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江西省南昌二中高三数学理科第三轮复习模拟考试卷三 人教版


2006 届江西省南昌二中高三数学理科第三轮复习模拟考试卷三
选择题(每小题 5 分,12 个小题共 60 分) 一. 选择题 1.已知 U = x ∈ N x < 8 , A = x ∈ Z 1 ≤ x ≤ 6 , B = y y = 4 + sin

{

}

{

}



πx

, x ∈ A ,那么 2

(CU A)(CU B) = (

1 A. { ,2,6,7}

B. {0,1,2,6,7}

)

C. {0,1,2,3,6,7}

D. {0,3,4,5,7} 则

2. 设 x ∈ C ,且 (2 x 2 + 4 x + 3) 6 = a 0 + a1 ( x + 1) 2 + a 2 ( x + 1) 4 + + a 6 ( x + 1)12 ,

a 0 + a 2 + a 4 + a 6 的值为
A.

(

)

36 1 2

B.

36 + 1 2

C.

36 + 2 2

D.

36 2 2

3.设 a , b, c 是三角形 ABC 的三边长,点 G 是三角形 ABC 的重心,且 a GA + b GB + c GC = 0 ,则 三角形 ABC 的形状是 ( ) A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D.等边三角形 ( )

4.若 y = f (x ) 是最小正周期为 1 的偶函数,则函数 y = 2 f ( 2 x + 1 ) 是 A.最小正周期为 2 的偶函数 C.最小正周期为 B.最小正周期为 D.非周期函数

1 的偶函数 2

1 的非奇非偶函数 2
)

5.函数 y=x+cosx 的大致图象是( y y

y

y



2
A

x



2
B

x



2
C

x



2
D

x

6.有一块直角三角板 ABC,∠A=30°,∠C=90°,BC 边在桌面上,当三角板所在平面与桌面成 45°角时,AB 边与桌面所成的角等于( ) A.

π
6

B.

π
4

C.

arccos

10 10

D. arcsin

6 4
)

7.已知 sin

α
2

cos

α
2

=

10 1 π ,α ∈ ,π , tan(π β ) = .则 tan(α 2 β ) 的值为( 2 5 2
用心 爱心 专心 123 号编辑 1

A.

7 24

B.

7 25

C.

13 24

D.

13 25

8. 设椭圆

x2 m2

+

y2 n2

= 1 ,双曲线

x2 y2 2 = 1 ,抛物线 y 2 = 2(m + n) x , (其中 m > n > 0 ) 2 m n
) C. e1e2 = e3 D. e1e2与e3 大小不确定

的离心率分别为 e1 , e2 , e3 ,则 ( A. e1e2 > e3 B. e1e2 < e3

9.一个球的内接正四棱柱的侧面积与上下两底面积之比为 4 : 1 , 体积为 4 2 ,则这个球的表 面积 ( ) A. 12 B. 12 π C. 3 3 π D. 12 3 π

2 2 2 10.抛物线 y =2px (p>0) 经过圆 x +y -2xcosθ-2ysinθ=0 (0 < θ <

π
2

) 的圆心,则当圆

被两坐标轴截得的两弓形面积之和最小时的抛物线方程 为 A.y2=x B.y2=2x C.y2=

(

) D.y2=

2 x 2

2 x 4

11.已知甲,乙两盒乒乓球, 各装乒乓球 10 个.某人从两个盒子中随机地取球,每次取一个.则 . . 当甲盒中的乒乓球恰好取完而乙盒中正好剩下 5 个乒球的概率为 A.
5 C10 15 C 20

(

)
5 D. C 14 (

B.

5 A15 15 A20

5 C. C 15 (

1 15 ) 2

1 15 ) 2

12.有两个同心圆,在外圆上有相异的 6 个点,内圆上有相异的 3 个点,由这 9 个点所确定的直 线最少可有 ( ) A.3 条 B.15 条 C.21 条 D.36 条 填空题(每小题 4 分,4 个小题共 16 分) 二. 填空题 13.设函数 f (x ) 的图象关于点 A(0,1) 对称,且存在反函数 f 则f
1 1

( x) .已知 f (1) = 0 ,

( 2) =

.

14. (理) 已知数列 {an } 是由正整数组成的数列,a1 = 4 , 且满足 lg a n = lg a n 1 + lg b , 其中 b > 3 ,

lim n ≥ 2 ,且 n ∈ N ,则 n →∞


3n 1 an = 3n 1 + an
0 1 2

15.设随机变量ξ的概率分布如表所示: ξ P

1 2

1 3

1 6

则函数 F(x)=P(ξ≤x),x∈R.的表达式为 F(x)= 16.已知 f ( x) = ln

1 sin x , 则区间 (0,2π ) 上满足 f ′( x) > 2 的 x 的值的集合为 1 + sin x
用心 爱心 专心 123 号编辑 2

三.解答题(第 17,18,19,20,21 小题每小题 12 分, 第 22 小题 14 分,6 个小题共 74 分) 解答题

17.设向量 a = (1, cos 2θ ), b = (2,1), c = ( 4 sin θ ,1), d = ( sin θ ,1) ,其中 θ ∈ (0, (1)若函数 f ( x) = x 1 , 比较 f (a b) 与 f (c d ) 的大小. (2)设函数 g (θ ) = a b t c d 10 cosθ

1 2

π
4

).

(t > 0) 有最小值

43 ,求 t 的值. 6

18.从一批有 5 个合格品与 3 个次品的产品中,一件一件地抽取产品,设各个产品被抽到的可能性 相同. 甲从中抽取一件产品, 每次抽取的产品都立即放回到这批产品中,直到取出的是合格品 为止.乙从中抽取一件产品,每次抽取出一件产品后,总将一件合格品放入这批产品中, 直到 (1) 分别求出随机变量 ξ , η 的分布列; 取出的是合格品为止. 甲取球的次数记为 ξ ,乙取球的次数记为η .

(2) 试比较甲,乙两人取球的平均次数的大小.

19.已知三棱柱 ABC A1 B1C1 中,顶点 A1 在下底面 ABC 上的射影是 ABC 的重心 O,G 是

A1C1C 的重心. 又 ∠A1 AB = 60 0 , ∠BAC = 90 0 , AB = AC = 3 2 . (1) 求证:GO//平面 B1 BCC1
(2) 求平面 GAO 与底面 ABC 所成锐二面角的大小.

C1

A1

G

B1

C O A B

20. 已知二次函数 f ( x) = x + ax + b(a, b ∈ R),
2

1 (1)若方程 f(x)=0 有两实根,且两实根是相邻的两个整数,求证: f ( a ) = ( a 2 1); 4
(2)若方程 f(x)=0 有两个非整数实根,且这两实根在相邻两个整数之间,试证明存在整数

k,使得 | f (k ) |≤

1 ; 4

21.设函数 y = f ( x ) 的定义域为 R,当 x < 0 时, f ( x ) > 1 ,且对任意的实数 x, y ∈ R,

f ( x + y ) = f ( x) f ( y ) 成立.数列 {a n } 满足 a1 = f (0) ,且 f (a n +1 ) =
(1)求 a 2006 的值;

1 (n ∈ N + ) . f ( 2 a n )

用心 爱心 专心

123 号编辑

3

(2)若不等式 (1 +

1 1 1 )(1 + )(1 + ) ≥ k 2n + 1 对一切 n∈ N + 均成立,求 k 的最大值. a1 a2 an

22.如图,巳知圆 C: x + ( y 2) = 1 与 y 轴交于 A, 两点, 抛物线 E 的方程为 y = x .过圆 B
2 2 2

C 上一动点 P 作抛物线 E 的两条切线, 切点分别为 M,N. (1)求直线 MN 的方程(用动点 P 的坐标表示); (2)直线 MN 能否过抛物线 E 的焦点 F?若能过抛物线 E 的焦点, 求出这时点 P 的坐标; 若不能 过抛物线 E 的焦点, 请证明你的结论; (3)求点 P 到直线 MN 的距离的最小值. y B C P O M A N x

y = x2

用心 爱心 专心

123 号编辑

4

[参考答案] 参考答案] 一. 选择题 1B 2B 3D 4B 5B 6D 15.F(x)= 1
0 x<0 0≤ x <1

7A

8B

9B

10C 11D

12C 二.填空题

13.1.

14.

1

16. (

π 2π
2 , 3

)∪(

2 5 1≤ x < 2 6 1 x ≥ 2

4π 3π , ) 3 2

提示:

f ′( x ) =

1 cos x

三.解答题 17. 解: (1)∵ a b ∴ a b c d ∵

= 2 + cos 2θ,c d = 2sin 2 θ + 1 = 2 cos 2θ
,

= 2 cos 2θ , f ( a b) =| 2 + cos 2θ 1|=|1 + cos 2θ |= 2 cos 2 θ
2

f (c d ) =| 2 cos 2θ 1|=|1 cos 2θ |= 2sin θ
∴ ∵0 <θ ∴

, ,

f ( a b) f (c d ) = 2(cos 2 θ sin 2 θ ) = 2 cos 2θ

4 f ( a b ) > f (c d ) .

<

π

,∴ 0 <

2θ <

π

2

,∴ 2cos 2θ

> 0,

(2) g (θ )

= 2 + cos 2θ t ( 2 cos 2θ ) 10 cos θ = (t + 2) cos 2θ 10 cos θ 2t + 2 5 25 = 2(t + 2) cos 2 θ 10 cos θ 3t = 2(t + 2)[cos θ ]2 3t 2(t + 2) 2(t + 2)

∵θ

π 2 ∈ (0, ) ∴ < cos θ < 1 ∴ 4 2




5 2 ∈ ( ∞, ] ∪ [1,+∞) 时, g (θ ) 2(t + 2) 2

无最值,

2 5 5 2 < < 1 时, 即 0 < t < 2 时, 2 2 2(t + 2) 25 43 5 3t = g (θ ) 时 , g (θ )min = 且 当 cos θ = 2(t + 2) 2(t + 2) 6 11 t=1(t=舍去) 18
∵ t > 0, ∴

.

18t 2 7t 11 = 0

解得

18.解:(1) ξ~g ( k ,

5 ), 8



ξ 的分布列为

ξ
p

1

2

3

4

…… ……

5 8

3 5 ( )1 × 8 8

3 5 ( )2 × 8 8

3 5 ( )3 × 8 8

5 3 6 9 , , p (η = 2) = × = 8 8 8 32 3 2 7 21 3 2 1 8 3 . p (η = 3) = × × = p (η = 4) = × × × = 8 8 8 256 8 8 8 8 256 ∴ η 的分布列为: p (η = 1) =
用心 爱心 专心 123 号编辑 5

ξ
p

1

2

3

4

21 256 8 2048 5 9 21 3 379 1875 (2) Eξ = , Eη = 1 × + 2 × = + 3× + 4× = = 5 1280 8 32 256 256 256 1280

5 8

9 32

3 256

∴ Eξ

> Eη ,即甲取球的平均次数大于乙取球的平均次数.

19.解:(1) 连结 AO 并延长交 BC 于点 E, 因为 O ABC 的重心, 所以 E 为 BC 的中点, 连结 EC1 , 连结 AC1 , 因为 A1C1C 的重心, 所以 G 在 AC1 上, 易知

AG AC1 2 = = ,所以 OG//EC AO AE 3

1

, 又 OG

平面

B1 BCC1 , EC1 平面 B1 BCC1 .故 GO//平面 B1 BCC1
(2) 显然平面 GAO 就是平回 C1AE, 连结 A1O, 由已知 A1O 过 C1 作 C1H ⊥ 底面 ABC,H 为垂足, 又过 H 作 HK

⊥ 底面 ABC,
C1

⊥ AE ,垂足为 K,

连结 C1K,∴ ∠C1 KH 为所求二面角的二面角的平面角. 过 O 作 OP

A1

G

⊥ AB ,垂足为 P,

在等腰 RtABC 中,

B1 H E K B

∠BAC = 90 0 , AB = AC = 3 2 .
AO=

C O A P

2 2 AE = × 3 = 2 , AP = 2 , 3 3

又∵ ∠A1 AB

= 60 ∴ RtA1 PA 中,
0

A1 A = 2 2 .在 RtA1OA 中,
连结 HO, 显然 OH//AC,

可求得 A1O

=

A1 A 2 AO 2 = 2

且 OH=AC= 3

2 , ∠HOK = 45 0
C1 H A1O 2 = = , HK HK 3
2 . 3

∴ HK = OH sin 450 = 3,∴ tan ∠C1 KH =
∴ ∠C1 KH = arctan 2 .因此, 3

所求二面角的大小为 arctan

20.(1)证明 设方程 f(x)=0 两个实根分别为 t , t
2

+ 1(t ∈ Z ) ,

a 4b > 0 1 2 1 2 则由题意有 t + (t + 1) = a b = ( a 1) f ( a ) = ( a 1). 4 4 t (t + 1) = b (2)证明 设方程 f(x)=0 两个实根分别为 α , β , m < α , 且β < m + 1( m ∈ Z ) , 2 则有 f ( x) = x + ax + b = 0 = ( x α )( x β ), ∴| f (m) | | f (m + 1) |=| (m α )(m β ) | | (m + 1 α )(m + 1 β ) | α m + m +1α 2 β m + m +1 β 2 1 2 ≤( )( ) =( ) 2 2 4
用心 爱心 专心 123 号编辑 6

所以必有

| f ( m) |≤

1 1 或 | f ( m + 1) |≤ , 4 4

故 在 所 给 条 件 下 存 在 整 数 k=m 或 m+1, 使 得

1 | f (k ) |≤ . 4
21.解:(1)令 x 当x

= 1 , y = 0 ,得 f ( 1) = f ( 1) f (0) , f (0) = 1 ,故 a1 = f (0) = 1 .

> 0 时, x < 0 , f (0) = f ( x ) f ( x ) = 1 ,进而得 0 < f ( x ) < 1 .
< x2 ,

设 x1 , x2 ∈ R,且 x1 则 x2

x1 > 0 , f ( x2 x1 ) < 1 , f ( x1 ) f ( x2 ) = f ( x1 ) f ( x1 + x2 x1 )

= f ( x1 )[1 f ( x2 x1 )] > 0 .


f ( x1 ) > f ( x2 ) ,函数 y = f ( x ) 在 R 上是单调递减函数.
f ( an +1 ) = 1 f ( 2 an ) ,得 f ( an +1 ) f ( 2 an ) = 1 .

由 故

f ( an +1 an 2) = f (0) , an +1 an 2 = 0 , an +1 an = 2 ( n∈ N) = 2n 1 , ∴ a 2006 = 4011

因此, {an } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列.由此得 an

(1 +
(2) 由

1 1 1 )(1 + ) (1 + ) ≥ k 2n + 1 a1 a2 an 恒成立,

(1 +


k≤

1 1 1 )(1 + ) (1 + ) a1 a2 an 2n + 1 (1 +
恒成立.



F ( n) =

1 1 1 )(1 + ) (1 + ) a1 a2 an 2n + 1
,则 F ( n )

> 0,

(1 +


F (n + 1) =
F (n + 1) = F (n)

1 1 1 )(1 + ) (1 + ) a1 a2 an +1 2n + 3
2n + 1 4(n + 1) 2 1 >1
,即 .



F ( n + 1) > F ( n)

,故

F (n)

为关于

n

的单调增函

数,

F (n) ≥ F (1) =

2 2 2 3 k≤ 3 3 .所以, ,即 k 的最大值为 3 . 3 3

22. (1)解: 由巳知可设点 P 的坐标为 (cos θ , 2 + sin θ ) 用心 爱心 专心

(0 ≤ θ < 2π )
123 号编辑 7

设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,

y ′ = 2 x

∴ 过 M 点切线方程为 y y1 = 2 x1 ( x x1 )


y y1 = 2 x1 x + 2 x1 y y1 = 2 x1 x 2 y1 2 x1 x + y + y1 = 0
2

因为点 P 在切线上, 所以 2 x1 cos θ 即 2 x1 cos θ 可见点 M,N 在直线

+ 2 + sin θ + y1 = 0
同理

+ y1 + 2 + sin θ = 0

2 x 2 cosθ + y 2 + 2 + sin θ = 0

2 x cosθ + y + 2 + sin θ = 0 上

∴ 直线 MN 的方程为 2 x cosθ + y + 2 + sin θ = 0 .
(2) 若直线 MN 能过抛物线 E 的焦点,∵ 抛物线 E 的焦点 F (0,

1 ) 4

∴ + 2 + sin θ = 0 sin θ = < 1 ,矛盾.
(3) 先求圆心 C(0,2) 到直线 MN 的距离的最小值. 圆心 C(0,2) 到直线 MN 的距离 d (θ )

1 4

7 4

故直线 MN 不能过抛物线 E 的焦点.

=

2 + 2 + sin θ 4 cos θ + 1
2

=

4 + sin θ 4 cos 2 θ + 1

.

令 sin θ

= t ,1 ≤ t ≤ 1 .那么 f (t ) = d (θ ) =

4+t 5 4t 2
函数

, (1 ≤ t ≤ 1).



f ′(t ) =

16t + 5 (5 4t )
2 3 2

=0t =

5 . 16

f (t ) 的值的变化情况见下表: 5 ) 16 5 16
0
极小

t

[-1,-



(

5 ,1] 16
+

f ′(t ) f (t )








f (t )

最小

=

f (t )

极小

=

f (

5 295 )= 16 10

. 即当 sin θ

=

5 295 时, d (θ ) min = 16 10
.

.



sin θ =

5 时, 16

点 P 到直线 MN 的距离的最小值是

295 1 10

用心 爱心 专心

123 号编辑

8


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