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2015-2016学年高中数学必修4同步课件:1.3.2 三角函数的图象与性质


第1章

三角函数

1.3 三角函数的图象和性质 1.3.2 三角函数的图象与性质

栏 目 链 接

1.掌握三角函数图象的作法,会用“五点法”作出正弦函数, 余弦函数的图象. 2.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质.
栏 目 链 接

栏 目 链 接

?π ? ? ,1? (0,0) 、 ?2 ? 1. “五点法” 作正弦函数图象的五个点是__________ ________ 、

(π,0)

?3 ? ? π,-1? ________、________ ?2 ? 、________.

?π ? ? ,0? ?2 ?、 2. “五点法” 作余弦函数图象的五个点是__________ ________ (0,1) 、

(2π,0)

(π,-1)

?3 ? ? π,0? ________、________ ?2 ? 、________.

(2π,1)

描点法 ;二是利用 3.作正、余弦函数图象的方法有二:一是________
三角函数线 来画的几何法. ______________
4 . 作 正 弦 函 数 的 图 象 可 分 两 步 : 一 是 画 出

栏 目 链 接

y=sin x,x∈[0,2π] ____________________________
左右 连续平行移动(每次平移 2π个 的图象,二是把这一图象向________
单位长度).

原点 对称;正弦函数是________ 奇函数 ;余弦曲 5.正弦曲线关于________

y轴 对称,余弦函数是________ 偶函数 . 线关于________
函数,其值从-1 增大到

? π π? ?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z) 2 2? ? 6 .正弦函数在每一个闭区间 _____________________ 上都是增

? π 3 ? ?2kπ+ ,2kπ+ π?(k∈Z) 2 2 ? ? 1;在每一个闭区间___________________

上都是减函数,其值从 1 减小到-1.

[2 kπ-π,2kπ](k∈Z) 7 .余弦函数在每一个闭区间 _______________________ 上都是
增 函 数 , 其 值 从 - 1 增 大 到 1 ; 在 每 一 个 闭 区 间

栏 目 链 接

[2kπ,2kπ+π](k∈Z) 上都是减函数,其值从 1 减小到-1. __________________________ π 2kπ+ (k∈Z) 8.正弦函数当且仅当 x=_______________ 时取得最大值 1,当 2 π 2kπ- (k∈Z) 2 且仅当 x=____________ 时取得最小值-1.

2kπ(k∈Z) 时取得最大值 1,当且 9.余弦函数当且仅当 x=____________

kπ+π(k∈Z) 时取得最小值-1. 仅当 x=2 _________________
10.正切函数 y=tan x

? ? ? π ?x?x≠kπ+ ,k∈Z? 2 ? ______________ ? ? 的定义域是 ,值域为

R R -1,1] . 栏 ________ ;正、余弦函数的定义域是________ ,值域是[ ________ 奇 函数(填“奇”或“偶”). 11.正切函数为________ ?
12.正切函数 y=tan x
? π π ?- +kπ, +kπ?(k∈Z) 2 ? 2 ? 在每一个区间______________________

目 链 接

增函数 . 内均为________
13.利用正切线可以得到 y=tan x
? π π? ?- , ? 2 2 ? 内的图象,把所 在? ________

π 个单位,可得 y=tan x 在整个定义域 得图象左右连续平移________
内的图象.

? ? π ?kπ- ,-1? 4 ? ?

14 .正切曲线的简图可以用“三点两线法” ,这里的三个点为 π ? ?
?kπ+ ,1?(k∈Z) 4 ? ?

2 ( kπ,0)、____________;两直线为____________ __________ 、 ________ 、

π

x=kπ+

π x=kπ- (k∈Z) 2 __________________.

15.正切函数 y=tan x 的对称中心为________.
π π x=kπ+ x=kπ- (k∈Z) 2 2 它被无数条垂直于 x 轴的直线________________________ 分隔开来.

?kπ ? ? ,0?(k∈Z) ? 2 ?

16.正、余弦函数的图象是连续的,而正切函数的图象不连续,

栏 目 链 接

? π π? ?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z) 2 2? ? 切函数在每一个__________________________ 上都是增函数.

17.正、余弦函数既有单调递增区间又有单调递减区间,而正

栏 目 链 接

知识点1

五点法画图

函数 y=sin x 在 x∈[0,2π]的图象上,起着关键作用的点只有 以下五个:
?π ? ?3π ? ,-1?,(2π,0). (0,0),? ,1?,(π,0),? ?2 ? ? 2 ?
栏 目 链 接

事实上,描出这五个点后,函数 y=sin x 在 x∈[0,2π]的图象 的形状就基本上确定了.因此,在精确度要求不太高时,我们常常 先找出这五个关键点,然后用光滑曲线将它们连接起来,就可得到 正弦函数的简图.今后,我们将经常使用这种近似的“五点( 画图) 法” .

同样,在函数 y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,起着关键作用 的点是以下五个:
?π ? ?3π ? ,0?,(2π,1). (0,1),? ,0?,(π,-1),? 2 2 ? ? ? ?
栏 目 链 接

与画函数 y=sin x,x∈[0,2π]的简图类似,通过这五个点, 可以画出函数 y=cos x 在 x∈[0,2π]的简图.

知识点2

正弦函数、余弦函数的性质

正弦函数 y=sin x,余弦函数 y=cos x,x∈R 的性质: (1)定义域. 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R. (2)值域. 正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1]. π 正弦函数当且仅当 x= +2kπ(k∈Z)时取得最大值 1,当且仅当 x 2 π =- +2kπ(k∈Z)时取得最小值-1; 2
栏 目 链 接

而余弦函数当且仅当 x=2kπ(k∈Z)时取得最大值 1, 当且仅当

x=-π+2kπ(k∈Z)时取得最小值-1.
(3)周期性. 正弦函数、余弦函数都是周期函数,并且周期都是 2π. (4)奇偶性.
栏 目 链 接

正弦函数是奇函数,其图象关于原点对称;余弦函数是偶函数, 其图象关于 y 轴对称.

(5)单调性.
? π ? π 正弦函数在每一个闭区间 ?- +2kπ, +2kπ? (k ∈ Z) 上都 2 ? 2 ?

是单调增函数,其值从-1 增大到 1;在每一个闭区间
?π ? 3π 栏 ? +2kπ, +2kπ?(k∈Z)上都是单调减函数,其值从 1 减小到 目 2 ?2 ? 链 接

-1.

类似地,余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上 都是单调增函数,其值从-1 增大到 1;在每一个闭区间[2kπ,(2k +1)π](k∈Z)上都是单调减函数,其值从 1 减小到-1.

知识点3

正切函数的图象与性质

π 正切函数 y=tan x,x∈R,x≠ +kπ,k∈Z 的图象,叫做正 2 切曲线.如下图所示.
栏 目 链 接

正切函数的性质:
? ? ? π ? ? x ∈ R ,且 x ≠ (1)定义域为 x 2 ? ? ? ? ? +kπ,k∈Z ?. ? ?
栏 目 链 接

(2)值域为实数集 R. (3)周期性.正切函数是周期函数,周期是π. (4)奇偶性.奇函数,图象关于原点对称.
? π ? π (5)单调性. 每个开区间?- +kπ, +kπ?(k∈Z)都是函数 2 ? 2 ?

y

=tan x 的单调增区间.

π 难点释疑:正切曲线是被相互平行的直线 x= +kπ,k∈Z 所 2 π 隔开的无穷多支曲线组成的,直线 x= +kπ,k∈Z 是图象的渐近 2 线. π 由于正切函数的定义域必须去掉 x= +kπ,k∈Z 各点,故正 2 π 切函数图象与直线 x= +kπ,k∈Z 无交点;又由于正切函数的值 2 域为 R,无最大值、最小值,故其图象向上、下无限延伸;
栏 目 链 接

由于周期是π,所以图象每隔π长度重复出现;因为正切函数 的单调性表现为在每一个单调区间内只增不减,故图象是由一系列
? π π? 重复出现的上升曲线构成,而在?- , ?内,当 2? ? 2

x 向右无限接近于

π π x= 时,函数值不断增大,趋于正无穷大,图象无限接近于 x= , 栏 2 2 目 π 但永不相交;当 x 向左无限接近于 x=- 时,函数值不断变小,趋 2 π π 于负无穷大,图象无限接近于 x=- ,但永不相交,故 x=± 为 2 2 π 正切函数图象的渐近线,由周期性知,直线 x= +kπ,k∈Z 是图 2 象的渐近线.
链 接

栏 目 链 接

题型1

正弦函数、余弦函数的图象

例1 作出函数 y= 1-cos2x的图象.
分析:首先将函数的解析式变形,化为最简形式,然后作出函 数的图象. 解析:y= 1-cos x化为 y=|sin x|,
? ?sin x 即 y=? ? ?-sin
2

栏 目 链 接

?2kπ≤x≤2kπ+π?,

x ?2kπ+π<x<2kπ+2π?,

k∈Z.

其图象如下图所示.

栏 目 链 ◎规律总结:画 y=|sin x|的图象可分两步完成,第一步先画 接

出 y=sin x,x∈[0,π]和 y=-sin x,x∈[π,2π]上的图象, 第二步将得到的图象向左和右平移,即可得到完整的曲线.

变 式 训 练

1 1.作函数 y= ·sin x 的图象. tan x 分析:首先将函数的解析式变形化为最简形式,然后作出函数
的图象. π 解析:要 tan x 有意义必须有 x≠kπ+ (k∈Z), 2 当 tan x≠0,即 x≠kπ(k∈Z)时, 1 有 y= ·sin x=cos x, tan x
? ? kπ ,k∈Z?. 即 y=cos x?x≠ 2 ? ?
栏 目 链 接

其图象如下图所示.

栏 目 链 接

例2 根据正弦函数的图象求满足 sin x≥1的 x 的范围.
2

分析:先画出正弦函数 y=sin x 的图象,再根据图象求解. 1 栏 解析:首先在同一个坐标系内,作出函数 y=sin x 与 y= 的图 目 2 链 象,如下图所示.


然后观察长度为 2π(一个周期)的一个闭区间内的情形, 如观察
?π 5 ? 1 [0,2π],看到符合 sin x≥ 的 x∈? , π?. 2 ?6 6 ?
栏 目 链 接

π 5 最后由正弦函数的周期为 2π,得 x∈2kπ+ ,2kπ+ π(k 6 6 ∈Z).

◎规律总结:(1)一般地,对 y=sin x,观察其一个周期,常常
? π 3 ? 是[0,2π]或?- , π ?;对 ? 2 2 ?

y=cos x,观察其一个周期,常常是
栏 目 链 接

[0,2π]或[-π,π]. (2)此题也可以利用单位圆去求解,大家不妨一试. (3)数形结合是重要的数学思想,它能把抽象的数学式子转化为 形象直观的图形.平时解题时要注意运用.

变 式 训 练

2.若函数 y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线 y=2 围成一个封 闭的平面图形如图所示,则这个封闭图形的面积为( )

栏 目 链 接

A.4 C.2π

B.8 D.4π

解析:本题主要考查余弦函数图象,解本题可用对称图形面积 相等予以处理. 观察图形,由图象可知,图形 S1 与 S2、S3 与 S4 都是两个对称图 形,有 S1=S2,S3=S4.因此函数 y=2cos x 的图象与直线 y=2 所围 栏 成的图形面积,可以等积转化为求矩形 OABC 的面积. ≧|OA|=2,|OC|=2π, ?S 矩形 OABC=2×2π=4π. ?封闭图形面积为 4π. 答案:D
目 链 接

题型2

定义域和值域

例3 求函数 y= 2sin x+1的定义域.
分析:要求 y= 2sin x+1 的定义域,只需求满足 2sin x+1 1 ≥0 的 x 的集合,即只需求出满足 sin x≥- 的 x 2
栏 目 链 的集合.由于正 接

弦函数具有周期性,只需先根据问题要求,求出在一个周期上的适 合条件的区间,然后两边加上 2kπ(k∈Z)即可.

解析:由题意知需 2sin x+1≥0, 1 也即需 sin x≥- ,① 2
? π 3π? ? π 7π? ?内符合①的角为?- , ?, 在一个周期?- , 2 2 6 6 ? ? ? ? ? π 7π? ?(k∈Z). 由此可得函数定义域为?2kπ- ,2kπ+ 6 6 ? ?
栏 目 链 接

◎规律总结:确定三角函数的定义域的依据: (1)正、余弦函数和正切函数的定义域; (2)若函数是分式函数,则分母不能为零; (3)若函数是偶次根式函数,则被开方式非负;
栏 (4)若函数是形如 y=logaf(x)(a>0,a≠1)的函数,则其定义 目 链 接

域由 f(x)>0 确定;

(5)当函数是由实际问题确定时,其定义域不仅要使解析式有意 义,同时还要使实际问题有意义.

变 式 训 练

3.求函数 y= -2cos x+3cos x-1+lg(36-x )的定义域.
分析:上述函数从形式上看是一个较为复杂的复合函数,它是 由三角函数、二次函数、对数函数复合而成的.求定义域时,应分 清脉络,逐一分析,综合得出结论. 解析:欲求函数定义域,则有
2 ? ?-2cos x+3cos ? 2 ? ?36-x >0,

2

2

栏 目 链 接

x -1 ≥0 ,

? ??2cos x-1??cos 即? ? ?-6<x<6,

x-1?≤0,

1 ? ?2≤cos x≤1, 也即? ? ?-6<x<6, π π ? ?- 3 +2kπ≤x≤ 3 +2kπ?k∈Z?, 解得? ? ?-6<x<6. 取 k=-1,0,1,可分别得到
? ? π π? ?5 ? 5 ? x∈?-6,- π ?或 x∈?- , ?或 x∈? π,6 ?. 3 ? 3? ? ? 3 ?3 ?

栏 目 链 接

即所求的定义域为
? ? 5 ? ? π π? ?5 ?-6,- π?∪?- , ?∪? π,6?. 3 ? ? 3 3 ? ?3 ? ?

题型3

奇偶性和单调性

例4 判断下列函数的奇偶性:
(1)y= 2sin(2x);
栏 目 链 接

(2)y= sin x-1; (3)y= 1-cos x+ cos x-1.

解析:(1)显然 x∈R. ≧f(-x)= 2sin[2(-x)]=- 2sin(2x)=-f(x), ?函数为奇函数. (2)≧sin x-1≥0, π ?sin x=1,x=2kπ+ (k∈Z). 2 函数定义域不是关于原点对称的区间,故为非奇非偶函数. (3)≧1-cos x≥0 且 cos x-1≥0, ?cos x=1,x=2kπ(k=Z). 此时,y=0,故该函数为既奇又偶函数.
栏 目 链 接

◎规律总结:判断函数奇偶性时,必须先检查定义域是否关于 原点对称.如果是,再验证 f(-x)是否等于-f(x)或 f(x),进而判 栏 断函数的奇偶性;如果不是,则该函数必为非奇非偶函数.
目 链 接

变 式 训 练

4.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xsin(π+x); 1+sin x-cos x (2)f(x)= ; 1+sin x (3)f(x)=loga(sin x+ sin2x+1).
分析:可利用函数奇偶性定义予以判断. 解析:(1)函数的定义域 R 关于原点对称.
栏 目 链 接
2

f(x)=xsin(π+x)=-xsin x, f(-x)=(-x)sin(π-x)=-xsin x=f(x).
?f(x)是偶函数. (2)函数应满足 1+sin x≠0,

? 3π ? x ∈ R ,且 x ≠ 2 k π+ ?函数的定义域为 x 2 ?

,k∈Z.

?函数的定义域关于原点不对称. ?函数既不是奇函数也不是偶函数. (3)函数的定义域为 R,

f(-x)=loga(sin(-x)+ sin2?-x?+1)
=loga( sin x+1-sin x) =loga 1 sin2x+1+sin x
2 2

栏 目 链 接

=-loga(sin x+ sin x+1) =-f(x). ?f(x)是奇函数.

例5 求下列函数的单调区间:
(1)y=cos 2x;
?π ? (2)y=2sin? -x?. ?4 ?

栏 目 分析:可依据 y=sin x(x∈R)和 y=cos x(x∈R)的单调区间来 链 接

求. 解析:(1)函数 y=cos 2x 的单调递增区间、单调递减区间分别 由下面的不等式确定:

2kπ-π≤2x≤2kπ(k∈Z),2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z). π π ?kπ- ≤x≤kπ(k∈Z),kπ≤x≤kπ+ (k∈Z). 2 2 ?函 数 y = cos 2x 的单 调递增区间和单 调递减区间 分别为
? ? ? π π? ?kπ- ,kπ?(k∈Z),?kπ,kπ+ ?(k∈Z). 2 2? ? ? ? ?π ? ? π? (2)y=2sin? -x?=-2sin?x- ?, 4? ?4 ? ?
栏 目 链 接

≧y=sin x(x∈R)的单调递增、单调递减区间分别为
? π π? π 3 ?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z),2kπ+ ,2kπ+ π(k∈Z). 2 2? 2 2 ?

? π? ?函数 y=-2sin?x- ?的递增、 递减区间分别由下列不等式确 4 ? ?

定. π π 3 2kπ+ ≤x- ≤2kπ+ π(k∈Z), 2 4 2 π π π 2kπ- ≤x- ≤2kπ+ (k∈Z), 2 4 2 3 7 得 2kπ+ π≤x≤2kπ+ π(k∈Z), 4 4 π 3 2kπ- ≤x≤2kπ+ π(k∈Z). 4 4

栏 目 链 接

π ?函数 y=2sin( -x)的单调递增区间、单调递减区间分别为 4
? 3 7 ? π 3 ?2kπ+ π,2kπ+ π?(k∈Z),2kπ- ,2kπ+ π(k∈Z). 4 4 ? 4 4 ?
目 链 中 A≠0,ω>0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解 接

◎规律总结: 求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(其 栏

答.列不等式的原则是:①把“ωx+φ(ω>0)”视为一个“整体” ; ②A>0(A<0)时,所列不等式的方向与 y=sin x(x∈R),y=cos x(x ∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反).

变 式 训 练

?π ? 5.求函数 y=cos? -2x ?的单调递增区间. ?3 ?

?π ? ? π? 解析:y=cos? -2x?=cos?2x- ?, 3? ?3 ? ?

π 由-π+2kπ≤2x- ≤2kπ,k∈Z 得: 3 π π kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 3 6
?π ? ? π π? ?函数 y=cos? -2x ?的单调递增区间是?kπ- ,kπ+ ?(k 3 6? ?3 ? ?

栏 目 链 接

∈Z).

题型4

正切函数的图象与性质

例6 完成下列各小题:
1 (1)函数 y= 的定义域为________; 1+tan x (2) 函 数 y = ________;
栏 目 3-tan x 的 定 义 域 为 ________ , 值 域 为 链 接

(3) 函 数 y = tan(sin x) 的 定 义 域 为 ____________ , 值 域 为 ________.

解析:定义域是使各个解析式有意义的自变量 x 的取值范围, 而值域是在定义域内函数值的取值范围. 1 (1)要使函数 y= 有意义, 1+tan x 1+tan x≠0, ? ? 则有? π x≠kπ+ ?k∈Z?. ? 2 ? 即 x≠kπ- π π ,且 x≠kπ+ (k∈Z). 4 2
栏 目 链 接

?函数的定义域为
? ? ? π ?x?x∈R且x≠kπ- 4 ? ? ? ? ? π ,x≠kπ+ ,k∈Z?. 2 ? ?

? ? 3-tan x≥0, (2)≧? π x≠kπ+ ?k∈Z?, ? 2 ?
?tan x≤ 3, π π ?kπ- <x≤kπ+ (k∈Z). 2 3
? π 故函数的定义域为 x?kπ- 2 ?

π <x≤kπ+ ,k∈Z, 3

栏 目 链 接

值域为[0,+≦). (3)≧-1≤sin x≤1, ?定义域为 R,值域为[-tan 1,tan 1].

? ? π π ,x≠kπ+ ,k∈Z? 答案:(1)?x|x≠kπ- 4 2 ? ? ? π π? (2)?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z) 2 3? ?

[0,+≦)
栏 目 链 接

(3)R

[-tan 1,tan 1]

方法指导:解答本题要注意掌握好基本函数 y=tan x 的定义域、 值域、单调性等知识.

变 式 训 练

6.求解下列各题: (1)求函数 f(x)=tan x·cos x 的定义域与值域; (2)求函数 f(x)=tan |x|的定义域与值域,并作其图象.
解析:(1)其定义域是
? ? ? π ?x?x∈R且x≠kπ+ ,k∈Z? 2 ? ? ?
栏 目 链 接

.

sin x 由 f(x)= ·cos x=sin x∈(-1,1), cos x ?f(x)的值域是(-1,1). (2)f(x)=tan|x|化为

? ? f(x)=? ? ?-tan

π tan x,x≠kπ+ ,k∈Z,x≥0, 2 π x,x≠kπ+ ,k∈Z,x<0, 2

可知,函数的定义域为
? ? ? π ?x?x∈R且x≠kπ+ ,k∈Z? 2 ? ? ?



栏 目 链 接

值域为(-≦,+≦). 其图象如下图所示.

例7

? π? 求函数 y=tan?2x- ?的定义域、周期和单调区间. 3? ?

分析:根据正切函数的定义域、周期和单调区间求解. 解析:函数的自变量 x 应满足: π π kπ 5 2x- ≠kπ+ ,k∈Z,即 x≠ + π,k∈Z. 3 2 2 12
? ? ? kπ 5π + ?函数的定义域为?x?x∈R且x≠ 2 12 ? ? ? ? π? π 函数 y=tan?2x- ?的周期为 . 3? 2 ? ? ? ,k∈Z?. ? ?
栏 目 链 接

? π ? π 由于 y=tan x,x∈?- +kπ, +kπ ?(k∈Z)是增函数, 2 ? 2 ?

π π π ?- +kπ<2x- < +kπ,k∈Z. 2 3 2 π kπ 5π kπ 即- + <x< + ,k∈Z. 12 2 12 2 π kπ 5π kπ ?函数的单调递增区间为- + , + ,k∈Z. 12 2 12 2 ◎规律总结:一般地,函数 y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期可 直接由 T= π
栏 目 链 接

ω

得到.

变 式 训 练

17π 22π 7.比较 tan(- )与 tan(- )的大小. 4 5
? 17π? ? 22π? π 2π ? ? ? ? - - 解析:≧tan =-tan ,tan =-tan , 4 ? 5 ? 4 5 ? ? ? π? π 2π π π ? ? 0 , 又≧0< < < ,y=tan x 在 内单调递增,?tan 2 4 5 2 4 ? ?
栏 目 链 接

<tan

2π . 5

? 17π? ? 22π? π 2π ?>tan?- ?. ?-tan >-tan ,即 tan?- 4 5 4 5 ? ? ? ?


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