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【步步高】2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 文


【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、 解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 文

1.角的概念 (1)任意角: ①定义: 角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置 所成的图形;②分类:角按旋转方向分为正角、负角和零角. (2)所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,构成的角的集合是 S={β |β =k?360°+ α ,k∈Z}. (3)象限角: 使角的顶点与坐标原点重合, 角的始边与 x 轴的正半轴重合, 那么, 角的终边(除 端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不 属于任何一个象限. 2.弧度制 (1)定义: 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角, 用符号 rad 表示, 读作弧度. 正 角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是 0. π ?180? (2)角度制和弧度制的互化:180°=π rad,1°= rad,1 rad=? ?°. 180 ?π ? 1 1 2 (3)扇形的弧长公式:l=|α |?r,扇形的面积公式:S= lr= |α |?r . 2 2 3.任意角的三角函数 任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y)时,sin α =y,cos α =x,tan α = (x≠0). 三个三角函数的初步性质如下表:

y x

三角函数

定义域

第一象限符号

第二象 限符号

第三象 限符号

第四象 限符号
1

sin α cos α

R R {α |α ≠kπ +

+ +

+ -

- -

- +

tan α

π ,k∈Z} 2









4.三角函数线 如下图,设角 α 的终边与单位圆交于点 P,过 P 作 PM⊥x 轴,垂足为 M,过 A(1,0)作单位圆 的切线与 α 的终边或终边的反向延长线相交于点 T.

三角函 数线

有向线段 MP 为正弦线;有向线段 OM 为余弦线;有向线段 AT 为正 切线 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)锐角是第一象限的角,第一象限的角也都是锐角.( ? (2)角 α 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关.( √ ) )

1 3 3 1 (3)角 α 终边上点 P 的坐标为(- , ),那么 sin α = ,cos α =- ;同理角 α 终边 2 2 2 2 上点 Q 的坐标为(x0,y0),那么 sin α =y0,cos α =x0.( ? ) π (4)α ∈(0, ),则 tan α >α >sin α .( √ ) 2 (5)α 为第一象限角,则 sin α +cos α >1.( √ )

1.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 2 5 sin θ =- ,则 y= 5 答案 -8 .

2

解析 因为 sin θ =
2

2 5 =- , 5 4 +y
2 2

y

所以 y<0,且 y =64,所以 y=-8. 9π 2.下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是 4 ①2kπ +45°(k∈Z); ③k?360°-315°(k∈Z); 答案 ③ 9π 9π 解析 与 的终边相同的角可以写成 2kπ + (k∈Z) ,但是角度制与弧度制不能混用, 4 4 所以只有③正确. 3. (教材改编)已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2, 那么这个圆心角所对的弧长是 答案 2 sin 1 . 9 ②k?360°+ π (k∈Z); 4 5π ④kπ + (k∈Z). 4 .

1 1 解析 设圆的半径为 r,则 sin 1= ,∴r= , r sin 1 ∴2 弧度的圆心角所对弧长为 2r= 2 . sin 1

4. 已知 θ 角的终边与 480°角的终边关于 x 轴对称, 点 P(x, y)在 θ 角的终边上(不是原点), 则

xy = x2+y2
3 4

.

答案

解析 由题意知角 θ 的终边与 240°角的终边相同, 又∵P(x,y)在角 θ 的终边上, ∴tan θ =tan 240°= 3= ,

y x

xy 于是 2 = x +y2

3 3 = = . y 2 1+3 4 1+? ?

y x

x

5.函数 y= 2cos x-1的定义域为 π π? ? 答案 ?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z) 3 3? ? 解析 ∵2cos x-1≥0,



3

1 ∴cos x≥ . 2 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示). π π? ? ∴x∈?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z). 3 3? ?

题型一 角及其表示 例 1 (1)已知角 α 的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界), 则角 α 用集合可表 示为 .

α (2)若角 α 在第三象限,则角 在第 2 π 5 ? ? 答案 (1)?2kπ + ,2kπ + π ?(k∈Z) 4 6 ? ? (2)二或四

象限.

解析 (1)∵在[0,2π )内,终边落在阴影部分角的集合为? π 5 ? ? ∴所求角的集合为?2kπ + ,2kπ + π ?(k∈Z). 4 6 ? ? (2)∵2kπ +π <α <2kπ + 3π (k∈Z), 2

?π ,5π ?, ? ?4 6 ?

π α 3 ∴kπ + < <kπ + π (k∈Z). 2 2 4 当 k=2n(n∈Z)时,2nπ + π α 3 α < <2nπ + π , 是第二象限角, 2 2 4 2

3π α 7 α 当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ + < <2nπ + π , 是第四象限角, 2 2 4 2 α 综上知,当 α 是第三象限角时, 是第二或第四象限角. 2 思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角, 方法是先写出与这个角的 终边相同的所有角的集合, 然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需的角. (2)利用终边相 同的角的集合 S={β |β =2kπ +α ,k∈Z}判断一个角 β 所在的象限时,只需把这个角写
4

成[0,2π )范围内的一个角 α 与 2π 的整数倍的和,然后判断角 α 的象限. (1) 设集合 M ={x|x = ?180°+45°, k∈Z},N = {x|x= ?180°+45°, 2 4

k

k

k∈Z},那么下列关系正确的是
①M=N;②M? N;③N? M;④M∩N=?.



π π (2)集合{α |kπ + ≤α ≤kπ + ,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是 4 2



答案 (1)② (2)③ 解析 (1)方法一 由于 M={x|x= ?180°+45°,k∈Z}={?,-45°,45°,135°, 2 225°,?},

k

k N={x|x= ?180°+45°, k∈Z}={?, -45°, 0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, ?},
4 显然有 M? N. 方法二 由于 M 中,x= ?180°+45°=k?90°+45°=(2k+1)?45°,2k+1 是奇数; 2 而 N 中, x= ?180°+45°=k?45°+45°=(k+1)?45°, k+1 是整数, 因此必有 M? N. 4 π π π π (2)当 k=2n (n∈Z)时,2nπ + ≤α ≤2nπ + ,此时 α 表示的范围与 ≤α ≤ 表示的 4 2 4 2 π π 范围一样;当 k=2n+1 (n∈Z)时,2nπ +π + ≤α ≤2nπ +π + ,此时 α 表示的范围 4 2 π π 与 π + ≤α ≤π + 表示的范围一样,故③正确. 4 2 题型二 弧度制的应用 例 2 已知一扇形的圆心角为 α ,半径为 R,弧长为 l. (1)若 α =60°,R=10 cm,求扇形的弧长 l; (2)已知扇形的周长为 10 cm,面积是 4 cm ,求扇形的圆心角; (3)若扇形周长为 20 cm,当扇形的圆心角 α 为多少弧度时,这个扇形的面积最大? π 解 (1)α =60°= rad, 3 π 10π ∴l=|α |?R= ?10= (cm). 3 3
2

k

k

5

2R+R?|α |=10 ? ? (2)由题意得?1 2 |α |?R =4 ? ?2 1 故扇形圆心角为 . 2 (3)由已知得,l+2R=20.

?R=1, ? ?? ?α =8 ?

R=4, ? ? (舍去),? 1 α = . ? 2 ?

1 1 2 2 所以 S= lR= (20-2R)R=10R-R =-(R-5) +25,所以当 R=5 时,S 取得最大值 25,此 2 2 时 l=10,α =2. 即当扇形的圆心角 α 为 2 弧度时,这个扇形的面积最大. 思维升华 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时, 常转化为二次函数的最值问题, 利用配方法使问题得到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. (1)将表的分针拨快 10 分钟, 则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 (2)已知扇形的周长为 4 cm,当它的半径为 积最大. π 答案 (1)- 3 (2)1 2 cm 和圆心角为 .

弧度时,扇形面

解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角,又因为拨快 10 分钟,故应转过的 1 1 π 角为圆周的 .即为- ?2π =- . 6 6 3 (2)设扇形圆心角为 α ,半径为 r,则 4 2r+|α |r=4,∴|α |= -2.

r

1 2 2 2 ∴S 扇形= |α |?r =2r-r =-(r-1) +1, 2 ∴当 r=1 时,(S 扇形)max=1,此时|α |=2. 题型三 三角函数的概念 命题点 1 三角函数定义的应用 4 例 3 (1)已知角 α 的终边过点 P(-8m, -6sin 30°), 且 cos α =- , 则 m 的值为 5 (2) 点 P 从 (1,0) 出发,沿单位圆逆时针方向运动 为 . .

2π 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标 3

6

1 3? ? 1 答案 (1) (2)?- , ? 2 ? 2 2? 解析 (1)∵r= 64m +9, ∴cos α = 4 =- , 5 64m +9
2 2 2

-8m

4m 1 1 ∴m>0,∴ 2 = ,即 m= . 64m +9 25 2 (2)由三角函数定义可知 Q 点的坐标(x,y)满足

x=cos

2π 1 2π 3 =- ,y=sin = . 3 2 3 2

3? ? 1 即 Q 点的坐标为?- , ?. ? 2 2? 命题点 2 三角函数值的符号 例 4 (1)若 sin α <0 且 tan α >0,则 α 是第 (2)设 θ 是第三象限角,且?cos 答案 (1)三 (2)二 象限角. 象限角.

? ?

θ ? θ θ ?=-cos 2 ,则 2 是第 2?

解析 (1)∵sin α <0, ∴α 的终边落在第三、四象限或 y 轴的负半轴上; 又 tan α >0, ∴α 在第一象限或第三象限,故 α 在第三象限. (2)由 θ 是第三象限角,知 ∵?cos ∴cos θ 为第二或第四象限角, 2

? ?

θ ? θ =-cos , 2? 2 ?

θ ≤0, 2

θ 综上知 为第二象限角. 2 命题点 3 三角函数线 1 例 5 满足 cos α ≤- 的角 α 的集合为 2
? ? ? 2 4 答案 ?α ?2kπ + π ≤α ≤2kπ + π ,k∈Z 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ?



1 解析 作直线 x=- 交单位圆于 C、D 两点,连结 OC、OD,则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影 2 部分)即为角 α 终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为
7

? ? ?α ? ?

?2kπ +2π ≤α ≤2kπ +4π ,k∈Z ? 3 3 ?

? ? ?. ? ?

思维升华 (1)利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,需确定三个量:角的终边上任 意一个异于原点的点的横坐标 x, 纵坐标 y, 该点到原点的距离 r.(2)根据三角函数定义中 x、

y 的符号来确定各象限内三角函数的符号,理解并记忆:“一全正、二正弦、三正切、四余
弦”. (3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍, 结合三角函数的周期性正确 写出角的范围. (1)已知角 α 的余弦线是单位长度的有向线段,那么角 α 的终边在 ①x 轴上; ②y 轴上; ③直线 y=x 上; ④直线 y=-x 上. (2)已知角 α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 cos α ≤0,sin α >0,则实数 a 的取值范 围是 . .

答案 (1)① (2)(-2,3] 解析 (1)|cos α

|=1,

∴角 α 的终边在 x 轴上. (2)∵cos α ≤0,sin α >0, ∴角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上.
? ?3a-9≤0, ∴? ?a+2>0, ?

∴-2<a≤3.

6.数形结合思想在三角函数中的应用

典例 (1)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上 → 一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于 C(2,1)时,OP的坐标 为 .

8

(2)函数 y=lg(3-4sin x)的定义域为

2



思维点拨 (1)点 P 转动的弧长是本题的关键, 可在图中作三角形, 寻找 P 点坐标和三角形边 长的关系. (2)求函数的定义域可转化为解不等式- 数线可直观清晰得出 x 的范围. 解析 (1)如图所示, 3 3 <sin x< ,利用三角函 2 2

过圆心 C 作 x 轴的垂线,垂足为 A,过 P 作 x 轴的垂线与过 C 作 y 轴的垂线交于点 B.因为圆 心移动的距离为 2,所以劣弧 PA =2,即圆心角∠PCA=2, π π 则∠PCB=2- ,所以 PB=sin(2- )=-cos 2, 2 2

CB=cos(2- )=sin 2,
所以 xP=2-CB=2-sin 2,yP=1+PB=1-cos 2, → 所以OP=(2-sin 2,1-cos 2). (2)∵3-4sin x>0, 3 2 ∴sin x< , 4 ∴- 3 3 <sin x< . 2 2
2

π 2

利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示), π π? ? ∴x∈?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 3 3? ? 答案 (1)(2-sin 2,1-cos 2) π π? ? (2)?kπ - ,kπ + ?(k∈Z) 3 3? ? 温馨提醒 (1)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化, 结合弧长公式、 三角函数 定义寻找关系. (2)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况, 然后观察适合条件的角的位 置.

[方法与技巧]

9

1.在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能取终边与单位圆的交点,则

OP=r 一定是正值.
2.三角函数符号是重点,也是难点,在理解的基础上可借助口诀:一全正,二正弦,三正切, 四余弦. 3.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. [失误与防范] 1.注意易混概念的区别:象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角.第一类是象 限角,第二、第三类是区间角. 2.角度制与弧度制可利用 180°=π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须 一致,不可混用. 3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.给出下列四个命题:( 3π ①- 是第二象限角; 4 ③-400°是第四象限角; 其中正确的命题有 答案 3 3π 4π π 4π 解析 - 是第三象限角, 故①错误. =π + , 从而 是第三象限角, ②正确. -400° 4 3 3 3 =-360°-40°,从而③正确.-315°=-360°+45°,从而④正确. 2 .若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角 α ∈(0, π ) 的弧度数 为 答案 3 . 个. ) ② 4π 是第三象限角; 3

④-315°是第一象限角.

解析 设圆半径为 r,则其内接正三角形的边长为 3r, 所以 3r=|α |?r,所以 α = 3. 1 3.设 α 是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且 cos α = x,则 tan α = 5 4 答案 - 3 解析 因为 α 是第二象限角,
10

.

1 所以 cos α = x<0,即 x<0. 5 1 x 又 cos α = x= 2 , 5 x +16 4 4 解得 x=-3,所以 tan α = =- . x 3 3 4.若角 α 的终边在直线 y=- x 上,则 2sin α +cos α = 4 2 2 答案 - 或 5 5 解析 设 P(4a,-3a)(a≠0)是角 α 终边上任意一点, 则 OP=r= ?4a? +?-3a? =5|a|. 3 4 当 a>0 时,r=5a,此时 sin α =- ,cos α = , 5 5 6 4 2 则 2sin α +cos α =- + =- . 5 5 5 3 4 当 a<0 时,r=-5a,此时,sin α = ,cos α =- , 5 5 6 4 2 则 2sin α +cos α = - = . 5 5 5 5.给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关; ④若 sin α =sin β ,则 α 与 β 的终边相同; ⑤若 cos θ <0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是 答案 1 解析 举反例: 第一象限角 370°不小于第二象限角 100°, 故①错; 当三角形的内角为 90° 时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于 sin π 5π =sin , 6 6 .
2 2

.

π 5π 但 与 的终边不相同,故④错;当 cos θ =-1,θ =π 时既不是第二象限角,也不是第 6 6 三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确. π π 6.已知扇形的圆心角为 ,面积为 ,则扇形的弧长等于 6 3 答案 π 3
11



解析

l π ? ?r= 6 , 设扇形半径为 r,弧长为 l,则? 1 π lr= , ? ?2 3

π ? ?l= , 3 解得? ? ?r=2. π sin θ cos θ 7.已知角 α =2kπ - (k∈Z),若角 θ 与角 α 的终边相同,则 y= + + 5 |sin θ | |cos θ | tan θ 的值为 |tan θ | 答案 -1 π 解析 由 α =2kπ - (k∈Z)及终边相同的概念知, 5 角 α 的终边在第四象限, 又角 θ 与角 α 的终边相同,所以角 θ 是第四象限角, 所以 sin θ <0,cos θ >0,tan θ <0. 所以 y=-1+1-1=-1. 4 8.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A,点 A 的纵坐标为 , 5 则 cos α = . .

3 答案 - 5 3 解析 由题意及图,易知 A 点的横坐标为- , 5 3 所以 cos α =- . 5 9.一个扇形 OAB 的面积是 1 cm ,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB. 解 设扇形的半径为 r cm,弧长为 l cm, 1 ? ? lr=1, 则?2 ? ?l+2r=4,
?r=1, ? ?l=2. ?
2

解得?

12

∴圆心角|α |= =2. 如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H,则∠AOH=1 rad. ∴AH=1?sin 1=sin 1(cm), ∴AB=2sin 1(cm). 所以圆心角的弧度数为 2,弦长 AB 为 2sin 1 cm. 10.已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tan θ =-x,求 sin θ +cos θ . 解 ∵θ 的终边过点(x,-1)(x≠0), 1 ∴tan θ =- ,又 tan θ =-x,

l r

x

∴x =1,即 x=±1. 当 x=1 时,sin θ =- 2 2 ,cos θ = , 2 2

2

因此 sin θ +cos θ =0; 当 x=-1 时,sin θ =- 2 2 ,cos θ =- , 2 2

因此 sin θ +cos θ =- 2. 故 sin θ +cos θ 的值为 0 或- 2. B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) π 2 2 11.已知圆 O:x +y =4 与 y 轴正半轴的交点为 M,点 M 沿圆 O 顺时针运动 弧长到达点 N, 2 以 ON 为终边的角记为 α ,则 tan α = 答案 1 解析
? ? ?α ? ?

.

圆的半径为 2,

π π 的 弧 长 对 应 的 圆 心 角 为 , 故 以 ON 为 终 边 的 角 为 2 4
? ? ?,故 tan α =1. ? ?

?α =2kπ +π ,k∈Z ? 4 ?

12.给出下列各函数值: ①sin(-1 000°);②cos(-2 200°);③tan(-10), 其中符号为负的是 答案 ③ 解析 与-1 000°终边相同的角是 80°, 所以-1 000°是第一象限角, 则 sin(-1 000°)>0; 与-2 200°终边相同的角是-40°,所以-2 200°是第四象限角,则 cos(-2 200°)>0; - 7π <-10<-3π ,所以-10 是第二象限角,则 tan(-10)<0. 2
13



17π 13.设 MP 和 OM 分别是角 的正弦线和余弦线,则给出的以下不等式: 18 ①MP<OM<0; ②OM<0<MP; ③OM<MP<0; ④MP<0<OM. 其中正确的是 答案 ② 17 解析 角 π 在第二象限,OM<0,MP>0,∴②正确. 18 14.已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m) (m≠0)且 sin θ = 并求 cos θ 和 tan θ 的值. 解 由题意,得 r= 3+m , 所以 sin θ =
2



2 m,试判断角 θ 所在的象限, 4

m
3+m
2



2 m. 4

因为 m≠0,所以 m=± 5,故角 θ 是第二或第三象限角. 当 m= 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3, 5),角 θ 是第二象限角,

x - 3 6 所以 cos θ = = =- , r 2 2 4 y 5 15 tan θ = = =- ; x - 3 3
当 m=- 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3,- 5),角 θ 是第三象限角,所以 cos θ

x - 3 6 = = =- , r 2 2 4 y - 5 15 tan θ = = = . x - 3 3
π 15.如图所示,动点 P,Q 从点 A(4,0)出发沿圆周运动,点 P 按逆时针方向每秒钟转 弧度, 3 点 Q 按顺时针方向每秒钟转 π 弧度,求点 P,点 Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标 6

及 P,Q 点各自走过的弧长.

14

解 设 P,Q 第一次相遇时所用的时间是 t, π π 则 t? +t?|- |=2π . 3 6 所以 t=4(秒),即第一次相遇的时间为 4 秒. π 4π 设第一次相遇点为 C,第一次相遇时 P 点和 Q 点已运动到终边在 ?4= 的位置, 3 3 π π 则 xC=-cos ?4=-2,yC=-sin ?4=-2 3. 3 3 所以 C 点的坐标为(-2,-2 3).

P 点走过的弧长为 π ?4= π , Q 点走过的弧长为 π ?4= π .
2 3 8 3

4 3

16 3

15


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