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浙江省瑞安中学2012-2013学年高二下学期期末数学理试题


瑞安中学 2012 学年第二学期期末考试高二数学(理科)试卷
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1.因为无理数是无限小数,而 ? 是无理数,所以 ? 是无限小数.属于哪种推理( A.合情推理 B.类比推理 C.演绎推理 ) D. 1 ? 2i D.归纳推理 )

2.已知复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i , i 为虚数单位,则 z=( A. ?1 ? 2i B. ?1 ? 2i C. 1 ? 2i

3.若离散型随机变量 X 的分布列如下:

X
P
则 X 的方差 DX ? ( A.0.6 ) B.0.4

0
b

1 0.4

C.0.24

D.1 )

4..对任意的实数 x ,有 x3 ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2)2 ? a3 ( x ? 2)3 ,则 a2 的值是( A.3 B.6 C.9 D.21

5 .在极坐标方程中,曲线 C 的方程是 ρ=4sinθ,过点(4, )作曲线 C 的切线,则切线长为( 6 B. 7 C.2 2 D.2 3

π

) A.4

6. 正三角形的中心与三个顶点连线所成的三个张角相等,其余弦值为 ? 顶点连线所成的四个张角也相等,其余弦值为( A. ? )。

1 ,类似地正四面体的中心与四个 2

1 2

B. ?

1 3

C. ?

1 4

D. ?

1 5

7.一袋中有 5 个白球,3 个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现 10 次 时停止,设停止时共取了 ? 次球,则 P(? ? 12) 等于 ( )

3 10 5 2 A. C ( ) ( ) 8 8
10 12

? 3? ? 5? B. C ? ? ? ? ?8? ?8?
9 11

10

2
9

C. C11 ( ) ( )

5 8

9

3 8

2

D. C11 ( ) ( )

9

3 8

9

5 8

2

8.若函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ln x 在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数 k 的取值范 围是( A. ? ) B. 1 ? k ?

3 1 1 3 ?k? 或 ?k? 2 2 2 2 3 3 C. ? ? k ? 2 2

3 2

D.不存在这样的实数 k

9.如图所示的阴影部分由方格之上 3 个小方格组成我们称这样的图 案为 L 形(每次旋转 90 仍为 L 形的图案) ,那么在 4 ? 5 小方格的纸上
?

可以画出不同位置的 L 形的图案的个数 (


第1页

A.16

B.32

C.48

D.64

10. 设正实数 x, y , z 满足 x 2 ? 3xy ? 4 y 2 ? z ? 0 ,则当

xy 2 1 2 取得最大值时, ? ? 的最大值为 ( z x y z

)

A.0

B.1

C.

9 4

D.3

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.设 a 为实数,复数 z1 ? a ? 2i, z 2 ? ?1 ? ai, 若z1 ? z 2为纯虚数,则 1 z 2 ? z 12. ( x ? 2)( ? 1) 的展开式的常数项是
2 5

1 x



13.已知3 2 ?

2 2 3 3 3 4 4 m m n ?1 3 ? 23 , 3 3 ? ? 33 , 4? ? 43 ?, 3 2013? ? 2013 , 则 2 ? 14.湖面上有 7 7 26 26 63 63 n n m

四个相邻的小岛 A,B,C,D,现要建 3 座桥梁,将这 4 个 A 小岛连接起来,共有 种不同的方案. B 15.已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3)?( x ? n)(n ? 2, n ? N * ) , 其导函数为 f ?(x) ,设 g (n) ? C D

f (0) ,则 g (100) ? f ?(?2)



三.解答题(每小题 12 分,共 60 分) 16.袋子里有完全相同的 3 只红球和 4 只黑球,今从袋子里随机取球. (Ⅰ)若有放回地取 3 次,每次取一个球,求取出 2 个红球 1 个黑球的概率; (Ⅱ)若无放回地取 3 次,每次取一个球,若取出每只红球得 2 分,取出每只黑球得 1 分.求得分 ? 的分 布列和数学期望.

? x ? 2 cos? 17.已知点M (?1,0), 直线l : y ? x ? 1与曲线C : ? (?为参数) ? y ? sin ?

相交于P1 , P2 两点



(1)求 MP MP2 ; (2)求 P P2 1 1

18.设x, y, z ? R, 且x ? 2 y ? 3z ? 1 (1)当z ? 1 | x ? y | ? | y ? 1 |? 2时,求x的取值范围; , ,
第2页

(2)当x, y, z ? R ?时, 求u ?

x2 4y2 9z 2 ? ? 的最小值. x ? 1 2 y ? 1 3z ? 1

19. 已知函数 f (x) 满足: f 2 ( x)-2 f ( x) f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 0 ( x ? R ) , (1)用反证法证明: f (x) 不可能为正比例函数; (2)若 f (0) ? 4 ,求 f (1)、f (2) 的值,并用数学归纳法证明:对任意的 x ? N ,均有: 2 ? f ( x) ? 3 .
*

20. 已知 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 7 x ? mx ? (m ? 0) ,直线 l 与函数 f ( x), g ( x) 的图像都相切,且与函数 2 2

f (x) 的图像的切点的横坐标为 1.
(1)求直线 l 的方程及 m 的值; (2)若 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ?( x) (其中 g ?( x) 是 g ( x) 的导函数) ,求函数 h( x) 的最大值; (3)当 0 ? b ? a 时,求证: f (a ? b) ? f (2a) ?

b?a . 2a

高二数学(理科)答案
一、选择题:CACBC DBBCD 二.填空题 11.1+3i, 12.-12, 13.2013, 14.16, 15-9900

三.解答题 16.解: (Ⅰ)从袋子里有放回地取 3 次球,相当于做了 3 次独立重复试验,每次试验取出红球的 概率为

3 4 ,取出黑球的概率为 , 设 事 件 A ? “ 取 出 2 个 红 球 1 个 黑 球 ”, 则 7 7
第3页

3 4 9 4 108 P( A) ? C32 ( ) 2 ( ) ? 3 ? ? ? . 7 7 49 7 343

?????6 分

0 3 C3 C4 4 (Ⅱ) ? 的取值有四个:3、4、5、6,分布列为: P(? ? 3) ? , ? 3 C7 35 1 2 1 3 0 C3C4 18 C32C4 12 C3 C4 1 , P(? ? 5) ? P(? ? 4) ? 3 ? ? , P(? ? 6) ? ? . 3 3 C7 35 C7 35 C7 35

?
P
???10

3

4

5

6

4 35

18 35

12 35

1 35



从而得分 ? 的数学期望 E? ? 3 ? 17.解(1)曲线 C: ?

4 18 12 1 30 ? 4? ? 5? ? 6? ? .0??12 分 35 35 35 35 7

? x ? 2 cos? x2 ? y2 ? 1 的一般方程为: 4 ? y ? sin ?

? 2 ? 2 t t ? x ? ?1 ? x2 ? x ? ?1 ? ? 2 代入曲线 C: ? y2 ? 1, 2 把直线方程 直线 l : y ? x ? 1 的参数方程为: ? ? ? 4 ?y ? 2 t ?y ? 2 t ? ? 2 ? 2 ?
得: 5t ? 2 2t ? 6 ? 0 设 t1 , t 2 是方程的两根,则 MP MP = t1t 2 ? 1 2
2

6 …6 分 5

(2) P P2 = t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ? ( 1
18. 解: (Ⅰ)当 z ? 1 时, y ? ?1 ?

2 2 2 6 8 2 .……12 分 ) ? 4? ? 5 5 5
…2 分

x ,从而 | x ? 2 | ? | x |? 4 . 2

① 当 x ? 0 时, 2 ? x ? x ? 4 ,解得 x ? ?1 ;② 当 0 ? x ? 2 时, 2 ? x ? x ? 4 ,无解; ③ 当 x ? 2 时, x ? 2 ? x ? 4 ,解得 x ? 3 .综上,x 的取值范围是 { x | x ? ?1 或 x ? 3} …6 (Ⅱ)∵ x ? 2 y ? 3 z ? 1 , x ? 0, y ? 0, z ? 0 , ∴ 4u ? (
4y2 x2 9z 2 ? ? )[( x ? 1) ? ( 2 y ? 1) ? ( 3 z ? 1)] ? ( x ? 2 y ? 3z )2 =1, x ? 1 2 y ? 1 3z ? 1

∴ u?

1 . 4
1 . 4

…10 分 …12 分



2y x 3z 1 1 1 1 ? ? , x ? 2 y ? 3z ? ,x ? , y ? , z ? 即 x ? 1 2 y ? 1 3z ? 1 3 3 6 9

时, umin ?

2 2 2 19. 解: (1)假设 f ( x) ? kx, (k ? 0) ,代入可得: -k x ? (2k ? 2k ) x ? 2k ? 0 对任意 x 恒成立,故

必有 k ? 0 ,但由题设知 k ? 0 ,故 f (x) 不可能为正比例函数.……5 分 (2)由 f (0) ? 4 ,可得: f (1) ?

8 32 , f ( 2) ? …………7 分 3 15 当 x ? 1 时:显然有 2 ? f (1) ? 3 成立.
第4页

假设当 x ? k 时,仍然有 2 ? f (k ) ? 3 成立.则当 x ? k ? 1 时,

1 1 f 2 (k ) = [( f (k ) ? 1) ? ? 2] …….……9 分 ( f (k ) ? 1) 2 f (k ) ? 2 2 1 1 9 令 t ? f (k ) ? 1 ? (1,2) ,故 f (k ? 1) ? (t ? ? 2) ? (2, ) ? (2,3) …….……11 分 2 t 4 * 故 2 ? f (k ? 1) ? 3 成立.综上可得:对任意的 x ? N ,均有 2 ? f ( x) ? 3 .…….……12 分
由原式整理可得: f (k ? 1) ? 20. 解: (Ⅰ)依题意知:直线 l 是函数 f ( x) ? ln x 在点 (1 , 0) 处的切线,故其斜率

1 k ? f ?(1) ? ? 1 1 ,所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1 .又因为直线 l 与 g ( x) 的图像相切,所以由
? y ? x ?1 1 2 9 ? ? 1 2 7 ? x ? (m ? 1) x ? ? 0 , 2 2 ? y ? 2 x ? mx ? 2 ?
得 ? ? (m ? 1)2 ? 9 ? 0 ? m ? ?2 ( m ? 4 不合题意,舍去) ;….……4 分 (Ⅱ)因为 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ?( x) ? ln( x ? 1) ? x ? 2 ( x ? ?1 ) ,所以

1 ?x .当 ?1 ? x ? 0 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, h?( x) ? 0 . ?1 ? x ?1 x ?1 因此, h( x) 在 (?1, 0) 上单调递增,在 (0 , ? ?) 上单调递减. h?( x) ?
因此,当 x ? 0 时, h( x) 取得最大值 h(0) ? 2 ;….……8 分 (Ⅲ)当 0 ? b ? a 时, ?1 ?

b?a ? 0 .由(Ⅱ)知:当 ?1 ? x ? 0 时, h( x) ? 2 ,即 ln(1 ? x) ? x .因此,有 2a

f (a ? b) ? f (2a) ? ln

a?b ? b?a? b?a ? ln ?1 ? .….……12 分 ?? 2a 2a ? 2a ?

第5页


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