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2016-2017学年人教A版必修四 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 课件(53张)


第一章

三角函数

1.5 函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象

[学习目标] 1.会用“五点法”作出函数 y=Asin(ωx +φ)及函数 y=Acos(ωx+φ)的图象(重点). 2.了解 y= Asin(ωx+φ)中的参数 φ,ω,A 对函数图象变化的影响, 理解函数 y=Asin(ωx+φ)与 y=sin x 的图象之间的关系 (重点、难点). 3.能根据 y=Asin(ωx+φ)的图象或部分 图象确定其解析式(易错点、易混点).

[知识提炼· 梳理] 1.A,ω,φ 对函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响: (1)φ 对函数 y=sin(x+φ),x∈R 的图象的影响.

(2)ω(ω>0)对 y=sin(ωx+φ)的图象的影响.

(3)A(A>0)对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.

温馨提示 A、ω 决定“形变”, φ 决定“位变”; ω 影响周期;A、ω、φ 影响单调性.

2.正弦曲线到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过 程.

3. 若函数 y=Asin(ωx+φ), x∈[0, +∞), 其中 A>0,
2π ω>0,表示简谐振动,则 A 是振幅,周期 T=______ ω ,

1 ω = T 2π ,ωx+φ 称为相位,φ 称为初相. 频率 f=__________

4.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关性质.

名称 定义域 值域 周期性 对称性

性质 R [-A,A]
2π T=_____ ω
?kπ-φ ? ? ? 对称中心? (k∈Z) , 0 ? ? ω ?

kπ π-2φ 对称轴 x= + (k∈Z) ω 2ω 当 φ=kπ(k∈Z)时是奇函数, π 奇偶性 当 φ=kπ+ (k∈Z)时是偶函 2 数

[思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数
? π π? ? ? y=sin?x+ ?的图象向左平移 个单位可得 3 3? ?

到 y=sin x 的图象.(

)

(2)把函数 y=sin x 的图象上点的横坐标伸长到原来 的 3 倍就得到函数 y=sin 3x 的图象.( )

(3) 函数 y = 2sin(ωx + φ)(ω≠0) 的值域为 [ - 2 , 2].( ) )

(4)函数 y=3sin(2x-5)的初相为 5.( 答案:× (2)× (3)√ (4)×

π 2.将函数 y=cos x 的图象向右平移 个单位长度, 3 所得图象的解析式是( π A.y=cos x+ 3
? π? ? C.y=cos?x+ ? 3? ? ?

) π B.y=cos x- 3
? π? ? D.y=cos?x- ? 3? ? ?

π 解析:将函数 y=cos x 的图象向右平移 个单位长 3
? π? ? 度,所得图象的解析式是 y=cos?x- ? . ? 3? ?

答案:D

3. 已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的最大值是 2π π 3,最小正周期是 ,初相是 ,则这个函数的表达式是 7 6 ( )
? π? ? A.y=3sin?7x- ? 6? ? ? ? π? ? ? C.y=3sin?7x+ ? 42? ? ? π? ? B.y=3sin?7x+ ? 6? ? ? ? π? ? ? D.y=3sin?7x- ? 42? ?

2π π 2π 解析:由已知得 A=3,T= ,φ= ,ω= T = 7 6 7,
? π? ? 所以 y=3 sin?7x+ ? ?. 6 ? ?

答案:B

4. 要得到函数 y=sin 2x 的图象,只需将函数 y=sin x 图象上所有点的横坐标________________. 解析:要得到函数 y=sin 2x 的图象,只需将函数 y 1 =sin x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 . 2 1 答案:缩短为原来的 2

5.函数

? π? ? y = 2sin ?x+ ? 图象的一条对称轴是 ? 3? ?

________(填序号). π π π ①x=- ;②x=0;③x= ;④x=- . 2 6 6 解析:由正弦函数对称轴可知, π π x+ =kπ+ ,k∈Z, 3 2

π x=kπ+ ,k∈Z. 6

π k=0 时,x= . 6 答案:③

类型 1 用“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)的简图 [典例 1] 用“五点法”画函数
? π 5π? ? ∈? - , ? 6 6 ? ? ? ? π? ? ? y=3sin?2x+ ?,x 3? ?

的简图.

解:①列表:

π 2x+ 3 x
? π? ? y=3sin?2x+ ? 3? ? ?

0

π 3π π 2π 2 2

π π π 7π 5π - 6 12 3 12 6 0 3 0 -3 0

? π ? ?π ? ? ? ? ? ②在坐标系中描出下列各点: ?- ,0?,? ,3?, ? 6 ? ?12 ? ?π ? ?7π ? ?5π ? ? ? ? ? ? ? , , , 0 ,- 3 , 0 ?3 ? ? 12 ? ? 6 ?. ? ? ? ? ? ?

③连线:用光滑的曲线将所描的五个点顺次连接起 来,得函数 图所示.
? ? π 5π? π? ? ? ? ? y=3sin?2x+ ?,x∈?- , ?的简图,如 3? 6 ? ? ? 6

归纳升华 “五点法”画三角函数图象的实质就是找出函数 y =Asin(ωx+φ)的图象的五个关键点,这五个点通常是在 原点附近的一个周期内,由 y 的最小值、最大值和 y=0 时求得,即由 sin(ωx+φ)=-1,1,0 时求得,因此 x 的 π 3 取值是由 ωx+φ=0, ,π, π,2π求得的. 2 2

[变式训练]

用 “ 五 点 法 ” 作 出 函 数 f(x) =

?1 π? ? 3sin? x- ? ?在长度为一个周期的闭区间上的简图. 2 4 ? ?

解:列表取值,描出五个关键点并用光滑曲线连接, 得到一个周期的简图.

x

π 3 5 7 9 π π π π 2 2 2 2 2 π 2 3 π 0 3 π 2π 2 -3 0

1 π 0 x- 2 4 f ( x) 0

类型 2 三角函数图象的变换 [ 典 例 2] (1)(2015· 山东卷)要得到函数 y= )

? π? ? sin?4x- ? 的图象,只需将函数 y=sin 4x 的图象( ? 3? ?

π A.向左平移 个单位 12 π C.向左平移 个单位 3

π B.向右平移 个单位 12 π D.向右平移 个单位 3

(2)把函数 y=sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小 π 到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图象向左平移 4 个单位,则所得图象的解析式为(
? π? ? A.y=sin?2x- ? 4? ? ?

)

B.y=-sin 2x
? π? ? D.y=sin?2x+ ? 4? ? ?

C.y=cos 2x

? ? π? π? ? ? ? ? 解析:(1)由 y=sin?4x- ?=sin 4?x- ?得,只需将 3? 12? ? ?

π y=sin 4x 的图象向右平移 个单位即可. 12

的图象,
? π? ? ? 即 y=sin?2x+ ?=cos 2x 的图象. 2? ?

答案:(1)B (2)C

归纳升华 1.三角函数图象平移变换问题的分类及解题方法: (1)确定函数 y=sin x 的图象经过平移变换后图象对 应的解析式,关键是明确左右平移的方向,按“左加右 减”的原则进行.

(2) 已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系 时,首先要将解析式化为同名三角函数形式,然后再确定 平移方向和单位.

2.作图象变换时,若“先伸缩,后平移”,容易误 认为平移的单位长度仍然是|φ|,从而得出错误答案.错误 的原因是没有理解图象变换的实质, 注意平移变换和伸缩 变换都只对自变量“x”发生变化,而不是对“角”(相位).

[变式训练] 将函数 f(x)=sin ωx(其中 ω>0)的图象
?3π ? π ? 向右平移 个单位长度,所得图象经过点? ,0? ?,则 ω 4 4 ? ?

的最小值是( 1 A. 3

) B.1 5 C. 3 D.2

π 解析: 函数 f(x)=sin ωx(其中 ω>0)的图象向右平移 4 个单位长度得到函数
?3π ? ? ? ? 4 ,0?代入得 ? ? ? ? ? π? ? ? ?? f(x)=sin?ω?x- ??(其中 4 ?? ? ?

ω>0),将

ωπ ωπ sin =0,所以 =kπ(k∈Z),故得 2 2

ω 的最小值是 2. 答案:D

类型 3 由图象求三角函数的解析式 [典例 3]
? ? ?? ? π? ? 如图所示的是函数 y=Asin(ωx+φ)?? ?φ?< 2? ? ?

的图象,确定其一个函数解析式.

解:法一:由图象知振幅 A=3.
? 5π ? ? π? 又 T= -?- ?=π. 6 ? 6? ? π ? 2π ? ? 所 以 ω = T = 2. 又 过 点 ?- ,0? , 则 得 ? 6 ? ? π ? ? π π? ? ? ? ? sin?- ×2+φ?=0,得φ= ,所以 y=3sin?2x+ ?. 3 3? ? 6 ? ?

?π ? ?5π ? ? ? ? 法二: 由图象知 A=3, 且图象过点? ,0?和? ,0? , ? ?3 ? ? 6 ?

? ?π·ω+φ=π, ?3 根据五点作图法原理,有? ?5π ·ω+φ=2π, ? ? 6
? π π? ? ? 解得 ω=2,φ= ,所以 y=3sin?2x+ ?. 3 3? ?

π 法三: 由图象, 知 A=3, T=π, 又图象过点 A(- , 6 0), π 所以所求图象由 y=3sin 2x 的图象向左平移 个单 6 位得到.
? ? π? π? ? ? ? ? 所以 y=3sin 2?x+ ?,即 y=3sin?2x+ ?. 6? 3? ? ?

归纳升华 在观察图象的基础上可按以下规律来确定 A,ω, φ: 1.A:一般可由图象的最高点、最低点来确定|A|.

2π 2.ω:因为 T= ,所以往往通过求 T 来确定 ω, | ω| 即相邻的最高点与最低 由已知曲线与 x 轴的交点确定 T, T 点之间的距离为 ,相邻两个最高点(或最低点)之间的距 2 离为 T.

? φ ? 3.φ:寻找“五点法”中的第一个零点?-ω,0?作为 ? ?

突破口,要根据图象的升降情况找准第一个零点的位置.

[变式训练] 下图是函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0) 的图象的一部分,则该函数的一个解析式为( )

π? 2 ? ? A.y= sin?2x+ ? 3 ? 3? ? π? 2 ? ? ? C.y= sin?x- ? 3 ? 3?

? 2 ? ?x π? B.y= sin? + ? 3 ?2 4 ?

2π? 2 ? ? ? D.y= sin?2x+ ? 3 ? 3 ?

? 5π ? 2 ? 7π ? 解析:由题图可知,A= ,T= -?- ?=π, 3 12 ? 12 ?

2π 2 所以 ω= T =2,所以 y= sin(2x+φ). 3
? π 2? ? ? 将点?- , ?代入, ? 12 3? ? 2 2 ? ? π 得 = sin?- +φ? , ? 3 3 ? 6 ?

π π 2π 所以 φ - = + 2k π (k∈Z) ,得 φ = + 2k π 6 2 3 (k∈Z). 2π? 2 ? ? 所以 y= sin?2x+ ? . ? 3 ? 3 ? 答案:D

类型 4 函数 y=Asin(ωx+φ)性质的应用(互动探究) π? 1 ? ? ? 5 [典例 4] 已知函数 f(x)= sin?2x+ ?+ . 2 ? 6? 4 (1)求 f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间; (2)求 f(x)的图象的对称轴方程和对称中心; (3)求 f(x)的最小值及取得最小值时的 x 的取值集合.

2π 1 解: (1)函数 f(x)的振幅为 , 最小正周期 T= =π, 2 2 π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z), 2 6 2 π π 解得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), 3 6
? π π? ? 所以 f(x)的单调增区间为?kπ- ,kπ+ ? ?(k∈Z). 3 6 ? ?

π π (2)令 2x+ =kπ+ (k∈Z), 6 2 kπ π 则 x= + (k∈Z), 2 6 kπ π 所以对称轴方程为 x= + (k∈Z), 2 6 π 令 2x+ =kπ(k∈Z), 6 kπ π 则 x= - (k∈Z), 2 12

?kπ π 5? ? ? 所以对称中心为? - , ?(k∈Z). 12 4? ? 2 ? π? ? ? (3)当 sin?2x+ ?=-1, 6? ?

π π 即 2x+ =- +2kπ(k∈Z), 6 2 π x=- +kπ(k∈Z)时, 3 3 f(x)的最小值为 ,此时 x 的取值集合是 4

? ? ? ? ? π ? ?x?x=- +kπ,k∈Z?. ? ? 3 ? ? ?

[迁移探究]

(改变条件)本例中,若增加条件

? π π? ? ? x∈?- , ?, 又如何求 f(x)的最大值呢?并求当取得最 3? ? 6

大值时 x 的取值.
? π π? ? π ? ? ? ? π 5π? 解:x∈?- , ?,则 2x+ ∈?- , ?,所以当 6 ? 6 6 ? 3? ? 6 ? π π π? 7 ? ? 2x+ = 时,sin?2x+ ?=1,f(x)的最大值为 ,此时 x 6 2 4 6? ?

π 的取值为 x= . 6

1.A,ω,φ 对函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图 象变换的影响. (1)A 越大,函数图象的最大值越大,最大值与 A 是 正比例关系. (2)ω 越大,函数图象的周期越小,ω越小,周期越 大,周期与 ω 为反比例关系. (3)φ 大于 0 时,函数图象向左平移,φ 小于 0 时,函 数图象向右平移,即“左加右减”.

ω>0)的部分图象 根据函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, 2.
确定 A、ω、φ 的方法. (1)A:一般可由图象的最高点、最低点来确定 A. 2π 2π (2)ω:因为 T= , 所以 ω= T ,可通过曲线与 x ω 也可由相邻的最高点与最低点之间的距 轴的交点确定 T, T 离为 来求,还可由相邻的两个最高点(或最低点)之间的 2 距离为 T 来求.

(3)φ:确定 φ 的方法有两种。 ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时,A,ω 已知)或代入图象与 x 轴的交点求解(此时要注意交点在上 升区间上还是在下降区间上). ②“五点法”:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”
? φ ? 中的第一个零点?-ω,0?作为突破口. ? ?

3.有关函数 y=Asin(ωx+φ)的性质运用问题,要特 别注意整体代换思想的运用.


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