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2019中考数学压轴大题之二次函数动点的面积最值问题详解(附答案)

例 1 (2016?自贡)如图,已知抛物线 y=ax2+bx-2(a≠0)与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,直线 BD 交抛 1 物线于点 D,并且 D(2,3),tan∠DBA= . 2 (1)求抛物线的解析式; (2)已知点 M 为抛物线上一动点,且在第三象限,顺次连接点 B、M、C、A,求四边形 BMCA 面积的最大值; 思路分析:(1)如答图 1 所示,利用已知条件求出点 B 的坐标,然 后用待定系数法求出抛物线的解析式; (2)如答图 1 所示,首先求出四边形 BMCA 面积的表达式,然后利用 二次函数的性质求出其最大值; 解: (1)如答图 1 所示,过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E,则 DE=3,OE=2. ∵tan∠DBA= DE 1 = , BE 2 ∴BE=6, ∴OB=BE-OE=4, ∴B(-4,0). 2 ∵点 B(-4,0)、D(2,3)在抛物线 y=ax +bx-2(a≠0)上, ∴? ?16a ? 4b ? 2 ? 0 , ?4a ? 2b ? 2 ? 3 1 ? a ? ? ? 2 解得 ? , 3 ?b ? ? ? 2 1 2 3 x + x-2. 2 2 ∴抛物线的解析式为:y= 抛物线的解析式为:y= 1 2 3 x + x-2,∴C(0,-2)A(1,0),故 BC 解析式为: y=2 2 1 x-2 2 ∴设点 M 坐标为(m, 1 2 3 1 2 m + m-2),则 MF=- m -2m 2 2 2 如图所示,过点 M 作 ME⊥x 轴交 BC 于点 F,则 MF=-n,OF=-m,BF=4+m. S 四边形 BMCA=S△ABC+S△BMF +S△CMF 1 1 1 1 1 1 1 BA?OC+ MF?BE+ MF?OE= BA?OC+ MF?(BE+OE)= BA?OC+ MF?BO 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 = ×5×2+ ×(- m -2m)×4 2 2 2 = =-m -4m+5=-(m+2) +9 ∴当 m=-2 时,四边形 BMCA 面积有最大值,最大值为 9. 2 2 例 2. (10 分) (2015?酒泉)如图,在直角坐标系中,抛物线经过点 A(0,4) ,B(1,0) ,C(5,0) ,其对称轴与 x 轴相交于点 M. (1)求抛物线的解析式和对称轴; (2)连接 AC,在直线 AC 的下方的抛物线上,是否存在一点 N,使△ NAC 的面积最大?若存在,请求出点 N 的坐 标;若不存在,请说明理由. 考点: 二次函数综合题. 分析: (1)抛物线经过点 A(0,4) ,B(1,0) ,C(5,0) ,可利用两点式法设抛物线的解析式为 y=a(x ﹣1) (x﹣5) ,代入 A(0,4)即可求得函数的解析式,则可求得抛物线的对称轴; (2)在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N,使△ NAC 面积最大.设 N 点的横坐标为 t,此时点 N(t, 菁优网版权所有 t﹣ 2 t+4) (0<t<5) ,再求得直线 AC 的解析式,即可求得 NG 的长与△ ACN 的面积,由二次函数 最大值的问题即可求得答案. 解答: 解: (1)根据已知条件可设抛物线的解析式为 y=a(x﹣1) (x﹣5) , 把点 A(0,4)代入上式得:a= , ∴y= (x﹣1) (x﹣5)= x ﹣ ∴抛物线的对称轴是:x=3; 2 x+4= (x﹣3) ﹣ 2 , (2)在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N,使△ NAC 面积最大. 设 N 点的横坐标为 t,此时点 N(t, t ﹣ 2 t+4) (0<t<5) ,如图 2,过点 N 作 NG∥y 轴交 AC 于 G; 由点 A(0,4)和点 C(5,0)可求出直线 AC 的解析式为:y=﹣ x+4, 把 x=t 代入得:y=﹣ t+4,则 G(t,﹣ t+4) ,此时:NG=﹣ t+4﹣( t ﹣ ∵AD+CF=CO=5, 2 t+4)=﹣ t +4t, 2 ∴S△ ACN=S△ ANG+S△ CGN= AM×NG+ NG×CF= NG?OC= × (﹣ t +4t) ×5=﹣2t +10t=﹣2 (t﹣ )+ ∴当 t= 时,△ CAN 面积的最大值为 ,由 t= ,得:y= t ﹣ 2 2 2 2 , t+4=﹣3,∴N( ,﹣3) . 点评: 本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用,解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵 活应用.

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