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福建省厦门市2012届高三质检--数学(理、含答案)


绝密★启用前

2012 年厦门市普通高中毕业班质量检查

数学(理科)试卷
注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,第Ⅱ卷第 21 题为选考题,其它题为必考题.本 试卷满分 150 分.考试时间 120 分钟. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题答案 使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意 要求的. 1. 设集合 U = ?1,2,3,4 ? , M = x ? U x 2 ? 5 x + p = 0 ,若 CU M = ?2,3? ,则实数 p 的值为( A. ?4 B. 4
2

?

?

)

C. ?6

D. 6 )

2. 命题“ ? x ? R ,使 x ? ax ? 4a ? 0 ,为假命题”是命题“ ?16 ? a ? 0 ”的( A.充要条件
9

B.必要不充分条件
2

C.充分不必要条件
9 10

D.既不充分也不必要条件 )

3. 已知 ( x ? 1)( x ? 1) ? a0 ? a1x ? a2 x ? ?? a9 x ? a10 x ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? ( A. ?1 A. ( 3, ?1) B.0 C.1 B. (?1, ? 3) D.2 ) C. (? 3, ?1) D. (?1, 3) ) 4. 已知向量 a ? ( 3,1) , b ? (0, ?2) .若实数 k 与向量 c 满足 a ? 2b ? kc ,则 c 可以是( 5. 已知 ? 、 ? 是两个不同平面, m 、 n 是两条不同直线,下列命题中假命题 是( ... A.若 m ∥ n , m ? ? , 则 n ? ? C.若 m ? ? , m ? ? , 则 ? ∥ ? B.若 m ∥ ? , ? ? ? ? n , 则 m ∥ n D.若 m ? ? , m ? ? , 则 ? ?

?
)

6. 在底面直径和高均为 a 的圆锥内作一内接圆柱,则该内接圆柱的最大体积为( A.

?a 8

3

B.

?a 16

3

C.

?a 27

3

D.

?a 81

3

7. 设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和,且 a1 ? ?2010 , A.2008 B.?2008 C.2012

S2010 S2008 ? ? 2 ,则 a2 ? ( 2010 2008

)

D.?2012

8. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (2) = 1, f ?( x) 为 f ( x) 的导函数. 已知 y ? f ?( x) 的图象如图所示,若两个正数 a, b 满足 f (2a ? b) ? 1 , 则

f ?( x)

b ?1 的取值范围是( a?2
A.( ? 1 , 1 ) 8 C. (?8 , 1 )

) B. (?? , ? 1 ) ? ( 1 , ? ?)
8

o

x

D. (?? , ? 8 ) ? (1 , ? ?)

高三数学(理科)试题

第 1 页(共 8 页)

2 2 9.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 与双曲线 x 2 ? y2 ? 1(a, b ? 0) 有相同的焦点 F , 点 A 是两曲线的一个交点, a b

且 AF ? x 轴,若 l 为双曲线的一条斜率大于 0 的渐近线,则 l 的斜率可以在下列给出的某个区间内,该区间 可以是( A. (0, )

3 ) 3

B. (

3 ,1) 3

C. (1, 2)

D. ( 2, ??)

10. 学习合情推理后,甲、乙两位同学各举了一个例子,甲:由“若三角形周长为 l ,面积为 S,则其内切 圆半径 r ? 2S ”类比可得“若三棱锥表面积为 S,体积为 V,则其内切球半径 r ? 3V ”;乙:由“若直角三角形 l S
2 2 两直角边长分别为 a ,b,则其外接圆半径 r ? a ? b ”;类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直,侧棱长分 2
2 2 2 别为 a 、b、c,则其外接球半径 r ? a ? b ? c ”.这两位同学类比得出的结论( 3

)

A.两人都对

B.甲错、乙对

C.甲对、乙错

D.两人都错

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.将答案填在答题卡的相应位置. 11. 运行如 图的算法,则输出的结果是 .

? ? 12. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ?) ( ? ? 0) ,若 f ( ?) ? f ( ?) ,且 f ( x) 在区间 ( , ) 内有 6 2 3 6 2
最大值,无最小值,则 ? ? . 13. 为了庆祝一年一度的动物狂欢节,森林女神让每只动物小精灵各自在自己的百宝箱 里挑选 4 颗彩色宝石去装饰神秘宫殿。 已知每个百宝箱里存放有 10 种不同颜色的彩色宝 石,为了不影响色泽的搭配,其中粉红色和紫色不能一同被选出,则共有

x←0 While x<20 x ← x+1 x ← x2 End While Print x
第 11 题图

种选法。

?x ? 2 ? 0 14. 点 P( x, y ) 在 不 等 式 组 ? 表示的平面区域上运动,则 ? y ?1 ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

z?

y?3 的取值范围为 x ?1



15. 用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与正五边形数组,其排 列的规律如下图所示: 已知 m 个钢珠恰好可以排成每边 n 个钢珠的正三角 形数组与正方形数组各一个; 且知若用这 m 个钢珠去排成每边 n 个钢珠的 正五边形数组时 , 就会多出 9 个钢珠 , 则 m= .

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 (2b ? c) cos A ? a cos C 。 (1)求角 A 的大小;

?? ? 2 C m ? (0, ? 1), n ? (cos B , 2cos ) (2)设 2
高三数学(理科)试题

,试求 m ? n 的最小值。

?? ?

第 2 页(共 8 页)

17.(本小题满分 13 分)某地区举办科技创新大赛,有 50 件科技作品参赛,大赛组委会对这 50 件作品分 别从“创新性”和“实用性”两项进行评分,每项评分均按等级采用 5 分制,若设“创新性”得分为 x ,“实用性” 得分为 y ,统计结果如下表: 作品数量

y
1分 1分 1 1 2 1 0 2分 3 0 1

实用性 3分 1 7 0 6 1 4分 0 5 9 0 1 5分 1 1 3

x
创 新 性 2分 3分 4分 5分

b
0

a
3
C

(Ⅰ)求“创新性为 4 分且实用性为 3 分”的概率; (Ⅱ)若“实用性”得分的数学期望为 167 ,求 a 、 b 的值. 50 18.(本小题满分 13 分)如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上,且

AB // EF ,矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB ? 2 ,

D

B
O

M
E

AD ? EF ? 1 .
(1)求证: AF ? 平面 CBF ; (2)设 FC 的中点为 M ,求证: OM // 平面 DAF ; (3)设平面 CBF 将几何体 EFABCD 分成的两个锥体的体积 分别为 VF ? ABCD , VF ?CBE ,求 VF ? ABCD : VF ?CBE . 19. (本小题满分 13 分)设椭圆 C1 :
A

F

(18 题图) y

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分 a 2 b2
P F1 N

别是 F1 , F2 ,下顶点为 A ,线段 OA 的中点为 B ( O 为坐标原点) ,如图.若 抛物线 C 2 : y ? x ? 1 与 y 轴的交点为 B ,且经过 F1 , F2 点.
2

(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程;

O M B A Q

F2

x

4 (Ⅱ)设 M (0,? ) , N 为抛物线 C 2 上的一动点,过点 N 作抛物线 C 2 的切 5
线交椭圆 C1 于 P, Q 两点,求 ?MPQ 的最大值.

a 20.(本小题满分 14 分)已知函数 ? ( x) ? , a 为正常数. x ?1 9 (1)若 f ( x) ? ln x ? ?( x) ,且 a ? ,求函数 f ( x) 的单调增区间; 2
(2)若 g ( x) ?| ln x | ?? ( x ) ,且对任意 x1 , x2 ? (0, 2] , x1 ? x2 ,都有 值范围.

(19 题图)

g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? ?1 ,求 a 的的取 x2 ? x1

高三数学(理科)试题

第 3 页(共 8 页)

21. 本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则按所 做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)[选修 4-2:矩阵与变换]
?cos ? 若点 A(2,2)在矩阵 M ? ? ? sin ? 矩阵. ? sin ? ? 对应变换的作用下得到的点为 B(-2,2) ,求矩阵 M 的逆 cos ? ? ?

(2) (本小题满分 7 分)[选修 4-4:坐标系与参数方程]

? x ? 4t 2 已知曲线 C 的参数方程为 ? ( t 为参数) , 过点 A(2,1) 作平行于? ? ? 的直线 l 与曲线 C 分别交于 4 y ? 4 t ?
B,C 两点(极坐标系的极点、极轴分别与直角坐标系的原点、 x 轴的正半轴重合) 。 (Ⅰ)写出曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)求 B、C 两点间的距离. (3) (本小题满分 7 分)[选修 4-5:不等式选讲] 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? x ? 4 的最小值为 m ,实数 a, b, c, n, p, q 满足 a 2 ? b2 ? c 2 ? n2 ? p 2 ? q 2 ? m . (Ⅰ)求 m 的值;
4 4 4 (Ⅱ)求证: n 2 ? p2 ? q2 ? 2 . a b c

高三数学(理科)试题

第 4 页(共 8 页)

2012 年厦门市普通高中毕业班质量检查

数学(理科)试卷 参考解答及评分标准
说明:
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可 根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决 定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 1.B 6.C 2.A 7.B 3.C 8.A 4.D 9.D 5.B 10.C

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分. 1 11.25 12. 13. 182 14. ( ?? , ? 2] ? [2 , ? ? ) 15.126 ? 2 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、解: (1)? (2b ? c) cos A ? a cos C , 由正弦定理得: (2sin B ? sin C ) cos A ? sin A cos C ……………2 分

? 2sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C , 化为 2sin B cos A ? sin Acos C ?cos Asin C ? 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ,……………4 分
?2sin B cos A ? sin B ,得 cos A ?
1 ? ,? A ? ……………6 分 2 3

?? ? C (2) m ? n ? (cos B, 2cos 2 ? 1) ? (cos B, cos C ), ……………7 分 2

?? ? 2 2? 1 ? ? m ? n ? cos 2 B ? cos 2 C ? cos 2 B ? cos 2 ( ? B) ? 1 ? sin(2 B ? ) …………9 分 3 2 6 ?B ?

?
3

,B?C ?

2? 2? ? ? 7? ,? B ? (0, ) .从而 2 B ? ? (? , ) ……………11 分 3 3 6 6 6

?? ? ?? ? 2 1 ? ? ?当sin(2 B ? ) ? 1,即B ? 时, m ? n 取得最小值 ,所以, m ? n 的最小值为 2 。………13 分 2 6 3 2
17.解: (Ⅰ)从表中可以看出,“创新性为 4 分且实用性为 3 分”的作品数量为 6 件, ∴“创新性为 4 分且实用性为 3 分”的概率为 6 ? 0.12 .
50

……4 分

(Ⅱ)由表可知“实用性”得分 y 有 1 分、 2 分、 3 分、 4 分、 5 分五个等级, 且每个等级分别有 5 件, b ? 4 件, 15 件,15 件, a ? 8 件.……5 分 ∴“实用性”得分 y 的分布列为:

y
p

1
5 50

2
b?4 50 167 , 50

3
15 50

4
15 50

5
a ?8 50

又∵“实用性”得分的数学期望为

高三数学(理科)试题

第 5 页(共 8 页)

∴ 1?

5 b?4 15 15 a ? 8 167 .……10 分 ? 2? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 50 50 50 50 50 50
,解得 a ? 1 , b ? 2 . …………13 分

∵作品数量共有 50 件,∴ a ? b ? 3

18.本小题主要考查直线与平面的位置关系,几何体的体积,考查空间想象能力、推理论证和运算能力. 解: (1)证明: ?平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB , 平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB ,? CB ? 平面 ABEF ,

? AF ? 平面 ABEF ,? AF ? CB ,……… 2 分 又? AB 为圆 O 的直径,? AF ? BF , ? AF ? 平面 CBF 。……… 5 分
(2)设 DF 的中点为 N,则 MN // 1 CD ,又 AO // 1 CD ,则 MN // AO,MNAO 为平行四边形…7 分
2 2

?OM // AN ,又 AN ? 平面 DAF , OM ? 平面 DAF , ?OM // 平面 DAF 。……… 9 分 (3)过点 F 作 FG ? AB 于 G ,?平面 ABCD ? 平面 ABEF ,
1 2 ? FG ? 平面 ABCD ,?VF ? ABCD ? S ABCD ? FG ? FG ,……… 11 分 3 3 1 1 1 1 ? CB ? 平面 ABEF ,?VF ?CBE ? VC ?BFE ? S ?BFE ? CB ? ? EF ? FG ? CB ? FG ,…… 12 分 3 3 2 6
?VF ? ABCD : VF ?CBE ? 4 : 1 .……… 13 分
19.解: (Ⅰ)由题意可知 B (0,-1) ,则 A (0,-2) ,故 b ? 2 . 令 y ? 0 得 x ? 1 ? 0 即 x ? ?1 ,则 F1 (-1,0), F2 (1,0) ,故 c ? 1 .…………3 分
2

所以 a ? b ? c ? 5 .于是椭圆 C1 的方程为:
2 2 2
2

x2 y2 ? ? 1 .…………5 分 5 4
2

(Ⅱ) 设 N ( t, t ?1 ) , 由于 y ' ? 2 x 知直线 PQ 的方程为: y ? (t ? 1) ? 2t ( x ? t ) . 即 y ? 2tx ? t ? 1 .
2

代入椭圆方程整理得: 4(1 ? 5t ) x ? 20t (t ? 1) x ? 5(t ? 1) ? 20 ? 0 , …………7 分
2 2 2 2 2

? ? 400t 2 (t 2 ? 1)2 ? 80(1 ? 5t 2 )[(t 2 ? 1)2 ? 4] = 80(?t 4 ? 18t 2 ? 3) ,
x1 ? x2 ?

5(t 2 ? 1) 2 ? 20 ,…………8 分 5t (t 2 ? 1) , x x ? 1 2 1 ? 5t 2 4(1 ? 5t 2 )

2 4 2 故 PQ ? 1 ? 4t 2 x1 ? x2 ? 1 ? 4t 2 . ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 ? 1 ? 4t ? ?t ? 18t ? 3 . 2

1 ? 5t

设点 M 到直线 PQ 的距离为 d ,则 d ?

4 2 ? t ?1 5 1 ? 4t 2

t2 ? ?

1 5

1 ? 4t 2

?

5t 2 ? 1 5 1 ? 4t 2

.…………10 分

所以, ?MPQ 的面积 S ?

1 1 5 ? 1 ? 4t 2 ? ?t 4 ? 18t 2 ? 3 5t 2 ? 1 PQ ? d ? ? 2 2 1 ? 5t 2 5 1 ? 4t 2

高三数学(理科)试题

第 6 页(共 8 页)

?

5 5 105 5 …………11 分 ?t 4 ? 18t 2 ? 3 ? 84 ? ?(t 2 ? 9) 2 ? 84 ? 10 10 5 10

当 t ? ?3 时取到“=”,经检验此时 ? ? 0 ,满足题意. 综上可知, ?MPQ 的面积的最大值为 105 .…………13 分
5

20.解: (1) f '( x) ?

1 a x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ? ? , ………………2 分 x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2

9 1 ,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 2 ,或 x ? , 2 2 1 ∴函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, ) , (2, ??) .………………4 分 2 g ( x2 ) ? g ( x1 ) g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? ?1 ,∴ ? 1 ? 0 ,………………5 分 (2)∵ x2 ? x1 x2 ? x1 g ( x2 ) ? x2 ? [ g ( x1 ) ? x1 ] ? 0 ,设 h( x) ? g ( x) ? x ,依题意, h( x) 在 ? 0, 2 ? 上是减函数. ∴ x2 ? x1
∵a ? 当 1 ? x ? 2 时, h( x) ? ln x ? 令 h '( x) ? 0 ,得: a ?

1 a a ? 1 ,………………7 分 ? x , h '( x) ? ? x ( x ? 1) 2 x ?1

( x ? 1)2 1 ? ( x ? 1)2 ? x 2 ? 3x ? ? 3 对 x ? [1, 2] 恒成立, x x 1 1 1 2 设 m( x) ? x ? 3x ? ? 3 ,则 m '( x) ? 2 x ? 3 ? 2 ,∵1 ? x ? 2 ,∴ m '( x) ? 2 x ? 3 ? 2 ? 0 , x x x 27 27 ∴ m( x) 在 [1, 2] 上是增函数,则当 x ? 2 时, m( x) 有最大值为 ,∴ a ? .…………9 分 2 2 1 a a 当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? ? ln x ? ?1 , ? x , h '( x) ? ? ? x ( x ? 1) 2 x ?1 ( x ? 1)2 1 ? ( x ? 1)2 ? x 2 ? x ? ? 1 ,………………11 分 x x 1 1 2 设 t ( x) ? x ? x ? ? 1 ,则 t '( x) ? 2 x ? 1 ? 2 ? 0 , x x ∴ t ( x) 在 (0,1) 上是增函数,∴ t ( x) ? t (1) ? 0 ,………………13 分
令 h '( x) ? 0 ,得: a ? ? ∴ a ? 0 ,综上所述, a ? 21.(1)选修 4—2:矩阵与变换 本题主要考查矩阵、逆矩阵、曲线的线性变换等基础知识,考查运算求解能力及函数与方程思想.满分 7 分.
? 2? ? ?2? ? 2cos ? ? 2sin ? ? ? ?2? 解: M ? ? ? ? ? ,即 ? ? ? ? ? ,……………………2分 ? 2? ? 2 ? ? 2sin ? ? 2cos ? ? ? 2 ?

27 ………………14 分 2

所以 ?

?cos ? ? sin ? ? ?1, ?sin ? ? cos ? ? 1.

解得 ?

?cos ? ? 0, ……………………5分 ?sin ? ? 1.

高三数学(理科)试题

第 7 页(共 8 页)

所以 M ? ? 另解: M ?

?0 ?1? ?1 0 ? ? 0 1? .由 M ?1M ? ? ,得 M ?1 ? ? ? ? ? .……………7分 ?0 1 ? ?1 0 ? ? ?1 0?

0 ?1 1 0

=1 ? 0 , M ?1 ? ?

? 0 1? ?. ? ?1 0?

另解: M ? ? ?1 于是 M ?1 ? ?

?0 ?1? ?cos90 ? ? sin 90 ?? 旋转变换矩阵, ?? ? ,看作绕原点 O 逆时针旋转 90° 0? ? ? sin 90 ? cos90 ? ?

?cos( ?90 ?) ? sin( ?90 ?) ? ? 0 1 ? ?. ? ?? ? sin( ?90 ?) cos( ?90 ?) ? ? ?1 0 ?

(2)选修 4—4:坐标系与参数方程 本题主要考查曲线的参数方程、直线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力以及化归与转化思 想、分类与整合思想.满分 7 分.

? x ? 4t 2 2 解: (Ⅰ)由 ? 消去参数 t 得, y ? 4 x ? y ? 4t

………………………3 分

? ?x ? 2 ? ? (Ⅱ)依题意,直线的参数方程为 ? ? y ? 1? ? ?
代入抛物线方程得 (1 ?

2 t 2 (t为参数) , 2 t 2

2 2 2 1 t ) ? 4(2 ? t ) ,∴ t 2 ? 2t ? 7 ? 0 2 2 2
……………………7 分

| BC |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 8 ? 56 ? 8
(3)选修 4—5;不等式选讲

本题主要考查绝对值的几何意义、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力以及推理论证能力,考 查函数与方程思想以及分类与整合思想.满分 7 分.

? 2 x ? 6 ( x ? 4) ? (2 ? x ? 4) ,……2 分 解: (Ⅰ)法一: f ( x ) ? x ? 2 ? x ? 4 ? ?2 ? ?2 x ? 6 ( x ? 2) ?
可得函数的最小值为 2.故 m ? 2 . ……3 分 法二: f ( x) ? x ? 2 ? x ? 4 ? ( x ? 2) ? ( x ? 4) ? 2 , ……2 分 当且仅当 2 ? x ? 4 时,等号成立,故 m ? 2 . (Ⅱ)? [( ……3 分

n2 2 p2 q2 n2 p2 q2 ) ? ( )2 ? ( )2 ] ? (a 2 ? b2 ? c 2 ) ? ( ? a ? ? b ? ? c)2 ……5 分 a b c a b c n4 p 4 q 4 n4 p 4 q 4 2 2 2 2 即: ( 2 ? 2 ? 2 ) ? 2 ? (n ? p ? q ) ? 4 , 故 2 ? 2 ? 2 ? 2 . ……7 分 a b c a b c

高三数学(理科)试题

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