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【数学】1-1《变化率与导数》课件(新人教选修2-2)


情境一: 甲和乙投入相同资金经营同一商品, 甲用1年时间挣到2万元, 乙用5个月时 间挣到1万元。 从这样的数据看来,甲、 乙两人谁的经营成果更好?

情境二:
如右图所示,向高为10cm的杯子等速注水, 3分钟注满。若水深h是关于注水时间t的函数, 则下面两个图象哪一个可以表示上述函数?
h/cm
10
M N 10

h/cm
N

M
O 1

A

3

t/m

O

1

3

B

t/m

情境三:
有人对某市3月和4月的某几天日最高气温作了记载.

时 间 日最高气温

3月18日

4月18日

4月20日

3.5℃

18.6℃

33.4℃

温差: 15.1℃

温差: 14.8℃

如何用数学模型刻画变量 变化的快与慢?

建构数学
T (℃ ) C (34, 33.4)

30

B (32, 18.6) 20

10 A (1, 3.5) 2 0 2 10 20 30 34 t(d)

情境3 (以3月18日作为第1天)

数缺形时少直观, 形缺数时难入微。

华罗庚

建构数学

如何量化曲线的 陡峭程度?

建构数学

(1)

(2)

建构数学

T (℃ ) 30

C (34, 33.4)

20

B (32, 18.6)

10 2 0

A (1, 3.5)

2

10

20

30

34 t(d)

(以3月18日作为第1天)

建构数学

平均变化率
一般地,函数 均变化率为
f ( x) 在区间上

[ x1 , x2 ] 的平

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”; 曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.

建构数学

形 曲线陡峭程度

数 平均变化率

变量变化的快慢

知识运用
例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图 所示,试分别计算从出生到第3个月与第6个月 到第12个月该婴儿体重的平均变化率。
W(kg) 11 8.6

6.5
3.5 3 6 9 12 T(月)

知识运用
例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙,t s后
t 3 容器甲中水的体积 V (t ) ? 5 ? e ?0.1 (单位: cm ),

计算第一个10s内容器甲中水的体积V的平均变化率。

第一个10s内V的平均 变化率为-0.3161cm3/s 第二个10s内V的平均 变化率为-0.1162cm3/s
甲 乙

知识运用
例3 已知函数 f ( x) ? x ,分别计算 f ( x)在下
2

列区间上的平均变化率:
(1)[1,3];

4

(5)[0.9,1]; 1.9

(2)[1,2];
(3)[1,1. 1];

3
2.1 2.001

(6)[0.99,1]; 1.99
(7)[0.999,1]. 1.999

(4)[1,1.001]。

知识运用

f ( x) ? 2 x ? 1, g ( x) ? ?2 x分 , 别计算在区间[-3,-1],[0,5]上 f ( x)及 g ( x )
例4、已知函数 的平均变化率。

y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化 率有什么特点?

知识运用
请分别计算出下面两个图象表示的函 数h(t)在区间[0,3]上的平均变化率。
h
10

h
10

h
10

O

1

A
10 3

3

t

O

1

3

B

t

O

1

3

C

t

10 3

10 3

课堂小结

今天这节课,你学到了 哪些知识?

课堂小结

形 曲线陡峭程度

数 平均变化率

变量变化的快慢

课后作业
1、国家环保局在规定的排污达标日期前, y W1(t) 对甲乙两家企业进行检查,连续检测结 果如图所示(其中W1(t),W 2(t) 分别表示 W2(t) 甲乙两企业的排污量),试比较两个企 业的治污效果。 O
f ( x) ? 1 x

t。 t

2、已知函数 ,分别计算函数f(x)在区间[1,3], [1,2],[1,1.1],[1,1.01]上的平均变化率。 思考:已知函数f(x)=x2,记In= [2,2 ?
1 ] ,n∈N*. n 2

(1)求f(x)在区间In上的平均变化率an (2)在数轴上画出数列{an}对应的点,并观察当n不断 增大时,an有什么变化趋势。


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