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极限习题课_图文

第二章 极限 习 题 课
一、主要内容
二、例题

1、极限 两个要素: ——无限的变化过程及该过程中的
函数 极限的计算方法:
函数的恒等变形(通分、约分、分子或分母有 理化、...); 利用左右极限求分段函数的极限; 有理函数在无穷远的极限; 极限的四则运算; 极限的过程代换; 两个重要极限; 极限符号与连续函数符号的可交换性; 初等函数在一点的连续性(代入法)——首选。

2、连续
一点处的连续性与单侧连续性——局部性质; 区间上的连续性;

连续函数的运算:四则运算、反函数、复合函数;
初等函数的连续性;

间断点的分类:…;
闭区间上连续函数的性质——整体性质.

二、例题
例1 设f ( x ) ? f (
x?1 x f( 令 1 1? t 1 1? x 1 1? u ) ? f (t ) ? ? u?1 u )? f( u?1 u
x ?1 x )、f (

x ?1 x

) ? 2 x , 其中x ? 0, x ? 1.求f ( x ).

解 利用函数与表示法无关的特性
令 t ? , 即 x ? 2 1? t , 1 1? t ,

代入原方程,得
1 1? x )? 2 1? x ,

即f ( x ) ? f (
1 1? u ,

, 即 x ? )?

代入上式得
, 即 f(

f(

2( u ? 1) u
1 1? x

1 1? x

)? f (

x ?1 x

)?

2( x ? 1) x

,

得 f ( x )、f (

) 的方程组。

解联立方程组
x ?1 ? ? f ( x) ? f ( x ) ? 2 x ? 1 2 ? )? ? f ( x) ? f ( 1? x 1? x ? 1 x ?1 2( x ? 1) ? )? f( )? ?f( x x ? 1? x (1) (2) (3)

( 1 ) ? ( 2 ) ? ( 3 ),



2 f (x) ? 2x ?
? f (x) ? x ? 1 x

2 1? x
? 1

?

2( x ? 1) x
? 1.

1? x

例2

当 x ? 1时, 求 lim(1 ? x )(1 ? x )(1 ? x )? (1 ? x
2 4 n? ? 2
n

).

解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则
原式 ? lim
n? ?

(1 ? x )(1 ? x )(1 ? x )(1 ? x )?(1 ? x
2 4

2

n

)

1? x (1 ? x )(1 ? x )(1 ? x )?(1 ? x
2 2 4 2
n

? lim
n? ?

)

1? x (1 ? x
2
n

? lim
n? ?

)(1 ? x

2

n

)

1? x
.

? lim
n? ?

1? x
n?1

2

n?1

1? x
2

?

1 1? x

(? 当 x ? 1时 , lim x
n? ?

? 0 .)

例3 设p( x )是多项式, 且 lim
求p( x ).

p( x ) ? x x
2

3

x ??

? 2, lim

p( x ) x

x ?0

? 1,



利用有理分式的极限性质
? lim
x ??

p( x ) ? x x
2
3

3

? 2,
2

? 可设 p( x ) ? x ? 2 x ? ax ? b (其中a , b为待定系数 )

又 ? lim
x ?0

p( x ) x

? 1,
b x ?1 ( x ? 0)
3 2

?

p( x )

? x ? 2x ? a ?
2

x 从而得

b ? 0 , a ? 1 . 故 p( x ) ? x ? 2 x ? x .

? x ? 1, x ? 1 ? 例4 讨论f ( x ) ? ? 的连续性. ?x , x ?1 ?cos ? 2 x ? ?1 ?1 ? x , ? ?x ? 解 将 f ( x )改写成 f ( x ) ? ? cos ,?1? x ? 1 2 ? 由连续的局部性可知 x ? 1 ? x ? 1, ? f ( x ) 在 ( ? ? , ? 1 )、? 1 ,1 ]、1 , ? ? )内连续 . [ (
当 x ? ? 1时 ,
?

f (?1 ) ? 2,

?

f ( ? 1) ? 0 .

? f ( ? 1 ) ? f ( ? 1 ), 故 f ( x ) 在 x ? ? 1间断 .
? 当 x ? 1时 , f ( 1 ) ? 0 ? f ( 1 ),

故 f ( x ) 在 x ? 1 连续 .


? f ( x ) 在 ( ?? , ? 1 ) ? ( ? 1 , ?? ) 连续 .

问:f ( x )在区间( ??, ? 1), 1,] (1, ? ? )上均连续 ? [? 1 , 在 ( ??, ? 1) ? [ ?1, 1] ? (1, ? ? ) ? ( ??, ? ? ) 上连续。

例5
y 设 f ( x ) 是 [ 0,1 ] 上的连的连续,且 f ( 0 ) ? f ( 1 ). y=f(x+1/2) y=f(x)

试证 : 存在 ? ? [ 0 ,1 ] , 使f ( ? ?

1 2

) ? f ( ? ).
1 2

f(0)

证明

令 F (x) ? f (x ?

1 2

) ? f ( x ), 则 F ( x ) ? C [ 0 ,

]. -1/2 O ? 1/2

1

x

? F ( 0 ) ? f ( ) ? f ( 0 ), 2
若 F (0) ? 0,

1

1 1 1 F ( ) ? f ( 1 ) ? f ( ) ? f ( 0 ) ? f ( ), 2 2 2

则可取 ? ? 0 ,

f (0 ?
1

1

) ? f ( 0 );
1

若 F ( ) ? 0 , 则可取 ? ? , f ( ? ) ? f ( ); 2 2 2 2 2 1 1 1 2 若 F ( 0 ) ? 0 , F ( ) ? 0 , 则 F ( 0 ) ? F ( ) ? ? [ f ( ) ? f ( 0 )] ? 0 , 2 2 2 1 1 ? ? ? ( 0 , ), 使 F ( ? ) ? 0,即 f (? ? ) ? f (? )成立. 由零点知, 2 2 1 1 综上, ? ? ? [ 0 , ] ? [ 0 ,1 ], 使 f (? ? ) ? f (? ) 成立. 证毕 2 2

1

1

2 1

例6 下面极限是否存在?若存在,求之。
xn ? 1 2 {( a ? b) n?1 n ? (a ? b)( ?1) }
n

(a ? b).


? x2 n ? 1 2 1 2 {( a ? b ) {( a ? b) 2n ? 1 2n 2n ? 1 2n ? (a ? b)} ?

1 2

{( a ? b) ? (a ? b)} ? a , {( a ? b) ? (a ? b)} ? b,

x2 n ? 1 ?

? (a ? b)} ?

1 2

? lim xn 不存在。
n??

1

例7 求 lim (a1 ? a2 ? ? ? am ) n ,其中a1 , a2 ,?, an ? 0.
n??

n

n

n

解 记 a ? max( a1 , a2 ,?, am ),则
1 n n

1 n n n n

1 n

a ? (a ) ? (a1 ? a2 ? ? ? am ) ? ( ma ) n ? a ? n m
? m ?1
n
1

? lim (a1 ? a2 ? ? ? am ) n ? a.
n??

n

n

n

例8

2 ? x ? 1, ? ? 设 f ( x) ? ? b, ?a ? arccos x , ? ?

? ? ? x ? ?1; x ? ?1; ? 1 ? x ? 1.

试确定 a、b 之值,使 f ( x ) 在 x ? ?1 处连续.

解 ? f ( ?1? ) ? ( x 2 ? 1 ) x ? ?1 ? ( x 2 ? 1 ) x ? ?1 ? 0,
?

f ( ?1) ? b,
?

?b ? 0; ? f ( x ) 在 x ? ?1 左连续,
x ? ?1
?

又 ? f ( ?1 ) ? (a ? arccos x )

? (a ? arccos x )

x ? ?1

? a ? ? , f ( ?1) ? 0,
? ? f ( x ) 在 x ? ?1 右连续, a ? ? ? 0, ?a ? ?? .

例9


试证:任何奇次方程至 少有一个实根 .
记 f ( x ) ? an x ? an ? 1 x
n n ?1

? ? ? a1 x ? a0

其中n为奇数且 n ? 0. a 若 an ? 0, 则
x???

lim f ( x ) ? ??, lim f ( x ) ? ??,
x???

? ?a , ? f (a ) ? 0, ?b, ? f (b) ? 0, a ? b. 且
又 ? f ( x ) ? C[a, b], 由零点定理知, ( x )在(a, b)上必有零点, f

从而,奇次方程必有实 根。
同理可证 n ? 0的情形。 证毕。 a

例10 设 0 ? x1 ? 3,xn?1 ?

xn ( 3 ? xn )

( n ? 1,2 ,3 ,? ) ,

证明 { x n } 的极限存在,并求此极 限

解 由 0 ? x1 ? 3 知 x1、 ? x1 均为正数, 3
故 0 ? x2 ? x1 ( 3 ? x1 ) ?
? 设 0 ? xk ? 0 ? xk ? 1 ? ? 0 ? xn ? 3 2 3 1 2 ( k ? 1),则 xk ) ? ( 3 ? xk ) ) ?
2 2

x1 ?
((

3 ? x1
x1 ) ? ( 3 ? x1 ) ) ?
2 2

3 2 3 2

2 1 xk ( 3 ? xk ) ? (( 2 ( n ? 1).

,

例10 设 0 ? x1 ? 3,xn?1 ?

xn ( 3 ? xn )

( n ? 1,2 ,3 ,? ) ,

证明 { x n } 的极限存在,并求此极 限
(接着证单调性)
当 n ? 1 时, n ? 1 ? xn ? x
? ( xn ( 3 ? xn ) ? xn )(

xn ( 3 ? xn ) ? xn

xn ( 3 ? xn ) ? xn )

xn ( 3 ? xn ) ? xn

?

xn ( 3 ? 2 xn ) xn ( 3 ? xn ) ? xn

? . ? 0, { xn }单调(增)

?{ xn }的极限存在 .

例10

设 0 ? x1 ? 3 x n ?1 ? ,

xn ( 3 ? xn )

( n ? 1,2 ,3 ,? ) ,

证明 { x n } 的极限存在,并求此极 限

(接着求极限)
记 lim xn ? a , 由xn ? 1 ?
n??

x n ( 3 ? xn ) ,

有xn ?1 ? xn ( 3 ? xn ),
解得a ? 3 2
n??

2

令 n ? ?, 得 a 2 ? a( 3 ? a ),

,a ? 0 (舍去)? n ? 1 时, ? xn 且单调增) ( 0 . . 3 2 .

? lim xn ?


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