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放缩法技巧全总结 2


放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而 综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的 求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩 技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例 1.(1)求

? 4k
k ?1

n

2
2

?1

的值;

(2)求证:

?k
k ?1

n

1
2

?

5 . 3

解析:(1)因为

2 4n 2 ? 1
n2 ?

?
1

2 1 2n 2 1 1 ,所以 n ? 1? ? ? ? ? 2 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 2 n ? 1 2n ? 1 k ?1 4k ? 1
1 4 ?
n 1 1 1 ? 2 5 ?1 1 1 ? ,所以 ? 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? 2 2 k 3 5 2 n ? 1 2 n ? 1 3 3 ? ? k ? 1 4n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

(2)因为 1

4

n2 ?

奇巧积累:(1)

1 4 4 1 ? ? 1 ? ? ? 2? ? ? n 2 4n 2 4n 2 ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
r ?1 r ? Cn ?

(2)

1 2 1 1 ? ? ? 1 2 ( n ? 1 ) n ( n ? 1 ) n ( n ? 1 ) n ( n ? 1) Cn C ?1 n

(3) T

1 n! 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? (r ? 2) r!(n ? r )! n r r! r (r ? 1) r ? 1 r nr

(4) (1 ? 1 )n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ?3 n 2 ?1 3 ? 2 n(n ? 1) (5)
1 1 1 ? n ? n n 2 (2 ? 1) 2 ? 1 2
n

(6)

1 ? n?2 ? n n?2
? 2n ? 1 ? 1 ? 1 1 1 ? ?? n ? n ?1 2n ? 3 ? 2 (2n ? 1) ? 2 (2n ? 3) ? 2 n

(7) 2( n ? 1 ? n ) ? 1 ? 2( n ? n ? 1) n (9)

2 (8) ? ?

1 1 1? 1 1 1 ?1 1 ? ? ?? ? ? , ? ? ? ? k (n ? 1 ? k ) ? n ? 1 ? k k ? n ? 1 n(n ? 1 ? k ) k ? 1 ? n n ? 1 ? k ? n 1 1 2 2 (10) (11) 1 ? 2 ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ? ? ? ? (n ? 1) ! n ! (n ? 1) ! n 2n ? 1 ? 2n ? 1

2 1 1 n? ? n? 2 2

(11)

2n 2n 2n 2n ?1 1 1 ? ? ? ? n ?1 ? n (n ? 2) n 2 n n n n n n ?1 (2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 2) (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1
1 n
3

(12)

?

1 n?n
2

?

? ? 1 1 1 1 ?? ?? ? ? ? n(n ? 1)(n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) ? n ? 1 ? n ? 1

1 ? n ?1 ? n ?1 ? 1 ?? ? ? ?? n ?1 ? 2 n ? n ?1

1 1 ? n ?1 n ?1
n n n

(13) (14)

2

n ?1

2n 1 2n ? 2 ? 2 ? (3 ? 1) ? 2 ? 3 ? 3(2 ? 1) ? 2 ? 2 ? 1 ? ? n ? 3 2 ?1 3
n n

k?2 1 1 ? ? k!?(k ? 1)! ? (k ? 2)! (k ? 1) ! (k ? 2) !
i2 ? 1 ? j2 ? 1 i2 ? j2 ? i? j (i ? j )( i 2 ? 1 ? ?

(15)
i? j i ?1 ?
2

1 ? n ? n ? 1(n ? 2) n(n ? 1)
?1

(15)

j ? 1)
2

j2 ?1

1 7 1 例 2.(1)求证:1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? (n ? 2) 32 5 2 (2n ? 1) 2 6 2(2n ? 1)
1

(2)求证:

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? 2 ? ? 4 16 36 2 4n 4n

(3)求证:

1 1? 3 1? 3 ? 5 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? ??? ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

(4) 求证: 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ( 2n ? 1 ? 1) 2 3 n 解析:(1)因为
1 1 1? 1 1 ? ,所以 ? ? ? ? ? (2n ? 1) 2 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

? (2i ? 1)
i ?1

n

1

2

1 1 1 1 1 1 ? 1? ( ? ) ? 1? ( ? ) 2 3 2n ? 1 2 3 2n ? 1

(2) 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 (1 ? 1 ? ? ? 1 ) ? 1 (1 ? 1 ? 1 ) 2 2 2
4 16 36 4n 4 2 n 4 n

(3)先运用分式放缩法证明出 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

1 2n ? 1

,再结合

1 n?2

? n?2 ? n

进行裂项,最后就可以得到答案

(4)首先 1 ? 2( n ? 1 ? n ) ?
n

2 n ?1 ? n
2 2

,所以容易经过裂项得到 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?
? n? 2 1 1 ? n? 2 2

1 2

?

1 3

???

1 n

再证 1
n

? 2 ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ?

而由均值不等式知道这是显然成立的,

2n ? 1 ? 2n ? 1

所以 1 ?

1 2

?

1 3

???

1 n

? 2 ( 2n ? 1 ? 1)

例 3.求证:

6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n 3

1 1 ? 2 5 ?1 1 1 1 ? ,所以 n 1 解析: 一方面: 因为 1 ? 1 ? 4 ? 2? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 2 2 2 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 1 4n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ?3 5 n k ?1 k n2 ? 4

另一方面: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 2
4 9 n 2?3 3? 4

1 1 n ? 1? ? n(n ? 1) n ?1 n ?1

当 n ? 3 时, 当 n ? 2 时, 所以综上有

6n 1 1 1 n 6n ,当 n ? 1 时, ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n n ? 1 (n ? 1)(2n ? 1)

,

6n 1 1 1 ? 1? ? ??? 2 , (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n

6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n 3

例 4.(2008 年全国一卷)设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1. an?1

? f (an ) .

1) ,整数 k ≥ 设 b ? (a1,
解析:

a1 ? b .证明: ak ?1 ? b . a1 ln b

由数学归纳法可以证明 ?an ? 是递增数列, 故 若存在正整数 m

? k , 使 am ? b , 则 ak ?1 ? ak ? b ,

若 am ? b(m ? k ) ,则由 0 ?

a1 ? am ? b ? 1知
k

am ln am ? a1 ln am ? a1 ln b ? 0 , ak ?1 ? ak ? ak ln ak ? a1 ? ? am ln am ,
m ?1

2

因为 ? am ln am ? k (a1 ln b) ,于是 ak ?1 ? a1 ? k | a1 ln b |? a1 ? (b ? a1 ) ? b
m ?1

k

例 5.已知 n, m ? N? , x ? ?1, Sm ? 1m ? 2m ? 3m ? ? ? nm ,求证: nm?1 ? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)m?1 ? 1. 解析:首先可以证明: (1 ? x)n ? 1 ? nx
n m ?1 ? n m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? (n ? 2) m ?1 ? ? ? 1m ?1 ? 0 ? ?[k m ?1 ? (k ? 1) m ?1 ] 所以要证
k ?1 n

nm?1 ? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)m?1 ? 1只要证:

?[ k
k ?1

n

m ?1

? (k ? 1) m ?1 ] ? (m ? 1)? k m ? (n ? 1) m ?1 ? 1 ? (n ? 1) m ?1 ? n m ?1 ? n m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? ? ? 2m ?1 ?1m ?1 ? ?[(k ? 1) m ?1 ? k m ?1 ]
k ?1 k ?1 m ?1

n

n

故只要证

?[ k
k ?1

n

? (k ? 1) m ?1 ] ? (m ? 1)? k m ? ?[(k ? 1) m ?1 ? k m ?1 ] ,
k ?1 k ?1

n

n

即等价于 k m?1 ? (k ? 1)m ?1 ? (m ? 1)k m ? (k ? 1)m ?1 ? k m , 即等价于1 ? m ? 1 ? (1 ? 1 ) m ?1 ,1 ? m ? 1 ? (1 ? 1 ) m ?1
k k k k

而正是成立的,所以原命题成立.

例 6.已知 an

? 4n ? 2n , Tn ?

3 2n ,求证: T1 ? T2 ? T3 ? ? ? Tn ? . 2 a1 ? a2 ? ? ? an
1? 4 1? 2 3

n n 解析: T ? 41 ? 42 ? 43 ? ? ? 4n ? (21 ? 22 ? ? ? 2n ) ? 4(1 ? 4 ) ? 2(1 ? 2 ) ? 4 (4n ? 1) ? 2(1 ? 2n ) n

所以
Tn ?

2n 4 n (4 ? 1) ? 2(1 ? 2n ) 3

?

2n 2n 3 ? 2n 3 2n ? n ?1 ? n ?1 ? ? n ?1 n 2 4 4 4 2 4 ? 3 ? 2 ? 2 2 2 ? (2 ) ? 3 ? 2n ? 1 ? ? 2 ? 2n ?1 ? ? 2n ?1 3 3 3 3
n ?1

?

3 2n 3? 1 1 ? ? ? ? ? ? n 2 (2 ? 2 ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ?1 ? 1 ?

从而 T1 ? T2 ? T3 ? ? ? Tn ?

3? 1 1 1 1 1 ? 3 ? n ?1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? n 2? 3 3 7 2 ? 1 2 ? 1? 2
1 1 ??? x4 ? x5
1 2? n
n ?1 ?

例 7.已知 x1 ? 1 , x ? ?n(n ? 2k ? 1, k ? Z ) ,求证: ? ? n 4 x ? x ?n ? 1(n ? 2k , k ? Z ) 2 3 证明:
4

4

4

1 ? x2 n x2 n ?1

2 ( n ? 1 ? 1)(n ? N *)

1 x 2 n x 2 n?1

?

1
4

(2n ? 1)( 2n ? 1)

?
1

1
4

4n ? 1
2

?

1
4

4n

2

?
2

?

2 2 n

,

因为

2 n ? n ? n ? 1 ,所以
4

x 2 n x 2 n ?1

?

2 2 n

?

n?

2( n ?1 ?

n)

所以
4

1 1 1 ? ??? ? 2 ( n ? 1 ? 1)(n ? N *) 4 4 x2 ? x3 x4 ? x5 x2n x2n ?1

二、函数放缩 例 8.求证:

ln 2 ln 3 ln 4 ln 3n 5n ? 6 ? ? ? ? ? n ? 3n ? (n ? N * ) . 2 3 4 3 6
x x

n 解析:先构造函数有 ln x ? x ? 1 ? ln x ? 1 ? 1 ,从而 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3 ? 3n ? 1 ? ( 1 ? 1 ? ? ? 1 ) n n

2

3

4

3

2

3

3

3

1 1 1 ? 1 1? ? 1 1 1 1 1 1? 1 1? ? 1 ? ??? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? n ? n ??? n ? 2 3 3 2 ?1 3 ? ? 2 3? ? 4 5 6 7 8 9? ?2
? ? 3 n ?1 5 ? 3 3? ? 9 9 ? 3 n ?1 ? 5n ?? ?? ? ??? ? ? ? ??? ? n ? 1 ? 2?3 6 ? 6 9 ? ? 18 27 ? 6 3n ? ? ?
n

所以 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3 ? 3n ? 1 ? 5n ? 3n ? 5n ? 6 n
2 3 4 3 6 6

例 9.求证:(1) ? ? 2,

ln 2? ln 3? ln n? 2n 2 ? n ? 1 ? ? ??? ? ? (n ? 2) 2(n ? 1) 2? 3 n
?
2

解析:构造函数 f ( x) ? ln x ,得到 ln n ? ln n ,再进行裂项 ? 2
x
n n

ln n 2 1 1 ,求和后可以得到答案 ? 1? 2 ? 1? 2 n(n ? 1) n n

函数构造形式:

ln x ? x ? 1 , ln n? ? n? ? 1(? ? 2)

例 10.求证:

1 1 1 1 1 ? ??? ? ln( n ? 1) ? 1 ? ? ? ? 2 3 n ?1 2 n

解析:提示: ln( n ? 1) ? ln

n ?1 n 2 n ?1 n ? ? ? ? ? ln ? ln ? ? ? ln 2 n n ?1 1 n n ?1
1 x
y

函数构造形式: ln x ? x, ln x ? 1 ? 当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数 f ( x) ? 1 ,
x

E F O A n-i n

D C B x

首先: S ABCF ?

n 1 ,从而, 1 1 ? i ? ? ? ln x |n n ? i ? ln n ? ln(n ? i ) ? x n x n ?i n ?i

n

取i

? 1 有, 1 ? ln n ? ln(n ? 1) ,
n
2

所以有 1 ? ln 2 , 1 ? ln 3 ? ln 2 ,…, 1 ? ln n ? ln(n ? 1) , 1 ? ln( n ? 1) ? ln n ,相加后可以得到: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln( n ? 1)
3
n

n ?1

2

3

n ?1

另一方面 S 取 i ? 1 有,

ABDE

?

1 ,从而有 1 ? i ? ? n?i n ?i x
n

1 ? ln x |n n ? i ? ln n ? ln( n ? i ) n ?i x

?

n

1 ? ln n ? ln( n ? 1) , n ?1

1 1 1 1 1 所以有 ln(n ? 1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ,所以综上有 ? ? ? ? ? ln( n ? 1) ? 1 ? ? ? ? 2 3 n ?1 2 n 2 n

例 11.求证: (1 ?

1 1 1 )(1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? e 和 (1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? ? ? (1 ? 1 ) ? e .解析:构造函数后即可证明 2! 3! n! 9 81 32n
解析 : ln[n(n ? 1) ? 1] ? 2 ?

例 12.求证 : (1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? ?? [1 ? n(n ? 1)] ? e 2n?3

3 ,叠加之后就可以得到 n(n ? 1) ? 1
4

答案 函数构造形式: ln( x ? 1) ? 2 ?

3 1 ? ln(1 ? x) 3 ( x ? 0) ? ? ( x ? 0) (加强命题) x ?1 x x ?1

例 13.证明:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n(n ? 1) ? ? ??? ? (n ? N *, n ? 1) 3 4 5 n ?1 4

解析:构造函数

f ( x) ? ln(x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1( x ? 1) ,求导,可以得到:

f ' ( x) ?
所以 所以

1 2? x ?1 ? ,令 f ' ( x) ? 0 有 1 ? x ? 2 ,令 f ' ( x) ? 0 有 x ? 2 , x ?1 x ?1

f ( x) ? f (2) ? 0 ,所以 ln(x ? 1) ? x ? 2 ,令 x ? n2 ? 1 有, ln n2 ? n2 ? 1

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n(n ? 1) ln n n ?1 ? ? ??? ? (n ? N *, n ? 1) ,所以 ? 3 4 5 n ?1 4 n ?1 2 2 1 1 例 14. 已知 a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? 2 )an ? n . 证明 an ? e n ?n 2 1 1 1 1 解析: a n ?1 ? (1 ? )a n ? n ? (1 ? ? n )a n , n(n ? 1) n(n ? 1) 2 2
然后两边取自然对数,可以得到 ln a n ?1

? ln(1 ?

1 1 ? n ) ? ln a n n(n ? 1) 2

1? 然后运用 ln(

x) ? x 和裂项可以得到答案)
1 1 1 1 ? n ) ? ln a n ? ? n )a n ? ln a n ?1 ? ln(1 ? 2 n ?n 2 n ?n 2
2

放缩思路: a n ?1 ? (1 ?

? ln a n ?
?
i ?1 n ?1

1 1 ? n2 ? n 2n
n ?1 i ?1

。于是 ln a n ?1 ? ln a n ?

1 1 ? n, n ?n 2
2

(ln ai ?1 ? ln ai ) ? ?

1 1 1 ( 2 ? ) ? ln a n ? ln a1 ? 1 ? ? n i ? i 2i

1 1 ? ( ) n ?1 1 1 2 ? 2 ? ? n ? 2. 1 n 2 1? 2

即 ln an 题还可用结论 2
n

? ln a1 ? 2 ? an ? e 2 .
x ( x ? 0 )为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本

注:题目所给条件 ln(1 ? x) ?

? n(n ? 1)(n ? 2) 来放缩:
1 1 )a n ? ? a n ?1 ? 1 ? (1 ? 1 )(a n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)
1 1 )? . ? n(n ? 1) n(n ? 1)
n ?1 n ?1

a n ?1 ? (1 ?

ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ?

?[ ln(a
i ?2

i ?1

? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ?
i ?2

1 1 ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 , i(i ? 1) n

即 ln(an ?1) ? 1 ? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e 2 . 例 16.(2008 年福州市质检)已知函数 f ( x) ? x ln x. 若 a ? 0, b ? 0, 证明: f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b). 解析:设函数 g ( x) ? f ( x) ? f (k ? x), (k ? 0)

? f ( x )? x l n x ? ,

x) ? l nk( x ) , x ? ( x? ? 0 ? x ? k. ? g ) ln ? x ? 1 l? n k( ? x ?) 1 l n k?x x 2x ? k k 令g ?( x )? 0则有 , ? ? 1 ? ? 0 ?x?k . k?x k?x 2

g (? x)

xl ?nx ? ( k

,

5

k k k ∴函数 g ( x )在[ , k )上单调递增,在 (0, k ] 上单调递减.∴ g ( x) 的最小值为 g ( ) ,即总有 g ( x) ? g ( ). 2 2 2 2 k k k k 而 g ( ) ? f ( ) ? f (k ? ) ? k ln ? k (ln k ? ln 2) ? f (k ) ? k ln 2, 2 2 2 2

? g ( x) ? f (k ) ? k ln 2,
即 令x

f ( x) ? f (k ? x) ? f (k ) ? k ln 2.
? a, k ? x ? b, 则 k ? a ? b.

? f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b) ln 2.

? f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b).

例 15.(2008 年厦门市质检) 已知函数 f ( x) 是在 (0,??) 上处处可导的函数,若 x ? (I)求证:函数 g ( x) ? f ( x) 在(0,?? ) 上是增函数;
x

f ' ( x) ? f ( x) 在 x ? 0 上恒成立.

(II)当 x1

? 0, x2 ? 0时, 证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ;
x在x ? ?1且x ? 0 时恒成立,

1 ? x) ? (III)已知不等式 ln(

n 求证: 1 ln 2 2 ? 1 ln 32 ? 1 ln 4 2 ? ? ? 1 ln(n ? 1) 2 ? (n ? N * ). 2 2 2 2 2(n ? 1)(n ? 2) 2 3 4 (n ? 1)

解析:(I) g ' ( x) ? f ' ( x) x ? f ( x) ? 0 ,所以函数 g ( x) ? f ( x) 在(0,?? ) 上是增函数 x x2 (II)因为 g ( x) ? f ( x) 在(0,?? ) 上是增函数,所以 x

f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ) x1 ? ? f ( x1 ) ? ? f ( x1 ? x2 ) x1 x1 ? x2 x1 ? x2

f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ) x2 ? ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ? x2 ) x2 x1 ? x2 x1 ? x2
两式相加后可以得到

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 )

x1 (3) f ( x1 ) ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? f ( x1 ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x1 x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn

f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x2 ? ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) …… x2 x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn
f ( xn ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) xn ? ? f ( xn ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) xn x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn

相加后可以得到: 所以 1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn )

x ln x1 ? x2 ln x2 ? x3 ln x3 ? ? ? xn ln xn ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ln(x1 ? x2 ? ? ? xn )
6

令 xn ?

1 ,有 (1 ? n) 2
? 1 1 1 ? ??? 32 4 2 (n ? 1) 2 ? ? 1 1 1 ? ? ? ln? ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? (n ? 1) 2 ? ? ? ? ? ?

? 1 1 1 1 2 2 2 2? ? 1 ?? ? 2 2 ln 2 ? 3 2 ln 3 ? 4 2 ln 4 ? ? ? (n ? 1) 2 ln( n ? 1) ? ??? 2 ? ? ? ?2
? 1 1 1 ?? ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? (n ? 1) 2 ?

n ? ? 1 1 1 ? ? ? ? 1 ?? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ln ? ? ? ? ? ? 2 ?1 3 ? 2 2(n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)n ? ? ? n ? 1 ?? 2 n ? 2 ? ? ?
1 n ln(n ? 1) 2 ? 2 2(n ? 1)(n ? 2) (n ? 1) (n ? N * ).

所以 1 ln 2 2 ? 1 ln 32 ? 1 ln 4 2 ? ? ? 2 2 2
2 3 4
2 2 (方法二) ln(n ? 1) ? ln(n ? 1) 2

(n ? 1)

(n ? 1)(n ? 2)

?

ln 4 1 ? ? 1 ? ln 4? ? ? (n ? 1)(n ? 2) ? n ?1 n ? 2 ?

1 1 ? n ln 4 所以 1 ln 2 2 ? 1 ln 32 ? 1 ln 4 2 ? ? ? 1 ln(n ? 1) 2 ? ln 4? ? ? ?? 2 2 2 2 2 3 4 (n ? 1) ? 2 n ? 2 ? 2(n ? 2)
n 又 ln 4 ? 1 ? 1 ,所以 1 ln 2 2 ? 1 ln 32 ? 1 ln 4 2 ? ? ? 1 ln(n ? 1) 2 ? (n ? N * ). 2 2 2 2 n ?1 2(n ? 1)(n ? 2) 2 3 4 (n ? 1)

三、分式放缩 姐妹不等式: b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 和 ? (a ? b ? 0, m ? 0) a a?m a a?m 记忆口诀”小者小,大者大”,解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之.

b

b?m

1 1 1 例 19. 姐妹不等式 : (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 2n ? 1 和 (1 ? 1 )(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (1 ? 1 ) ? 1 也可以表 3 5 2n ? 1 2 4 6 2n 2n ? 1
示成为

2 ? 4 ? 6 ?? 2n 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 1 ? 2n ? 1 和 ? 1? 3 ? 5 ??? (2n ? 1) 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 2n ? 1
b b?m ? (b ? a ? 0, m ? 0) 可得 a a?m

解析: 利用假分数的一个性质

1 3 5 2n ? 1 2 4 6 2n ? (2n ? 1) ? ? ? ? 3 ? 5 ? 7 ? 2n ? 1 ? ? ? ? 2 4 6 2n 1 3 5 2n ? 1 2 4 6 2n
?(

1 1 1 2 4 6 2n 2 ) ? 2n ? 1. ? ? ? ) ? 2n ? 1 即 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? )? (1 ? 3 5 2n ? 1 1 3 5 2n ? 1

1 1 1 例 20.证明: (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3n ? 1. 4 7 3n ? 2

解析: 运用两次次分式放缩:
2 5 8 3n ? 1 3 6 9 3n ? ? ?? ? ? . ? ??? ? 1 4 7 3n ? 2 2 5 8 3n ? 1
2 5 8 3n ? 1 4 7 10 3n ? 1 ? ? ??? ? . ? ??? ? 1 4 7 3n ? 2 3 6 9 3n

(加 1) (加 2)

相乘,可以得到:
3n ? 1 ? 4 7 10 3n ? 1 1 4 7 3n ? 2 ?2 5 8 ? ? ? ? ?? ? (3n ? 1) ? ? ? ? ?? ? ? . ? ? ?? ? 3n ? 2 ? 2 5 8 3n ? 1 2 5 8 3n ? 1 ?1 4 7 所以有 (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (1 ? 1 ) ? 3 3n ? 1. 4 7 3n ? 2
2

7

四、分类放缩 例 21.求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ?
2 3 1 n ? 2 ?1 2
n

解析: 1 ? 1 ? 1 ? ? ?
2 3

1 1 1 1 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ( ? ) ? ( 3 ? 3 ? 3 ? 3 ) ? ? ? ( n ? n ? ? ? n ) ? n ? ? (1 ? n ) ? 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 ?1 2 2 2 2
n
n

例 22. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , y 轴 正 半 轴 上 的 点 列 ?A ? 与 曲 线 y ? 2 x ( x ≥0 ) 上 的 点 列 ?Bn ? 满 足
OA n ? OB n ? 1 ,直线 A B 在 x 轴上的截距为 .点 的横坐标为 , n ? N ? . an Bn bn n n n
b1 b2 bn?1 bn

(1)证明 an > an?1 >4, n ? N ? ; (2)证明有 n0 ? N ? ,使得对 ?n ? n0 都有 b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn?1 < n ? 2008 .
1 1? 解析:(1) 依题设有: An ? ? 0, ? , Bn bn , 2bn , ? bn ? 0 ? ,由 OBn ? n 得: ? n?

?

?

bn 2 ? 2bn ?

1 1 ,?bn ? 2 ? 1 ? 1, n ? N * ,又直线 A B 在 x 轴上的截距为 an 满足 2 n n
n n

? an ? 0? ? ?
? an ?

1? ? 1? 2bn ? ? ? ? 0 ? ? ? bn ? 0 ? n? ? n? ?

an ?

1 bn ? 2n2bn ? 1 ? n2bn 2 ? 0, bn ? 2 ? 2 n bn 1 ? n 2bn

bn 1 ? n 2bn bn 1 2 1 1 ? ? 2 ? ? bn ? 2 ? 2bn ? 4 ? an ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? 1 2 n n 1 ? 2n bn n bn n bn 1 ? n 2bn
n ?1

?

?

显然,对于 1 ? 1 ? 0 ,有 an
n

? an?1 ? 4, n ? N *

(2)证明:设 cn ? 1 ? bn ?1 , n ? N * ,则 bn

cn ?

1 ?1 ? n2

1

? n ? 1?

2

?1

1 ? 1 ?1 n2

? 1 1 ? ? n2 ? 2 ? ? ? n ? n ? 1?2 ? ? ?

1 ?1 ?1 n2 1 1 ?1 ? ?1 2 2 n ? n ? 1?

? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 2n ? 1 n 2 2n ? 1 1 1 2n ? 1 ? ?? ? ? ? 2 2 2 ? n ? 1? 2 1 ? 1 ? n ? 1? ? 2 2 1 ? 1 ? 2 ? n ? 1? ? ? n2 n2 ? ?

? ? 2n ? 1?? n ? 2 ? ? 2 ? n ? 1? ? n ? 0,? cn ?
2

1 ,n? N* n?2

设 Sn

? c1 ? c2 ??? cn , n ? N * ,则当 n ? 2k ? 2 ? 1? k ? N * ? 时,

1 1 1 1 ?1 1? ? 1 1? ? 1 1 ? Sn ? ? ? ? ? k ? k ? ? ? ??? 2 ? ? ? 3 ? ? ? k ?1 ? ? ? k ? 3 4 2 ?1 2 ? 3 4 ? ? 2 ?1 2 ? ? 2 ?1 2 ?

? 2?

1 1 1 k ?1 ? 22 ? 3 ? ? ? 2k ?1 ? k ? 。 2 2 2 2 2

所以,取 n0

? 24009 ? 2 ,对 ?n ? n0 都有:
8

? b2 ? ?1 ? b 1 ?
故有

? ? b3 ? ??? ?1 ? ? ? b2

? bn ?1 ? ? 4017 ? 1 ? ? 2008 ? ??? ? ?1 ? b ? ? ? S n ? S n0 ? 2 n ? ? ?

b b b2 b3 ? ? ? ? n ? n?1 < n ? 2008 成立。 b1 b2 bn?1 bn

例 23.已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b ? 1, c ? R) ,若 f ( x) 的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0].若数列 {bn } 满足
bn ? f ( n) (n ? N * ) ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,问是否存在正常数 A,使得对于任意正整数 n 都有 Tn n3

? A ?并

证明你的结论。 解析:首先求出

f ( x) ? x2 ? 2x ,∵ bn ?
2 3

f ( n) n 2 ? 2n 1 ? ? n3 n3 n
n
3 4 4 2 5

∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ,∵ 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 , 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 4 ? 1 ? 1 ,…
6 7 8 8 2
k 1 1 1 1 1 k ? ? ? ? k ? 2 k ?1 ? k ? ,故当 n ? 2 时, Tn ? ? 1 , 2 k ?1 ? 1 2 k ?1 ? 2 2 2 2 2

因此,对任何常数 A,设 m 是不小于 A 的最小正整数, 则当 n ? 2 2 m ? 2 时,必有 T ? 2m ? 2 ? 1 ? m ? A . n
2

故不存在常数 A 使 Tn ? A 对所有 n ? 2 的正整数恒成立. 例 24. 设不等式组 ? y ? 0, ?
? x ? 0,

表示的平面区域为 Dn ,

? y ? ? nx ? 3n ?

设 D 内整数坐标点的个数为 an .设 S n ? 1 ? 1 ? ? ? 1 , 当 n ? 2 时,求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 7n ? 11 . a n?1 a n? 2 a2n a1 a2 a3 a 2n 36
n

1 1 1 7n ? 11 解析:容易得到 an ? 3n ,所以,要证 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 7n ? 11 只要证 S 2 n ? 1 ? ? ? ? ? n ? ,因为 2 3 2 12 a1 a2 a3 a 2n 36
S2 n ? 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ? ? ( n ?1 ? n ?1 ? ? ? n ? 1 ? ? T2 ? T2 ? ? ? T2 2 3 4 5 6 7 8 2 ?1 2 ? 2 2 2
1 2 n ?1

?

3 7 7n ? 11 ,所 ? (n ? 1) ? 2 12 12

以原命题得证 五、迭代放缩 例 25. 已知 xn ?1
n xn ? 4 1? n ? , x1 ? 1 ,求证:当 n ? 2 时, ? | xi ? 2 | ? 2 ? 2 xn ? 1 i ?1

解析:通过迭代的方法得到 x n ? 2 ? 例 26. 设 S n ?

1 2 n ?1

,然后相加就可以得到结论

sin 1! sin 2! sin n! 1 ? 2 ? ? ? n ,求证:对任意的正整数 k,若 k≥n 恒有:|Sn+k-Sn|<n 1 2 2 2

sin( n ? 1)! sin( n ? 2)! sin( n ? k ) ? ??? | n ?1 n?2 2 2 2 n?k sin( n ? 1)! sin( n ? 2)! s i nn (? k) 1 1 1 ?| |?| | ??? | |? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? n ? k n ?1 n?2 n?k 2 2 2 2 2 2
解析: | S n ? k ? S n |?|
9

?

1 1 1 1 1 1 1 ( ? 2 ? ? ? k ) ? n ? (1 ? k ) ? n n 2 2 2 2 2 2 2

0 1 n 又 2 n ? (1 ? 1) n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ?n

所以 | S n ? k ? S n |?

1 1 ? n n 2

六、借助数列递推关系 例 27.求证:

1 1? 3 1? 3 ? 5 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? ??? ? 2n ? 2 ? 1 2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

解析: 设 a n ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 则 a n ?1

?

2n ? 1 a n ? 2(n ? 1)a n?1 ? 2nan ? a n ,从而 2(n ? 1)

an ? 2(n ? 1)an?1 ? 2nan ,相加后就可以得到
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 2(n ? 1)a n?1 ? 2a1 ? 2(n ? 1) ?
所以

1 2n ? 3

? 1 ? (2n ? 2) ?

1 2n ? 2

?1

1 1? 3 1? 3 ? 5 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? ??? ? 2n ? 2 ? 1 2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1 1? 3 1? 3 ? 5 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 例 28. 求证: ? ? ??? ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 解析: 设 a n ? 则 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
a n ?1 ? 2n ? 1 a n ? [2(n ? 1) ? 1]a n?1 ? (2n ? 1)a n ? a n ?1 ,从而 2(n ? 1)

an ?1 ? [2(n ? 1) ? 1]an?1 ? (2n ? 1)an ,相加后就可以得到
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? (2n ? 1)a n?1 ? 3a1 ? (2n ? 1) ?
例 29. 若 a1

1 2n ? 1

?

3 ? 2n ? 1 ? 1 2

? 1, an?1 ? an ? n ? 1,求证: 1

a1

?

1 1 ??? ? 2( n ? 1 ? 1) a2 an

解析: an? 2 ? an?1 ? n ? 2 ? an ? an?1 ? 1 ? 1 ? an? 2 ? an an?1 所以就有 七、分类讨论 例 30.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 有

1 1 1 1 ? ??? ? ? an?1 ? an ? a2 ? a1 ? 2 an?1an ? a2 ? 2 n ? 1 ? 2 a1 a2 an a1

Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1. 证明:对任意的整数 m ? 4 ,

1 1 1 7 ? ??? ? a 4 a5 am 8
解析:容易得到 a n ? 2 ?2 n ? 2 ? ( ?1) n ?1 ? ., 3 当 n ? 3 且 n 为奇数时 由于通项中含有 (?1) ,很难直接放缩,考虑分项讨论:
n

1 1 3 1 1 3 2 n?2 ? 2 n?1 ? ? ( n?2 ? n?1 ) ? ? 2n?3 an an?1 2 2 ? 1 2 ? 1 2 2 ? 2 n?1 ? 2 n?2 ? 1

3 2 n ?2 ? 2 n ?1 3 1 1 ,于是 ? ? ? ( n ?2 ? n ?1 ) (减项放缩) 2 n ?3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ① 当 m ? 4 且 m 为偶数时 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? ( ? ) ??? ( ? ) a4 a5 a 6 a m?1 a m a 4 a5 am ?
10

?

1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 7 ? ( ? ? ? ? m ? 2 ) ? ? ? ? (1 ? m ? 4 ) ? ? ? . 2 2 23 2 4 2 2 4 2 8 8 2 2

②当 m ? 4 且 m 为 奇 数 时 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ( 添 项 放 缩 ) 由 ①知 a 4 a5 a m a m?1 a 4 a5 am
1 1 1 1 7 ② 得证。 ? ??? ? ? . 由① a 4 a5 a m a m?1 8

八、线性规划型放缩 例 31. 设函数 f ( x ) ?

2x ?1 .若对一切 x ? R , ?3 ? af ( x) ? b ? 3 ,求 a ? b 的最大值。 x2 ? 2
2( x ? 2)
2 2

2 2 解析:由 ( f ( x) ? 1 )( f (1) ? 1) ? ?( x ? 2) ( x ? 1) 知 ( f ( x) ? 1 )( f (1) ? 1) ? 0

2

2



?

1 ? f ( x )? 1 2

由此再由 f ( x) 的单调性可以知道 f ( x) 的最小值为 ? 1 ,最大值为 1
2

?a ? b ? ?3 ?a ? b ? 3 1 ? ? ?3 ? ? a ? b ? 3 ? ?3 ? af ( x) ? b ? 3 的充要条件是, b 满足约束条件 ? 1 因此对一切 x ? R , 即a, , 2 ? ?? a ? b ? ? 3 ? ? 2 ??3 ? a ? b ? 3 ? 1 ?? a ? b ? 3 ? 2

由线性规划得, a ? b 的最大值为 5. 九、均值不等式放缩
2 例 32.设 S n ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1). 求证 n(n ? 1) ? S n ? (n ? 1) . 2 2

解析: 此数列的通项为 ak ? k (k ? 1) , k ? 1,2,?, n. n n k ? k ?1 1 1 ? k ? k (k ? 1) ? ? k ? ,? ? k ? S n ? ? (k ? ) , 2 2 2 k ?1 k ?1 即 n(n ? 1) ? S n ? n(n ? 1) ? n ? (n ? 1) .
2

2

2

2

2

注: ①应注意把握放缩的 “ 度 ” :上述不等式右边放缩用的是均值不等式 ab ?

a?b ,若放成 2

k (k ? 1) ? k ? 1则得 S n ? ? (k ? 1) ? (n ? 1)(n ? 3) ? (n ? 1)
n k ?1

,就放过“度”了! 2 2 ② 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里
n

2

n ? 1 1 ??? a1 an

a1 ? a n ?

a1 ? ? ? a n ? n

2 2 a1 ? ? ? an n

其中, n ? 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。 例 33.已知函数 f ( x ) ?

1 1 4 ,且 f ( x) 在[0,1]上的最小值为 , bx ,若 f (1) ? 2 1? a ? 2 5
1 2
n ?1

求证: f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? n ?

1 ? . 2

x 解析: f ( x) ? 4 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ( x ? 0) ? f (1) ? ? ? f (n) ? (1 ? 1 ) 2? 2 1? 4x 1? 4x 2 ? 2x

? (1 ?

1 1 1 1 1 1 1 ) ? ? ? (1 ? ) ? n ? (1 ? ? ? ? n ?1 ) ? n ? n ?1 ? . 2 n 4 2 2 2? 2 2? 2 2 2
n 1 1 ? ? 1 ,试证:对每一个 n ? N ? , (a ? b) a b

例 34.已知 a , b 为正数,且

? a n ? b n ? 2 2n ? 2 n?1 .
11

解析: 由 1 ? 1 ? 1 得 ab
a b
n 0 n n 1 n

? a ? b ,又 (a ? b)( 1 ? 1 ) ? 2 ? a ? b ? 4 ,故 ab ? a ? b ? 4 ,而
a b b a
n?1 r n n?r

(a ? b) ? C a ? C a b ? ? ? C a

i

b ? ?? C b
r n n

n



f (n) ? (a ? b) n ? a n ? b n ,则 f (n) = Cn a
n?i

1

n?1

r n ?r r n?1 b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn abn?1 ,因

为 Cn ? Cn ,倒序相加得

2 f (n) = Cn (a

1

n?1

r n?1 b ? abn?1 ) ? ? ? Cn (a n?r b r ? a r b n?r ) ? ? ? Cn (abn?1 ? a n?1b) ,
n

而 a n?1b ? abn?1 ? ? ? a n?r b r ? a r b n?r ? ? ? abn?1 ? a n?1b ? 2 a n b n ? 2 ? 4 2 ? 2 n?1 ,
n ?1 1 r n?1 则 2 f (n) = (Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn )(a r b n?r ? a n?r b r ) ? (2n ? 2)(a r b n?r ? a n?r b r ) ? (2 n ? 2) ? 2 ,所以 f (n) ? (2 n ? 2) ? 2 n ,

即对每一个 n ? N ? , (a ? b) n ? a n ? b n ? 2 2n ? 2 n?1 .
1 2 3 n 例 35.求证 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? n?2 n?1 2

(n ? 1, n ? N )

解析: 不等式左
1 2 3 n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 n ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ? n ? n 1? 2 ? 22 ??? 2n?1 =
n ?1 2

n?2

,原结论成立.
n

例 36.已知 f ( x) ? e x ? e ? x ,求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (n) ? (e n?1 ? 1) 2

1 1 e x1 e x2 1 x2 x1 ? x2 解析: f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? (e ? x ) ? (e ? x ) ? e ? x2 ? x1 ? x1 x2 ? e x1 ? x2 ? 1 1 2 e e e e e ?e
x1
n

经过倒序相乘,就可以得到 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (n) ? (e n?1 ? 1) 2 例 37.已知 f ( x) ? x ?

1 ,求证: x

f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?? f (2n) ? 2n (n ? 1)n
1 k 2n ? 1 ? k 1 ) ? k (2n ? 1 ? k ) ? ? ? ? 2(2n ? 1 ? k ) ? 2 2n ? 1 ? k 2n ? 1 ? k k k (2n ? 1 ? k )

解析: (k ? )(2n ? 1 ? k ? 其中: k

1 k

? 1,2,3,?,2n ,因为 k ? 2n ? k (1 ? k ) ? 2n ? (k ? 1)(2n ? k ) ? 0 ? k (2n ? 1 ? k ) ? 2n
1 1 )( 2n ? 1 ? k ? ) ? 2n ? 2 k 2n ? 1 ? k

所以 ( k ?

从而 [ f (1) ?

f (2) ? f (3) ??? f (2n)]2 ? (2n ? 2)2n ,所以 f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n) ? 2n (n ? 1)n .
1 1 1 1 3 ? ? ??? ? . n n ?1 n ? 2 nk ? 1 2

例 38.若 k ? 7 ,求证: S n ? 解析: 2Sn ? ( 1 ?
n

1 1 1 1 1 1 1 )?( ? )?( ? ) ??? ( ? ) nk ? 1 n ? 1 nk ? 2 n ? 2 nk ? 3 nk ? 1 n

1 1 4 1 1 因为当 x ? 0, y ? 0 时, x ? y ? 2 xy , 1 ? 1 ? 2 ,所以 ( x ? y )( ? ) ? 4 ,所以 ? ? , x y x? y x y x y xy
当且仅当 x ? y 时取到等号. 所以 2Sn ?
4 4 4 4 4n(k ? 1) ? ? ??? ? n ? nk ? 1 n ? 1 ? nk ? 2 n ? 2 ? nk ? 3 n ? nk ? 1 n ? nk ? 1
12

1 1 1 1 3 所以 S ? 2(k ? 1) ? 2(k ? 1) ? 2 ? 4 ? 3 所以 S n ? ? ? ??? ? n n n ?1 n ? 2 nk ? 1 2 1 k ?1 k ?1 2
1? k ? n
2

例 39.已知

f ( x) ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ,求证: f (0) ? f (1) ? a

16

.

a2 . 16 例 40.已知函数 f(x)=x2-(-1)k· 2lnx(k∈N*).k 是奇数, n∈N*时, - 求证: [f’(x)]n-2n 1· f’(xn)≥2n(2n-2).
解析: f (0) ? f (1) ? a 2[ x1 (1 ? x1 )][x2 (1 ? x2 )] ? 解析: 由已知得, f ?( x) ? 2 x ?

2 ( x ? 0) x
x

(1)当 n=1 时,左式= (2 x ? 2 ) ? (2 x ? 2 ) ? 0 右式=0.∴不等式成立.
x

(2) n ? 2 , 左式= [ f ?( x)] n ? 2 n ?1 ? f ?( x n ) ? (2 x ? 2 ) n ? 2 n ?1 ? (2 x n ? 2 ) n
x x
1 n?2 2 n?4 n?2 ? 2 n (C n x ? Cn x ? ? ? Cn

1 x
n?4

n ?1 ? Cn

1 x n?2

).

令S

1 n? 2 2 n? 4 n? ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn

x

2 n?4

1

n? ? Cn

x

1 n?2

1

由倒序相加法得:
1 2S ? C n ( x n?2 ?

1 x
n?2

2 ) ? Cn ( x n?4 ?

1 x
n?4

n ?1 ) ? ? ? Cn (

1 x
n?2

? x n?2 )

1 2 n?1 ? 2(Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? 2(2n ? 2) ,

所以 S 所以 [ f

? (2 n ? 2).

?( x)]n ? 2 n?1 ? f ?( x n ) ? 2 n (2 n ? 2)成立. 综上,当 k 是奇数, n ? N ? 时,命题成立

例 41.已知函数 f ( x) ? a x ? x(a ? 1) (1)求函数 f ( x) 的最小值,并求最小值小于 0 时的 a 取值范围; (2)令 S (n)
1 ' 2 ' n?1 ' ? Cn f (1) ? Cn f (2) ? ? ? Cn f (n ? 1) 求证: S (n) ? (2 n ? 2) ? f ' ( n )

2

(1)由f ' ( x) ? a x ln a ? 1, f ' ( x) ? 0, 即:a x ln a ? 1,? a x ? 同理:f ' ( x) ? 0, 有x ? ? loga ln a,

1 , 又a ? 1? x ? ? loga ln a ln a

所以f ' ( x)在(??,? loga ln a )上递减,在(? loga ln a,??)上递增; 所以f ( x) min ? f (? loga ln a ) ? 若f ( x) min ? 0, 即 1 ? ln ln a ln a

1 ? ln ln a 1 ? 0, 则 ln ln a ? ?1,? ln a ? ln a e
1 e

? a的取值范围是 1? a ? e

13

1 2 n ?1 ( 2) S ( n ) ? C n (a ln a ? 1) ? C n (a 2 ln a ? 1) ? ? ? C n (a n ?1 ln a ? 1) 1 2 2 n ?1 n ?1 1 2 n ?1 ? (C n a ? Cn a ? ? ? Cn a ) ln a ? (C n ? Cn ? ? ? Cn )

1 1 2 n ?1 ? [C n (a ? a n ?1 ) ? C n (a 2 ? a n ?2 ) ? ? ? C n (a n ?1 ? a )]ln a ? (2 n ? 2) 2 ? a (2 n ? 2) ln a ? (2 n ? 2) n ? (2 ? 2)(a ln a ? 1) ? (2 n ? 2) f ' ( ), 2 所以不等式成立。
n n 2 n 2

★ 例 42. (2008 年江西高考试题)已知函数 f ? x ? ? 证明: 1 ?

1 1 ax , x ? 0, ? ? .对任意正数 a , ? ? ? ? ax ? 8 1? x 1? a

f ? x? ? 2.
f ( x) ? 1 1 ? ? 1? x 1? a 1 1? 8 ax

解析:对任意给定的 a ? 0 , x ? 0 ,由

,

若令 b ?

8 1 1 1 ,则 abx ? 8 ①,而 f ? x ? ? ② ? ? ax 1? x 1? a 1? b
1 1 1 1 , 1 1 , , ? ? ? 1? b 1? b 1? x 1? x 1? a 1? a

(一) 、先证 f ? x ? ? 1;因为

又由 2 ? a ? b ? x ? 2 2a ? 2 bx ? 4 4 2abx ? 8 ,得 所以 f ? x ? ?

a ?b ? x ? 6.
? 3 ? 2(a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b)

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 1? x 1? a 1? b 1? x 1? a 1? b

?

9 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) 1 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) ? abx ? ? 1. (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b) (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b)

(二) 、再证 f ? x ? ? 2 ;由①、②式中关于 x, (ⅰ ) 、当 a ? b

a, b 的对称性,不妨设 x ? a ? b .则 0 ? b ? 2
1 ? 1, 1? b

? 7 ,则 a ? 5 ,所以 x ? a ? 5 ,因为
f ? x? ?

1 1 2 ? ? ? 1 ,此时 1? x 1? a 1? 5

1 1 1 ? ? ?2. 1? x 1? a 1? b
1 ab , ? ab ?8 1? x

(ⅱ ) 、当 a ? b ? 7 ③,由① 得 ,x ? 8 ,
ab

因为

1 b b2 b 2 所以 ?1 ? ? ? [1 ? ] 1? b 1? b 4 ( 1 ? b2 ) 2? (1 b )
1 a ⑤ ,于是 ? 1? 2 (1 ?a ) 1? a

1 b ? 1? 2(1 ? b) 1? b



同理得

1? a b ab ? f ? x? ? 2 ? ? ? ? 2 ?⑥ 2? ab ? 8 ? ? 1? a 1? b ?
14

今证明

a b ab ⑦ ab , 因为 a ? b ? 2 , ? ?2 1? a 1? b ab ? 8 1? a 1? b (1 ? a)(1 ? b)
ab a b ,即 ,此为显然. ab ? 8 ? (1 ? a)(1 ? b) ,也即 a ? b ? 7 ,据③ ? ( 1? a ) ( ? 1 b ) a b? 8
f ( x) ? 2 .

只要证

因此⑦ 得证.故由⑥ 得

综上所述,对任何正数 a, x ,皆有 1 ? f ? x ? ? 2 . 例 43.求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 n ?1 n ? 2 3n ? 1 解析:一方面:

1 1 1 1 ?1 1? 1 2 ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?1 n ?1 n ? 2 3n ? 1 2 ? 3 4 ? 2 4

(法二)

1 1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1? 1 ?? ? 1 ? ??? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ??? ?? n ?1 n ? 2 3n ? 1 2 ?? n ? 1 3n ? 1 ? ? n ? 2 3n ? ? 3n ? 1 n ? 1 ??
? 1 ? 4n ? 2 4n ? 2 4n ? 2 ? ?? ? ??? ? 2 ? ( 3 n ? 1 )( n ? 1 ) 3 n ( n ? 2 ) ( n ? 1 )( 3 n ? 1 ) ? ?

?

? ? (2n ? 1) 2 1 1 1 ?? ? ?2n ? 1? ? ? ? ? ? ? ?1 2 ? (2n ? 1) 2 ? n 2 (2n ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 (2n ? 1) 2 ? n 2 ? ? ? (2n ? 1)
另一方面: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 2 ? 2 n ?1 n ? 2 3n ? 1 n ? 1 n ?1 十、二项放缩
0 1 n 0 1 , 2 n ? Cn 2 n ? (1 ? 1) n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? n ? 1,

0 1 2 2 n ? Cn ? Cn ? Cn ?

n2 ? n ? 2 2

2 n ? n(n ? 1)(n ? 2)

例 44. 已知 a1 解析: a ? (1 ? n ?1

? 1, an ?1 ? (1 ?

1 1 ) a ? . a ? e2 n 2 n 证明 n n ?n 2

1 1 1 )(a n ? 1) ? )a n ? ? a n ?1 ? 1 ? (1 ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) n ?1 n ?1 1 1 1 1 ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ? )? . ? ? [ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ? ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 , n(n ? 1) n(n ? 1) n i ?2 i ? 2 i (i ? 1)

即 ln(an ? 1) ? 1 ? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e 2 .
n m i i ; 45. 已知 i, m, n 是正整数,且 1 ? i ? m ? n. (1)证明 ni Am (2)证明 (1 ? m) ? (1 ? n) . ? mi An

简析 对第 (2) 问: 用 1 / n 代替 n 得数列 {b } : b
n

1 n

? (1 ? n) n

是递减数列; 借鉴此结论可有如下简捷证法: 数列 {(1 ? n) n }

1

递减,且 1 ? i ? m ? n, 故 (1 ? m)

1 m

? (1 ? n) n , 即 (1 ? m)

1

n

? (1 ? n) m 。

当然,本题每小题的证明方法都有 10 多种,如使用上述例 5 所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房 问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!详见文[1]。 例 46.已知 a+b=1,a>0,b>0,求证: a
n

? b n ? 21? n.

n n 1 1 ? ?1 ? 1? n 解析: 因为 a+b=1,a>0,b>0,可认为 a, , b 成等差数列,设 a ? 1 ? d , b ? 1 ? d ,从而 a n ? b n ? ? ? ?d? ?? ?d? ? 2 2 2 2 ?2 ? ?2 ?

15

2 8 47.设 n ? 1, n ? N ,求证 ( ) n ? . 3 (n ? 1)(n ? 2)
解析: 观察 ( 2 ) n 的结构,注意到 ( 3 ) n ? (1 ? 1 ) n ,展开得
2 2 3 1 (n ? 1)( n ? 2) ,得证. 1 n 1 1 1 n n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) ? 6 ,即 1 2 3 (1 ? ) n ? (1 ? ) ? 1 ? C n ? ? Cn ? 2 ? Cn ? 3 ?? ? 1? ? ? 2 8 2 2 2 8 8 2 2

ln 3 ? ln 2 1 ln 2 . 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!) ? ln(1 ? ) ? n 2n n 例 42.(2008 年北京海淀 5 月练习) 已知函数 y ? f ( x), x ? N* , y ? N* ,满足: ①对任意 a, b ? N* , a ? b ,都有 af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a) ; ②对任意 n ? N* 都有 f [ f (n)] ? 3n .

例 48.求证:

(I)试证明: f ( x) 为 N 上的单调增函数; (II)求 f (1) ? f (6) ? f (28) ; (III)令 an ? f (3n ), n ? N* ,试证明:.
n 1 1 1 1 ≤ ? ??? ? 4n ? 2 a1 a2 an 4

*

解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性: 因为 af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a) ,所以可以得到 (a ? b) f (a) ? (a ? b) f (b) ? 0 , 也就是 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 , 不妨设 a ? b ,所以 ,可以得到 f (a) ? f (b) ,也就是说 f ( x) 为 N 上的单调增 函数. (2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力! 首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路 了! 由(1)可知 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 ,令 b ? 1, a ? f (1) ,则可以得到 ( f ( x) ? 1)( f ( f (1)) ? f (1)) ? 0 ,又 f ( f (1)) ? 3 ,所以由不等式可以得到 1 ? f (1) ? 3 ,又 f (1) ? N * ,所以可以得到 f (1) ? 2 ① 接下来要运用迭代的思想: 因为 f (1) ? 2 ,所以 f (2) ? f [ f (1)] ? 3 , f (3) ? f [ f (2)] ? 6 , f (6) ? f [ f (3)] ? 9 ② f (9) ? f [ f (6)] ? 18 , f (18) ? f [ f (9)] ? 27 , f (27) ? f [ f (18)] ? 54, f (54) ? f [ f (27)] ? 81 在此比较有技巧的方法就是: 81 ? 54 ? 27 ? 54 ? 27 ,所以可以判断 f (28) ? 55 ③
*

当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后 就可以得到结论. 所以,综合①②③有 f (1) ? f (6) ? f (28) = 55 ? 9 ? 2 ? 66 (3)在解决 {an} 的通项公式时也会遇到困难.
f [ f (3n )] ? 3n?1, f (3n?1) ? f { f [ f (3n )]} ? 3 f (3n ), ? an?1 ? 3an , 所 以 数 列 an ? f (3n ), n ? N* 的 方 程 为 an ? 2 ? 3n , 从 而
1 1 1 1 1 ? ??? ? (1 ? n ) , a1 a2 an 4 3
0 1 一方面 1 (1 ? 1 ) ? 1 ,另一方面 3n ? (1 ? 2)n ? Cn ? 20 ? Cn ? 21 ? 2n ? 1 n

4

3

4

所以 1 (1 ? 1 ) ? 1 (1 ? n
4 3 4

1 1 2n n ,所以,综上有 n 1 1 1 1 )? ? ? ≤ ? ??? ? . 2n ? 1 4 2n ? 1 4n ? 2 4n ? 2 a1 a2 an 4

例 49. 已知函数 f?x?的定义域为[0,1],且满足下列条件: ① 对于任意 x ?[0,1],总有 f ? x ? ? 3 ,且 f ?1? ? 4 ;② 若 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1, 则有 f ? x1 ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ( x2 ) ? 3.
16

(Ⅰ )求 f?0?的值; (Ⅱ )求证:f?x?≤4; (Ⅲ )当 x ? ( 1 , 1 ](n ? 1,2,3, ???) 时,试证明: f ( x) ? 3x ? 3 . n n ?1
3 3

解析: (Ⅰ )解:令 x1 ? x2 ? 0 ,由① 对于任意 x ?[0,1],总有 f ? x ? ? 3 , ∴ f (0) ? 3 又由② 得 f (0) ? 2 f (0) ? 3, 即 f (0) ? 3; (Ⅱ )解:任取 x1 , x2 ?[0,1], 且设 x1 ? x2 , 因为 x2 ? x1 ? 0 ,所以 f ( x

? 3. ∴f ( 0 )

则 f ( x2 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 3, ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

2

? x1 ) ? 3 ,即 f ( x2 ? x1 ) ? 3 ? 0,

∴ 当 x ?[0,1]时, f ( x) ? f (1) ? 4 . (Ⅲ )证明:先用数学归纳法证明: f ( 1 ) ? 1 ? 3(n ? N*) n ?1 n ?1
3 3

(1) 当 n=1 时, f ( 1 ) ? f (1) ? 4 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ,不等式成立; 0 0
3 3

(2) 假设当 n=k 时, f ( 由 f(

1 1 )? ? 3(k ? N*) 3k ?1 3k ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? f [ k ? ( k ? k )] ? f ( k ) ? f ( k ? k ) ? 3 ? f ( k ) ? f ( k ) ? f ( k ) ? 6 3 3 3 3k ?1 3 3 3 3 3 3
1 1 ) ? 6 ? k ?1 ? 9. 3k ?1 3

得3f ( 1 ) ? f (
3k

即当 n=k+1 时,不等式成立 由(1) 、 (2)可知,不等式 f ( 于是,当 x ? (
1 1 )? ? 3 对一切正整数都成立. 3n?1 3n?1

1 1 1 1 1 , n?1 ](n ? 1,2,3, ???) 时, 3x ? 3 ? 3 ? n ? 3 ? n?1 ? 3 ? f ( n?1 ) , n 3 3 3 3 3
1 1 ) ? f ( n?1 ) n 3 3 求证: (i ? 1,2?n)
∴f ( 所以, f ( x) ? f ( 1 ) ? 3x ? 3. n ?1
3
2 2 2 an an a12 a2 1 ?1 ? ??? ? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a 1 2

而 x ?[0,1], f ? x ? 单调递增 例 50. 已知: a1 ? a2 ??? an ? 1, ai ? 0 解析:构造对偶式:令 A ? a12
B?
a1 ? a2 ?

2 2 2 an an a2 ?1 ??? ? a 2 ? a3 an?1 ? an an ? a1

2 2 2 a3 an a2 a12 ? ??? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a1

2 2 2 2 2 2 2 2 则 A ? B ? a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ? an ? a1 = (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? ? ? (an?1 ? an ) ? (an ? a1 ) ? 0,? A ? B

a1 ? a2

a 2 ? a3
2 j

an?1 ? an

an ? a1

又? a
?A?

2 i

?a

ai ? a j

?

1 (ai ? a j ) 2

( i, j ? 1,2?n)

2 2 2 a 2 ? a3 a 2 ? an a 2 ? a12 ? 1 ?(a ? a ) ? (a ? a ) ? ? ? (a ? a ) ? (a ? a )? ? 1 1 1 a 2 ? a2 ( A ? B) ? ( 1 )? 2 ? ? ? n?1 ? n 1 2 2 3 n ?1 n n 1 2 2 2 a1 ? a2 a 2 ? a3 an?1 ? an an ? a1 4

十一、积分放缩 利用定积分的保号性比大小,保号性是指,定义在 ? a, b? 上的可积函数 f ? x? ? ? ?? 0 ,则 例 51.求证: ? e ? e? . 解析:

? f ? x ? dx ? ? ?? 0 .
b a

? e ? e? ?

ln ?

?

?

? ln e ? ? ln x ? ? 1 ? ln x ln ? ln e ? ln x ? ,∵ ? ?? ? d ? dx , ? ? 2 ? ? ? e e ? e ? x ? ? x ? e x e

17

? e 利用定积分估计和式的上下界:定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积,现在用它来估计小矩 形的面积和.
x
e

ln ? ln e , e x ? x x ? ? e,? ? 时, 1 ? ln ? ? e? . ? ? 0 , ? 1 ? ln dx ? 0 ,∴ 2 2
x

例 52. 求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? n ? 1 ? 1? , ? n ? 1, n ? N ? .
2 3 n

解析: 考虑函数 f ? x ? ?

1 x

在区间 ?i, i ? 1? ?i ? 1, 2,3,?, n? 上的定积分.

如图,显然 1 ? 1 ?1 ? i ?1 1 dx -① ?i
i i x
n n i ?1 1 对 i 求和, ? 1 ? ? dx ? ? i i ?1 i x i ?1

?

n ?1

1

1 dx ? ?2 x ? n?1 ? 2 ? n ? 1 ? 1? . ? ?1 x
2n 10

例 53. 已知 n ? N , n ? 4 .求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 7 .
n ?1 n ? 2
i? , ? ? n n? ?

n?3

解析:考虑函数 f ? x ? ? 1 在区间 ? i ?1
1? x

?i ? 1, 2,3,?, n? 上的定积分.

∵1
n?i

1 1 ? ? n 1? i n

? ?in ?1
n

i

1 dx -② 1? x

∴n

? n?i ? ? 1 ?
n

1

1

i ?1

i ?1

n 1? i n

? ? ?in ?1
i ?1 n

n

i

1 1 1 1 dx ? ?0 dx ? ? ?ln ?1 ? x ? ? ?0 1? x 1? x

? ln 2 ?

7 . 10

例 54.设 a ? 0 ,如图,已知直线 l : y ? ax及曲线 C : y ? x 2 , C 上的点 Q1 的横坐标为 a1 ( 0 ? a1 ? a ).从 C 上的点 Qn ? n ? 1? 作直线平行于 x 轴,交直线 l 于点 Pn?1 ,再从点 Pn ?1 作直线平行于 y 轴,交曲线 C 于点 Qn?1 . Qn ? n ? 1, 2,?, n? 的横坐标 构成数列 ?an ? . (Ⅰ )试求 an ?1 与 an 的关系,并求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ )当 a ? 1, a ? 1 时,证明 1 ? (a
n

2

k ?1

k

? ak ?1 )ak ? 2 ?

1 ; 32

n 1 (Ⅲ )当 a ? 1 时,证明 ? (ak ? ak ?1 )ak ? 2 ? . k ?1

3

解析: an ? a (

a1 2 n?1 ) (过程略). a
2
4 16

2 证明(II) :由 a ? 1 知 an?1 ? an ,∵a1 ? 1 ,∴a2 ? 1 , a3 ? 1 .

∵ 当 k ? 1 时, ak ? 2 ? a3 ?

1 , 16

n n ∴? (ak ? ak ?1 )ak ? 2 ? 1 ? (ak ? ak ?1 ) ? 1 (a1 ? an ?1 ) ? 1 . k ?1 16 k ?1 16 32

证明(Ⅲ ) :由 a ? 1 知 a

k ?1

2. ? ak

2 ∴(ak ? ak ?1 )ak ?2 ? (ak ? ak ?1 )ak 恰表示阴影部分面积, ?1

18

显然 (ak ? ak ?1 )ak ?1 ?
2
n n

?

ak

ak ?1

x2 dx ④

2 ∴? (ak ? ak ?1 )ak ? 2 ? ? (ak ? ak ?1 )ak ? ?1 k ?1 k ?1

??
k ?1

n

ak

ak ?1

1 1 a x 2 dx ? ? x2 dx ? a13 ? . 0 3 3
1

奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明,如: ①
i ?1 1 1 ?? ? dx ? 2 i i x

?

i ?1 ? i ;

?



1 i i? ? ? i ?1 ? ; 1 ? ?in dx ? ln ?1 ? ? ? ln ?1 ? ? ?1 n ? i n 1? x n ? ? n? ?
k

③sin ?i ? sin ?i ?1
1 ? sin ?i ?1
2

?

?

sin?i

1 1? x
2

sin?i?1

dx ? ?i ? ?i ?1 ;④(ak ? ak ?1 )ak2?1 ? ? a

ak ?1

x 2 dx ?

1 3 ? ak ? ak3?1 ? . 3

十二、部分放缩(尾式放缩) 例 55.求证:

1 1 1 4 ? ??? ? n ?1 3 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 7

解析:

1 1 1 1 1 1 11 1 1 ? ??? ? ? ??? ? ? ??? n ?1 n ?1 2 3 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 4 7 3 ? 2 ? 1 28 3 ? 2 3 ? 2 n ?1
1 4 1 1? 2 ? 47 48 4 ? ? 84 84 7

11 1 ? ? ? 28 3

1 1 例 56. 设 a n ? 1 ? 1a ? a ? ? ? a , a ? 2. 求证: 3 n 2
解析: a n ? 1 ?

a n ? 2.

1 1 1 1 1 1 ? a ??? a ? 1? 2 ? 2 ??? 2 . a 2 3 n 2 3 n 又 k 2 ? k ? k ? k (k ? 1), k ? 2 (只将其中一个 k 变成 k ? 1 ,进行部分放缩) ,?
n

1 1 1 1 ? ? ? , k 2 k (k ? 1) k ? 1 k

于是 a

? 1?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2 ? ? 2. n 2 2 3 n ?1 n 2 2 32 n

2 例 57.设数列 ?an ?满足 an?1 ? an ? nan ? 1?n ? N ? ? ,当 a1 ? 3 时

证明对所有 n ? 1, 有 (i)an ? n ? 2 ; (ii) 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an 2 解析: (i ) 用数学归纳法:当 n ? 1 时显然成立,假设当 n ? k 时成立即 ak ? k ? 2 ,则当 n ? k ? 1 时

ak ?1 ? ak (ak ? k ) ? 1 ? ak (k ? 2 ? k ) ? 1 ? (k ? 2) ? 2 ? 1 ? k ? 3 ,成立。
(ii )
ak ?1 ? 1 ? 2(ak
n

ak ?1 ? 2ak ? 1 来 放 缩 通 项 , 可 得 1 1 k ?1 k ?1 ? 4 ? 2 k ?1 ? ? k ?1 . ? 1) ? a k ? 1 ? ? ? 2 (a1 ? 1) ? 2 ak ? 1 2
利 用 上 述 部 分 放 缩 的 结 论
1 1 ? ? 4 2 i ?1 1 1? ( ) n 1 2 ? . 1 2 1? 2

?
i ?1

n 1 ?? 1 ? ai i ?1

注:上述证明 (i ) 用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩: ak ?1 ? (k ? 2)(k ? 2 ? k ) ? 1 ? k ? 3 ;证明 (ii ) 就直接使用了部分放缩的结论 ak ?1 ? 2ak ? 1 十三、三角不等式的放缩 例 58.求证: | sin x |?| x | ( x ? R) . 解析:(i)当 x ? 0 时, | sin x |?| x |
19

(ii)当 0 ? x ? ? 时,构造单位圆,如图所示:
2

因为三角形 AOB 的面积小于扇形 OAB 的面积 所以可以得到 s i nx ? x ?| s i nx |?| x | 当 x ? ? 时 | s i nx |?| x |
2

y P A

所以当 x ? 0 时 s i nx ? x 有 | s i n x |?| x | (iii)当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,由(ii)可知: | sin x |?| x | 所以综上有 | s i nx |?| x | ( x ? R)

O

T

B

x

十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强 对 所 证 不 等 式 的 同 一 方 向 ( 可 以 是 左 侧 , 也 可 以 是 右 侧 ) 进 行 加 强 . 如 要 证 明 f ( x) ? A , 只 要 证 明 f ( x) ? A ? B( B ? 0) ,其中 B 通过寻找分析,归纳完成. 例 59.求证:对一切 n(n ? N *) ,都有

?k
k ?1

n

1 k

? 3.

解析:

1 k k

?

1 k
3

?

1 k (k ? 1)
2

?

? ? 1 1 1 1 ?? ?? ? ? (k ? 1)k (k ? 1) ? (k ? 1)k k (k ? 1) ? k ? 1 ? k ?1 ?

? ? 1 1 1 1 ? 1 1 ? k ?1 ? k ?1 ?? ?? ? ? ? ? ?? ? (k ? 1)k ? 2 k (k ? 1) ? k ? 1 ? k ? 1 k ? k ?1 k ?1 ? ?

?

1 ? 1 1 ? 2k 1 1 ? ? ? ? ?? 2 k ? k ?1 k ?1 ? k ?1 k ?1

从而

?k
k ?1

n

1 k

? 1?

1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 1? ? ? ?3 2 1 3 2 4 3 5 k ?1 k ?1 k k ?1

当然本题还可以使用其他方法,如:
1 1 ? ? k k k k ?1 ? 1 1 1 ?? ? k ? k ? k ?1 ? k2 ? k (k ? 1) ? 1 ? ? 1 1 1 k ? k ?1 ? 1 1 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2?? ? k ? k ?1 1 k? k k? ? k ?1 ? k ?1 ?

n n 所以 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 2(1 ? 1 ) ? 3 . k ?1

k k

k ?2

k k

k

(ii)异侧加强(数学归纳法) (iii)双向加强 有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而 顺利解决原不等式.其基本原理为: 欲证明 A ? f ( x) ? B ,只要证明: A ? C ? f ( x) ? B ? C(C ? 0, A ? B) . 例 60.已知数列 {an} 满足: a1 ? 1, an ?1 ? an ?
2

1 ,求证: 2n ?1 ? an ? 3n ? 2 (n ? 2). an

2 1 ? 2 解析: a 2 ? ? ,从而 an ? n ? an ?1 ? a ? ? ? ak ?1 ? 2

?

n ?1

?

? an?1 ? 2 ,所以有
2 2 2

2

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 2(n ?1) ?1 ? 2n ?1 ,所以 an ?
1 ? 2 又a 2 ? ? ,所以 an ? n ? a n?1 ? a ? ? ? a k ?1 ? 3 ?
n ?1 2

2

2

2

2

2

2n ?1

2

?

? an?1 ? 3 ,所以有
20

2

2 2 2 2 2 2 2 2 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 3(n ?1) ? 1 ? 3n ? 2 所以 an ? 3n ? 2

所以综上有 2n ?1 ? an ? 3n ? 2 (n ? 2). 引申:已知数列 {an} 满足: a1 ? 1, an ?1 ? an ? 1 ,求证: an 解析:由上可知 an ? 2n ?1 ,又
2n ? 1 ?

?a
k ?1

n

1
k

?

2n ? 1 .
1 2n ? 1 ? 2 2 n ? 1 ? 2n ? 3 ? 2n ? 1 ? 2n ? 3

2n ? 1 ? 2n ? 3 ,所以 1 ? 2 an

n 从而 ? 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 5 ? 3 ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 3 ? 2n ? 1(n ? 2) k ?1 ak

又当 n ? 1 时,

n 1 1 ? 1 ,所以综上有 ? ? 2n ? 1 . a1 k ?1 a k

同题引申: (2008 年浙江高考试题)已知数列 ?an ? , an 记 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , T ? n (1) an ? an?1 ;
2

? 0 , a1 ? 0 , an?12 ? an?1 ? 1 ? an 2 (n ? N ? ) .

1 1 1 .求证:当 n ? N ? 时. ? ??? 1 ? a1 (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) ?(1 ? an )

(2) S n ? n ? 2 ;
2

★(3) Tn

? 3.

解析:(1) an?1 ? an ? 1 ? an?1 ,猜想 an (i)当 n ? 1 时, a1 ? 1 ,结论成立;

? 1 ,下面用数学归纳法证明:

(ii)假设当 n ? k (k ? 1) 时, ak ? 1 ,则 n ? k ? 1(k ? 1) 时, ak ?1 从而 ak ?1
2

2

? ak ?1 ? 1 ? ak

2

? ak ?1 ? 2 ? an?1 ? 1 ,所以 0 ? ak ?1 ? 1
2 2

所以综上有 0 ? an ? 1 ,故 an?1 ? an ? 0 ? an?1 ? an (2)因为 an?12 ? an 2 ? 1 ? an?1 则 a2 相加后可以得到:
2 2

2

? a1 ? 1 ? a2 , a3 ? a2 ? 1? a3 ,…, an?1 ? an ? 1 ? an?1 ,
2

2

2

2

2

an?1 ? a1 ? n ? (a2 ? a3 ? ?? an?1 ) ? Sn?1 ? n ? an?1 ,所以
2

2

Sn ? n ?1 ? an ? n ? 2 ,所以 S n ? n ? 2
(3)因为 an?12 ? an?1 ? 1? an 2 ? 2an ,从而 an?1 ? 1 ?

2a n ,有 1 ? an?1 ,所以有 an?1 1 ? an?1 2an

a a a an?1 ,从而 1 ? n?1 ? n ? 3 ? n? (1 ? a3 )?(1 ? an )(1 ? an?1 ) 2an 2an?1 2a2 2 1 a2

a a ?1 ,所以 1 1 ? n?n1?1 ? ? n (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an )(1 ? an?1 ) 2 a2 1 ? a2 2 n?1
an a 1 1 ? ? ? n ,所以 (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an ) 2 n 21 a2 1 ? a2 2 n?2

Tn ? 1 ?

a a a 1 1 1 1 1 2 ? 3 ? 4 ? ? ? nn ? 1? ? ? ? ? ? n?2 ? ?1?1 ? 3 1 ? a2 2 2 2 1 ? a2 2 2 2 2 ?2 2 5 ?1

所以综上有 Tn ? 3 .
21

, 2, ?. 例 61.已知数列 {an } 的首项 a ? 3 , an ?1 ? 3an , n ? 1 1 5 2an ? 1
2 ? , 2, ?; (1)证明:对任意的 x ? 0 , an ≥ 1 ? 1 ? ? x? , n ? 1 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?
2 (2)证明: a1 ? a2 ? ? ? an ? n . n ?1

解析:(1)依题,容易得到 an ? 即证 1 ? 2 ? 1 ? n
3 1? x

3n 2 ? 1 ? n ,要证 x 2 ? 3n 3

? 0 , an ≥

1 1 ?2 ? ? ? x? , n 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

? 1, 2, ?,

1 ? 2 2 2 1 ? ? n ? ? ? x ? 1 ? 1? ? 2 (1 ? x) 2 ? 3n (1 ? x) 2 ? 1 ? x 3 (1 ? x)

n 2 ? 3n 2 即证 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 0 ,设 t ? 1 所以即证明 ? (t ) ? ? n ? t 2 ? 2t ? n ? 1 ? 0(0 ? t ? 1) n 2 n 3 3 1? x 1 ? x 3 (1 ? x) 3

从而 ? (1) ? 0 ,即 ?

2 ? 3n 2 ? 2 ? n ? 1 ? 0 ,这是显然成立的. n 3 3

2 ? 所以综上有对任意的 x ? 0 , an ≥ 1 ? 1 ? 2, ? ? ? x ? , n ? 1, 1 ? x (1 ? x)2 ? 3n ?

(法二)
?

1 1 ?2 ? 1 1 ?2 ? ? ? ? x ? ? 1 ? x ? (1 ? x)2 ? 3n ? 1 ? 1 ? x ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3n ? ? ?
2 ? 2 1? 1 ,? 原不等式成立. 1 ? )? ?? ? ? an ? ? an ≤ an ? ? 2 an ? 1 ? x ? ? 1 ? x an (1 ? x)

1 1 ? 1 ? ? ? ( 1? x 1? x ( 1 ? x 2)? a n

(2)由(1)知,对任意的 x ? 0 ,有
a1 ? a2 ? ? ? an ≥ 1 1 ?2 ? 1 1 ?2 1 1 ?2 ? ? n 1 ?2 2 2 ?. ? ? ? ? ? 2 ? ? ? n ? nx ? ? ? x?? ? ? x ? ??? ? ? x? ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3 ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 32 ? 1 ? x (1 ? x) 2 ? 3n ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3 3 3 ? ?

?取 x ? 1 ? 2 ?
? n?3

2? 1? 1? n ? n n2 n2 . 2 2 ? 3? 1 ? ,则 3 ? 1? ? a ? a ? ? ? a ≥ ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 2 n ? ? ? 1 1? 1 ? n ?1 32 3n ? ? 1 ? n ? 3n ? 1 ? ?1 ? n ? n ? 1 ? n n ?1 ? ? 3 3 n 3 ? ? ? ?

? 原不等式成立.
十四、经典题目方法探究

1 ? x) ? x .若 f ( x) 在区间 [0, n](n ? N *) 上的最小值为 bn , 探究 1.(2008 年福建省高考)已知函数 f ( x) ? ln(
令 an ? ln(1 ? n) ? bn .求证:

a1 a1 ? a3 a ? a ? a ? ? ? a2 n ?1 ? ??? 1 3 5 ? 2an ? 1 ? 1 . a2 a2 ? a4 a2 ? a4 ? a6 ? ?? a2 n
1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1 2n ? 1
所以

证明:首先:可以得到 an ? nn .先证明 (方法一)
2

1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)( 2n ? 1) 1 1 ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? ? 2 2 ? 4 2 ? ? ? ( 2n) 2 2n ? 1 2n ? 1 ? ?
2n ,相乘得: 2n ? 1

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

1 2n ? 1

(方法二)因为 1 ? 1 ? 1 ? 2 , 3 ? 3 ? 1 ? 4 , ? , 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 ?
2 2 ?1
2

3 4

4 ?1

5

2n

2n ? 1

1 ?1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ? 1 ,从而. 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? 2 ? 4 ? 6 ? ?? 2n ? ? 2n ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n 2 n ?1 ? ?

22

(方法三)设 A=

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ,B= ,因为 A<B,所以 A2<AB, 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (2n ? 1)
2

1 所以 ?1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ? ? 1 , 从而 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? . ? 2 ? 4 ? 6 ? ?? 2n ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

下面介绍几种方法证明

a1 a ?a a ? a ? a ? ? ? a2 n ?1 ? 1 3 ??? 1 3 5 ? a2 a2 ? a4 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2 n
1 2n ? 1
2

2an ? 1 ? 1

(方法一)因为 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ,所以

? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ,所以有

n 1 1? 3 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ??? ? ? 2k ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n k ?1

(方法二) n ? 2 ? n ? 令 n ? 2n ? 1 ,可以得到
1

2 2 ,因为 1 ? ,所以 1 ? n?2 n?2 ? n n?2 n?2 ? n
? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ,所以有

n?2 ? n

2n ? 1

n 1 1? 3 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ??? ? ? 2k ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n k ?1

(方法三)设 an ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) , an ?1 ? 2n ? 1 an 所以 2(n ? 1)an ?1 ? an ?1 ? (2n ? 1)an ? an ?1 , 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 2n ? 2 从而 an ?1

? [2(n ? 1) ? 1]an ?1 ? (2n ? 1)an ,从而 an ? (2n ? 1)an ? (2n ? 1)an?1
3 2

a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? (2n ? 1)a n ? (2n ? 1)a n?1 ? (2n ? 1)a n ?1 ? (2n ? 3)a n?2 ? ? ? 5a 2 ? 3a1 ? (2n ? 1)a n ?

又 an ?

1 ,所以 a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? 2n ? 1

2n ? 1 ?

3 ? 2n ? 1 ? 1 2

(方法四)运用数学归纳法证明:

?
k ?1

n

1 2k ? 1
2 3 ?1 ?

? 2n ? 1 ? 1

(i)当 n ? 1 时,左边=,

1 3

右边=

3 ?1 ?

1 3 ?1 2

显然不等式成立;

(ii)假设 n ? k (k ? 1) 时,

?
i ?1

k

1 2i ? 1
? 1

? 2k ? 1 ? 1 ,则 n ? k ? 1 时,
1 2k ? 3

1 3

?

1 5

???
1

1 2k ? 1

2k ? 3

? 2k ? 1 ? 1 ?
1

,所以要证明
1

?
i ?1

k ?1

1 2i ? 1

? 2k ? 3 ? 1 ,

只要证明 2k ? 1 ?

2k ? 3

? 2k ? 3 ?

2k ? 3

? 2k ? 3 ? 2k ? 1 ?

,这是成立的.

2k ? 3 ? 2k ? 1 2

这就是说当 n ? k ? 1 时,不等式也成立,所以,综上有 探究 2.设函数 f ( x) ?

a1 a1 ? a3 a ? a ? a ? ? ? a2 n ?1 ? ??? 1 3 5 ? 2an ? 1 ? 1 a2 a2 ? a4 a2 ? a4 ? a6 ? ?? a2 n

sin x .如果对任何 x ≥ 0 ,都有 f ( x) ≤ ax ,求 a 的取值范围 2 ? cos x
23

解析:因为 f ( x) ?

cos x(2 ? cos x) ? sin x 1 ? 2 cos x sin x ? ,所以 f ' ( x) ? ,设 g ( x) ? f ( x) ? ax ,则 2 ? cos x (cosx ? 2) 2 (cosx ? 2) 2
2

g ' ( x) ? f ' ( x) ? a ?
因为 | c (i)当 a ?

1 ? 2 cos x cos x ? 2 ? cos x ? 2 ? 1 ? 2 2 3 ?a? ?a? ? ? a , g (0) ? 0 2 2 (cos x ? 2) (cos x ? 2) cos x ? 2 (cos x ? 2) 2
2 3 ? 1? ? ? ? 1, ? cos x ? 2 (cosx ? 2) 2 ? ? 3?

os x |? 1 ,所以

1 时, g ' ( x) ? 0 恒成立,即 g ( x) ? g (0) ? 0 ,所以当 a ? 1 时, f ( x) ≤ ax 恒成立. 3 3

(ii)当 a ? 0 时, f ( ? ) ? 1 ? 0 ? a ? ( ? ) ,因此当 a ? 0 时,不符合题意. 2 2 2 (iii)当 0 ? a ? 1 时,令 h( x) ? sin x ? 3ax ,则 h?( x) ? cos x ? 3a 故当 x ??0, arccos3a ? 时, h?( x) ? 0 .
3

arccos3a) 时, h( x) 因此 h( x) 在 ?0, 上单调增加.故当 x ? (0, a r c c oa s? 3
x? 即s i n 3 a x.于是,当 x ? (0, arccos3a) 时, f ( x) ?
?1 ?3 ? ?
sin x sin x ? ? ax 2 ? cos x 3

? h(0) ? 0 ,

所以综上有 a 的取值范围是 ? ,?? ?

1 变式:若 0 ? xi ? a r c c o 3a s,其中 i ? 1,2,3,?, n 且 0 ? a ? , x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? arccos3a ,求证: 3

tan

x x x1 x 3a ? tan 2 ? tan 3 ? ? ? tan n ? arccos3a . 2 2 2 2 2

证明:容易得到 tan

xi sin xi sin xi ? ? 2 cos xi ? 1 2
x x x1 x 3a ? tan 2 ? tan 3 ? ? ? tan n ? arccos3a 2 2 2 2 2

由上面那个题目知道 sin xi ? 3axi 就可以知道 tan ★同型衍变:已知函数 f ( x ) ?

1 ? x ? ax e .若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a 的取值范围. 1? x
ax2 ? 2 ? a ?ax e . (1 ? x) 2

解析:函数 f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为 f ?( x) ?

(ⅰ ) 当 0< a≤2 时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意 x∈ (0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时 a 满足要求. (ⅱ ) 当 a>2 时, f (x) 在区间 (a?2, a

a ? 2 )为减函数, a

故在区间(0,

a ? 2 ) 内任取一点, 比如取 x 0 a

?

1 2

a?2, 就 a

有 x0∈ (0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时 a 不满足要求. (ⅲ ) 当 a≤0 时, 对于任意 x∈ (0, 1) 恒有
f ( x) ? 1 ? x ? ax ≥ 1 ? x e ? 1 , 这时 a 满足要求. 1? x 1? x

综上可知, 所求 a 的取值范围为 a≤2.

24


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