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创新设计2016


第二章 2.2 用样本估计总体

2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布

学习 目标

1.理解用样本的频率分布估计总体分布的方法. 2.会列频率分布表,画频率分布直方图、频率分布折线图、茎 叶图. 3.能够利用图形解决实际问题.

栏目 索引

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知识梳理

自主学习

知识点一

频率分布表与频率分布直方图

1.用样本估计总体的两种情况 (1)用样本的频率分布估计总体的分布. (2)用样本的数字特征 估计总体的数字特征. 2.作频率分布直方图的步骤 (1)求极差:即一组数据中最大值 和 最小值 的差; (2)决定组距与组数:将数据分组时,组数应力求合适,以使数据的分

布规律能较清楚地呈现出来.这时应注意:①一般样本容量越大,所分
组数 越多 ;②为方便起见,组距的选择应力求“取整”;③当样本容

量不超过100时,按照数据的多少,通常分成 5~12 组.
答案

(3)将数据分组:按组距将数据分组,分组时,各组均为左闭右开区间,
最后一组是闭区间.

(4)列频率分布表:一般分四列:分组、频数累计、频数、频率,最后一
行是合计.其中频数合计应是样本容量,频率合计是 1 .

(5)画频率分布直方图:画图时,应以横轴表示分组,纵轴表示 频率/组
距 .其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积.
频率 即每个小长方形的面积=组距× =频率. 组距

答案

思考 答

为什么要对样本数据进行分组? 不分组很难看出样本中的数字所包含的信息,分组后,计算出频

率,从而估计总体的分布特征.

答案

知识点二

频率分布折线图与总体密度曲线

1.频率分布折线图
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线

图,如图所示.

2.总体密度曲线

一般地,当总体中的个体数较多时,抽样时样本容量就不能太小.随着
样本容量的增加,作图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率折

线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密
度曲线,如图所示.

知识点三

茎叶图

1.定义:顾名思义,茎是指中间的一列数,叶就是从茎的旁边生长出来
的数.中间的数字表示十位数,旁边的数字表示个位数.

2.几种表示频率分布的方法的优点与不足:
优点 频率分布 表 频率分布 直方图 表示数量较确切 表示数据分布情况非常直观 不方便 原有的具体数据信息被抹 掉了
答案

不足 分析数据分布的总体趋势

频率分布 折线图

能反映数据的变化趋势 一是所有的信息都可以从这

不能显示原有数据的信息

茎叶图

个茎叶图中得到;二是茎叶 样本数据较多或数据位数较 图便于记录和表示,能够展 多时,不方便表示数据 示数据的分布情况

返回

题型探究

重点突破

题型一 例1

频率分布直方图的绘制

为了了解一大片经济林的生长情况,人们随机测量其中的100株 102 110 99 121 110 96 100 103 125 97 117 113 129 126 97 100 115

树木的底部周长(单位:cm),得到如下数据: 135 98 110 92 102 109 104 112 111 106 117 104 109 101 95 107 101 105 124 87 131 97 102 123 104 104 128 111 89 110 121 80 120 121 104 108 118 99 101 116 97 102 108 123

109 123 111 103 105 92 114 108 104 102 129 99 90 99 121 123 107 111 91 100 119 98 121 101 113 102 103 104 108

102 108 117 99 118 106 119 97 126 108

(1)列出频率分布表;

解析答案

(2)绘制频率分布直方图、频率分布折线图. 解 画频率分布直方图、频率分布折线图如图所示.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练1

美国历届总统中,就任时年纪最小的是罗斯福,他于1901

年就任,当时年仅42岁;就任时年纪最大的是里根,他于1981年就任,
当时69岁.下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马,共44

任)给出了历届美国总统就任时的年龄:
57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,5

4,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48
(1)将数据进行适当的分组,并画出相应的频率分布直方图和频率分布

折线图;

解析答案

(2)用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况.
解 从频率分布表中可以看出 60% 左右的美国总统就任时的年龄在

50岁至60 岁之间, 45岁以下以及 65岁以上就任的总统所占的比例相 对较小.

解析答案

题型二 频率分布直方图的应用 例2 为了了解高一年级学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分 钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示), 图中从左到右各小矩形的面积之比为 2∶4∶17∶15∶9∶3 ,第二小组 的频数为12.

(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少? 解 频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率

大小的,
4 因此第二小组的频率为 =0.08. 2+4+17+15+9+3 第二小组的频数 因为第二小组的频率= , 样本容量

第二小组的频数 12 所以样本容量= = =150. 第二小组的频率 0.08
解析答案

(2) 若次数在 110 以上 ( 含 110次 ) 为达标,则该校全体高一年级学生的达 标率约是多少?
解 由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标率约为

17+15+9+3 ×100%=88%. 2+4+17+15+9+3

反思与感悟

解析答案

跟踪训练2 内频数为8.

如图所示是总体的一个样本频率分布直方图,且在[15,18)

(1)求样本在[15,18)内的频率; (2)求样本容量; (3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06,求在[18,33)内的频数.

解析答案

题型三

茎叶图及其应用

例3 某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下: 甲的得分:95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107; 乙的得分:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101. 画出两人数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图对两人的成绩进行比较.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练3

如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力

测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15 ,乙组数据的平 均数为16.8,则x,y的值分别为( C )

A.2,5

B.5,5

C.5,8

D.8,8

解析 由于甲组数据的中位数为15=10+x,∴x=5.
9+15+?10+y?+18+24 又乙组数据的平均数为 =16.8, 5 ∴y=8,故选C.
解析答案

易错点

频率分布直方图的应用 为了解某地居民的月收入情况,一

例4

个社会调查机构调查了20 000 人,并根 据所得数据画出样本的频率分布直方图 如图所示(最后一组包含两端值,其他组 包含最小值,不包含最大值).现按月收入 分层,用分层抽样的方法在这20 000 人 中抽出200 人进一步调查,则月收入在 [1 500,2 000)(单位:元)的应抽取_____人.

分析 首先求出频率,再利用频数=样本容量×频率求解.
分析 解析答案与解后反思 返回

当堂检测

1

2

3

4

5

1. 下列关于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系的说法中,正

确的是(

)

A.频率分布折线图与总体密度曲线无关

B.频率分布折线图就是总体密度曲线
C.样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线

D.如果样本容量无限增大,分组的组距无限减小,那么频率分布折线
图就会无限接近于总体密度曲线

解析答案

1

2

3

4

5

2. 一个容量为 n 的样本,分成若干组,已知某组的频数和频率分别为 40,0.125,则n的值为( B ) A.640
解析

B.320

C.240

D.160

40 40 依题意得 =0.125,∴n= =320. 0.125 n

解析答案

1

2

3

4

5

3. 为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志 愿 者 的 舒 张 压 数 据 ( 单 位 : kPa) 的 分 组 区 间 为 [12,13) , [13,14) , [14,15) , [15,16) , [16,17] ,将其按从左到右的顺序分别编号为第一 组,第二组,?,第五组,如图是根据试验数据制成的频率分布直方 图 . 已知第一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则第 三组中有疗效的人数为( )

A.6

B.8

C.12

D.18
解析答案

1

2

3

4

5

4.已知样本 10,8,10,8,6,13,11,10,12,7,9,8,12,9,11,12,9,10,11,10 ,那么频率 为0.2的范围是( D ) A.5.5~7.5 C.9.5~11.5 解析 B.7.5~9.5 D.11.5~13.5

由题意知,共 20 个数据,频率为 0.2 ,在此范围内的数据有

20×0.2=4个, 只有在11.5~13.5范围内有4个数据:13,12,12,12,故选D.

解析答案

1

2

3

4

5

45 5. 在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的中位数分别是 ________ , 46 ________.

解析 甲组数据为:28,31,39,42,45,55,57,58,66,中位数为45.
乙组数据为:29,34,35,42,46,48,53,55,67,中位数为46.

解析答案

课堂小结 1.总体分布指的是总体取值的频率分布规律,由于总体分布不易知道, 因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布.

2. 总体的分布分两种情况:当总体中的个体取值很少时,用茎叶图估
计总体的分布;当总体中的个体取值较多时,将样本数据恰当分组,

用各组的频率分布描述总体的分布,方法是用频率分布表或频率分布
直方图.

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