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2009年全国高中数学联赛江苏省预赛试题及答案


声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区分为初赛、复赛与决赛(即全国高中数 学联赛)。初赛与复赛由江苏省数学学会普及工作委员会、江苏省高中数学联赛 专家委员会领导并主办, 由江苏省数学学会高中数学联赛专家委员会邀请专家组 成“高中数学联赛命题组”。命题组负责人是南京师范大学余红兵等教授。 初赛试题以《全日制普通高中(新)课程标准》的内容和要求为依据;复赛 试题以全国高中数学联赛竞赛大纲为依据,以全国高中数学联赛的题型、试卷为 模式,分为一试与加试,考试时间也与全国高中数学联赛相同,在方法和能力的 考察上有所提高, 一方面起选拔作用,从参赛者中选出参加全国高中数学联赛的 学生;另一方面也为参加全国高中数学联赛作一次赛前准备。 初赛于 2009 年 5 月 3 日 8:00-11:00,由各大市自行组织,选出 5%,连 同名单、 试卷一同交到省联赛专家委员会。 复赛于 2009 年 7 月 23 日 8: — 12: 00 10,在江苏省高中数学奥林匹克夏令营中统一进行,选出 70%左右参加全国高 中数学联赛。决赛于 2009 年 10 月 11 日 8:00 — 12:10,在全省的 4 个考点 举行,派专人送试卷到考点,考试结束后将试卷密封带回南京统一阅卷、统一评 分。 从参加决赛人员中选出全国一等奖(55 名)、江苏省一等奖(200 名左右)、 江苏省二等奖(600 名左右)、江苏省三等奖(900 名左右),以资鼓励。

1

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一、填空题(每小题 7 分,共 56 分)



2 1.已知数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n ? n ? 3n ? 4 n ? N

?

*

? ,则

a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a21 ?
2. 若集合 A ? x



?

x ? 3 ? ax ? 1, x ? R 为空集,则实数 a 的取值范围是
2 2

?



3. 设 x 、 y 为实数, 2 x ? y ? 1 ,则二元函数 u ? x ? 4 x ? y ? 2 y 的最小值 是 . 4. 设 F1 、 F2 分别是双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1 的左、右焦点,以 F1 F2 为直径的圆交双曲线左

支于 A 、 B 两点,且 ?AF1 B ? 120? . 双曲线的离心率的值介于整数 k 与 k ? 1 之间,则

k?

. 5. 已知长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的体积为 216 , 则四面体 AB1CD1 与四面体 A1 BC1 D

的重叠部分的体积等于



6. 设 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数, [log 3 1] ? [log 3 2] ? [log 3 3] ? ? ? [log 3 258] ? 则 . 7. 设方程 x
2 n ?1

? a2 n x 2 n ? a2 n ?1 x 2 n ?1 ? ? ? a1 x ? a0 ? 0 的根都是正数,且其中
. 个棋盘格.

a1 ? ? ? 2 n ? 1? ,则 a 0 的最大值是
8. 2009 ? 1911 的方格棋盘的一条对角线穿过 二、解答题(第 9 题 14 分,10、11 题各 15 分)

9. 求函数 f ? x ? ? sin x ? tan x ? cos x ? cot x 的值域.
4 4

10. 如图,抛物线 y ? 2 x 及点 P ?1,1? ,过点 P 的不
2

重合的直线 l1 、l2 与此抛物线分别交于点 A 、B 、C 、D . 证明: A 、 B 、C 、 D 四点共圆的充要条件是直线 l1 与 l2 的倾斜角互补.

2

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11. 设 a , b 是正数,且 a ? 1 , b ? 1 ,求证:

a 5 ? 1 b 5 ? 1 25 ? ? ? a ? 1?? b ? 1? . a 4 ? 1 b 4 ? 1 64





12.(本题满分 50 分)如图,在△ ABC 中, DE ∥ BC ,△ ADE 的内切圆与 DE 切于点 M ,△ ABC 的 BC 边上的旁切圆 切 BC 于点 N ,点 P 是 BE 与 CD 的交点,求证 M 、 N 、 P 三 点共线. 13. (本题满分 50 分) k ,n 为给定的整数,n ? k ? 2 . 对 设 任意 n 元的数集 P ,作 P 的所有 k 元子集的元素和,记这些和组 成的集合为 Q ,集合 Q 中元素个数是 CQ . 求 CQ 的最大值.

14.(本题满分 50 分)设 M ? 2 1 ? 2 2 ? ? ? 2 s , n1 , n2 , ? , ns 是互不相同的正整数,
n n n

求证: 2 2 ? 2 2 ? ? ? 2 2 ? 1 ? 2

n1

n2

ns

?

?

M .

15. (本题满分 50 分) 求满足下列条件的所有正整数 x 、 y : (1)x 与 y ? 1 互素; (2)

x2 ? x ? 1 ? y3 .


1 1


9 5

1.

268

2. ( ?? , ? ) ? ( , ?? )

3

6

3.

?

4. 2

5.

36

6.

932

7. 1

8.

3871

9.因为

f ? x ? ? sin 4 x ?
6

sin x

?

cos x sin x ? cos 6 x

? cos 4 x ?

cos x sin x
.

sin x cos x 3 2 ? sin 2 2 x 2 ? sin 2 x
3

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令 t ? sin 2 x ,则 t ? ? ?1, 0 ? ? ? 0,1? ,

3 2 ? t2 2 ? 2 ? 3t. f ? x? ? t t 2
3 ? t 在区间 ? ?1, 0 ? 与 ? 0,1? 上都是减函数,所以 g ? t ? 的值域为 t 2 1 1 1 1 ( ?? , ? ] ? [ , ?? ) ,故 f ? x ? 的值域为 ( ?? , ? ] ? [ , ?? ) . 2 2 2 2
易知函数 g ? t ? ? 10. 设 l1 、l2 的倾斜角分别为 ? 、 ? ,由题设知 ? 、 ? ? ? 0, ? ? . 易知直线 l1 的参数方 程为

2

? x ? 1 ? t cos ? , ? ? y ? 1 ? t sin ?
代入抛物线方程可化得

t 2 sin 2 ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? t ? 1 ? 0 .
设上述方程的两根为 t1 、 t2 ,则 t1t 2 ?

?1 sin 2 ?
.

. 由参数 t 的几何意义, 得

AP ? BP ?

1 sin ?
2

.

同理 CP ? DP ?

1 sin 2 ?

若 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆,则 AP ? BP ? CP ? DP ,即 sin ? ? sin ? .因为 ? ,
2 2

? ? ? 0, ? ? ,所以 sin ? ? sin ? .又由 l1 、 l2 不重合,则 ? ? ? . 所以 ? ? ? ? ? .
反过来,若 ? ? ? ? ? ,则因 ? 、? ? ? 0, ? ? ,故 sin ? ? sin 以
1 sin ?
2

? ,且 ? ? 0 ,? ? 0 . 所

?

1 sin 2 ?

,即 AP ? BP ? CP ? DP .故 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆.

11. 因为

a5 ? 1 a4 ?1


?

a4 ? a3 ? a 2 ? a ? 1 a3 ? a 2 ? a ? 1



8 ? a 4 ? a 3 ? a 2 ? a ? 1? ? 5 ? a 3 ? a 2 ? a ? 1 ? ? a ? 1 ?

? 3a 4 ? 2a 3 ? 2a 2 ? 2a ? 3 ? ? a 4 ? 2 a 2 ? 1? ? 2 ? a 4 ? a 3 ? a ? 1?
? ? a 2 ? 1? ? 2 ? a ? 1?
2 2

?a

2

? a ? 1? ? 0

(a ?1) ,

所以
4

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a4 ? a3 ? a 2 ? a ? 1 a ? a ? a ?1
3 2

?

5 8

? a ? 1? ,



a5 ? 1 a ?1
4

?

5 8

? a ? 1? .

同理可证

b5 ? 1 b ?1
4

?

5 8

(b ? 1) . 于是, a 5 ? 1 b5 ? 1 25 ? ? ( a ? 1) ? b ? 1? . a 4 ? 1 b 4 ? 1 64

12. 设 BE 与 MN 交于点 P ' .因为 DE ∥ BC ,所以

BP PE BC

P ' E EM BN EM 故只需证明 ,或 . ? ? DE EM BC DE

?

BC DE BN



BP '

?

BN

. 如图, 设

O1 、 O2 分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心, F 、 G 、

H 、 I 为切点,则

? AE ? DE ? AD ? , 2 AH ? AB ? BH ? AB ? BN , 1 AH ? AI ? ? AB ? BC ? AC ? , 2 1 BN ? AH ? AB ? ? AC ? BC ? AB ? . 2
EM ?
又因为 ?ADE ∽ ?ABC ,故可设

1

AB AD


?

BC DE

?

AC AE

?k,

1 ( AC ? BC ? AB ) BN 2 ? BC BC
? ?
故结论成立.

( k ? AE ? k ? DE ? k ? AD ) 2 k ? DE ( AE ? DE ? AD ) 2 DE ? EM DE

5

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13.

CQ 的最大值为 C nk .
k

k 因 P 共有 C n 个 k 元子集,故显然有 C Q ? C n .

下面指出, 对集合 P ? {2, 2 , ? , 2 } , 相应的 CQ 等于 C n , P 的任意两个不同的 k 即
2 n
k

元子集的元素之和不相等. 从而 CQ 的最大值为 C n . 事 实 上 , 若 上 述 的 集 合 P 有 两 个 不 同 的 k 元 子 集 A ? {2 1 , 2 2 , ? , 2 k } ,
r r r

k

B ? {2 s1 , 2 s2 ,? , 2 sk } ,使得 A 与 B 的元素之和相等,则

2r1 ? 2r2 ? ? ? 2rk ? 2 s1 ? 2 s2 ? ? ? 2 sk ? M (设).



因①可视为正整数 M 的二进制表示,由于 ri 互不相同, si 互不相同,故由正整数的二 进制表示的唯一性,我们由①推出,集合 {r1 , r2 , ? , rk } 必须与 {s1 , s2 , ? , sk } 相同,从而子集

A ? B ,矛盾.
这就证明了我们的断言. 14. 对 s 归纳. (1) 当 s ? 1 时,结论显然成立. (2) 假设 s ? k 时结论成立,当 s ? k ? 1 时,不妨设 n1 ? n2 ? ? ? nk ? nk ?1 .由归纳假 设可知,
2 2 ?? ? 2
n2 nk ?1 2

? (1 ?

2 ) M ? 2 n1 ,


2 2 ? 2 2 ?? ? 2 2 ? 2
n1 n2 nk nk ?1 2

? (1 ?

2 ) M ? 2 n1 ? 2 2 .

n1

所以只要证明
(1 ? 2 ) M ? 2 n1 ? 2 2 ? (1 ?
n1

2) M ,

此即
(1 ? M ?
n1

2 )2 2 M ? 2 n1

? 1.

因为正整数 n1 ? n2 ? ? ? nk ? nk ?1 ,所以
2 n1 ? 2 n2 ?1 ? 2 n2 ? 2 n2 ?1 ? ? ? 2 ? 1 ? 2 n2 ? 2 n3 ? ? ? 2 nk ?1 .

.


M ? 2 n1 ? 2 n2 ? ? ? 2 nk ? 2 nk ?1 ? 2 ? 2 n1 ,
6

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M ? 2 n1 ? 2 n2 ? ? ? 2 nk ?1 ? 2 n1 .

所以
(1 ? 2 )2 2 M ?
n1

M ? 2 n1

?

(1 ? 2 )2 2

n1

2 ? 2 n1 ? 2 n1

?1,

即 s ? k ? 1 时,命题成立. 因此,由数学归纳法可知,命题对所有正整数 s 成立. 15. 显然 x ? 1 , y ? 1 满足要求. 对于 x ? 1 , y ? 1 , 方程可化为

? y ? 1? ? y 2 ? y ? 1 ? ? x ? x ? 1 ? .
显然 x ? y . 因为 ? x , y ? 1? ? 1 ,故 x 一定是 y ? y ? 1 的一个因子. 设 y ? y ? 1 ? kx ( k
2 2

为正整数) ,从而 x ? 1 ? k ? y ? 1? . 由 x ? y 可知 k ? 2 .消去 x ,得

y 2 ? y ? 1 ? k 2 ? y ? 1? ? k ,


?y
由此推得 y ? 1 ? k ? 3 ? .

2

? 1? ? ? y ? 1 ? ? k 2 ? y ? 1 ? ? k ? 3 .

若 k ? 3 ,则 y ? 1 ? k ? 3 ,即 k ? y ? 2 ,从而

k 2 ? y ? 1? ? k ? y 2 ? y ? 1 ? k 2 ? ? k ? 2 ? ? 1 ,
故必有 y ? 1 ? 0 ,矛盾. 所以 k ? 3 ,从而 k ? 2 , 3 . 验证知 y ? 7 , x ? 19 . 综上, ? x , y ? ? ?1,1? , ?19, 7 ? .

7


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