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必修1一元二次不等式的解法复习(含详细知识点和例题答案)

①一元二次不等式的定义 象 x ? 5 x < 0 这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元
2

二次不等式 ②探究 探究一元二次不等式 x ? 5 x < 0 的解集 探究
2

怎样求不等式(1)的解集呢? 探究: (1)二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道:二次方程的有两个实数根: x1 = 0, x2 = 5 二次函数有两个零点: x1 = 0, x2 = 5 于是,我们得到:二次方程的根就是二次函数的零点。 (2)观察图象,获得解集 画出二次函数 y = x ? 5 x 的图象,如图,观察函数图象,可知:
2

当 x<0,或 x>5 时,函数图象位于 x 轴上方,此时,y>0,即 x ? 5 x > 0 ;
2

当 0<x<5 时,函数图象位于 x 轴下方,此时,y<0,即 x ? 5 x < 0 ;
2

所以,不等式 x ? 5 x < 0 的解集是 { x | 0 < x < 5} ,从而解决了本节开始时提出的问题。
2

③探究一般的一元二次不等式的解法 任 意 的 一 元 二 次 不 等 式 , 总 可 以 化 为 以 下 两 种 形 式 :

ax 2 + bx + c > 0, (a > 0)或ax 2 + bx + c < 0, (a > 0)
一般地,怎样确定一元二次不等式 ax + bx + c >0 与 ax + bx + c <0 的解集呢?
2 2

组织讨论: 从上面的例子出发,综合学生的意见,可以归纳出确定一元二次不等式的解集,关键要考虑 以下两点: 也就是一元二次方程 ax + bx + c =0 (1)抛物线 y = ax + bx + c 与 x 轴的相关位置的情况,
2 2

的根的情况 (2)抛物线 y = ax + bx + c 的开口方向,也就是 a 的符号
2

总结讨论结果: (l)抛物线 y = ax + bx + c (a> 0)与 x 轴的相关位置,分为三种情况,这可以由一元
2

二次方程 ax + bx + c =0 的判别式 ? = b ? 4ac 三种取值情况(Δ> 0,Δ=0,Δ<0)来确
2 2

定.因此,要分二种情况讨论 (2)a<0 可以转化为 a>0

1

分Δ>O,Δ=0,Δ<0 三种情况,得到一元二次不等式 ax + bx + c >0 与 ax + bx + c <0 的
2 2

解集 一元二次不等式 ax 2 + bx + c > 0或ax 2 + bx + c < 0(a ≠ 0 ) 的解集: 设相应的一元二次方程 ax + bx + c = 0(a ≠ 0 ) 的两根为 x1、x2 且 x1 ≤ x2 ,? = b ? 4ac ,
2

2

则不等式的解的各种情况如下表:

?>0 y = ax 2 + bx + c
二次函数

?=0 y = ax 2 + bx + c

?<0 y = ax 2 + bx + c

y = ax 2 + bx + c
( a > 0 )的图象

一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根

(a > 0)的根

ax + bx + c = 0
2

x1 , x2 ( x1 < x2 )

x1 = x2 = ?

b 2a

无实根

ax 2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集

{x x < x 或x > x }
1 2

? b? ?x x ≠ ? ? 2a ? ?
?

R

ax 2 + bx + c < 0
(a > 0)的解集

{x x

1

< x <x2}

?

④解一元二次不等式的步骤: 解一元二次不等式的步骤: 解一元二次不等式的步骤 ① 将二次项系数化为“+” :A= ax + bx + c >0(或<0)(a>0)
2

② 计算判别式 ? ,分析不等式的解的情况: ⅰ. ? >0 时,求根 x1 < x 2 , ?

?若A > 0,则x < x1或 > x 2; ?若A < 0,则x1 < x < x 2 .

?若A > 0,则x ≠ x0的一切实数; ? ⅱ. ? =0 时,求根 x1 = x 2 = x 0 , ?若A < 0,则x ∈ φ; ?若A ≤ 0,则x = x . 0 ?
ⅲ. ? <0 时,方程无解, ?

?若A > 0,则x ∈ R; ?若A ≤ 0,则x ∈ φ .

③ 写出解集. ⑤求解不等式的方法,就是将不等式转化为熟悉,可解的不等式,因此一元二次不等式的求 解,也可采用以下解法。
2

x2+3x-4<0 -4<x<1 或 。

(x+4)(x-1)<0





原不等式解集为{x|-4<x<1}。

x2+3x-4<0

(x+

)2<

|x+

|<

-

<x+

<

-4<x<1。

原不等式解集为{x|-4<x<1}。

⑥含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一 元二次不等式常用的分类方法有三种: 的符号分类, 一、按 x 项的系数 a 的符号分类,即 a > 0, a = 0, a < 0 ;
2

例 1 解不等式: ax 2 + (a + 2 )x + 1 > 0 分析: 分析:本题二次项系数含有参数, ? = (a + 2 ) ? 4a = a + 4 > 0 ,故只需对二次项
2 2

系数进行分类讨论。
2 解:∵ ? = (a + 2 ) ? 4a = a + 4 > 0 2

解得方程 ax 2 + (a + 2 )x + 1 = 0 两根 x1 =

? a ? 2 ? a2 + 4 ? a ? 2 + a2 + 4 , x2 = 2a 2a

∴当 a > 0 时,解集为 ? x | x >

? ? ? ?

? a ? 2 + a2 + 4 ? a ? 2 ? a2 + 4 ? ? 或x < ? 2a 2a ? ?

当 a = 0 时,不等式为 2 x + 1 > 0 ,解集为 ? x | x >

? ?

1? ? 2?

? ? a ? 2 + a2 + 4 ? a ? 2 ? a2 + 4 ? ? ? 当 a < 0 时, 解集为 ? x | <x< ? 2a 2a ? ? ? ?

3

的符号分类, 二、按判别式 ? 的符号分类,即 ? > 0, ? = 0, ? < 0 ; 例 2 解不等式 x + ax + 4 > 0
2

分析 本题中由于 x 的系数大于 0,故只需考虑 ? 与根的情况。
2

解:∵ ? = a ? 16
2

∴当 a ∈ (? 4,4 ) 即 ? < 0 时,解集为 R ; 当 a = ±4 即Δ=0 时,解集为 ? x x ∈ R且x ≠

? ?

a? ?; 2?

当 a > 4 或 a < ?4 即 ? > 0 , 此 时 两 根 分 别 为 x1 =

? a + a 2 ? 16 , 2

x2 =

? a ? a 2 ? 16 ,显然 x1 > x 2 , 2
? ? ? ? ? a + a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? 或x〈 ? 2 2 ? ?

∴不等式的解集为 ? x x >

2 2 例 3 解不等式 m + 1 x ? 4 x + 1 ≥ 0(m ∈ R ) 2 2 2 2 解 因 m + 1 > 0, ? = ( ?4) ? 4 m + 1 = 4 3 ? m

(

)

(

) (

)

所以当 m = ± 3 ,即 ? = 0 时,解集为 ? x | x =

? ?

1? ?; 2?

当? 3 < m <

? 2 + 3 ? m2 2 ? 3 ? m2 ? 或x〈 3 ,即 ? > 0 时,解集为 ? x x > m2 + 1 m2 +1 ? ?
3 ,即 ? < 0 时,解集为 R。

? ? ?; ? ?

当 m < ? 3或m >

4

的大小来分类, 三、按方程 ax + bx + c = 0 的根 x1 , x 2 的大小来分类,即 x1 < x 2 , x1 = x 2 , x1 < x 2 ;
2

例 4 解不等式 x ? ( a +
2

1 ) x + 1 < 0 ( a ≠ 0) a 1 ) < 0 ,故对应的方程必有两解。本题 a

分析: 分析:此不等式可以分解为: ( x ? a )( x ? 只需讨论两根的大小即可。 解:原不等式可化为: ( x ? a )( x ? ∴当 a < ?1 或 0 < a < 1 时, a < 当 a = 1 或 a = ?1 时, a =

1 1 ) < 0 ,令 a = ,可得: a = ±1 a a

1 ? ,故原不等式的解集为 ? x | a < x < a ?

1? ?; a?

1 ,可得其解集为 φ ; a 1 ? 1 ? ,解集为 ? x | < x < a ? 。 a ? a ?

当 ? 1 < a < 0 或 a > 1 时, a >

5


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