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三角函数图像及性质习题含答案

三角函数

一、三角函数的基本概念和同角三角函数关系
板块一:任意角的概念与弧度制
(一)知识内容
1. 角的概念的推广
⑴角:一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.其中顶点,始边,终边称为角的 三要素.角可以是任意大小的. ⑵角按其旋转方向可分为:正角,零角,负角. ①正角:习惯上规定,按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角; ②负角:按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角; ③零角:当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角,叫做零角. ⑶在直角坐标系中讨论角: ①角的顶点在原点,始边在 x 轴的非负半轴上,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. ②若角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限,它叫轴线角. 2.终边相同的角的集合:设? 表示任意角,所有与? 终边相同的角,包括? 本身构成一个集合,这个
集合可记为 S ? ?? ? ? ? ? k ? 360?, k ? Z? .集合 S 的每一个元素都与? 的终边相同,当 k ? 0 时,对应元
素为? . 3.弧度制和弧度制与角度制的换算

⑴角度制:把圆周 360 等分,其中 1 份所对的圆心角是1度,用度作单位来度量角的制度叫做角度制. <教师备案>一些特殊角的度数与弧度数的对应表:

度数 弧度 度数

0? 15°

30?

45?

60?

75°

90?

120? 135? 150?

0

π

π

π

π



π







12

6

4

3

12

2

3

4

6

180? 210° 225° 240° 270? 300° 315° 330° 360?

弧度

π



6

5π 4

4π 3

3π 2

5π 3

7π 4

11π



6

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⑵1 弧度的角:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.任一已知角? 的弧

度数的绝对值 ? ? l ,这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制. r

⑶弧度与角度的换算:180



rad ,1

rad

?

? ??

180? π

? ??

?

57.30?

?

57?18?

板块二:任意角的三角函数

(一)知识内容
1.三角函数定义 在直角坐标系中,设? 是一个任意角, ? 终边上任意一点 P (除了原点)的坐标为 (x , y) ,它与原点 的距离为 r(r ? | x |2 ? | y |2 ? x2 ? y2 ? 0) ,那么

⑴比值 y 叫做? 的正弦,记作 sin? ,即 sin? ? y ;

r

r

⑵比值 x 叫做? 的余弦,记作 cos? ,即 cos? ? x ;

r

r

⑶比值 y 叫做? 的正切,记作 tan? ,即 tan? ? y ;

x

x

⑷比值 x 叫做? 的余切,记作 cot? ,即 cot? ? x ;

y

y

⑷比值 r 叫做? 的正割,记作 sec? ,即 sec? ? r ;

x

x

⑸比值 r 叫做? 的余割,记作 csc? ,即 csc? ? r .

y

y

2.三角函数的定义域、值域

函数

定义域

值域

y ? sin?

R

[?1, 1]

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y ? cos?

R

[?1, 1]

y ? tan?

??? ?

|

?

?

π 2

?



,

k

?

Z ?? ?

R

3.三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知: ⑴正弦值 y 对于第一、二象限为正( y ? 0, r ? 0 ),对于第三、四象限为负( y ? 0, r ? 0 ); r ⑵余弦值 x 对于第一、四象限为正( x ? 0, r ? 0 ),对于第二、三象限为负( x ? 0, r ? 0 ); r ⑶正切值 y 对于第一、三象限为正( x, y 同号),对于第二、四象限为负( x, y 异号). x 可以用下图表示:

说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值. 4.同角三角函数的基本关系式:

平方关系: sin2 x ? cos2 x ? 1, sec2 x ? tan2 x ?1, csc2 x ? cot2 x ? 1

商数关系: sin x ? tan x , cos x ? cot x

cos x

sin x

倒数关系: sec x ? 1 , csc x ? 1 , tan x ? 1

cos x

cos x

cot x

6.诱导公式:

⑴角? 与? ? k ? 2π(k ?Z) 的三角函数间的关系;

sin(? ? 2kπ) ? sin? , cos(? ? 2kπ) ? cos? , tan(? ? 2kπ) = tan? ;

⑵角? 与 ?? 的三角函数间的关系;

sin(??) ? ?sin? , cos(??) ? cos? , tan(??) ? ? tan? ;

⑶角? 与? ? (2k ?1)π(k ?Z) 的三角函数间的关系;

sin?? ? (2k ?1)π? ? ?sin? , cos?? ? (2k ?1)π? ? ?cos? , tan?? ? (2k ?1)π? ? tan? ;

⑷角? 与? ? ? 的三角函数间的关系. 2

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sin

????

?

π 2

? ??

?

cos?

,

cos

????

?

π 2

? ??

?

?

sin ?

,

tan

? ??

?

?

π 2

? ??

?

?

cot ?

.

4.三角函数式的化简与三角恒等式的证明是个难点,需要学生熟悉并灵活运用所学的公式与知识,一般情 况下,化简的基本思路是:减少角的种数,减少三角函数的种数,适当配凑和拆分,统一切割化弦等等.
二、三角函数的图象与性质

板块一:任意角的概念与弧度制

(一)知识内容
⑴单位圆:

半径等于单位长的圆叫做单位圆.设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与 x 轴交点分别为

A(1,0) , A?(?1,0) ,而与 y 轴的交点分别为 B(0,1) , B?(0, ?1) .由三角函数的定义可知,点 P 的坐标为

(cos?,sin?) ,即 P(cos?,sin?) .其中 cos? ? OM , sin? ? ON .

y
B(0,1) N

A'(-1,0)

O

P(c os? ,sin? )
A(1,0)
Mx

y

T(1,tan? )

? A(1,0)

O

x

B'(0,-1)

T'

这就是说,角? 的余弦和正弦分别等于角? 终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角? 的终边或其反向延长线交与点T (或 T ? ),则 tan? ? AT (或 AT? ). ⑵有向线段:

坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向.具有方向的线段叫做有向线段.
规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负. ⑶三角函数线的定义:

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设任意角? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点 P (x, y) ,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1,0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或其反向延长线交与点 T . 我们就分别称有向线段 MP , OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线.

板块一:三角函数的图象

(一) 知识内容
1.三角函数的图象
-2? -?
-? -2?

y

O

?

y=sinxx y
? O

y=cosx

2?
x
2? x

y

-3? /2

-?/2 ?/2

-?

O

?

3? /2 x

y=tanx

2.函数 y ? Asin ??x ? ? ? ? A ? 0,? ? 0, x ? R? 的图象的作法――五点法

①确定函数的最小正周期T ? 2π ; ?

②令?x ?? =0、π 、π 、3π 、2π ,得 x ? ? ? 、1 ( π ??) 、1 (π ??) 、1 (3π ??) 、1 (2π ??) ,

2

2

? ?2

?

?2

?

于是得到五个关键点 (? ? , 0) 、( 1 ( π ??),1) 、( 1 (π ??), 0) 、( 1 (3π ??), ?1) 、( 1 (2π ??), 0) ;

?

?2

?

?2

?

③描点作图,先作出函数在一个周期内的图象,然后根据函数的周期性,把函数在一个周期内的图象

向左、右扩展,得到函数 y ? Asin ??x ? ? ? ? A ? 0,? ? 0, x ? R? 的图象.

3. y ? Asin ??x ? ? ? ? A ? 0,? ? 0, x ? R? 的图象

函数 y ? Asin ??x ? ? ? ? A ? 0,? ? 0, x ? R? 的图象可以用下面的方法得到:先把 y ? sin x 的

图象上所有点向左 (? ? 0) 或向右 (? ? 0) 平行移动| ? | 个单位;再把所得各点的横坐标缩短 (? ? 1) 或伸长 (0 ? ? ? 1)到原来的 1 倍(纵坐标不变);再把所得的各点的纵坐标伸长 ( A ? 1) 或缩短
?

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(0 ? A ? 1) 到 原 来 的 A 倍 ( 横 坐 标 不 变 ), 从 而 得 到 y ? Asin(?x ??) 的 图 象 . 当 函 数 y ? Asin(?x ??) 表示一个振动量时: A 叫做振幅;T 叫做周期; 1 叫做频率;?x ?? 叫做相位,
T ? 叫做初相.
上面是一种函数的平移缩放的过程,可以用这种方法来把一种三角函数转换成另外一种三角函 数.下面把这个过程分解一下: (1)相位变换
要得到函数 y ? sin(x ??)(? ? 0) 的图象,可以令 x ? x ?? ,也就是原来的 x 变成了现在
的 x ?? ,相当于 x 减小了?(? ? 0) ,即可以看做是把 y ? sin x 的图象上的各点向左 (? ? 0) 或
向右 (? ? 0) 平行移动| ? | 个单位而得到的.这种由 y ? sin x 的图象变换为 y ? sin(x ??) 的图 象的变换,使相位由 x 变为 x ? ? ,我们称它为相位变换.它实质上是一种左右平移变换.
(2)周期变换
要得到函数 y ? sin?x(? ? 0,? ? 1) 的图象,令 x ? ? x ,即现在的 x 缩小到了原来的? 倍,就 可以看做是把 y ? sin x 的图象上的各点的横坐标缩短 (? ? 1) 或伸长 (0 ? ? ? 1) 到原来的 1 倍(纵
? 坐标不变)得到,由 y ? sin x 的图象变换为 y ? sin ?x 的图象,其周期由 2π 变为 2π ,这种变换叫
?
周期变换.周期变换是一种横向的伸缩. (3)振幅变换
要得到 y ? Asin x(A ? 0,且A ? 1) 的图象,令 y ? y ,即相当于 y 变为原来的 A 倍,也就是把 A
y ? sin x 的图象上的各点的纵坐标伸长 ( A ? 1) 或缩短 (0 ? A ? 1) 到原来的 A 倍(横坐标不变)而
得到的.这种变换叫做振幅变换.振幅变换是一种纵向的伸缩.
板块二:三角函数图象变换 板块一:任意角的概念与弧度制
(一)知识内容
<教师备案>1.函数图象平移基本结论小结如下:
y ? f (x) ?左?移a?个单?位(?a?0?)? y ? f (x ? a)
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y ? f (x) ?右?移a?个单?位(?a?0?)? y ? f (x ? a) y ? f (x) ?上?移a?个单?位(?a?0?)? y ? a ? f (x)
y ? f (x) ?下?移a?个单?位(?a?0? )? y ? a ? f (x)
各点横坐标变成原来的 1 倍
y ? f (x) ???????? ?? y ? f (?x)
各点纵坐标变成原来的1 倍
y ? f (x) ???????A ?? Ay ? f (x)
y ? f (x) ?绕?x轴?翻折??? y ? f (x)
y ? f (x) ?绕?y轴?翻折?? y ? f (?x)
这些新的解析式可以由图象上任意一点变换后的对应关系得出,以左移 a 个单位的解 析式变化为例: 设 P(x0, y0 ) 为 y ? f (x) 左移 a 个单位后所得图象上的任意一点,则将P右移 a 个单位得 到的 P '(x0 ? a, y0 ) 必在 y ? f (x) 的图象上,故 y0 ? f (x0 ? a) ,又 P(x0 , y0 ) 点任意,故 y ? f (x) 的图象左移 a 个单位得到的新的函数的解析式为: y ? f (x ? a) . 函数变换可以用下图表示:
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y=s i?nx

1 横 坐 标 扩 大倍(0<??1)
? 1 横 坐 标 缩 短倍(??1) ?

向 左 平 ?移(?>0)
y=s ixn
向 右 平 ?移(?<0)

y=s i(nx+?)

? 向 左 平 移 (?>0)
?
? 向 右 平 移 (?<0)
?

y=s i(n?x+?)

纵 坐 标 扩 大A倍为(A>1) 纵 坐 标 缩 短A倍为(0<A<1)

1 横 坐 标 扩 大倍(0<??1)
? 1 横 坐 标 缩 短倍(??1) ?
b 向 上 平 移(b>0)
A b 向 下 平 移(b<0) A

y=As i(n?x+?)

y=s i(n?x+?)

向 上 平b移(b>0) 向 下 平b移(b<0)

y=As i(n?x+?)+b

纵 坐 标 扩 大A倍为(A>1) 纵 坐 标 缩 短A倍为(0<A<1)

板块三:三角函数的性质 板块一:任意角的概念与弧度制 1.三角函数的性质

函数

y ? sin x

y ? cos x

定义域

R

R

值域 奇偶性

[?1,1]
奇函数

有界性

有界函数| sin x |? 1

周期性(最小正 周期)

T ? 2π

[?1,1]
偶函数 有界函数
| cos x |? 1
T ? 2π

y ? tan x
{x | x ? R,且x ? k? ? ? , k ? Z}
2
R
奇函数

y ? cot x
{x | x ? R,且x ? k? , k ? Z}
R
奇函数

无界函数

无界函数

T ?π

T ?π
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单调性
最值 对称轴 对称点

在[2kπ ? π , 2kπ ? π ]

2

2

在[2kπ ? π , 2kπ ? 3π ]

2

2

(π ? Z)

在[(2k ?1)π, 2kπ] ,[2kπ , (2k ?1)π] (k ? Z)

x ? 2kπ ? π , 2
ymax ? 1; x ? 2kπ ? π ,
2 ymin ? ?1 (k ? Z)
x ? kπ ? π (k ? Z) 2
(kπ, 0)(k ? Z)

x ? 2kπ, ymax ? 1; x ? (2k ?1)π , ymin ? ?1 (k ? Z) x ? kπ(k ? Z) (kπ+ π , 0)
2 (k ? Z)

在[(kπ ? π , 2
kπ ? π ] 2
(k ? Z)


(kπ, 0)(k ? Z)

在[(kπ, kπ ? π] (k ? Z)


(kπ+ π , 0)(k ? Z) 2

2. y ? sin x 与 y ? sin x 的性质

函数

y ? sin x

y ? sin x

定义域

R

R

值域

[0 , 1]

[?1, 1]

奇偶性

偶函数

偶函数

周期 单调性

T ?π

不是周期函数

[kπ , kπ ? π] 为增区间, 2

增减区间规律不明显,只能就具体

???kπ

?

π 2

,

kπ ? π??? 为减区间 (k ?Z)

区间分析

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(数学 4 必修)第一章 三角函数(上)

[基础训练 A 组]

一、选择题

1.设 ?

角属于第二象限,且

? cos

? ? cos ? ,则 ?

角属于(



2

22

A.第一象限 C.第三象限

B.第二象限 D.第四象限

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sin 7? cos?

2.给出下列各函数值:① sin(?1000 0 ) ;② cos(?2200 0 ) ;③ tan(?10) ;④

10 tan 17?

.其中符号为

9

负的有( )

A.① B.② C.③ D.④

3. sin2 1200 等于( )

A. ? 3 B. 3 C. ? 3 D. 1

2

2

2

2

4.已知 sin? ? 4 ,并且? 是第二象限的角,那么 5

tan? 的值等于( )

A. ? 4 B. ? 3 C. 3 D. 4

3

4

4

3

5.若? 是第四象限的角,则? ? ? 是( )
A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角

6. sin 2cos3tan 4 的值( ) A.小于 0 B.大于 0 C.等于 0 D.不存在

二、填空题
1.设? 分别是第二、三、四象限角,则点 P(sin? , cos? ) 分别在第___、___、___象限.

2.设 MP 和 OM 分别是角 17? 的正弦线和余弦线,则给出的以下不等式: 18
① MP ? OM ? 0 ;② OM ? 0 ? MP ; ③ OM ? MP ? 0 ;④ MP ? 0 ? OM ,
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其中正确的是_____________________________。
3.若角? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则? 与 ? 的关系是___________。

4.设扇形的周长为 8cm ,面积为 4cm2 ,则扇形的圆心角的弧度数是



5.与 ? 20020 终边相同的最小正角是_______________。

三、解答题

1.已知 tan? , 1 是关于 x 的方程 x2 ? kx ? k 2 ? 3 ? 0 的两个实根,且 3? ? ? ? 7 ? ,求 cos? ? sin?

tan ?

2

的值.

2.已知 tan x ? 2 ,求 cosx ? sin x 的值。 cosx ? sin x

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3.化简: sin(5400 ? x) ?

1

? cos(3600 ? x)

tan(9000 ? x) tan(4500 ? x) tan(8100 ? x) sin(?x)

4.已知 sin x ? cosx ? m,( m ? 2,且m ? 1) ,求(1) sin3 x ? cos3 x ;(2) sin 4 x ? cos4 x 的值。

[综合训练 B 组]
一、选择题
1.若角 6000 的终边上有一点 ?? 4, a?,则 a 的值是( )
A. 4 3 B. ? 4 3 C. ? 4 3 D. 3 2.函数 y ? sin x ? cosx ? tan x 的值域是( )
sin x cosx tan x

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A.??1,0,1,3? B.??1,0,3?

C. ?? 1,3?

D. ?? 1,1?

3.若 ?

为第二象限角,那么 sin 2?

, cos? 2

,1 c os 2?

,1 cos?

中,

2

其值必为正的有( )

A. 0 个 B.1个 C. 2 个 D. 3 个

4.已知 sin? ? m,( m ? 1) , ? ? ? ? ? ,那么 tan? ?( ).
2

A. m

B. ? m

C. ? m

1? m2

1? m2

1? m2

D. ? 1 ? m 2 m

5.若角? 的终边落在直线 x ? y ? 0 上,则 sin ? ? 1 ? cos2 ? 的值等于( ).

1 ? sin 2 ?

cos?

A. 2 B. ?2 C. ?2 或 2 D. 0

6.已知 tan? ? 3 , ? ? ? ? 3? ,那么 cos? ? sin? 的值是( ). 2

A. ? 1 ? 3 B. ? 1 ? 3 C. 1 ? 3 D. 1 ? 3

2

2

2

2

二、填空题

1.若 cos? ? ? 3 ,且? 的终边过点 P(x,2) ,则? 是第_____象限角, x =_____。 2

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2.若角? 与角 ? 的终边互为反向延长线,则? 与 ? 的关系是___________。

3.设?1 ? 7.412,?2 ? ?9.99 ,则?1,? 2 分别是第

象限的角。

4.与 ? 20020 终边相同的最大负角是_______________。

5.化简: m tan 00 ? x cos90 0 ? p sin180 0 ? q cos 270 0 ? r sin 360 0 =____________。

三、解答题
1.已知 ? 90 0 ? ? ? 90 0 ,?90 0 ? ? ? 90 0 , 求? ? ? 的范围。 2

2.已知

f

(x)

?

?cos?x, x ? 1

? ?

f

(x

?1)

?

1,

x


? 1,

f

(1) ? 3

f

( 4) 的值。 3

3.已知 tan x ? 2 ,(1)求 2 sin 2 x ? 1 cos2 x 的值。

3

4

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(2)求 2sin 2 x ? sin x cosx ? cos2 x 的值。 4.求证: 2(1? sin? )(1? cos? ) ? (1? sin? ? cos? )2

[提高训练 C 组] 一、选择题
1.化简 sin 6000 的值是( )

A. 0.5 B. ?0.5 C. 3 D. ? 3

2

2

2.若 0 ? a ? 1, ? ? x ? ? ,则 2

(a ? x)2 ? cos x ? 1 ? a x x ? a cos x a x ?1

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的值是( )

A.1 B. ?1 C. 3 D. ? 3

3.若? ? ?? 0, ? ?? ,则 3 log3 sin ? 等于(



? 3?

A. sin? B. 1

C. ? sin? D. ? 1

sin ?

cos?

4.如果1弧度的圆心角所对的弦长为 2 ,那么这个圆心角所对的弧长为( )

A. 1 sin 0.5

B. sin 0.5

C. 2sin 0.5 D. tan 0.5

5.已知 sin? ? sin ? ,那么下列命题成立的是( )

A.若?, ? 是第一象限角,则 cos? ? cos ?

B.若?, ? 是第二象限角,则 tan? ? tan ?

C.若?, ? 是第三象限角,则 cos? ? cos ?

D.若?, ? 是第四象限角,则 tan? ? tan ?

6.若? 为锐角且 cos? ? cos?1 ? ? ?2 ,则 cos? ? cos?1 ? 的值为( )

A. 2 2 B. 6 C. 6 D. 4

二、填空题

1.已知角? 的终边与函数 5x ?12y ? 0, (x ? 0) 决定的函数图象重合, cos? ? 1 ? 1 的值为 tan? sin?
_____________.

2.若? 是第三象限的角, ? 是第二象限的角,则 ? ? ? 是第 2

象限的角.

3.在半径为 30m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角 为1200 ,若要光源恰好照亮整个广场,则其高应为_______ m (精确到 0.1m )

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4.如果 tan? sin? ? 0, 且 0 ? sin? ? cos? ? 1, 那么? 的终边在第

象限。

5.若集合

A

?

?? x ?

|

k?

?

? 3

?

x

?

k?

??,k

?

Z

? ?

?

,B

? ?x

| ?2

?

x

?

2? ,则

A?

B =___________________。

三、解答题

1.角? 的终边上的点 P 与 A(a,b) 关于 x 轴对称 (a ? 0,b ? 0) ,角 ? 的终边上的点 Q 与 A 关于直线

y ? x 对称,求 sin? ? tan? ?

1

之值.

cos ? tan ? cos? sin ?

2.一个扇形 OAB 的周长为 20 ,求扇形的半径,圆心角各取何值时,此扇形的面积最大?

3.求

1 1

? ?

sin sin

6 4

? ?

? cos6 ? cos4

? ?

的值。

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4.已知 sin? ? a sin?, tan? ? b tan?, 其中? 为锐角, 求证: cos? ? a2 ?1 b2 ?1

(数学 4 必修)第一章 三角函数(下)

[基础训练 A 组]
一、选择题

1.函数 y ? sin(2x ??)(0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,则? 的值是( )

A. 0 B. ? C. ? D.?

4

2

2.将函数 y ? sin(x ? ? ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 3
再将所得的图象向左平移 ? 个单位,得到的图象对应的僻析式是( ) 3
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A. y ? sin 1 x 2
C. y ? sin(1 x ? ? ) 26

B. y ? sin(1 x ? ? ) 22
D. y ? sin(2x ? ? ) 6

3.若点 P(sin? ? cos?, tan?) 在第一象限,则在[0, 2? ) 内? 的取值范围是( )

A.

? (

,

3?

)

(? , 5? )

24

4

C.

? (

,

3?

)

(5? , 3? )

24 4 2

B.

? (

,

?

)

(? , 5? )

42

4

D.

? (

,

3?

)

(3? ,? )

24 4

4.若 ? ? ? ? ? , 则( )

4

2

A. sin? ? cos? ? tan? B. cos? ? tan? ? sin?

C. sin? ? tan? ? cos? D. tan? ? sin? ? cos?

5.函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的最小正周期是( ) 56

A. 2? 5

B. 5? 2

C. 2?

D. 5?

6.在函数 y ? sin x 、 y ? sin x 、 y ? sin(2x ? 2? ) 、 y ? cos(2x ? 2? ) 中,

3

3

最小正周期为? 的函数的个数为( )

A.1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

二、填空题
1.关于 x 的函数 f (x) ? cos(x ??) 有以下命题: ①对任意? , f (x) 都是非奇非偶函数;

②不存在? ,使 f (x) 既是奇函数,又是偶函数;③存在? ,使 f (x) 是偶函数;④对任意? , f (x) 都
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不是奇函数.其中一个假命题的序号是

,因为当? ?

时,该命题的结论不成立.

2.函数 y ? 2 ? cosx 的最大值为________. 2 ? cosx
3.若函数 f (x) ? 2 tan(kx ? ? ) 的最小正周期T 满足1? T ? 2 ,则自然数 k 的值为______. 3

4.满足 sin x ? 3 的 x 的集合为_______________________。 2
5.若 f (x) ? 2sin?x(0 ? ? ? 1) 在区间[0, ? ]上的最大值是 2 ,则? =_____________。 3
三、解答题
1.画出函数 y ? 1? sin x, x ? ?0,2? ?的图象。

2.比较大小(1) sin110 0 , sin150 0 ;(2) tan 220 0 , tan 200 0

3.(1)求函数 y ?

log

2

1 sin

x

?1

的定义域。

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(2)设 f (x) ? sin(cos x), (0 ? x ? ? ) ,求 f (x) 的最大值与最小值。 4.若 y ? cos2 x ? 2 p sin x ? q 有最大值 9 和最小值 6 ,求实数 p, q 的值。

[综合训练 B 组]
一、选择题
1.方程 sin ? x ? 1 x 的解的个数是( ) 4
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2.在 (0,2? ) 内,使 sin x ? cosx 成立的 x 取值范围为( )

A. (? , ? ) ? (? , 5? )

42

4

B. (? ,? ) 4

page 22 of 41

C.

? (

,

5?

)

44

D.

? (

,? )

?

( 5?

,

3?

)

4

42

3.已知函数 f (x) ? sin(2x ??) 的图象关于直线 x ? ? 对称, 8
则? 可能是( )

A. ? B. ? ? C. ? D. 3?

2

4

4

4

4.已知 ?ABC 是锐角三角形, P ? sin A ? sin B,Q ? cos A ? cos B, 则( ) A. P ? Q B. P ? Q C. P ? Q D. P 与 Q 的大小不能确定

5.如果函数 f (x) ? sin(? x ?? )(0 ? ? ? 2? ) 的最小正周期是T ,且当 x ? 2 时取得最大值,那么( )

A.T ? 2,? ? ? 2
C.T ? 2,? ? ?

B.T ?1,? ? ? D.T ? 1,? ? ?
2

6. y ? sin x ? sin x 的值域是( )

A.[?1,0] B.[0,1]

C.[?1,1] D.[?2,0]

二、填空题
1.已知 cos x ? 2a ? 3 , x 是第二、三象限的角,则 a 的取值范围___________。 4?a

2.函数

y

?

f (cosx)

的定义域为

???2k?

? ? ,2k? 6

?

2? 3

???(k ? Z )

,则函数

y

?

f (x)

的定义域为

____________________.
3.函数 y ? ? cos(x ? ? ) 的单调递增区间是___________________________. 23

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4.设? ? 0 ,若函数 f (x) ? 2sin? x 在[? ? , ? ] 上单调递增,则? 的取值范围是________。 34
5.函数 y ? lg sin(cosx) 的定义域为_______________________。
三、解答题
1.(1)求函数 y ? 2 ? log 1 x ? tan x 的定义域。
2
(2)设 g(x) ? cos(sin x), (0 ? x ? ? ) ,求 g(x) 的最大值与最小值。

?

2?

tan tan

2.比较大小(1) 2 3 ,2 3 ;

(2) sin1, cos1 。

3.判断函数 f (x) ? 1 ? sin x ? cosx 的奇偶性。 1 ? sin x ? cosx

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4.设关于 x 的函数 y ? 2 cos2 x ? 2a cos x ? (2a ?1) 的最小值为 f (a) , 试确定满足 f (a) ? 1 的 a 的值,并对此时的 a 值求 y 的最大值。 2

[提高训练 C 组]
一、选择题
1.函数 f (x) ? lg(sin2 x ? cos2 x) 的定义城是( )

A. ??x ?

2k?

? 3? 4

?

x?

2k?

?? 4

,

k

?

Z

? ?

?

B.

??x ?

2k?

?

? 4

?

x

?

2k?

?

5? 4

,

k

?

Z

? ? ?

C.

??x ?

k?

?

? 4

?

x

?

k?

?

? 4

,k

?

Z

? ?

?

D. ??x ?

k?

?

? 4

?

x

?

k?

?

3? 4

,k

?

Z

? ?

?

page 25 of 41

2.已知函数 f (x) ? 2sin(?x ??) 对任意 x 都有 f (? ? x) ? f (? ? x), 则 f (? ) 等于( )

6

6

6

A. 2 或 0 B. ?2 或 2 C. 0 D. ?2 或 0

3.设

f (x) 是定义域为 R ,最小正周期为 3? 2

的函数,若

f (x) ?

??cos ?

x,(? ? 2

?

x

?

0) ,



?? sin x, (0 ? x ? ? )

f

(?15? ) 等 4

于( )

A. 1 B. 2 C. 0 D. ? 2

2

2

4.已知 A1 , A2 ,… An 为凸多边形的内角,且 lg sin A1 ? lg sin A2 ? ..... ? lg sin An ? 0 ,则这个多边
形是( ) A.正六边形 B.梯形 C.矩形 D.含锐角菱形

5.函数 y ? cos2 x ? 3cos x ? 2 的最小值为( ) A. 2 B. 0 C.1 D. 6

6.曲线 y ? Asin?x ? a(A ? 0,? ? 0) 在区间[0, 2? ] 上截直线 y ? 2 及 y ? ?1所得的弦长相等且不为 ?
0 ,则下列对 A, a 的描述正确的是( )

A. a ? 1 , A ? 3 22
C. a ? 1, A ? 1

B. a ? 1 , A ? 3 22
D. a ? 1, A ? 1

二、填空题

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1.已知函数 y ? 2a ? bsin x 的最大值为 3 ,最小值为 1 ,则函数 y ? ?4a sin b x 的最小正周期为 2
_____________,值域为_________________.

2.当

x

?

?? ?? 6

,

7? 6

? ??

时,函数

y

?

3

?

sin

x

?

2

cos2

x

的最小值是_______,最大值是________。

? ? 3.函数 f (x) ? (1) cosx 在 ?? ,? 上的单调减区间为_________。
3

4.若函数 f (x) ? a sin 2x ? b tan x ?1,且 f (?3) ? 5, 则 f (? ? 3) ? ___________。

5.已知函数 y ? f (x) 的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的 4 倍,横坐标扩大到原来的 2 倍,然后
把所得的图象沿 x 轴向左平移 ? ,这样得到的曲线和 y ? 2sin x 的图象相同,则已知函数 y ? f (x) 的 2
解析式为_______________________________.

三、解答题
1.求? 使函数 y ? 3 cos(3x ??) ? sin(3x ??) 是奇函数。

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2.已知函数 y ? cos2 x ? a sin x ? a 2 ? 2a ? 5 有最大值 2 ,试求实数 a 的值。
3.求函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x, x ? ?0,? ?的最大值和最小值。

4.已知定义在区间[ ? ? , 2 ? ]上的函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ? ? 对称,

3

6

当 x ?[ ? ? , 2 ? ]时,函数 f (x) ? Asin(?x ? ?) (A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ? ? ) ,

63

2

2

其图象如图所示.
y
(1)求函数 y ? f (x) 在[ ? ? , 2 ? ] 的表达式; 3
1

?

?


o? 6

?

x??

6

pa2??ge 28 oxf 41
3

(2)求方程 f (x) ? 2 的解. 2

数学 4(必修)第一章 三角函数(上) [基础训练 A 组]

一、选择题

1.C 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? ? , (k ? Z ), k? ? ? ? ? ? k? ? ? , (k ? Z ),

2

42

2

当 k ? 2n, (n ? Z) 时, ? 在第一象限;当 k ? 2n ?1, (n ? Z) 时, ? 在第三象限;

2

2

page 29 of 41

而 cos ? ? ? cos ? ? cos ? ? 0,? ? 在第三象限;

2

2

2

2

2.C sin(?10000 ) ? sin 800 ? 0 ; cos(?22000 ) ? cos(?400 ) ? cos 400 ? 0

tan(?10) ? tan(3?

sin 7? cos?

?10) ? 0 ;

10 tan 17?

?

?sin 7? 10
tan 17?

,sin 7? 10

? 0, tan 17? 9

?0

9

9

3.B sin2 1200 ? sin1200 ? 3 2

4.A sin? ? 4 , cos? ? ? 3 , tan? ? sin? ? ? 4

5

5

cos? 3

5.C ? ?? ? ?? ?? ,若? 是第四象限的角,则 ?? 是第一象限的角,再逆时针旋转1800

6.A ? ? 2 ? ? ,sin 2 ? 0; ? ? 3 ? ? , cos 3 ? 0;? ? 4 ? 3? , tan 4 ? 0;sin 2cos 3tan 4 ? 0

2

2

2

二、填空题

1.四、三、二 当? 是第二象限角时,s i n? ? 0 , c?o?s ;当0? 是第三象限角时,s i n? ? 0 , c?o?s ; 0

当? 是第四象限角时, s i n? ? 0 , c?o?s ; 0

2.② s i n1 7? ? M P? 0 , c o1?s7 ? O M? 0

18

18

3.? ? ? ? 2k? ?? ? 与 ? ? ? 关于 x 轴对称

4. 2 S ? 1 ( 8 ? 2r )r ? 42r, ? 4r ? 4? 0r , ? l2 ,?? 4l, ? ? 2

2

r

5.1580 ?2 0 002 ? ? 2 1 06 0? 10 5 8 , (02 ?1 6 0 0 ?3 6 0 6 )

三、解答题

1. 解: tan? ? 1 ? k 2 ? 3 ? 1,?k ? ?2 ,而 3? ? ? ? 7 ? ,则 tan? ? 1 ? k ? 2,

tan ?

2

tan ?

得 tan? ?1,则 sin? ? cos? ? ? 2 ,?cos? ? sin? ? ? 2 。 2
2.解: cos x ? sin x ? 1? tan x ? 1? 2 ? ?3 cos x ? sin x 1? tan x 1? 2

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3.解:原式 ?

sin(1800 ? tan(? x)

x)

?

tan(900

?

1 x) tan(900

?

x)

?

cos x sin(? x)

? s i nx ? t a nx ? t axn? ( 1 ? ) sxi n

? t a nx

t axn

4.解:由 sin x ? cos x ? m, 得1? 2sin x cos x ? m2, 即 sin x cos x ? m2 ?1, 2

(1) sin3 x ? cos3 x ? (sin x ? cos x)(1? sin x cos x) ? m(1? m2 ?1) ? 3m ? m3

2

2

(2) sin4

x

?

cos4

x

?1?

2 sin 2

x

cos2

x

?1?

m2 2(

?1)2

?

?m4

?

2m2

?1

2

2

数学 4(必修)第一章 三角函数(上) [综合训练 B 组]

一、选择题
1.B tan 6000 ? a , a ? ?4 tan 6000 ? ?4 tan 600 ? ?4 3 ?4
2.C 当 x 是第一象限角时, y ? 3 ;当 x 是第二象限角时, y ? ?1;

当 x 是第三象限角时, y ? ?1;当 x 是第四象限角时, y ? ?1

3.A 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? ? , (k ? Z ), 4k? ? ? ? 2? ? 4k? ? 2? , (k ? Z), 2

k? ? ? ? ? ? k? ? ? , (k ? Z ), 2? 在第三、或四象限, sin 2? ? 0,

42

2

cos 2? 可正可负; ? 在第一、或三象限, cos ? 可正可负

2

2

4.B cos? ? ? 1? m2 , tan? ? sin? ? ? m

cos?

1? m2

5.D

sin ?

?

1? cos2 ?

?

sin ?

sin ? ?



1? sin2 ?

cos?

cos? cos?

当? 是第二象限角时, sin? ? sin? ? ? tan? ? tan? ? 0 ; cos? cos?

当? 是第四象限角时, sin? ? sin? ? tan? ? tan? ? 0 cos? cos?

page 31 of 41

6.B ? ? 4? , cos? ? sin? ? ? 1 ? 3 ? ?1? 3

3

22

2

二、填空题

1.二, ?2 3

c o s? ? ? 3 2

? ,0 则? 是第二、或三象限角,而 Py ? 2 ? 0

得? 是第二象限角,则 s i n? ? 1 , t ?a n? 2? ? 3 x ?, ? 2 3

2

x3

2. ? ? ? ? (2k ?1)?

3.一、二
4. ?2020

0 ? 7 . 4 1?2 ? 2?? 2

得,?1 是第一象限角;

? ? ?9 . 9 ?9 2

?4? ?

得,? 2 是第二象限角

?2 0 002 ? ? 5? 3 06 0? ?( 02 0 2 )

5. 0 t a n 00? 0 , c o 0s ?9 0 0 , s0i?n 1 8 0 00,?c o s 2 7 0 0 ? 0 , s i n 3 6 0 0

三、解答题

1.解: ?900 ? ?? ? 900, ?450 ? ? ? ? 450, ?900 ? ? ? 900, 2

? ? ? ? ? ? (? ? ) , ?1350 ? ? ? ? ? 1350

2

2

2

2.解: f (1) ? cos ? ? 1 , f (4) ? f (1) ?1 ? ? 1

3

32 3 3

2

? f (1) ? f (4) ? 0 33

3.解:(1)

2 sin2 3

x?

1 cos2 4

x

?

2 sin2 3
sin2

x ? 1 cos2 4
x ? cos2 x

x

?

2 tan2 x ? 1

3

4

tan2 x ?1

?

7 12

(2)

2 sin 2

x

?

sin

x cos

x

?

cos2

x

?

2 sin 2

x ? sin sin2 x

x cos x ? ? cos2 x

cos2

x

? 2 t a 2nx ? t ax n? ? 1 7

t a nx ? 1

5

4.证明:右边 ? (1? sin? ? cos? )2 ? 2 ? 2sin? ? 2 cos? ? 2sin? cos?

? 2 ( 1? s i?n? c?o?s ?s i n ?c o s ) ? 2 ( 1? s i?n ?) ( 1 ?c o s )

page 32 of 41

?2(1? sin? )(1? cos? ) ? (1? sin? ? cos? )2

数学 4(必修)第一章 三角函数(上) [提高训练 C 组]
一、选择题

1.D sin 6000 ? sin 2400 ? sin(1800 ? 600 ) ? ? sin 600 ? ? 3 2

2.A

cos x ? 0,1? ax ? 0, x ? a ? 0,

(a ? x)2 cos x 1? ax

?

?

? 1? (?1) ? (?1) ? 1

x ? a cos x ax ?1

3.B

log3 sin ? ? 0, 3log3 sin?

? 3?log3 sin?

? 3log3

1 sin?

?1 sin ?

4.A 作出图形得 1 ? sin 0.5, r ? 1 ,l ? ? ? r ? 1

r

sin 0.5

sin 0.5

5.D 画出单位圆中的三角函数线

6.A (cos? ? cos?1 ? )2 ? (cos? ? cos?1 ? )2 ? 4 ? 8, cos? ? cos?1 ? ? 2 2

二、填空题

1. ? 77 在角? 的终边上取点 P(? 1 2 , 5r)?, 1 3?, c?o?s1 2 ? ?, t?a n5 ? ? , 5s i n

13

13

12

13

2.一、或三

2k1?

??

??

?

2k 1?

? 3? 2

,k( 1? Z

)k,

?22

?

? 2

?

? ?2

k ?22? ?

k ?,2Z(

),

(k1 ?

k2 )?

?? 4

?

?? 2

??

(k1?

k2?) ?

? 2

3.17.3 h ? t a n 300h ,? 1 0 3 30

4.二 t a n? s i?n? s i n2 ? ? 0 , c?o?s 0?, s?i n 0 c o s?

5.[?2, 0] [? , 2] 3

A

?

? ?

x|

?

k? ? ? ? 3

x?

?k?

?,

?k

? ?

Z?

?

. . . ? [2 ? 3

, 0 ]? [? , ] . . . 3

三、解答题

1.解: P(a, ?b),sin? ? ?b , cos? ? a , tan? ? ? b

a2 ? b2

a2 ? b2

a

Q( b, a) , s?i n? a a2 ? b2

, ?c o?s b a2? b2

?, t?aan b

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? sin? cos ?

? tan? tan ?

?1 cos? sin ?

?

?1

?

b2 a2

?

a

2? a2

b

2
?0。

2. 解:设扇形的半径为 r ,则

S ? 1 (20 ? 2r)r ? ?r2 ?10r 2
当 r ? 5 时, S 取最大值,此时 l ? 10, ? ? l ? 2 r

3.解:

1 1

? ?

sin sin

6 4

? ?

? cos6 ? ? cos4 ?

? 1? (sin2 ?

? cos2 ? )(sin4 ? ? sin2 ? cos2 ? 1? (1? 2 sin2 ? cos2 ? )

? cos4 ? )

? 1? (1? 3sin2 ? cos2 ? ) ? 3 1? (1? 2sin2 ? cos2 ? ) 2

4.证明:由 sin? ? a sin?, tan? ? b tan?, 得 sin? ? a sin? , 即 a cos? ? b cos? tan? b tan?

而 a sin? ? sin? ,得 a2 ? b2 cos2 ? ? sin2 ? ,即 a2 ? b2 cos2 ? ?1? cos2 ? ,

得 cos2 ?

?

a2 b2

?1, 而? ?1

为锐角,?cos?

?

a2 ?1 b2 ?1

数学 4(必修)第一章 三角函数(下) [基础训练 A 组]

一、选择题

1.C 当? ? ? 时, y ? sin(2x ? ? ) ? cos 2x ,而 y ? cos 2x 是偶函数

2

2

2.C y ? sin(x ? ? ) ? y ? sin(1 x ? ? ) ? y ? sin[1 (x ? ? ) ? ? ] ? y ? sin(1 x ? ? )

3

23

2 33

26

3.B

?sin? ? cos? ??tan? ? 0

?

0 ?

?? ?? 4

??

?

5? 4

? ???0

?

?

?

? 2

, 或?

??

?

5? 4

??

? (? 4

,? ) 2

(? , 5? ) 4

4.D tan? ?1,cos? ? sin? ?1, tan? ? sin? ? cos?

5.D

T

?

2? 2

? 5?

5

6.C 由 y ? sin x 的图象知,它是非周期函数

二、填空题

page 34 of 41

1.① 0 此时 f ( x)? c o sx为偶函数

2. 3 y( 2? c oxs ?) ? 2 xc o s x, ?c o2 ys ? 2? ? ? 2y ?1 2? ?1 y ?1 ,

3

y ?1

y?1 3

3. 2,或3

T ? ? , 1? ? ?

? 2,

?

k? ?

而,

k?

N?

?k

或2 ,

3

kk 2

4.

? ?

x

?

|

x

?

2k?

?

? 3

,或2k?

?

? 3

,

k

?

Z

? ? ?

3
5.

x

?[

0

? ,

] , ?0 x ??

, ??0 x ?? ? ??

,

4

3

3

33

f

(

x)m

a

x?

2

sin

?? 3

?

2,sin ?? ? 2 , ?? ? ? ,? ? 3 3 23 4 4

三、解答题

1.解:将函数 y ? sin x, x ??0, 2? ?的图象关于 x 轴对称,得函数 y ? ?sin x, x ??0, 2? ?

的图象,再将函数 y ? ?sin x, x ??0, 2? ?的图象向上平移一个单位即可。

2.解:(1) sin1100 ? sin 700,sin1500 ? sin 300,而sin 700 ? sin 300,?sin1100 ? sin1500

(2) tan 2200 ? tan 400, tan 2000 ? tan 200, 而tan 400 ? tan 200,?tan 2200 ? tan 2000

3.解:(1)

log2

1 sin

x

?1

?

0,

log2

1 sin

x

? 1,

1 sin

x

?

2, 0

?

sin

x

?

1 2

2k? ? x? 2 k? ? ? 或, 2k? ? 5? ? x ?2 k? ?? , k ? Z

6

6

( 2k? , k2? ? ? ] k[?2? 5? k?, 2 k ?) ,Z( 为所求) 。

6

6

(2)当0 ? x ? ?时, ?1 ? cos x ? 1 ,而[?1,1] 是 f (t) ? sin t 的递增区间

当 c o sx ? ? 时1 , f (x )m i n? s i ?n ( ?1?) s;i n 1 当 c o sx ? 时1 , f (x )m a x? s i n。1 4.解:令 sin x ? t,t ?[?1,1] , y ? 1? sin2 x ? 2 p sin x ? q

y ? ?(sin x ? p)2 ? p2 ? q ?1 ? ?(t ? p)2 ? p2 ? q ?1

y ? ?(t ? p)2 ? p2 ? q ?1对称轴为 t ? p

当 p ? ?1时,[?1,1]是函数 y 的递减区间, ymax ? y |t??1? ?2 p ? q ? 9

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ymin

?

y

|t?1 ?

2p?q

?

6

,得

p

?

?

3,q 4

?

15 2

,与

p

?

?1 矛盾;

当 p ? 1时,[?1,1]是函数 y 的递增区间, ymax ? y |t?1? 2 p ? q ? 9

ymin

?

y

|t??1 ?

?2 p

?

q

?

6

,得

p

?

3 4

,q

?

15 2

,与

p

? 1矛盾;

当 ?1 ? p ? 1时, ymax ? y |t?p ? p2 ? q ?1 ? 9 ,再当 p ? 0 ,

ymin ? y |t??1? ?2 p ? q ? 6 ,得 p ? 3 ?1, q ? 4 ? 2 3 ;

当 p ? 0 , ymin ? y |t?1? 2 p ? q ? 6 ,得 p ? ? 3 ?1, q ? 4 ? 2 3

? p ? ?( 3? 1 )q,? ?4 2 3

数学 4(必修)第一章 三角函数(下) [综合训练 B 组]

一、选择题

1.C

在同一坐标系中分别作出函数

y1

?

sin ?

x,

y2

?

1 4

x 的图象,左边三个交点,

右边三个交点,再加上原点,共计 7 个

2.C 在同一坐标系中分别作出函数 y1 ? sin x, y2 ? cos x, x ? (0, 2? ) 的图象,观察:
刚刚开始即 x ? (0, ? ) 时, cos x ? sin x ; 4
到了中间即 x ? (? , 5? ) 时, sin x ? cosx ; 44
最后阶段即 x ? (5? , 2? ) 时, cos x ? sin x 4

3.C 对称轴经过最高点或最低点,

f (? ) ? ?1,sin(2? ? ??) ? ?1? 2? ? ? ? ? k? ? ?

8

8

8

2

? ? k? ? ? , k ? Z 4

4.B A ? B ? ? , A ? ? ? B ? sin A ? cos B; B ? ? ? A ? sin B ? cos A

22

2

?s i nA ? s iBn ? c oAs? cBo sP ?, Q

5.A T ? 2? ? 2, f (2) ? sin(2? ?? ) ? 1,? 可以等于 ?

?

2

page 36 of 41

6.D

?0,sin x ? 0

y

?

sin

x

?

sin

x

?

??2 sin

x, sin

x

?

? 0

?2

?

y

?

0

二、填空题

1. (?1, 3) 2

?1

?

cos

x

?

0,

?1

?

2a ? 3 4?a

?

0,

?2a ? 3

?? 4 ? a

? ?

2a

?

3

?? 4 ? a

? ?

0 ,
?1

?1 ?

a

?

3 2

2.[? 1 ,1] 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 2? , ? 1 ? cos x ? 1

2

6

32

3.[4k? ? 2? , 4k? ? 8? ], k ? Z 函数 y ? c o sx( ? ? 递) 减时, 2k? ? x ? ? ? 2k? ? ?

3

3

23

23

3 4.[ , 2]

令 ? ? ? ?x ? ? , ? ? ? x ? ? , 则[? ? , ? ]是函数的关于

2

2

2 2?

2?

2? 2?

原点对称的递增区间中范围最大的,即[? ? , ? ] ? [? ? , ? ] ,

34

2? 2?



?? ?? 4

?

? ??

?

? 2?
??

?

? 3 ???2 2

?? 3 2?

5. (2k? ? ? , 2k? ? ? ), (k ? Z ) s i n ( c xo s? ) 而0?, ? 1 x c?o s ? 1?, x0 ?c o s 1 ,

2

2

2k? ? ? ? x ? 2k? ? ? k, ? Z

2

2

三、解答题

1.解:(1)

??2 ? ? ??tan

log1 x
2
x?0

?

0

?

?0 ? ? ???k?

x ?

? x

4 ?

k?

?

? 2

得 0 ? x ? ? ,或? ? x ? 4 2
? x ?( 0 ?, ) ?[ , 4 ] 2

(2)当0 ? x ? ?时, 0 ? sin x ? 1,而[0,1] 是 f (t) ? cost 的递减区间

page 37 of 41

当 s i nx ? 时1 , f (x )m i n? c o s;1

当 s i nx ? 时0 , f (x )m a x? c o s?0 。1

2.解:(1)

tan ?

? tan 2?

tan ?
,?2 3

tan 2?
?2 3



3

3

(2) ? ? 1 ? ? ,?sin1 ? cos1 42

3.解:当 x

?

?

时,

f

? (

)

?

1

有意义;而当

x

?

?

?

时,

f (? ? ) 无意义,

2

2

2

2

? f (x) 为非奇非偶函数。

4.解:令 cos x ? t,t ?[?1,1] ,则 y ? 2t2 ? 2at ? (2a ?1) ,对称轴 t ? a , 2



a 2

?

?1,即

a

?

?2

时, [?

1

,

1是] 函数

y

的递增区间,

ym

i

n? 1

?

1 2





a 2

? 1,即 a

?

2 时,[?1,1]是函数

y

的递减区间,

ymin

?

?4a ?1 ?

1, 2

得 a ? 1 ,与 a ? 2 矛盾; 8

当 ?1 ?

a 2

? 1,即 ?2 ?

a

?

2 时,

ymin

?

?

a2 2

? 2a ?1 ?

1 ,a2 2

? 4a ? 3 ?

0

得 a ? ?1, 或 a ? ?3,?a ? ?1,此时 ym a x? ?4a ? 1? 5。

数学 4(必修)第一章 三角函数(下) [提高训练 C 组]

一、选择题

1.D sin2 x ? cos2 x ? 0, ? cos 2x ? 0, cos 2x ? 0, 2k? ? ? ? 2x ? 2k? ? 3?

2

2

2.B 对称轴 x ? ? , f (? ) ? ?2 66

3.B f (? 15? ) ? f (? 15? ? 3? ? 3) ? f (3? ) ? sin 3? ? 2

4

42

4

42

4.C sin A1 sin A2...sin An ? 1,而0 ? sin Ai ? 1 ? sin Ai ? 1, Ai ? 900

page 38 of 41

5.B 令 cos x ? t,t ?[?1,1] ,则 y ? t2 ? 3t ? 2 ,对称轴 t ? ? 3 , 2

[? 1 , 1是] 函数 y 的递增区间,当 t ? ?1时 ym i n? 0 ;

6.A 图象的上下部分的分界线为 y ? 2 ? (?1) ? 1 ,得a ? 1 ,且2A ? 3, A ? 3

22

2

2

二、填空题

1. 4?,

[? 4,4 ]

??2a ? ???2a ?

b b

? ?

3 1

?

??a

? ??

b

?1 ,
?1

T

?

2? b

? 4? , ?4 ?

y?4

2

2. 7 , 2 8

x

?

? ??

? 6

,

7? 6

? ??

,

?

1 2

?

sin

x

? 1,

y

?

2

s

i 2n

x?

s ixn?

1,

当s

i

nx

?

1 4

时,

ym

i

n?

7 8

;当 s

i

nx

?

1或,

?

1 2

时,

ym

a

x?

2



3.[? ? ,0],[? ,? ] 令 u ? c o sx ,必须找 u 的增区间,画出 u ? c o sx 的图象即可 22

4. ?3 显然T ? ? , f (? ? 3?) f ( ,3 )令 F( x)? f ( x)? 1? a s i n x2? t为ax奇n 函数

F(? 3 )? f (? 3 )? 1? F4 , ( ?3f) ?( 3 )? ?1f 4 , ?(?3 ) 3

5. y ? 1 sin(2x ? ? )

2

2

右移? 个单位
y ? 2 s i nx ? ?2 ? ? ??y

?2 s i nx (? ? 横)坐?标缩?小到原?来的?2倍? ? ??

2

y ? 2 s i n (x2? ? ?)总?坐? 标缩?小到?原来?的4?倍? y ? 1 s i n (x2? ? )

2

2

2

三、解答题

1.解: y ? 2[sin ? cos(3x ??) ? cos ? sin(3x ??)]

3

3

? 2sin(? ? ? ? 3x) ,为奇函数,则 3

? ? ? ? k? ,? ? k? ? ? , k ? Z 。

3

3

2.解: y ? ? sin2 x ? a sin x ? a2 ? 2a ? 6,令sin x ? t,t ?[?1,1]

y ? ?t2 ? at ? a2 ? 2a ? 6 ,对称轴为 t ? a , 2

page 39 of 41



a 2

?

?1,即 a

?

?2 时,[?1,1]是函数

y

的递减区间,

ymax

?

y

|t??1 ?

?a2

?

a

?

5

?

2

得 a2 ? a ? 3 ? 0, a ? 1? 13 , 与 a ? ?2 矛盾; 2



a 2

? 1,即 a

?

2 时,[?1,1]是函数

y

的递增区间,

ymax

?

y

|t?1 ?

?a2

? 3a

?5

?

2

得 a2 ? 3a ? 3 ? 0, a ? 3 ? 21 ,而a ? 2,即a ? 3 ? 21 ;

2

2

当 ?1 ?

a 2

? 1,即 ?2 ?

a

?

2 时,

ymax

?

y

|
t

?

a

?

2

?

3 4

a2

? 2a ? 6

?

2

得 3a2 ? 8a ?16 ? 0, a ? 4,或 ? 4 ,而-2 ? a ? 2,即a ? ? 4 ;

3

3

?a ? ? 4 ,或 3? 2 1

3

2

3.解:令 sin x ? cos x ? t,t ? 2 sin(x ? ? ), ? ? ? x ? ? ? 3? , ? 2 ? sin(x ? ? ) ? 1

44

44 2

4

得 t ?[?1,

2] , sin x cos x

1?t2 ?



y

1?t2 ?t?

?

? 1 t2

?t

?

1

2

22

2

对称轴 t ? 1,当 t ? 1时, ymax ? 1;当 t ? ?1时, ymin ? ?1。

4.解:(1) x ?[ ? ? , 2 ? ], A ? 1, T ? 2? ? ? ,T ? 2? ,? ? 1

63

4 36

且 f (x) ? sin(x ??) 过 ( 2? , 0) ,则 2? ?? ? ? ,? ? ? , f (x) ? sin(x ? ? )

3

3

3

3

当 ?? ? x ? ? ? 时, ? ? ? ?x ? ? ? 2? , f (?x ? ? ) ? sin(?x ? ? ? ? )

6

6

33

3

33

而函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ? ? 对称,则 f (x) ? f (?x ? ? )

6

3

即 f (x) ? sin(?x ? ? ? ? ) ? ?sin x , ?? ? x ? ? ?

33

6

?

f

(x)

?

???sin(x ? ? ???? sin x,

? ), x ? 3 x ?[??

[? ,?

? 6 ? 6

, )

2? 3

]

(2)当 ? ? ? x ? 2? 时, ? ? x ? ? ? ? , f (x) ? sin(x ? ? ) ? 2

6

3

6

3

32

page 40 of 41

x ? ? ? ? ,或 3? , x ? ? ? ,或 5?

34 4

12 12

当 ?? ? x ? ? ? 时, f (x) ? ? sin x ? 2 ,sin x ? ? 2

6

2

2

x ? ? ? ,或 ? 3?

4

4

? x ? ? ? , ? 3? , ? ? ,或 5? 为所求。 4 4 12 12

page 41 of 41


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