19J) 解: 0° C 时, ε t = 0 =

3 3 kT = × 1.38 × 10 ? 23 × 273 = 5.65 × 10 ? 21 J 2 2 3 3 100°C 时, ε t =100 = kT = × 1.38 × 10 ? 23 × 373 = 7.72 × 10 ? 21 J 2 2

Q 1eV = 1.6 × 10 ?19 J ,∴ 分子具有 1eV 平均动能时,气体温度为
2ε t 2 × 1.6 ×10 ?19 = = 7.73 × 103 K ? 23 3K 3 ×1.38 × 10 能量均分、理想气体内能 5-6 容积 V=5.0×10 3m3 的容器中装有氧气,测得其压强 p=2.0×105Pa,求氧气的内能。 T=
解: E =

i 5 m i m RT ,又 pV = RT ,所以 E = pV = × 2.0 × 10 5 × 5.0 × 10 ?3 = 2.5 × 10 3 J M mol 2 M mol 2 2

5-7 若氢气和氦气的压强、体积和温度均相等时,则它们的质量比

mH 2
和内能比

EH2
各为多少?

mHe

E He

解:Q pV =

M H2 M mol H 2

RT

pV =

M H 2 M mol H 2 2 1 M He RT ,∴ = = = M mol He M He M mol He 4 2

又 QE =

EH 2 iH 2 5 M i i i = = RT = νRT = pV ,∴ M mol 2 2 2 EHe iHe 3
-

5-8 容器内盛有理想气体,其密度为 1.25×10 2kg/m3,温度为 273K,压强为 1.0×10 2atm。求: (1)气体的 摩尔质量,并确定是什么气体; (2)气体分子的平均平动动能和平均转动动能; (3)容器单位体积内 分子的总平动动能; (4)若该气体有 0.3mol,其内能是多少? 解:(1) Q M mol =

mRT m 1.25 × 10 ?2 × 8.31 × 273 , = 1.25 × 10 ? 2 kg/m 3 , ∴ M mol = = 28 × 10 ?3 kg/mol ?2 5 pV 1.0 × 10 × 1.013 × 10 V

气体是 N2 或 CO

3 3 kT = × 1.38 × 10 ?23 × 273 = 5.65 × 10 ?21 J ,Q 转动自由度 i′ = 5 ? 3 = 2 2 2 ′ i ∴ ε 转 = kT = 1.38 × 10 ?23 × 273 = 3.77 × 10 ?21 J 2 p 1.0 × 10 ?2 × 1.01× 105 (3) Q p = nkT , ∴ n = = = 2.69 × 10 23 /m 3 kT 1.38 × 10 ?23 × 273
(2) ε t =

Ek = n ? ε t = 2.69 × 1023 × 5.65 × 10 ?21 = 1.52 × 103 J
(4) E =

m i 5 RT = 0.3 × × 8.31× 273 = 1.70 × 103 J M mol 2 2

速率分布定律、三种速率 ( 5-9 计算气体分子热运动速率介于(vp-vp/100)和(vp+vp/100)之间的分子数占总分子数的百分比。 v p 为

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大学物理练习册—分子动理论

最概然速率) 解:速率区间较小时
mv ?N m 3 ? 2 kT 2 2 = f (v)?v = 4π ( ) e ? v ?v N 2πkT
2

令 x=

v , vp = vp
vp

?N 4 2 ? x2 2kT ,∴ = x e ?x m N π vp

= 1.01v p时,x = 1.01 ;∴ ?x = 0.02 100 100 2 ?N 4 所以 = (0.99) 2 e ?( 0.99 ) × 0.02 = 1.66% N π 5-10 有 N 个粒子,其速率分布函数为 f (v ) = C (0≤v≤v0) f (v ) = 0 (v>v0) (3)求粒子的平均速率。 其中 C 为常数。 (1)作速率分布曲线; (2)由 v0 求常数 C;
解:(1) 速率分布曲线如右图。 (2) 由归一化条件


当 v = vp ?

= .099v p时,x = 0.99 ; v = v p +


0
v0



1 f (v) d v = 1 , c d v = cv0 = 1 ,得 c = v0 0

v0

f (v)
C



(3) v = vf (v) d v = v ? c d v =
0 0





c 2 v0 v0 = 2 2

0

v0

v

5-11(1)某气体在平衡温度 T2 时的最概然速率与它在平衡温度 Tl 时的方均根速率相等,求 T2/T1; (2) 如已知这种气体的压强 p 和密度ρ,试导出其方均根速率表达式。 解:(1) Q v p =

2 RT 3RT , v2 = , 由题意 M mol M mol

T 2 RT2 3RT1 3 = ,得 2 = M mol M mol T1 2

(2) 由理想气体状态方程 pV =

m M p p m RT RT ,∴ ρ = = mol ,即 = M mol V RT M mol ρ



v2 =

3p 3RT = M mol ρ

5-12 图 5-12 是氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线。试由图中的数据求: (1)氢气分子和 氧气分子的最概然速率; (2)两种气体的温度。 解:(1) 由 v p =

2 RT 可知,在相同温度下, M mol 大的气体 v p 小, M mol
2

f(v) I II

所以曲线 ΙΙ 对应氢气的分布,即 v p H = 2000 m/s O

vp O =
2

M mol

H2
2

M mol O

2 ? vp H 2 = × 2000 = 500 m/s 32

2000
图 5-12

v/(m·s-1)

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大学物理练习册—分子动理论

(2) 由 v p =

M ?v 2 RT 2 × 10 ?3 × (2000) 2 得 T = mol p = = 4.81× 10 2 K 2R 2 × 8.31 M mol
2

碰撞频率与自由程 5-13 (1)如果理想气体的温度保持不变,当压强降为原值的一半时,分子的平均碰撞频率和平均自由程 为原来的多少?(2)如果压强保持不变,温度降为原值的一半,则分子的平均碰撞频率和平均自由 程又为原来的多少? 解:Q Z = 2πd 2 v n , λ =

1 2πd n
2

,n =

p 8 RT ,v = πM mol kT kT 2πd 2 p

∴ Z = 2πd 2

p 8 RT 16πR d 2 p ? = ,λ = πM mol kT ? k T

设原平均碰撞频率为 Z 0 ,平均自由程为 λ0

Z0 , λ1 = 2λ0 2 1 (2) 当 P 保持不变,T 降为原值一半时, Z1 = 2Z 0 , λ 2 = λ0 2 -10 5-14 设氮分子的有效直径为 10×10 m。 (1)求氮气在标准状态下的平均碰撞次数和平均自由程; (2)如 果温度不变,气压降到 1.33×10-4 Pa,则平均碰撞次数和平均自由程又为多少?
(1) 当 T 保持不变, p 降为原值一半时, Z1 = 解: (1) P0 = 1.013×105 Pa , T0 = 273 K ,

∴v =

8 RT0 8 × 8.31× 273 = = 454 m? s ?1 πM mol π × 28 ×10 ?3

n=

p 1.013 ×10 5 = = 2.69 ×10 25 m ?3 ? 23 KT0 1.38 ×10 × 273

∴ Z = 2πd 2 v n = 2π × (1.0 ×10 ?10 ) 2 × 454 × 2.69 ×10 25 = 5.42 ×108 s ?1

λ=

1 v 454 = = = 8.38 ×10 ?7 m 8 2 2πd n Z 5.42 ×18 p' 1.33 ×10 ?4 = = 3.53 ×1016 m ?3 KT0 1.38 ×10 ?23 × 273

(2) p' = 1.33×10 ?4 Pa 时, n′ =

Z ′ = 2πd 2 v n′ = 2π × (1.0 ×10?10 ) 2 × 454 × 3.53×1016 = 0.712 s ?1

λ′ =

1 v 454 = = = 638 m 2 ′ 0.712 2πd n′ Z

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