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2013高考真题数学分类 导数 李远敬整理


2013 高考真题数学分类

导数 李远敬整理

一.用导数求单调区间、极值、函数的单调性 1.(新课标 2 文 11)已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c ,下列结论错误的是

A. ?x0 ? R , f ( x0 ) ? 0
B. 函数 y ? f (x) 的图像是中心对称图形

C. 若 x0 是 f (x) 的极小值点,则 f (x) 在区间 (??, x0 ) 单调递减
D. 若 x0 是 f (x) 的极值点,则 f ' ( x0 ) ? 0
2.(福建理 8)设函数 f (x) 的定义域为 R , x0 ( x0 ? 0) 是 f (x) 的极大值点,以下结论:

A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 ? f (x) 的极小值点

B. ? x0 是 f (? x) 的极小值点 D. ? x0 是 ? f (? x) 的极小值点

3.(浙江理 8)已知 e 为自然对数的底数,设函数 f ( x) ? (e x ?1)(x ?1) k (k ? 1,2) ,则 A. 当 k ? 1 时, f (x) 在 x ? 1 处取得极小值 B. 当 k ? 1 时, f (x) 在 x ? 1 处取得极大值 C. 当 k ? 2 时, f (x) 在 x ? 1 处取得极小值 D. 当 k ? 2 时, f (x) 在 x ? 1 处取得极大值 4.(新课标 2,21)已知函数 f ( x) ? e ? ln(x ? m)
x

(1)设 x ? 0 是 f (x) 的极值点,求 m ,并讨论 f (x) 单调性; (2)当 m ? 2 时,证明 f ( x) ? 0 5.(新课标 2 理 10)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,下列结论错误的是
3 2

A. ?x0 ? R , f ( x0 ) ? 0
B. 函数 y ? f (x) 的图像是中心对称图形

C. 若 x0 是 f (x) 的极小值点,则 f (x) 在区间 (??, x0 ) 单调递减
D. 若 x0 是 f (x) 的极值点,则 f ' ( x0 ) ? 0

6.(辽宁理 12)设函数 f (x) 满足 x f ( x) ? 2 xf ( x) ?
2 '

ex e2 , f ( 2) ? ,则 x ? 0 时, f (x) x 8

A. 有最大值,无极小值 C. 既有极大值,也有极小值

B. 有最小值,无极大值 D. 既无极大值,也无极小值

7. (2013 重庆卷理 17) f ( x) ? a( x ? 5) 2 ? 6 ln x , 设 其中 a ? R , 曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处切线与 y 轴相交于点 (0,6) 。 (1)确定 a 的值; (2)求函数 f (x) 的单调性与极值。 8.(福建理 17)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x ( a ? R ) (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f (x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f (x) 的极值。 9. 新课标 1 理 20) ( 已知函数 f ( x) ? e x (ax ? b) ? x 2 ? 4 x , 曲线 y ? f (x) 在点 (0, f (0)) 处 的切线方程为 y ? 4 x ? 4 。 (1)求 a, b 的值; (2)讨论 f (x) 的单调性,并求 f (x) 的极大值。 二.求最值 10.(山东理 21)设函数 f ( x) ?

x ? c ( e ? 2.71828 ? 是自然对数的底数, x ? R ) e2x

(1)求 f (x) 的单调区间、最大值; (2)讨论关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 的根的个数; 11.(浙江理 22)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x ? 3x ? 3ax ? 3a ? 3.
3 2

(1)求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)当 x ? [0,2] 时,求 | f ( x) | 的最大值. 12.(广东理 21)设函数 f ( x) ? ( x ?1)e ? kx (k ? R)
x 2

(1)当 k ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间;

(2)当 k ? ( ,1] 时,求函数 f ( x ) 在 [0, k ] 上的最大值 M

1 2

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 13.(四川理 21)已知函数 f ( x) ? ? ,其中 a 是实数.设 A( x1 , f ( x1 )) , ?ln x, x ? 0

B( x2 , f ( x2 )) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 .
(Ⅰ)指出函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围. 14.(湖北理 22)设 n 是正整数, r 为正有理数. (Ⅰ)求函数 f ( x) ? (1 ? x)r ?1 ? (r ? 1) x ? 1 ( x ? ?1) 的最小值; (Ⅱ)证明:

nr ?1 ? (n ? 1)r ?1 (n ? 1)r ?1 ? nr ?1 ; ? nr ? r ?1 r ?1

? 3? (Ⅲ)设 x ? R ,记 ? x ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ?2? ? 2 , ? π ? ? 4 , ? ? ? ? ?1 . ? ? ? ? ? ? ... ? 2?

令 S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ? ? ? 3 125 ,求 ? S ? 的值. ? ? 15.(湖南卷理 20)在平面直角坐标系 xOy 中,将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任 一路径称为 M 到 N 的一条“ L 路径” ,如图 6 所示的路径 MM 1 M 2 M 3 N 与路径 MN1 N 都 是 M 到 N 的“ L 路径” ,某地有三个新建的居民区,分别位于平面 xOy 内的三点 A(3,20) ,

B(?10,0) , C (14,0) 处,现计划在 x 轴上方区域的某一点 P 处修建一个文化中心。
(1)写出 P 到居民区 A “ L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明) ; (2)若以原点 O 为圆心,半径 1 的圆的内部是保护区, L 路径”不能进入保护区,试确定 “ 点 P 的位置,使其到三个居民区的“ L 路径”长度之和最小。 16.(浙江文 21)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? 2 x ? 3(a ? 1) x ? 6ax
3

(1)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程 (2)若 a ? 1 ,求 f (x) 在闭区间 [0, 2a ] 上的最小值。 17.(重庆文 20)某村庄拟修建一个无盖圆柱形蓄水池(不计厚度) ,设该蓄水池的底面半径 h 米,体积为 V 立方米,假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为 为 r 米,高为 100 元/平方米, 底面的建造费用为 160 元/平方米, 该蓄水池的总建造成本为 12000 ? ( ? 为 圆周率) 。 (1)将 V 表示成 r 的函数 V (r ) ,并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V (r ) ,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大。

三.求参数及参数的取值范围
2 18.若函数 f ( x ) ? x ? ax ?

1 1 在 ( ,?? ) 是增函数,则 a 的取值范围是 x 2

A. [?1,0]

B. [?1,??)

C. [0,3]

D. [3,??)

19. ( 广 东 理 10 ) 若 曲 线 y ? kx ? ln x 在 点 (1, k ) 处 的 切 线 平 行 于

x 轴,则

. 20.(湖北文 10)已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 A. (??, 0)
1 B. (0, ) 2

k?

C. (0, 1)

D. (0, ? ?)

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 21.(四川文 21)已知函数 f ( x) ? ? ,其中 a 是实数。设 A( x1 , f ( x1 )) , ?ln x, x ? 0

B( x2 , f ( x2 )) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 。
(Ⅰ)指出函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,证明: x2 ? x1 ? 1 ; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围。 22.(北京文 18).已知函数 f ( x) ? x 2 ? x sin x ? cos x (1)若曲线 y ? f (x) 在点 (a, f (a )) 处与直线 y ? b 相切,求 a 与 b 的值; (2)若曲线 y ? f (x) 与直线 y ? b 有两个不同的交点,求 b 的取值范围。 23.(大纲文 21)已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 3x ? 1
3 2

(1)求 a ?

2 时,讨论 f (x) 的单调性;

(2)当 x ? [2,??) 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围 24.(辽宁文 21) (1)证明:当 x ? [0,1] 时,

2 x ? sin x ? x ; 2

(2)若不等式 ax ? x ?
2

x3 ? 2( x ? 2) cos x ? 4 对 x ? [0,1] 恒成立,求实数 a 的取值范围。 2
?

25. 2013 江西卷文 11) ( 函数 y ? x ? 1 ? ? R ) ( 在点 (1,2) 处的切线经过坐标原点, ? ? 在

26.(新课标 2 文 21)已知函数 f ( x) ? x e

2 ?x

(1)求函数 f (x) 的极大值和极小值; (2)当曲线 y ? f (x) 的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围。 27.(江苏 20)设函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x) ? e x ? ax,其中 a 为实数. (1)若 f (x) 在 (1,??) 上是单调减函数,且 g (x) 在 (1,??) 上有最小值,求 a 的取值范围; (2)若 g (x) 在 (?1,??) 上是单调增函数,试求 f (x) 的零点个数,并证明你的结论. 28.(辽宁理 21)已知函数 f ( x) ? (1 ? x)e ?2 x , g ( x) ? ax ? 时, (1)求证: 1 ? x ? f ( x ) ?

x3 ? 1 ? 2 x cos x ,当 x ? [0,1] 2

1 ; x ?1

(2)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围。 29.(江西理 21)已知函数 f ( x) ? a(1 ? 2 x ? (1)证明:函数 f (x) 的图像关于 x ?

1 ) , a 为常数且 a ? 0 2

1 对称; 2

(2) x0 满足 f ( f ( x0 )) ? x0 , f ( x0 ) ? x0 , 若 但 则称 x0 为 f (x) 的二阶周期点, 如果 f (x) 有两个二阶周期点 x1 , x 2 ,试确定 a 的取值范围。 (3)对于(2)中的 x1 , x 2 和 a ,设 x3 为函数 f ( f ( x)) 的最大值点, A( x1 , f ( f ( x1 ))) ,

B( x2 , f ( f ( x2 ))) , C( x3 ,0) ,记 ?ABC 的面积为 S (a) ,讨论 S (a) 的单调性。
30.(新课标 1,21) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b ,g ( x) ? e (cx ? d ) ,若曲线 y ? f (x) 和
2 x

曲线 y ? g (x) 都过点 P(0,2) ,且在点 P 处都有相同的切线 y ? 4 x ? 2 (1)求 a, b, c, d 的值; (2)若 x ? ?2 时, f ( x) ? kg( x) ,求 k 的取值范围 四.公共点、零点、根的个数
3 2 31.(安徽理 10)若函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 有极值点 x1 , x 2 且 f ( x1 ) ? x2 ,则关于 x

的方程 3 f ( f ( x)) ? 2af ( x) ? b ? 0 不同实根个数是
2

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

32.(山东理 21)设函数 f ( x) ?

x ? c ( e ? 2.71828 ? 是自然对数的底数, x ? R ) e2x

(1)求 f (x) 的单调区间、最大值; (2)讨论关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 的根的个数; 33.(江苏 20)设函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x) ? e x ? ax,其中 a 为实数. (1)若 f (x) 在 (1,??) 上是单调减函数,且 g (x) 在 (1,??) 上有最小值,求 a 的取值范围; (2)若 g (x) 在 (?1,??) 上是单调增函数,试求 f (x) 的零点个数,并证明你的结论. 34.(陕西理 21)已知函数 f ( x) ? e x , x ? R (1) 若直线 y ? kx ? 1 与 f (x) 的反函数的图像相切,求实数 k 的值; (2) 设 x ? 0 ,讨论曲线 y ? f (x) 与曲线 y ? mx2 ( m ? 0 )的公共点个数; (3) 设 a ? b ,比较

f ( a ) ? f (b ) f (b ) ? f ( a ) 与 的大小,并说明理由。 2 b?a

五.证明不等式,比较大小 35.(湖北理 10)已知 a 为常数,函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则 A. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ? C. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ?
1 2 1 2

B. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ? D. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ?

1 2 1 2

36.(大纲理 22)已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ?

x(1 ? ?x) 1? x

(1)若 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求 ? 的最小值; (2)设数列 {an } 的通项 a n ? 1 ?

1 1 1 1 ? ? ? ? ,证明: a 2 n ? a n ? ? ln 2 2 3 n 4n
2

37.(天津理 20)已知函数 f ( x) ? x ln x (1)求函数 f (x) 的单调区间; (2)证明:对任意的 t ? 0 ,存在唯一的 s ,使 t ? f (s) ;
2 (3) 设(2)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) ,证明: t ? e 时, 当 有

2 ln g (t ) 1 ? ? 5 ln t 2

x 2 x3 xn ? 38.(安徽理 20)设函数 f n ( x) ? ?1 ? x ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ( x ? R, n ? N ) ,证明: 2 3 n

(1)对每个 n ? N ? ,存在唯一的 x n ? [ .1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ; (2)对于任意 p ? N ? ,由(1)中 xn 构成数列 {xn } 满足 0 ? xn ? xn ? p ? 39.(湖南文 21)已知函数 f ( x ) ? (1)求 f (x) 的单调区间; (2)证明:当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? x 2 )时, x1 ? x2 ? 0 40.(山东文 21)已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? ln x ( a, b ? R ) (1)设 a ? 0 ,求 f (x) 的单调性; (2)设 a ? 0 ,且对任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) ,试比较 ln a 与 ? 2b 的大小

2 3

1 n

1? x x e 1? x2

? x 3 ? (a ? 5) x, ( x ? 0) ? 41.(天津文 20)设 a ? [?2,0] ,已知函数 f ( x) ? ? a?3 2 3 x ? ax, ( x ? 0) ?x ? 2 ?
(1)证明: f (x) 在区间 (?1,1) 内单调递减,在区间 (1,??) 内单调递增 (2)设曲线 y ? f (x) 在点 Pi ( xi , f ( xi )) (i ? 1,2,3) 处的切线互相平行,且 x1 x2 x3 ? 0 ,证 明: x1 ? x 2 ? x 3 ?

1 3
x

42.(陕西理 21)已知函数 f ( x) ? e , x ? R (4) 若直线 y ? kx ? 1 与 f (x) 的反函数的图像相切,求实数 k 的值;
2 (5) 设 x ? 0 ,讨论曲线 y ? f (x) 与曲线 y ? mx ( m ? 0 )的公共点个数;

f ( a ) ? f (b ) f (b ) ? f ( a ) 与 的大小,并说明理由。 2 b?a ln x 43.(北京理 18)设 L 为曲线 C : y ? 在点 (1,0) 处的切线。 x (1)求 L 的方程;
(6) 设 a ? b ,比较 (2)证明:除切点 (1,0) 之外,曲线 C 在直线 L 下方。 44.(辽宁理 21)已知函数 f ( x) ? (1 ? x)e 时,
?2 x

x3 ? 1 ? 2 x cos x ,当 x ? [0,1] , g ( x) ? ax ? 2

(1)求证: 1 ? x ? f ( x ) ?

1 ; x ?1

(2)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围。 六.切线的方程 45.(浙江理 22)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 3ax ? 3a ? 3. 求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; 46.(浙江文 21)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 3(a ? 1) x ? 6ax (1)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程 47.(北京理 18)设 L 为曲线 C : y ? (1)求 L 的方程;

ln x 在点 (1,0) 处的切线。 x


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