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(安徽专用)2014届高考数学 第二章 第九节 函数模型及其应用课件 文 新人教A版


第九节

函数模型及其应用

1.三种函数模型之间增长速度的比较

函数
性质

y=ax(a>1)
单调递增 ________________ 越来越快

y=logax(a>1) y=xn(n>0)
单调递增 单调递增 ___________ 相对平稳

在(0,+∞) 上的增减性
增长速度

____________

越来越慢

大小比较

logax<xn<ax 存在一个x0,当x>x0时,有______________

2.常见的几种函数模型 kx+b(k≠0) (1)一次函数模型:y=____________ . k (2)反比例函数模型:y=____ x (k≠0). (3)指数函数模型:y=a· bx+c(b>0,b≠1,a≠0)型. (4)对数函数模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0)型. (5)幂函数模型:y=a· xn+b(a≠0)型. (6)分段函数模型.

1 .函数 y = x2 与 y = 2x 在 (0 ,+ ∞ ) 上函数值是如何变化 的? 【提示】 当x∈(0,2)时,2x>x2,当x∈(2,4)时,x2

>2x,当x∈(4,+∞)时,2x>x2.

2.直线上升、指数增长、对数增长各有什么特点?
【提示】 直线上升,匀速增长;指数增长,先慢后

快,其增长量成倍增加,可用 “ 指数爆炸 ” 形容;对数增
长;先快后慢,其增长速度缓慢.

1.(人教A版教材习题改编)一根蜡烛长20 cm,点燃后
每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的 函数关系用图象表示为图中的( )

【解析】

由题意知h=20-5t,故选B.

【答案】

B

2.拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)=0.5×[m]

+1(单位:元),其中 m>0,[m]表示不大于 m的最大整数(如
[3.62] = 3, [4] = 4) ,当 m∈[0.5, 3.2] 时,函数 f(m) 的值域是 ( ) A.{1,2,3,4} C.{1,1.5,2.5,3} B.{1,1.5,2,2.5} D.{1.5,2,2.5}

【解析】

当 m∈[0.5 , 3.2] 时, [m] 所有可能值为 0 ,

1,2,3共四个,故f(m)的值域为{1,1.5,2,2.5}. 【答案】 B

3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某 1 2 企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)= x + 2 2x+20(万元).一万件售价是20万元,为获取更大利润,该 企业一个月应生产该商品数量为( ) A.36万件 B.18万件 C.22万件 D.9万件

1 【解析】 利润L(x)=20x-C(x)=- (x-18)2+142, 2 当x=18时,L(x)有最大值.
【答案】 B

4.某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率

为r ,存期是x,本利和(本金加利息)为y 元,则本利和y随存
期x变化的函数关系式是________. 【解析】 已知本金为a元,利率为r,则

1期后本利和为y=a+ar=a(1+r), 2期后本利和为y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2, 3期后本利和为y=a(1+r)3, ?

x期后本利和为y=a(1+r)x,x∈N.
【答案】 y=a(1+r)x,x∈N

5 . (2013· 武汉模拟 ) 里氏震级 M 的计算公式为: M = lg

A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0
是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中.测震仪记录 的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次 地震的震级为________级,9级地震的最大振幅是5级地震最 大振幅的________倍.

【解析】 由题意,假设在一次地震中,测震仪记录 的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则M= lg A-lg A0=lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6.设9级地震的 最大振幅是x,5级地震的最大振幅是y, 9=lg x+3,5=lg y+3,解得x=106,y=102. x 106 所以 = 2=10 000. y 10

【答案】

6

10 000

(2013· 聊城模拟)西部大开发是中华人民共和国中央政 府的一项政策,提高了西部的经济和社会发展水 平.西部山区的某种特产由于运输原因,长期只能在 当地销售,当地政府对该项特产的销售投资收益为: 1 每年投入x万元,可获得利润P=- (x-40)2+100万 160 元.

当地政府借助大开发拟在新的十年发展规划中加快发 展此特产的销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每 年都投入60万元的销售投资,在未来10年的前5年中,每年 都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路,5年修成,通 车前该特产只能在当地销售;公路通车后的5年中,该特产 既在本地销售,也在外地销售,在外地销售的投资收益 159 119 2 为:每年投入x万元,可获利润Q=- (60-x) + (60 160 2 -x)万元.问从10年的总利润看,该规划方案是否具有实 施价值?

【审题视点】

计算实施规划前后10年总利润,通过比

较可知该规划方案是否具有实施价值.
1 【尝试解答】 在实施规划前,由题设P=- (x- 160 40)2+100(万元)知,每年只需投入40万,即可获得最大利 润100万元. 则10年的总利润为 W1=100×10=1 000(万元). 实施规划后的前5年中, 修建公路的费用为30×5=150(万元),

1 又由题设P=- (x-40)2+100知,每年投入30万元 160 时, 795 利润P= (万元). 8 前5年的利润和为 795 2 775 ×5-150= (万元). 8 8 设在公路通车的后5年中,每年用x万元投资于本地的 销售,而用剩下的(60-x)万元投资于外地的销售,则其总 利润为

1 159 2 119 2 W2=[- (x-40) +100]×5+(- x+ x)×5= 160 160 2 -5(x-30)2+4 950. 当x=30时,(W2)max=4 950(万元). 2 775 从而10年的总利润为 +4 950(万元). 8 2 775 ∵ +4 950>1 000, 8 故该规划方案有极大实施价值.

1. 本题在求规划实施前最大利润时,易忽视二次函数
的特性,直接把x=60代入求解,造成错误答案. 2.(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性 解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错.(2) 解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.

某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产 品的利润与投资成正比,其关系如图 2 - 9 - 1(1) ; B 产品的

利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2-9-
1(2)(注:利润和投资单位:万元).

(1) 分别将 A、 B两种产品的利润表示为投资的函数关系

式;
(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A, B两种产品的生产. ①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润? ②问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使 该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?

【解】 (1)设A、B两种产品分别投资x万元(x≥0),所 获利润分别为f(x)、g(x)万元,由题意可设f(x)=k1x,g(x)= k2 x, ∴根据图象可解得f(x)=0.25x(x≥0), g(x)=2 x(x≥0). (2)①由(1)得f(9)=2.25,g(9)=2 9=6, ∴总利润y=8.25(万元). ②设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企 业可获总利润为y万元, 1 则y= (18-x)+2 x,0≤x≤18. 4

令 x=t,t∈[0,3 2], 1 1 34 2 2 则y= (-t +8t+18)=- (t-4) + . 4 4 4 34 ∴当t=4时,ymax= =8.5,此时x=16,18-x=2. 4 ∴当A、B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使 该企业获得最大利润8.5万元.

已知某物体的温度θ(单位:摄氏度)随时间t(单位:分 钟)的变化规律是:θ=m·2t+21-t(t≥0,并且m>0). (1) 如果 m = 2 ,求经过多少时间,物体的温度为 5 摄氏

度;
(2)若物体的温度总不低于2摄氏度,求m的取值范围. 【思路点拨】 (1)解关于2t的一元二次方程求解.

(2)转化为恒成立问题求解.

【尝试解答】 1 ), 2t

(1)若m=2,则θ=2· 2t+21 t=2(2t+


1 5 当θ=5时,2 + t= , 2 2 1 5 t 令2 =x(x≥1),则x+ = ,即2x2-5x+2=0, x 2 1 解得x=2或x= (舍去),此时t=1. 2 所以经过1分钟,物体的温度为5摄氏度.
t

(2)物体的温度总不低于 2 摄氏度,即 θ≥2 恒成立, 2 1 1 t 亦 m· 2 + t≥2 恒成立,亦即 m≥2( t- 2t)恒成立. 2 2 2 1 令 t=x,则 0<x≤1, 2 ∴m≥2(x-x2), 1 1 2 由于 x-x ≤ ,∴m≥ 4 2 因此, 当物体的温度总不低于 2 摄氏度时,m 的取值 1 范围是[ ,+∞). 2

1. 解答本题的关键是把所求解问题转化为一元二次方
程或二次函数问题求解. 2.(1)指数函数模型,常与增长率相结合进行考查,在 实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可 以利用指数函数模型来表示.(2)应用指数函数模型时,先设

定模型将有关已知数据代入计算验证,确定参数.

某电视生产厂家有 A、B 两种型号的电视机参加家电下 乡活动.若厂家投放 A、B 型号电视机的价值分别为 p、q 1 2 万元, 农民购买电视机获得的补贴分别为 p、 ln q 万元. 已 10 5 知厂家把总价值为 10 万元的 A、 B 两种型号电视机投放市场, 且 A、B 两型号的电视机投放金额都不低于 1 万元,请你制 定一个投放方案,使得在这次活动中农民得到的补贴最多, 并求出其最大值(精确到 0.1,参考数据:ln 4=1.4).

【解】 设 B 型号电视机的价值为 x 万元(1≤x≤9)农民 得到的补贴为 y 万元, 则 A 型号电视机的价值为(10-x)万元, 由题意得 1 2 2 1 y= (10-x)+ ln x= ln x- x+1, 10 5 5 10 2 1 y′= - ,令 y′=0?x=4, 5x 10 x∈(1,4),y′>0;x∈(4,9),y′<0, 2 ∴x=4 时,y 取得最大值,ymax= ln 4-0.4+1≈1.2. 5 即厂家分别投入 A、B 两型号电视机 6 万元和 4 万元, 农民得到补贴最多约为 1.2 万元.

(2013· 杭州模拟 ) 提高过江大桥的车辆通行能力可改 善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当

桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速
度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/ 小时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的 一次函数.

(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;

(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上
某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最 大,并求出最大值.(精确到1辆/小时) 【思路点拨】 (1) 当 20≤x≤200 时,运用待定系数法求

v(x)的解析式,进而确定当0≤x≤200时,分段函数v(x).(2)根

据(1)求出f(x),根据函数的单调性与基本不等式求最值.

【尝试解答】 60;

(1)由题意:当0≤x≤20时,v(x)=

当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b. 1 ? ? ?a=-3, ?200a+b=0, 再由已知得? 解得? ? ?20a+b=60. ?b=200. 3 ? 故函数v(x)的表达式为 60, 0≤x≤20, ? ? v(x)=?1 ×(200-x), 20<x≤200. ? 3 ?

(2)依题意并由(1)可得f(x)= 0≤x≤20, ? ?60x, ?x (200-x),20<x≤200. ? ?3 当0≤x≤20时,f(x)为增函数.故当x=20时,其最大 值为60×20=1 200;当20<x≤200时, 1 1 x+(200-x) 2 10 000 f(x)= x(200-x)≤ [ ]= . 3 3 2 3

当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立. 所以,当x=100时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值 10 000 . 3

综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 10 000 ≈3 333. 3 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大, 最大值约为 3 333 辆/小时.

1 . 理解题意,由待定系数法,准确求出 v(x) ,是求解
本题的关键.要注意分段函数各段变量的取值范围,特别是 端点值. 2 . 实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式 给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车票价与路程

之间的关系,应构建分段函数模型求解.

为了预防甲型H1N1 流感,某学校对教室用药 熏消毒法进行消毒.已知 药物释放过程中,室内每 立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t(小时)成正 1 t-a 比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=( ) (a 16 为常数),如图2-9-2所示.根据图中提供的信息,回答 下列问题:

(1) 从药物释放开始,求每立方米空气中的含药量 y( 毫

克)与时间t(小时)之间的函数关系式;
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克 以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要 经过多少个小时后,学生才能回到教室?

【解】 (1)从图中可以看出线段的端点分别为(0, 0),(0.1,1). 所以在0≤t≤0.1时,表达式y=10t. 1 t-a 点(0.1,1)也在y=( ) 上,故a=0.1. 16 1 t-0.1 t≥0.1时,y=( ) . 16 1 ? ?10t,0≤t≤10, ∴函数的解析式为y=? ? ( 1 ) t- 1 , t> 1 . 10 10 ? 16

(2)依题意,学生进入教室,则有y<0.25, 1 t-0.1 1 1 2t-0.2 1 ∴( ) < 即( ) < , 16 4 4 4 1x 又y=( ) 是减函数, 4 ∴2t-0.2>1,∴t>0.6. 因此至少要经过0.6个小时后,学生才能回到教室.

特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数 的定义域.

解决实际应用题的一般步骤 (1) 审题:深刻理解题意,分清条件和结论,理顺其中 的数量关系,把握其中的数学本质; (2) 建 模 : 由 题 设中 的数量关系 , 建立相应的数学 模

型,将实际问题转化为数学问题;
(3)解模:用数学知识和方法解决转化出的数学问题;

(4) 还原:回到题目本身,检验结果的实际意义,给出
结论.

从近两年高考试题看,对函数的实际应用问题的考查, 更多地以社会实际生活为背景,设问新颖,灵活;题型以解

答题为主,难度中等偏上,常与基本不等式、导数等知识交
汇,考查学生分析问题、解决问题的能力.

规范解答之二

函数建模在实际问题中的应用)

(14分)(2012· 江苏高考)如图2-9-3,建

立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地 平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发 1 射后的轨迹在方程y=kx- (1+k2)x2(k>0)表示的曲线上, 20 其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐 标.

(1)求炮的最大射程.

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度
为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中 它?请说明理由.

1 【规范解答】 (1)令 y=0,得 kx- (1+k2)x2=0,由 20 实际意义和题设条件知 x>0,k>0, · · · · · · · · · · · · ·3 分 20k 20 20 故 x= = ≤ =10, 当且仅当 k=1 时取等号. 1 2 1+k2 k+ k 所以炮的最大射程为 10 千米. · · · · · · · · · · · · ·6 分

(2)因为 a>0,所以炮弹可击中目标?存在 k>0,使 3.2 1 =ka- (1+k2)a2 成立· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 20 ?关于 k 的方程 a2k2-20ak+a2+64=0 有正根 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 ?判别式 Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0?a≤6. 所以当 a 不超过 6 千米时,可击中目标. · ·14 分

【解题程序】

第一步:根据题意建立方程,确定x、k

的范围;
第二步:建立炮的射程的函数模型,并求最大值; 第三步:把所求问题转化为方程有解问题; 第四步:把方程有解问题转化为一元二次方程有正根问 题; 第五步:列不等式求解,用数学结果回答实际问题.

易错提示:(1)未读懂题意,不能建立x与k的函数关系. (2)不能把炮弹击中目标转化为关于k的一元二次方程有 正根问题. (3)不能正确列不等式求解. 防范措施: (1) 求解函数实际问题,审题是关键,要弄

清相关“名词”准确寻求各量之间的关系.
(2) 在求解过程中应分清变量之间的辨证关系,结合所 求,合理转化.

(3)根据一元二次方程列不等式(组)时,首先判断两根之

和与两根之积的正负,根据它们的正负确定如何列不等式
(组 ).

1 . (2013· 宜 春 模 拟 ) 某 市 原 来 居 民 用 电 价 为 0.52 元 /kw· h,换装分时电表后,峰时段(早上8点到晚上9点)的电价 0.55 元 /kw· h,谷时段(晚上9点到次日早上8点)的电价为 0.35/kw· h,对于一个平均每月用电量为200 kw· h的家庭,换 装分时电表后,每月节省的电费不少于原来电费的10%,则

这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为(
A.110 kw· h B.114 kw· h

)

C.118 kw· h

D.120 kw·h

【解析】

设在峰时段的平均用电量为x kw· h,由题意

知 0.52×200 - [0.55x + 0.35(200 - x)]≥0.52×200×10% , 解
得x≤118,故选C. 【答案】 C

2.(2013·江门模拟)小孟进了一批水果,如果他以每斤

1.2元的价格出售,那他就会赔4元;如果他以每斤1.5元的价
格出售,一共可赚 8元,现在小孟想将这批水果尽快出手, 以不赔不赚的价格卖出,那么每千克水果应定价为( A.2.6元 C.2.8元 B.2.2元 D.1.3元 )

【解析】

设水果的成本价为x元/斤,共有a斤,由题

? ?(x-1.2)a=4, 意知? 解得x=1.3, ? ?(1.5-x)a=8,

则每千克水果应定价2.6元,故选A.
【答案】 A


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