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导数知识点归纳

高中导数知识点归纳 一、基本概念 1. 导数的定义: 设 x 0 是函数 y ? f ( x) 定义域的一点,如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,则函数值 y 也引起相应的 增量 ?y ? f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ;比值 平均变化率;如果极限 lim ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 称为函数 y ? f ( x) 在点 x 0 到 x 0 ? ?x 之间的 ? ?x ?x ?x?0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 存在,则称函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处可导,并 ? lim ? x ? 0 ?x ?x 把这个极限叫做 y ? f ( x) 在 x 0 处的导数。 f ? x ? 在点 x0 处的导数记作 y ? x ? x 0 ? f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x 2 导数的几何意义: (求函数在某点处的切线方程) 函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线 y ? f ( x) 在点 ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率,也 就是说,曲线 y ? f ( x) 在点 P ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率是 f ' ( x0 ) ,切线方程为 y ? y 0 ? f ' ( x)( x ? x0 ). 3.基本常见函数的导数: ① C ? ? 0; (C 为常数) ③ (sin x)? ? cos x ; ⑤ (e x )? ? e x ; ⑦ ? ln x ?? ? 二、导数的运算 1.导数的四则运算: 法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ? f ? x ? ? g ? x ??? ? f ? ? x ? ? g ? ? x ? ? ? 法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即: ? f ? x ? ? g ? x ??? ? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? ? 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: (Cf ( x)) ? Cf ( x). ( C 为常数) ' ' ② xn ? ?? ? nx n ?1 ; ④ (cos x)? ? ? sin x ; ⑥ (a x )? ? a x ln a ; ⑧ ? l o g a x ?? ? 1 ; x 1 log a e . x 法则 3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以 ? f ? x ? ?? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? 分母的平方: ? ? g ? x ? ? 0? 。 ? ? 2 g x ? ? ? ? ? g ? x? ? ? ? 2.复合函数的导数 形如 y ? f [? ( x)] 的函数称为复合函数。法则: f ?[? ( x)] ? f ?( ? )*? ?( x) . 三、导数的应用 1.函数的单调性与导数 (1)设函数 y ? f ( x) 在某个区间 ( a, b) 可导, 如果 f ' ( x ) ? 0 ,则 f ( x) 在此区间上为增函数; 如果 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在此区间上为减函数。 (2)如果在某区间内恒有 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为常函数。 2.函数的极点与极值:当函数 f ( x) 在点 x 0 处连续时, ①如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) >0,右侧 f ' ( x) <0,那么 f ( x 0 ) 是极大值; ②如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) <0,右侧 f ' ( x) >0,那么 f ( x 0 ) 是极小值. 3.函数的最值: 一 般 地 , 在 区 间 [ a, b] 上 连 续 的 函 数 f ( x ) 在 [ a, b] 上 必 有 最 大 值 与 最 小 值 。 函 数 值极 点处取得。 f ( x) 在区间 [a, b]上的最值 只 可 能 在 区 间 端 点 及 求函数 f ( x) 在区间 [a, b]上最值的一般步骤:①求函数 f ( x) 的导数,令导数 f ' ( x) ? 0 解出 方程的跟②在区间 [ a, b] 列出 x, f ' ( x), f ( x) 的表格,求出极值及 f (a)、f (b) 的值;③比较端点及极 值点处的函数值的大小,从而得出函数的最值 4.相关结论总结: ①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 四、例题插播 例 1:函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x ? 9, 已知 f ( x)在x ? ?3 时取得极值,则 a = ( A.2 B.3 C.4 D.5 ) [解析]:∵ f / ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 3 ,又 f ( x)在x ? ?3 时取得极值∴ f / (?3) ? 30 ? 6a ? 0 则 a =5 例 2. 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? ax ? d 的图像过点 P(0,2),且在点 M (?1, f (?1)) 处的切线方程 3 2 为 6 x ? y ? 7 ? 0 .(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的解析式;(Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间. 答案:(Ⅰ)解析式是 f ( x) ? x ? 3x ? 3x ? 2. 3 2 (Ⅱ)在 (1 ? 2 ,1 ? 2 ) 内是减函数,在 (1 ? 2 ,??) 内是增函数.

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