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3.1.1两角差的余弦公式[1]课件_新人教A版必修4_图文

08:46:17

课题引入:
请同学们思考:某城市的电视发
射塔建在市郊的一座小山上.如
图所示,小山高BC约为30米,在 地平面上有一点A,测得A、C两 点间距离约为67米,从A观测电 A 视发射塔的视角(∠CAD)约为 45°.求这座电视发射塔的高度.
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D

67 45° α

C 30 B

一、 新课引入
问题1:

sin75°=sin( 45° +30°) =sin45°- ? sin75°= sin30°?

cos15°=?

cos15°=cos(45°- 30°) = cos45°- cos30° ?
问题2:

cos(α-β) =
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?

探究:如何用任意角α,β的正弦、
余弦值表示
co s(? ?? ) ?

思考1:设α ,β 为两个任意角, 你能判断 cos(α -β )=cosα -cosβ 恒成立吗?

例:cos(30°-30°)≠cos30°-cos30°
因此,对角α,β cos(α-β)=cosα-cosβ 一般不成立.
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〖探究1〗 cos(α-β)公式的结构形式应该与哪些量有关系 ?



? ?

?
2

,

则 cos( ? ? ? ) ? cos(

?

? ? ) ? sin ?

2 令 ? ? ? , 则 cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? ? cos ?

令? ?

?
2

, 则 cos( ? ? ? ) ? cos( ? ?

?

) ? sin ?

2 令 ? ? ? , 则 cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? ? cos ?
发现: cos(α-β)公式的结构形式

应该与sinα ,cosα ,sinβ ,cosβ均有关系

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思考2:我们知道cos(α -β )的值与α ,β 的三角函数值有一定关系,观察下表中的数 据,你有什么发现?
cos(60° cos60° cos30° sin60° sin30° - 30°)
3 2

1 2

3 2

3 2

1 2

cos(120° cos120° cos60° sin120° sin60° - 60°)
1
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?

1 2

1 2

3 2

3 2

2

从表中,可以发现:
cos(60° - 30°)=cos60°cos30°+sin 60°sin30° cos(120° - 60°) =cos120°cos60°+sin 120°sin60°

现在,我们猜想,对任意角α

,β 有:

cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ
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〖探究2〗 借助三角函数线来推导cos(α -β )公式

1

y A

P1

?

s in

?

OM= cos(α-β) OB=cosαcosβ BM=sinαsinβ
P 又 OM=OB+BM

s? co

C

?

?

?
B

cos ?? ? ? ? ? ? sin ? sin ?
M 1

O
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x

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ cos ? cos ?

+

〖探究3〗 两角差的余弦公式有哪些结构特征?

cos ? ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
上述公式称为差角的余弦公式,记作 C (? ? ? )

注意:1.公式的结构特点:等号的左边是复角α-β的
余弦值,等号右边是单角余弦值的乘积与正弦值的乘 积的和。

简记“C C S S,符号相反”

2.公式中的α ,β 是任意角。
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〖公式应用〗

引例:求cos15°的值.
分析:将150可以看成450-300而450和300均为特殊角,

借助它们即可求出150的余弦.

cos150 =cos(450- 300)
=cos450cos300 + sin450sin300 你会求sin75°的值了吗? = × + × =
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应用

? 4 例2, 已知sinα= ,α∈( ,?),cosβ= 2 5 第三象限角,求cos(α-β)的值。

5 , β是 13

小结:要求cos(α-β)应先求出α,β的正余弦, 4 ? 解:由sinα= 5 α∈( ,?),得 , 2
?4? 2 cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ?5?
2

分析:由Cα-β和本题的条件,要计算cos(α-β),还应求什么?

? ?

3 5

- 5 ,β是第三象限的角,得 又由cosβ= 13
2

sin ? ? ? 1 ? cos

所以cos(α-β)= cosβcosα+sinβsinα
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5 ? ? ? ? ? 1? ?? ? 13 ? ?

2

? ?

12 13

5 ? 4 ? 12 ? 33 ? 3? ? ? ?? ???? ? ??? ? ? ? ? 5 ? 13 ? 65 ? 5 ? ? 13 ?

应用

公式的逆用

cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β) β cos(α -β ) ? cosα cosβ + sinα sin
练习:. cos 175 0 cos 55 0 ? sin 1
0 0

175 sin 55 ?
0 0

?

1 2

2
2 . cos( ? ? 21 ) cos( ? ? 24 ) ? sin( ? ? 21 ) sin( ? ? 24 ) ?
0 0

2

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