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高三理科数学一轮复习8:统计与概率—二项式定理


高三理科数学一轮复习 8:统计与概率—二项式定理
2 1?n 1.已知? ( ) ?x +x? 的二项展开式的各项系数和为 32,则二项展开式中 x 的系数为 A.5 B.10 C.20 D.40 2.若(x+1)5=a5(x-1)5+…+a1(x-1)+a0,则 a1 的值为 ( ) A.80 B.40 C.20 D.10 1 24 3.在( x+ ) 的展开式中,x 的幂指数为整数的项共有 ( ) 3 x A.3 项 B .4 项 C .5 项 D.6 项 1 n 4.设(5x- ) 的展开式中各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M-N=240,则展开式中 x x 的系数为 ( ) A.-150 B.150 C.300 D.-300 1 3 5.二项式?2x - ?7 的展开式中常数项是 ( ) x? ? A.-14 B.14 C.-42 D.42

3 6.在(3 x-2 x)11 的展开式中任取一项,设所取项为有理项的概率为 α,则?1xαdx=

1 6 8 12 A. B. C. D. 6 7 9 5 7.若(1+ 2)5=a+b 2(a,b 为有理数) ,则 a+b= ( ) A.45 B.55 C.70 D.80 8.已知 xy<0,且 x+y=1,而(x+y)9 按 x 的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,那么 x 的取 值范围是 ( ) 1 4 4 ? ? ? A.? B.? C. (1,+∞) D.? ?-∞,5? ?5,+∞? ?-∞,-5? 9. 设 a、 b、 m 为整数 (m>0) , 若 a 和 b 被 m 除得的余数相同, 则称 a 和 b 对模 m 同余, 记为 a≡b (modm) . 已 1 2 3 2 20 19 知 a=1+C20+C20· 2+C20· 2 +…+C20· 2 ,b≡a(mod10) ,则 b 的值可以是 ( ) A.2011 B.2010 C.2008 D.2006 3 10.已知 a、b 为常数,b>a>0,且 a、- 、b 成等比数列, (a+bx)6 的展开式中所有项的系数和为 64, 2 则 a 等于 ( ) 1 1 3 A.- B. C.-1 D. 2 2 2 2 4 11. (x- ) 的展开展式中的常数项为________. (用数字作答) x
2 a?6 6 12.已知? ?x +x? 展开式中 x 项的系数为 60,其中 a 是小于零的常数,则展开式中各项的系数之和是

?0





________. 13.若(2x+3)3=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a3(x+2)3,则 a0+a1+2a2+3a3=________. 1 14.若(2x2- 3)n 的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于________. x 1 ?n 1 1 1 -4 * 15.将? ?1-x2? (n∈N )的展开式中 x 的系数记为 an,则a2+a3+…+a2010=________.

?6 1 ?n 16.二项式? x+ ? 展开式中,前三项系数依次组成等差数列,则展开式中系数最大的项为________. 2 x? ?
a1 a2 a2011 17.设(1-2x)2011=a0+a1x+a2x2+…+a2011x2011(x∈R) ,则 + 2+…+ 2011=________. 2 2 2

高三理科数学一轮复习 8:统计与概率—二项式定理
一、选择题
2 1?n 1. (2010· 延边州质检)已知? ?x +x? 的二项展开式的各项系数和为 32,则二项展开式中 x 的系数为



) A.5 C.20 [答案] B
2 5-r ?1?r r 10-3r [解析] 令 x=1 得,2n=32,∴n=5,Tr+1=Cr · , 5(x ) ? x? =C5x

B.10 D.40

令 10-3r=1 得,r=3,∴x 的系数为 C3 5=10. 2. (2010· 浙江嘉兴质检)若(x+1)5=a5(x-1)5+…+a1(x-1)+a0,则 a1 的值为( A.80 C.20 [答案] A
4 [解析] 由于 x+1=x-1+2,因此(x+1)5=[(x-1)+2]5,故展开式中 x-1 的系数为 C4 52 =80.



B.40 D.10

3. (2010· 浙江金华十校联考)在( x+ A.3 项 B .4 项

1 3 x

)24 的展开式中,x 的幂指数为整数的项共有(



C.5 项 [答案] C

D.6 项

? 1 ?r r 12-5r 24-r [解析] 展开式第 r+1 项 Tr+1=Cr · x 6, ? 3 ? =C24· 24( x) ? x?
5r ∵12- 为整数,0≤r≤24 且 r∈N, 6 ∴r=0,6,12,18,24,故选 C. 4.设(5x- x 的系数为( A.-150 C.300 [答案] B [解析] 令 x=1,得 M=4n,又 N=2n,故 4n-2n=240.解得 n=4.展开式中的通项为 Tr+1=Cr 4(5x)
4-r

1 n ) 的展开式中各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M-N=240,则展开式中 x ) B.150 D.-300

(-

3 1 r 3 4-r 4- 2 ) =(-1)rCr x 2r,令 4- r=1 得 r=2,∴当 r=2 时,展开式中 x 的系数为 C2 45 45 =150.故 2 x

选 B.
3 5. (2010· 胶州三中)二项式?2x -

?

1 ?7 的展开式中常数项是( x?



A.-14 C.-42 [答案] B

B.14 D.42

- ? - [解析] 展开式的第 r+1 项为 Tr+1=Cr (2x3)7 r· 7·

?

7r 1 ?r - - =(-1)r· 27 r· Cr x21 2 , 7· x?

7 令 21- r=0 得 r=6, 2
6 ∴常数项为 T7=(-1)6×27 6×C7 =14.


3 6.在(3 x-2 x)11 的展开式中任取一项,设所取项为有理项的概率为 α,则?1xαdx=

?0

( 1 A. 6 8 C. 9 [答案] B [解析] 因为展开式一共 12 项, 3 - 其通项公式为 Tr+1=Cr (3 x)11 r· (-2 x)r 11· =Cr 311 r· (-2)r· x 11·




6 B. 7 12 D. 5

33-r 6

,r=0,1,…,11.

其中只有第 4 项和第 10 项是有理项,

2 1 故概率 α= = , 12 6
1 6 7 6 ∴?1x6dx= x6|1 = . 7 0 7 ? 0

7. (09· 北京)若(1+ 2)5=a+b 2(a,b 为有理数) ,则 a+b=( A.45 C.70 [答案] C [解析] 由二项式定理得 B.55 D.80



1 2 3 4 5 (1+ 2)5=1+C5 · 2+C5 · ( 2)2+C5 · ( 2)3+C5 · ( 2)4+C5 · ( 2)5

=1+5 2+20+20 2+20+4 2 =41+29 2, ∴a=41,b=29,a+b=70.故选 C. 8.已知 xy<0,且 x+y=1,而(x+y)9 按 x 的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,那么 x 的取值范围是( 1? A.? ?-∞,5? C. (1,+∞) [答案] B
8 2 7 2 [解析] 由题设条件知,C1 9x y≤C9x y ,

) 4 ? B.? ?5,+∞? 4? D.? ?-∞,-5?

∵xy<0,∴x≥4y, 4 ∵x+y=1,∴x≥4(1-x) ,∴x≥ . 5 9. (2010· 福建省诏安一中、长泰一中、龙海二中、平和一中、南靖一中五校联考)设 a、b、m 为整 数(m>0) ,若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余,记为 a≡b(modm) .已知 a=1+
1 3 20 19 C20 +C2 2+C20 · 22+…+C20 · 2 ,b≡a(mod10) ,则 b 的值可以是( 20·



A.2011 C.2008 [答案] A

B.2010 D.2006

2 2 3 19 20 [解析] ∵1+C1 20+2C20+2 C20+…+2 C20

1 2 2 20 20 = (2+2C1 20+2 C20+…+2 C20) 2 1 1 1 2 2 20 20 = C0 + (C0 20+2C20+2 C20+…+2 C20) 2 20 2 = 320+1 910+1 (10-1)10+1 = = 2 2 2

10 1 9 9 C0 1010 -C1010 +…-C10×10+2 = 2 0 7 8 =1+10×5(C10 108-C1 1010 +…+C10-1)

∴a 被 10 除的余数为 1. 又 b=a(mod10) ,因此 b 的值应被 10 除余 1,故选 A. 10.已知 a、b 为常数,b>a>0,且 a、- 64,则 a 等于( 1 A.- 2 C.-1 [答案] B [解析] 由 a、- 3 3 、b 成等比数列得 ab= , 2 4 ) 1 B. 2 3 D. 2 3 、b 成等比数列, (a+bx)6 的展开式中所有项的系数和为 2

由(a+bx)6 展开式中所有项的系数和为 64 得 (a+b)6=64,

? ? 3 ∴?ab=4 ?(a+b) =64 ?
6

b>a>0

?4a>a>0 ,∴? 3 ?a+4a=2

3

1 ,∴a= . 2

二、填空题 2 11. (2010· 四川文,13) (x- )4 的展开展式中的常数项为________. (用数字作答) x [答案] 24 [解析] 设展开式中第 r+1 项是常数项, 2 4-r r 4-2r ∵Tr+1=Cr (- )r=Cr , 4x 4(-2) x x ∴4-2r=0.∴r=2,
2 ∴Tr+1=C2 4(-2) =24.

a?6 2 6 12. (2010· 重庆中学)已知? ?x +x? 展开式中 x 项的系数为 60,其中 a 是小于零的常数,则展开式中 各项的系数之和是________. [答案] 1
2 a?6 [解析] ? ?x +x? 展开式中的第 r+1 项 2 6-r ?a?r r r 12-3r Tr+1=Cr · , 6(x ) ?x? =a C6x

令 12-3r=6 得,r=2,
2 ∴a2C2 6=60,∴a =4.

∵a<0,∴a=-2, -2 令 x=1 得展开式各项系数之和为?1+ ?6=1. 1 ? ? 13.若(2x+3)3=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a3(x+2)3,则 a0+a1+2a2+3a3=________.

[答案] 5 [解析] 法 1:令 x=-2 得 a0=-1. 令 x=0 得 27=a0+2a1+4a2+8a3. 因此 a1+2a2+4a3=14.
3 0 ∵C0 3 =a3· x3. 3(2x) ·

∴a3=8. ∴a1+2a2+3a3=14-a3=6. ∴a0+a1+2a2+3a3=-1+6=5. 法 2:由于 2x+3=2(x+2)-1,故(2x+3)3=[2(x+2)-1]3
2 2 =8(x+2)3-4C1 3(x+2) +2C3(x+2)-1,

故 a3=8,a2=-12,a1=6,a0=-1. 故 a0+a1+2a2+3a3=-1+6-24+24=5. 1 14. (2010· 广西柳州铁一中高考冲刺)若(2x2- 3)n 的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于 x ________. [答案] 5 1 2n - 2 n-r 2n-5r [解析] Tr+1=Cr · (- 3)r=(-1)r· 2n r· Cr ,令 2n-5r=0,得 r= , n(2x ) nx x 5 ∵r∈Z,故最小的自然数 n=5. 1 ?n 1 1 1 -4 * 15. (2010· 聊城市模拟)将? ?1-x2? (n∈N )的展开式中 x 的系数记为 an,则a2+a3+…+a2010= ________. [答案] 2009 1005

? 1 ?r [解析] 第 r+1 项 Tr+1=Cr n·-x2 ? ?
=(-1)rCr nx
-2r

,令-2r=-4,∴r=2,

n(n-1) ∴an=(-1)2C2 , n= 2 1 ?? 1 1 1 2 2 2 ? 1? ?1 1? ? 1 ∴ + +…+ = + +…+ =2×? ??1-2?+?2-3?+…+?2009-2010?? a2 a3 a2010 1×2 2×3 2009×2010 1 ? 2009 =2×? ?1-2010?=1005.

?6 1 ?n 16. (2010· 东营质检)二项式? x+ ? 展开式中,前三项系数依次组成等差数列,则展开式中系数 2 x? ?
最大的项为________. [答案] 7 和 7x


2 3

1 ? 1 ?2 1 1 6 6 6 - ? - 0 1 0 [解析] T1=Cn ( x)n,T2=Cn ( x)n 1· ,T =C2( x)n 2? ,由条件知,2× Cn =Cn + 2 ?2 x? 3 n ?2 x?

2 ?1?2· ?2? Cn,∵n≥2,∴n=8,

1 ?r 6 8-r ? 展开式的第 r+1 项 Tr+1=Cr · 8( x) ?2 x? 1?r r 4-2r =? x 3 , ?2? C8·

? ? ? ?? ?2? C ≥?2? 由题意得? 1? ?1? ?? ?2? C ≥?2?
r r 8 r 8 r

1

1

r-1

r C8

-1

r+1

r C8

+1

解得 2≤r≤3,∵r∈Z,∴r=2 或 3,
2 2 1?2 2 0 - - ?1?3C3 ∴系数最大的项为 T3=? C x = 7 和 T = x = 7 x 8 4 8 3 3, ?2? ?2?

∴展开式中系数最大的项为 7 和 7x 3. a1 a2 a2011 17. (2010· 南平一中)设(1-2x)2011=a0+a1x+a2x2+…+a2011x2011(x∈R) ,则 + 2+…+ 2011= 2 2 2 ________. [答案] -1 ak C2011(-2) k k 2011-k * [解析] 由题意可得:ak=Ck =(-1)kCk , 2011(-2) ,则 k= 2011,∵C2011=C2011 (k∈N ) 2 2k ak a2011-k a1 a2010 a2 a2009 a3 a2008 k 2011-k ∴ k+ 2011-k=Ck ]=0,则 1+ 2010=0, 2+ 2009=0, + 2008=0,…, 2011[(-1) +(-1) 2 2 2 2 2 2 a2 2 又
2011 2011 a2011 C2011(-2) =-1,∴原式=-1. 2011= 2011 2 2 k k



2

1 1 a1 a2 a2011 [点评] 观察待求式可以发现将已知等式右边的 x 换为 可得, 因此可令 x= 得, a0+ + 2+…+ 2011 2 2 2 2 2 a1 a2 a2011 =0,只要求出 a0 即可,不难发现已知等式中,当 x=0 时,有 a0=1,∴ + 2…+ 2011=-1. 2 2 2 三、解答题 1?x * 18. (2010· 哈三中)已知函数 fn(x)=? . ?1+n? (n∈N ) 1 比较 f ′n(0)与 的大小. n 1?x ? 1? [解析] f ′n(x)=? ?1+n? ln?1+n? 1? 则 f ′n(0)=ln? ?1+n?, 设函数 φ(x)=ln(1+x)-x,x∈(0,1] 则 φ′(x)= -x 1 -1= <0,即 φ(x)单调递减, 1+x 1+x

∴φ(x)<φ(0)=0,∴ln(1+x)<x 1? 1 1 则 ln? ?1+n?<n,即 f ′n(0)<n.


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