目录 第一章 三角形的初步知识……………………………………2
典例分析………………………………………………5 基础练习………………………………………………8 第二章 特殊三角形……………………………………………14 典例分析………………………………………………16 基础练习………………………………………………18 第三章 一元一次不等式………………………………………22 典例分析………………………………………………24 基础练习………………………………………………27 期中测试卷（A）………………………………………………35 期中测试卷（B）………………………………………………40 参考答案………………………………………………………..43 第四章 图形与坐标....................................................................47 典型分析........................................................................48 基础练习........................................................................50 第五章 一次函数........................................................................55 典型分析.......................................................................57 基础练习.......................................................................60 期末测试卷(A)...........................................................................65 期末测试卷(B)............................................................................71 参考答案.....................................................................................76
第一章 三角形的初步知识
复习总目
1、掌握三角形的角平分线、中线和高线
2、理解三角形的两边之和大于第三边的性质
3、掌握三角形全等的判定方法
知识点概要
1、 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所
组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形 ABC 用符号表
示为△ABC，三角形 ABC 的边 AB 可用边 AB 所对的角 C 的小写字母 c 表示，AC 可用 b 表_A示，
BC 可用 a 表示.
注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；
（2）三角形是一个封闭的图形；
_B
_C
（3）△ABC 是三角形 ABC 的符号标记，单独的△没有意义．
2、 三角形的分类：
(1)按角分类：
直角三象形
三角形 斜三角形
(2)按边分类：
等腰三角形
锐角三角形 钝角三角形 底边和腰不相等的等腰三角形
三角形
等边三角形
不等边三角形
3、 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的 BC 上的中线.
2
A
B
D
C
2.BD=DC= 1 BC. 2
注意：①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形的内部；
③三角形三条中线交于三角形内部一点；
④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
（2）三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的
表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线.
B
2.∠1=∠2= 1 ∠BAC.
2
注意：①三角形的角平分线是线段；
②三角形三条角平分线全在三角形的内部；
A
21
线段
DC
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；
④用量角器画三角形的角平分线．
（3）三角形的高
A
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
表示法：1.AD 是△ABC 的 BC 上的高线. 2.AD⊥BC 于 D.
B
DC
3.∠ADB=∠ADC=90°.
注意：①三角形的高是线段；
②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两
条高在形外；
③三角形三条高所在直线交于一点．
4、三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；
（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．
5、 三角形的角与角之间的关系：
(1)三角形三个内角的和等于 180?;
(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
3
(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 6、三角形的稳定性： 三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性． 注意：（1）三角形具有稳定性；
（2）四边形没有稳定性. 7、全等三角形 （1）全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。。 （2）三角形全等的判定
三角形全等的判定定理： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角 边”或“SAS”） （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边 角”或“ASA”） （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。 直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜 边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） （3）全等变换 只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180°，这种变换叫做对称变换。 （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
中考规律盘点及预测
三角形的两边之和大于第三边的性质历年来是经常考到的填空题的类型，三角形角度的 计算也是考到的填空题的类型，三角形全等的判定是很重要的知识点，在考试中往往会考到。
4
典例分析
例 1 如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD 的条件是（ ）
A、AB=AC
B、BD=CD
C、∠B=∠C D、∠BDA=∠CDA
考点：全等三角形的判定。
分析：利用全等三角形判定定理 ASA，SAS，AAS 对各个选项逐一分析即可得出答案．
解答：证明：A、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若 AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故
本选项正确，不合题意．
B、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若 BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD
≌△ACD；故本选项错误，符合题意．
C、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故本选项正确，
不合题意．
D、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故本选项
正确，不合题意．故选 B．
点评：此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题． 例 2 1、在△ABC 中，已知∠B = 40°，∠C = 80°，则∠A = 60 （度） 2、在△ABC 中，∠A = 60°，∠C = 50°，则∠B 的外角= 110° 。
考点：1、2 两题均为三角形的内角之和为 180°
点评：三角形内角之和等于 180°是学生必掌握的知识点，这两题是基础题
3、下列长度的三条线段能组成三角形的是（ C ）
A.3cm，4cm，8cm B.5cm，6cm，11cm C.5cm，6cm，10cm D.3cm，8cm，12cm
4、小华要从长度分别为 5cm、6cm、11cm、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，
那么他选的三根木棒的长度分别是_ 6 ．___11___.____16___.
考点：3、4 两题是三角形的两边之和大于第三边的性质
点评：三角形两边之和大于第三边的性质是关于判定能否组成三角形的一个重要知识点，属
于基础题
例 3 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为 F，DE=DG，△ADG 和△AED 的
5
面积分别为 50 和 39，则△EDF 的面积为（ ）
A、11
B、5.5
C、7
D、3.5
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质。
分析：作 DM=DE 交 AC 于 M，作 DN⊥AC，利用角平分线的性质得到 DN=DF，将三角形
EDF 的面积转化为三角形 DNM 的面积来求．
解答：解：作 DM=DE 交 AC 于 M，作 DN⊥AC，
∵DE=DG，
∴DM=DE，
∵AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，
∴DE=DN，
∴△DEF≌△DNM，
∵△ADG 和△AED 的面积分别为 50 和 39，
∴S△MDG=S△ADG﹣S△AMG=590﹣39=11，
S△DNM=S△DEF=错误！未找到引用源。S△MDG=
1 2
×11
错误！未找到引用源。=5.5
故选 B． 点评：本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确的作出辅
助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．
例 4 如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD 的是（ ）
A.BD=DC，AB=AC
B.∠ADB=∠ADC，BD=DC
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD
D.∠B=∠C，BD=DC
6
考点：全等三角形的判定．
分析：两个三角形有公共边 AD，可利用 SSS，SAS，ASA，AAS 的方法判断全等三角形．
解答：解：∵AD=AD，
A.当 BD=DC，AB=AC 时，利用 SSS 证明△ABD≌△ACD，正确；
B.当∠ADB=∠ADC，BD=DC 时，利用 SAS 证明△ABD≌△ACD，正确；
C.当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD 时，利用 AAS 证明△ABD≌△ACD，正确；
D.当∠B=∠C，BD=DC 时，符合 SSA 的位置关系，不能证明△ABD≌△ACD，错误．
故选 D．
点评：本题考查了全等三角形的几种判定方法．关键是根据图形条件，角与边的位置关系是
否符合判定的条件，逐一检验．
例 5 如图，点 B、F、C、E 在同一条直线上，点 A、D 在直线 BE 的 两侧，AB∥DE，BF=CE，
请添加一个适当的条件：
， 使得 AC=DF.
考点：全等三角形的判定与性质.
分析：要使 AC=DF，则必须满足△ABC≌△DEF，已知 AB∥
DE，BF=CE，则可得到∠B=∠E，BC=EF，从而添加 AB=DE
即可利用 SAS 判定△ABC≌△DEF．
解答：解：添加：AB=DE
∵AB∥DE，BF=CE，∴∠B=∠E，BC=EF，
∵AB=DE，∴△ABC≌△DEF，∴AC=DF．
故答案为：AB=DE．
点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的综合运用能力．
7
基础练习
一、精心选一选(每小题 3 分，共 30 分) 1、在下列各组图形中，是全等的图形是( )
?
A、
B、
C、
2、下列各图中，正确画出 AC 边上的高的是( )
B
BE
B
D、
B
A AE、 C A B、
C E C、 A
C DE、 A
C
3、如图 1，工人师傅砌门时，常用木条 EF 固定长方形门框 ABCD，使其不变形，这样做的
根据是(
)
A、两点之间的线段最短； B、三角形具有稳定性；
A FD
图1
E
图2
C、长方形是轴对称图形； D、长方形的四个角都是直角；
BC
4、图 2 中的三角形被木板遮住了一部分，被遮住的两个角不可能是( )
A、一个锐角，一个钝角；
B、两个锐角；
C、一个锐角，一个直角；
D、一个直角，一个钝角；
5、以下不能构成三角形三边长的数组是( )
A、(1， 3 ，2) B、(3，4，5) C、( 32 ， 42 ， 52 )
D、( 3 ， 4 ， 5 )
6、一个三角形的两个内角分别为 55°和 65°，这个三角形的外角不可能是( )
A、115°
B、120° C、125° D、130°
7、小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图 3 所示的四块(图中所标 1、2、3、4)，你认为将
其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带( )去
A、第 1 块； B、第 2 块； C、第 3 块； D、第 4 块； 8、如图 4，在锐角△ABC 中，CD、BE 分别是
3 2 图3 41
AB、AC 边上的高，且 CD、BE 相交于一点 P，若∠A=50°，则∠BPC=( )
A、150°
B、130°
C、120°
D、100°
9、用 12 根火柴棒(等长)拼成一个三角形，火柴
棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的
A
D
E
P
三角形的个数是(
)
A、1
B、2
C、3
D、4
10、如图 5，在△ABC 中，D、E 分别是 AC、BC 边上的
B 图4
C
B E
8
点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C 的度数为(
)
A、15° B、20° C、25° D、30°
二、耐心填一填(每小题 3 分，共 30 分)
C AD
图5
11 、 在 △ ABC 中 ， 若 ∠ A － ∠ B=90 ° ， 则 此 三 角 形 是 ________ 三 角 形 ； 若
?A ? 1 ?B ? 1 ?C ，由此三角形是_______三角形；
2
3
12、如图 6，已知 AC=BD，要使△ABC≌△DCB，
A
D
O
只需增加的一个条件是________________； 13、设△ABC 的三边为 a、b、c，化简
B
C
图6
| a ? b ? c | ? | b ? c ? a | ? | c ? a ? b |? ______________
14、已知三角形的两边长分别是 3cm 和 7cm，第三边长是偶数，则这个三角形的周长为
___________cm；
15、如图 7，在△ABC 中，已知 AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠CED=________
16、如图 8，把矩形 ABCD 沿 AM 折叠，使 D 点落在 BC 上的 N 点处，如果 AD= 5 3 cm，
DM=5cm，∠DAM=30°，则 AN=_____cm，NM=______cm，
∠BNA=_________度； 17、如图 9，△ABC 中，AB=AC，BD、CE 分别是 AC、AB 边上的高，BD、CE 交于点 O， 且 AD=AE，连结 AO，则图中共有_________对全等三角形；
A
A
D
A
D
M
E
D
B 图7 E C
B
NC
图8
O
B 图9
C
18、如图 10，已知∠B=∠C，AD=AE，则 AB=AC，请说明理由(填空)
解：在△ABC 和△ACD 中，
B
∠B=∠______ (__________) ∠A=∠______ (________________) AE=________ (__________) ∴△ABE≌△ACD (______________)
D A
E
∴AB=AC (______________________________)
19、如图 11 所，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________；
图 10
C A
20、用一副三角板可以直接得到 30°、45°、60°、
B
E
90°四种角，利用一副三角板可以拼出另外一些特殊角，
如 75°、120°等，请你拼一拼，用一副三角板还能拼
还能拼出哪些小于平角的角？这些角的度数是： ____________________；
C 图 11 D
9
三、细心做一做(共 60 分) 21、(8 分)七年级某班的篮球啦啦队同学，为了在明天比赛中给同学加油助威，提前制作了 同一规格的彩旗。小明在放学回家后，发现自己的彩旗破损了一角，他想用彩纸重新制作一 面彩旗(如图 12 所示)，请你帮助小明，用直尺和圆规在彩纸上作出一个与破损前完全一样 的三角形，并解释你作图的理由。 理由：_____________________________________________________________ _____________________________________________________________________
22、(9 分)如图 13，四边形 ABCD 中，AC 垂直平分 BD 于点 O (1)图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来； (2)任选(1)中的一对三角形对其全等加以说明；
A
BO
D
图C13
23、(10 分)小明做了一个如图 14 所示的风筝，他想去验证∠BAC 与∠DAC 是否相等，手 头只有一把(足够长)尺子，你能帮助他想个方法吗？说明你这样做的理由。
A
B
D
C 图 14
10
24、(8 分)某产品的商标如图 15 所示，O 是线段 AC、DB 的交点，且 AC=BD，AB=DC， 小华认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：
∵AC=DB，∠AOB=∠DOC，AB=AC， ∴△ABO≌△DCO 你认为小华的思考过程对吗？如果正确，指出他用 的是判别三角形全等的哪个条件，如果不正确， 写出你的思考过程。
A
D
O
B
C
图 15
25、(12 分)没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗？下面是小彬的做
法，他的画法正确吗？请说明理由。
C
A
如图 16，角平分线的刻度尺画法：
O
(1)利用刻度尺在∠AOB 的两边上，分别取 OD=OC；
E
(2)连结 CD，利用刻度尺画出 CD 的中点 E；
D
(3)画射线 OE
B
所以射线 OE 为∠AOB 的角平分线；
图 16
26、(13 分)如图 17，C 在直线 BE 上，∠ABC 与∠ACE 的角平分线交于点 A1， (1)若∠A=60°，求∠A1 的度数； (2)若∠A=m，求∠A1 的度数； (3)在(2)的条件下，若再作∠A1BE、∠A1CE 的平分线，交于点 A2；再作∠A2BE、∠A2CE 的平分线，交于点 A3；……；依次类推，则∠A2，∠A3，……，∠An 分别为多少度？
A
A1
A2
B
E 图 17 C
11
参考答案 一、1、C 2、D 3、B 4、D 5、C 6、D 7、B 8、B 9、C 10、D 二、11、钝角，直角 12、∠ACB=∠DBC 或 AB=CD 13、a+b+c
14、16 或 18 15、100° 16、 5 3 ，5，60°
17、∠C，已知，∠A，公共角，AD，已知，AAS，
全等三角形的对应边相等；
18、5
19、180°
20、15°、105°、135°、150°、165°(写出三个即可)
三、21、画图略，理由：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；
22、(1)三对全等三角形：△ABC≌△ADC、△ABO≌△ADO、
△CBO≌△CDO；(2)略；
23、用尺子量出 AB、AD、BC、CD 的长度，若 AB=AD，BC=CD，
则∠BAC=∠DAC，因为当 AB=AD，BC=CD 时，另有 AC=AC，
则△ABC≌△ADC，由此可得∠BAC=∠DAC；
24、小华的思考不正确，因为 AC 和 BD 不是这两个三角形的边；
正确的解答是：连结 BC
在△ABC 和△DBC 中，
∵AB=CD，AC=BD，BC=BC，
∴△ABC≌△DBC
∴∠A=∠D，
在△AOB 和△DOC 中，
∵∠A=∠D，∠AOB=∠DOC，AB=CD，
∴△AOB≌△DOB
25、小彬的画法正确，因为由画法知：OD=OC，CE=DE，而 OE=OE，所以△COE≌
△DOE，∴∠AOE=∠BOE，∴OE 就是∠AOB 的角平分线；
26、∵∠A1=∠A1CE－∠A1BC
= 1 ∠ACE－ 1 ∠ABC
2
2
1
=
(∠ACE－∠ABC)
2
= 1 ∠A 2
∴(1)当∠A=60°时，∠A1=30°；
12
(2)当∠A=m
时，∠A1=
1 2
m；
(3)依次类推∠A2=
1 4
m，∠A3=
1 8
m，…，∠An=
(1)n 2
m
13
第二章 特殊三角形 复习总目
1、掌握等腰三角形的性质及判定定理 2、了解直角三角形的基本性质 2、掌握勾股定理的计算方法
知识点概要
1、图形的轴对称性质：对称轴垂直平分连接两个对称点的线段；成轴对称的两个图形是全 等图形
2、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线、底边上的高重合。 推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60°。 3、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。 （2）要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 4、直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余
14
（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （4）勾股定理：直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即
a2 ? b2 ? c2
（5）摄影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中
项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
∠ACB=90°
CD2 ? AD ? BD
? AC2 ? AD? AB
CD⊥AB
BC2 ? BD? AB
（6）常用关系式
由三角形面积公式可得：AB ? CD=AC ? BC 中考规律盘点及预测
特殊三角形中的等腰三角形与第一章的全等三角形的证明结合起来这种题型会常出
现，等腰三角形的性质是基础知识，必须得掌握并灵活的运用到各类题型中去，这类题型中
考也是必考的。
15
典例分析
例 1 在△ABC 中，AB=AC，∠1= 1 ∠ABC，∠2= 1 ∠ACB，BD 与 CE 相交于点 O，
2
2
如图，∠BOC 的大小与∠A 的大小有什么关系？
若∠1= 1 ∠ABC，∠2= 1 ∠ACB，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？
3
3
若∠1= 1 ∠ABC，∠2= 1 ∠ACB，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？
n
n
考点：等腰三角形
分析：在上述条件由特殊到一般的变化过程中，
根据等腰三角形的性质，∠1=∠2，∠ABD=∠ACE，
即可得到∠1= 1 ∠ABC，∠2= 1 ∠ACB 时，∠BOC=90°+ 1 ∠A；
2
2
2
∠1= 1 ∠ABC，∠2= 1 ∠ACB 时，∠BOC=120°+ 1 ∠A；
3
3
3
∠1= 1 ∠ABC，∠2= 1 ∠ACB 时，∠BOC= n ?1 ·180°+∠A．
n
n
n
例 2 如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA、PB、PC，?以 BP 为边作∠PBQ=60°，
且 BQ=BP，连结 CQ．
（1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若 PA：PB：PC=3：4：5，连结 PQ，试判断△PQC 的
形状，并说明理由．
分析（1）把△ABP 绕点 B 顺时针旋转 60°即可得到△CBQ．?
利用等边三角形的性质证△ABP≌△CBQ，得到 AP=CQ．（2）连
接 PQ，则△PBQ 是等边三角形．PQ=PB，AP=CQ 故 CQ：PQ：PC=PA：
PB：PC=3：4：5，∴△PQC 是直角三角形．
点评 利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题
的证明．
16
例 3 已知：在
中，
，
，
，求 的度数.
分析 由条件易得 且
，
，
，
∴
，又
∴
∴
点评 这题运用到等腰三角形的等角对等边的性质，像这类的求角度的题是会经常出现的类
型，应熟练掌握这类题型的解题方法
例 4 如图，已知：在
中，
，
，
，
.
求：
的度数.
分析 由已知条件易证
.∴
∴
∴
点评 这题运用到全等三角形的证明与等腰三角形知识的结合，比较灵活，要求学生能灵活
的将两类知识结合起来运用，这类题型在考试中也是比较常见的
17
基础练习
一、填空题 1．已知等腰三角形一个内角的度数为 30°，那么它的底角的度数是_________． 2．等腰三角形的顶角的度数是底角的 4 倍，则它的顶角是________． 3．等腰三角形的两边长分别为 3 厘米和 6 厘米，这个三角形的周长为_________．
4．如图，在
中，
点到 AB 的距离为________．
平分
，则 D
5．如图，在
中，
平分
则
．
，若
，
6．如图，
，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，则
．
7．如图，
中，DE 垂直平分
周长为__________．
的周长为 13，那么
的
8．如图，如果点 M 在
的平分线上且
厘米，则
理由是_____________________________________________．
，你的
9．如图，已知
边的垂直平分线交
于点
，
则
的周长为__________．
18
二、解答题 1．如图，
中，
，试说明：
．
2．如图，求作一点 P，使 说明你的理由．
，并且使点 P 到
的两边的距离相等，并
3．老师正叙述这样一道题：请同学们画出一个
，然后画出
的中垂线，
且交于点 P．请同学们想一下点 P 到三角形三个顶点
的距离如何？小明马上就说：
“相等．”他是随便说的吗？你同意他的说法吗？请说明你的理由．
4．如图，已知
中，DE 垂直平分 AC，交 C 于点 E，交 BC 于点 D，
的周
长是 20 厘米，AC 长为 8 厘米，你能判断出
的周长吗？试试看．
5．有一个三角形的支架如图所示，
，小明过点 A 和 BC 边的中点 D 又架了
一个细木条，经测量
，你在不用任何测量工具的前提下，能得到
和
的度数吗？
6．请你在纸上画一个等腰三角形 ABC（如图），使得
．
（1）请你判断一下
与
有什么大小关系呢？你的依据是什么？
（2）请你再深入地思考一个问题：若只知道
与
相等，请你判断一下这个三
角形是什么形状的呢？并说明你的探索思路．
（3）由第（2）你会得到一个什么结论呢？请用一句话概括出来．
19
（4）现在给出两个三角形（如图），请你把图（1）分割成两个等腰三角形，把图（2） 分割成三个等腰三角形．动动脑筋呀！
20
参考答案：
一、1．30°或 75°
米
4．4
6．20°
7．19
等
9．22．
2．120°
3．15 厘
5．30°，DC
8．6cm，角平分线上的点到角两边的距离相
二、1．提示：在 AB 上截取
，易说明
≌
，从而可说明
，所以
2．提示：作线段 CD 的垂直平分线和
的角平分线，两线交点即为所求点．
3．我同意小明的说法．如图，∵点 P 是 AB 的中垂线上一点，∴
．∵点 P 是
是 AC 中垂线上一点，∴
．∴
．
4．
垂直平分 AC，∴
．
的周长是 20 厘米，∴
．∴
即
．又
，∴
厘米．
5．
为 BC 边的中点，∴AD 又是 BC 边的高线和
的角平分线．∴
．∴
．
6．（1）相等、依据，等腰三角形两底角相等．
（2）等腰三角形．如图，证明：过点 A 作
，在
和
中，
，∴
≌
，∴
（3）两个底角相等的三角形是等腰三角形． （4）如图．
21
第三章 一元一次不等式 复习总目
1、 理解不等式的三个基本性质 2、 会用不等式的基本性质解一元一次不等式并掌握不等式的解题步骤 3、会解由两个一元一次不等式组成的不等式组
知识点概要
一、不等式的概念 1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，
都叫做这个不等式的解。 3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这
个不等式的解集。 4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5、用数轴表示不等式的方法 二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改
变。②如果不等式乘以 0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么 就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为 0， 否则不等式不成立； 三、一元一次不等式 1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且 不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5） 将 x 项的系数化为 1 四、一元一次不等式组 1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等 式组。 2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
22
4、当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 5、一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 6、不等式与不等式组 不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一 个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不 变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。 7、不等式的解集： ①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 ②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 ③求不等式解集的过程叫做解不等式
中考规律盘点及预测
一元一次不等式（组）的解法及其应用，在初中代数中有比较重要的地位，它是继一 元一次方程、二元一次方程的学习之后，又一次数学建模思想的学习，是培养学生分析问题 和解决问题能力的重要内容，在近几年来的考试中会出现此类型的题目
23
典型分析
例 1 解不等式组
分析 解不等式(1)得 x>-1,
解不等式(2)得 x≤1,
解不等式(3)得 x<2,
∴
∵在数轴上表示出各个解为：
∴原不等式组解集为-1<x≤1 注意：借助数轴找公共解时，应选图中阴影部分，解集应用小于号连接，由小到大排列， 解集不包括-1 而包括 1 在内，找公共解的图为图（1），若标出解集应按图（2）来画。 点评 这类题型是常见的解一元一次不等式组，并结合数轴解题，在解题过程中要注意运算
的准确性及数轴的表示法
例 2 求不等式组
的正整数解。
分析 解不等式 3x-2>4x-5 得：x<3，
解不等式
≤1 得 x≤2，
∴
1、先求出不等式组的解集。
2、在解集中找出它所要求的特殊解，正
整数解。 ∴原不等式组解集为 x≤2， ∴这个不等式组的正整数解为 x=1 或 x=2 点评 此类题型关键是正整数解，这要结合数轴将其正整数解出来，在运算过程中要注意正 负数的运算，这在考试中是会经常出现的题型
24
例 3 m 为何整数时，方程组
的解是非负数？
分析 解方程组
得
∵方程组
的解是非负数，∴
即
解不等式组
∴此不等式组解集为 ≤m≤ ,
又∵m 为整数，∴m=3 或 m=4。
点评 本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即
。先解方程组
用 m 的代数式表示 x, y, 再运用“转化思想”，依据方程组的解集为非负数的条件 列出不等式组寻求 m 的取值范围，最后切勿忘记确定 m 的整数值。 例 4 解不等式-3≤3x-1<5。
分析 解法（1）:原不等式相当于不等式组
解不等式组得- ≤x<2，∴原不等式解集为- ≤x<2。 解法（2）:将原不等式的两边和中间都加上 1，得-2≤3x<6,
将这个不等式的两边和中间都除以 3 得， - ≤x<2, ∴原不等式解集为- ≤x<2。 点评 这题把不等式拆分成两个不等式并组成不等式组， 做题很灵活，解法有两种，在解 题过程中要注意正负数移项时的符号 例 5 有一个两位数，它十位上的数比个位上的数小 2，如果这个两位数大于 20 并且小于 40，求这个两位数。 分析 解法（1）:设十位上的数为 x, 则个位上的数为(x+2), 原两位数为 10x+(x+2), 由题意可得：20<10x+(x+2)<40,
25
解这个不等式得，1 <x<3 ,
∵x 为正整数，∴1 <x<3 的整数为 x=2 或 x=3， ∴当 x=2 时，∴10x+(x+2)=24, 当 x=3 时，∴10x+(x+2)=35, 答：这个两位数为 24 或 35。 解法（2）:设十位上的数为 x, 个位上的数为 y, 则两位数为 10x+y,
由题意可得
（这是由一个方程和一个不等式构成的整体，既
不是方程组也不是不等式组，通常叫做“混合组”）。 将(1)代入(2)得，20<11x+2<40, 解不等式得：1 <x<3 ,
∵x 为正整数，1 <x<3 的整数为 x=2 或 x=3, ∴当 x=2 时，y=4，∴10x+y=24, 当 x=3 时，y=5, ∴10x+y=35。 答：这个两位数为 24 或 35。 解法（3）:可通过“心算”直接求解。方法如下：既然这个两位数大于 20 且小于 40，所以
它十位上的数只能是 2 和 3。当十位数为 2 时，个位数为 4，当十位数为 3 时，个 位数为 5，所以原两位数分别为 24 或 35。 点评 这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的 知识来解决。题目中有两个主要未知数------十位上的数字与个位上的数；一个相等 关系：个位上的数＝十位上的数+2,一个不等关系：20<原两位数<40。
26
基础练习
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1、a、b、c 在数轴上的对应点的位置如图 1 所示，下列式子中正确的有（ ）
图1 ○1 b+c>0，○2 a+b>a+c，○3 bc>ac，○4 ab>ac
A.1 个； B.2 个； C.3 个； D.4 个.
2、不等式 2x－5≤0 的正整数解有( )
A．1 个；
B．2 个；
C．3 个；
D．0 个．
3、如图
2，能表示不等式组
?x ??x
? ?
?2 1
解集的是
（）
-2 -1 0 1 2 3
A．
-2 -1 0 1 2 3
B．
-2 -1 0 1 2 3
-2 -1 0 1 2 3
C．
D．
图2
4、如图
3，不等式组
?2x ? 4 ?
? ?
x
?
1≥0
0,
的解集在数轴上表示正确的是（
）
． －°1 0 2
A．
． －1 0 °2
B．
．．
－1 0 2 C．
－°1 0 °2
D．
?x－2≤0
5、不等式组??x＋1＞0 的解是(
)
A、x≤2
B、x≥2
图3 C、－1＜x≤2
D、x＞－1
6、下面不等式组无解的是（ ）
A.
?x
? ?
x
? ?
1? 0 2?0
；
B.
?x ??x
? ?
1? 0 2?0
；
C.
?x ??x
? ?
1? 0 2?0
；
D.
?x ??x
? ?
1? 0 2?0
.
27
7、已知 a 、 b 为实数，且 ab ? 1 ，设 M ? a ? b ， N ? 1 ? 1 ，则 M 、 N 的大小关
a ?1 b?1
a ?1 b?1
系是（ ）
A． M ? N B． M ? N C． M ? N D．不确定
?x ? 2 8、已知关于 x 的不等式组 ??x ? ?1无解，则 a 的取值范围是（ ）
??x ? a
A.a ≤－1 B.a≥2 C. －1＜a＜2 D. a＜－1，或 a＞2 9、小明用 100 元钱去购买笔记本和钢笔共 30 件，已知每本笔记本 2 元，每支钢笔 5 元，那
么小明最多能买钢笔（
）．
A. 12支； B. 13支； C. 14支； D. 15支．
10、小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板,三人的体重一共为150千克,爸爸坐在跷跷板的一端；
体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端.这时,爸爸的那一端仍然着地.请
你猜一猜小芳的体重应小于（
）
A. 49千克 B. 50千克 C. 24千克 D. 25千克
二、填空题（每小题3分，共30分）
? a _____? b
11、若 a>b，则 2
2．
12、如果 >0，那么 xy__0．
13、不等式 5x－9≤3（x＋1）的解集是______.
14、不等式组
的整数解为______.
15、已知 1 ? x ? 2 ? x ? 3 ? x ，则 x 的最大整数值为_________．
2
3
4
?x1 ? x2 ? a1
16、在关于
x1，x2，x3
的方程组
? ?
x
2
?
x3
?
a2
中，已知 a1
?
a2
?
a3 ，那么将
x1，x2，x3 从
??x3 ? x1 ? a3
大到小排起来应该是____________.
a
17、对于整数 a,b,c,d，符号
d
b
1
表示运算 ac-bd，已知 1<
c
d
b
<3，则 b+d 的值是
4
____________．
28
18、已知关于
x
的不等式组
?5 ??x
? ?
2x ? ?1 无解，则
a?0
a
的取值范围是_____．
19、已知不等式 4x－a≤0 的正整数解是 1，2，则 a 的取值范围是_________．
20、为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，
星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排 4
人，那么还剩下 78 人；若每个路口安排 8 人，那么最后一个路口不足 8 人，但不少于 4 人．则
这个中学共选派值勤学生______人，共有_____个交通路口安排值勤．
三、解答题（每小题 7 分，共 35 分）
?10 ? 4(x ? 3) ? 2(x ?1)
21、解不等式组
? ? ??x
-1
?
1
- 2x 3
①
，并写出此不等式组的整数解．
②
22、已知关于
x、y
的方程组
?x ? y ??2x ?
? a?3 y ? 5a
的解满足
x>y>0，化简|a|+|3－a|．
23、有一个两位数，其中十位上的数字比个位上的数字小 2，如果这个两位数大于 20 而小
于 40，求这个两位数．
24、慧秀中学在防“非典”知识竞赛中，评出一等奖 4 人，二等奖 6 人，三等奖 20 人，学
校决定给所有获奖学生各发一份奖品，同一等次的奖品相同．
（1）若一等奖，二等奖、三等奖的奖品分别是喷壶、口罩和温度计，购买这三种奖品共计
花费 113 元，其中购买喷壶的总钱数比购买口罩的总钱数多 9 元，而口罩的单价比温度计的
单价多 2 元，求喷壶、口罩和温度计的单价各是多少元？
（2）若三种奖品的单价都是整数，且要求一等奖的单价是二等奖单价的 2 倍，二等奖的单
价是三等奖单价的 2 倍，在总费用不少于 90 元而不足 150 元的前提下，购买一、二、三等
奖奖品时它们的单价有几种情况，分别求出每种情况中一、二、三等奖奖品的单价？
25、某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评．A、B、C、D、
E 五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班 50 位同学参与了民主测评．结
果如下表所示：
表 1 演讲答辩得分表（单位：分）
A
B
C
D
E
甲
90
92
94
95
88
乙
89
86
87
94
91
表 2 民主测评票数统计表（单位：张）
29
“好”票数
“较好”票数
“一般”票数
甲
40
7
3
乙
42
4
4
规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；
民主测评得分＝“好”票数×2 分＋“较好”票数×1 分＋“一般”票数×0 分；
综合得分＝演讲答辩得分×（1－a）＋民主测评得分×a（0.5≤a≤0.8）．
⑴ 当 a＝0.6 时，甲的综合得分是多少？
⑵ a 在什么范围时，甲的综合得分高？a 在什么范围时，乙的综合得分高？
四、探索题（第 26、27 小题，每小题 8 分，第 28 小题 9 分，共 25 分）
26、马小虎同学在做练习时，有两道不等式组是这样解的：
（1）解不等式组???52xx-+63><97
① ②
小虎解法：由不等式①，得
x<2
由不等式②，得
x>3
所以，原不等式组的解集为
2>x>3．
（2）解不等式组???32xx<<x7-+6x
① ②
小虎解法：②-①，得不等式组的解集为
x<-13．
你认为小虎的解法对吗？为什么？如果有错误，请予以改正． 27、a 克糖水中有 b 克糖(a>b>0)，则糖的质量与糖水的质量比为_________；若再加 c 克糖 (c>0)，则糖的质量与糖水的质量比为___________．生活常识告诉我们：加的糖完全溶解后， 糖水会更甜，请根据所列式子及这个生活常识提炼一个不等式．
28、某园林的门票每张 10 元，一次性使用．考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多 的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法(个 人年票从购买日起，可供持票者使用一年).年票分 A、B、C 三类,A 类年票每张 120 元，持 票者进人园林时，无需再购买门票；B 类年票每张 60 元，持票者进入该园林时，需再购买 门票，每次 2 元；C 类年票每张 40 元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次 3 元.
（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用 80 元花在该园林的门
30
票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式； （2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买 A 类年票比较合算
31
参考答案
一、C B A B C，C B B B D．
二、11、<； 12、>； 13、x≤6； 14、-3，-2； 15、0；
x2>x1>x3；
17、3 或者-3； 18、a≥3； 19、8≤a<12； 20、158，20．
三、21、不等式①的解是 x≤4，
不等式②的解是 x ? 4 ， 5
所以不等式组的解为 4 ? x ? 4 ， 5
所以它的整数解为 1，2，3，4．
22、由方程组
?x ? y ? a ??2x ? y ?
?3 5a
，解得
由 x>y>0，得
?x ? 2a ? 1 ??y ? a ? 2
16、
解得
?2a ? 1 ? a ? 2 ??a ? 2 ? 0
a>2
当 2<a≤3 时，|a|＋|3－a|＝a＋3－a＝3；
当 a>3 时，|a|＋|3－a|＝a＋a－3＝2a－3．
23、设十位上的数字为 x，则个位上的数字为 x＋2．
根据题意得 20<10x＋x＋2<40，
以上不等式可化成下列不等式组
?10 ? x ? 2 ? 20 ① ??10x ? x ? 2 ? 40 ②
由①得 x ? 18 ； 11
由②得 x ? 38 ， 11
所以不等式组的解集是 18 ? x ? 38 ． 11 11
因为 x 表示的是十位上的数字， 所以 x 只能是 2 或 3，
32
则个位上数字是 4 或 5， 所以这个两位数是 24 或 35． 答：这个两位数是 24 或 35． 24、（1）设喷壶和口罩的单价分别是 y 元和 z 元，根据题意，得 ?4y+6z+20(z-2)=113 ??4y-6z=9 解得???yz==94.5 所以，z-2=2.5. 因此，喷壶、口罩和温度计的单价分别是 9 元、4.5 元和 2.5 元. （2）设三等奖奖品的单价为 x 元，则二等奖奖品的单价为 2x 元，一等奖奖品的单价为 4x 元. 根据题意，得 90≤4×4x+6×2x+20x<150 解得 178 ≤x<318 . 因为三种奖品的单价都是整数，所以 x=2，或者 x=3. 当 x=2 时，2x=4, 4x=8；当 x=3 时，2x=6, 4x=12. 因此，购买一、二、三等奖奖品时它们的单价有两种情况： 第一种情况中一、二、三等奖奖品的单价分别是 8 元、4 元和 2 元； 第二种情况中一、二、三等奖奖品的单价分别是 12 元、6 元和 3 元. 25、⑴甲的演讲答辩得分为90+932+94 =92（分）， 民主评议得分为 40×2+7×1+3×0=80+7+0=87（分）， 当 a＝0.6 时，甲的综合得分为 92×（1 – 0.6）+87×0.6=36.8+52.2=89（分）.
89+87+91 （2）乙的演讲答辩得分为 3 =89（分）， 民主评议得分为 42×2+4×1+4×0=84+4+0=88（分）， 甲的综合得分为 92×（1 – a）+87×a = 92 – 5a（分）, 乙的综合得分为 89×（1 – a）+88×a = 89 –a（分） 当 92 – 5a>89 –a 时，a<0.75； 又因为 0.5≤a≤0.8，所以，当 0.5≤a<0.75 时，甲的综合得分高. 当 92 – 5a<89 –a 时，a>0.75； 又因为 0.5≤a≤0.8，所以，当 0.75<a≤0.8 时，乙的综合得分高.
四、26、小虎两道题的做法都不对．第（1）题的解集 2>x>3 显然是错误的，绝对不能 出现 2>3．此题中两个不等式的解集 x<2 和 x>3 没有公共部分，所以原不等式组无解．
33
解第（2）题时，小虎把方程组的解法机械地套用到解方程组中，缺乏科学依据．正确
的解法是由不等式①，得 x<7；由不等式②，得 x<-3．可知，原不等式组的解集为 x<-3．
27、 b ， b ? c ， b ? b ? c ． a a?c a a?c
28、（1）根据题意，需分类讨论.
因为 80<120，所以不可能选择 A 类年票；
80-60 若只选择购买 B 类年票，则能够进入该园林 2 = 10（次）；
80-40 若只选择购买 C 类年票，则能够进入该园林 3 ≈13（次）；
80 若不购买年票，则能够进入该园林 10 =8（次）.
所以，计划在一年中用 80 元花在该园林的门票上，通过计算发现：可使进入该园林的
次数最多的购票方式是选择购买 C 类年票.
（2）设一年中进入该园林至少超过 x 次时，购买 A 类年票比较合算，根据题意，得
???6400++23xx>>112200
① ②
??10x>120 ③
2 由①，解得 x>30；由②，解得 x>263 ；
由③，解得 x>12.解得原不等式组的解集为 x>30.所以，一年中进入该园林至少超过 30
次时，购买 A 类年票比较合算
八年级数学上册期中测试综合卷（A）
一、精心选一选（大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1、下列图形：①三角形，②线段，③正方形，④直角．其中是轴对称图形的个数是（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
34
2、若 1 有意义，则 a 的取值范围是（ ） a ?1
Ａ．a>1
Ｂ．a ≥1
C． a≥0
D．a 为任何实数
3、如图，已知 MB=ND,∠MBA=∠NDC，下列条件中不能判定 △ABM≌△CDN 的是（ ）
MN
A.∠M=∠N C.AB=CD
B. AM∥CN D. AM=CN
AC
BD
4、AD 是△ABC 的角平分线且交 BC 于 D，过点 D 作 DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F?,则下列结论不
一定正确的是（ ）
A．DE=DF
B．BD=CD
C．AE=AF D．∠ADE=∠ADF[来源:21 世纪教育网]
5、三角形中，到三边距离相等的点是（ ）
Ａ．三条高线的交点
Ｂ．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点。
6、等腰三角形 ABC 在直角坐标系中，底边的两端点坐标是(-2，0)，(6，0)，则其顶点的坐
标能确定的是（ ）
A．横坐标
B．纵坐标
C．横坐标及纵坐标 D．横坐标或纵坐标
7、下列说法中，正确的是（ ）
Ａ．有理数都是有限小数
Ｂ．无限小数就是无理数
C．实数包括有理数、无理数和零
D．无论是有理数还是无理数，都可以用数轴上的点来表示。
8、下列说法中正确的是（ ）
A. 实数 ? a 2 是负数
B. a2 ? a [来源:21 世纪教育网]
C. ? a 一定是正数
D.实数 ? a 的绝对值是 a
9、如右图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若 AE=8，则
DF 等于（ Ａ．5
） Ｂ．4
A
C． 3
D．2
B F
D
E
C
10、在下列各数：3.1415926、 49 、0.2、 1 、 7 、 131 、 3 27 、中，无理数的个数
100
?
11
(
)
35
A、2
B、3
C、4
D、5
二、细心填一填（本大题共 3 小题，每小题 3 分，共 30 分）[来源:21 世纪教育 11、已知点
P（-3，4）,关于 x 轴对称的点的坐标为
。
12．︱ 5 ? 3 ︳的相反数是______________（用代数式表示）。
13、若 x，y 为实数，且 x ? 2 ?
y
?
2
?
0 ，则
? ? ?
x y
?2009 ? ?
的值为
。
14．如下图，直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周（不滑动），圆上
的一点由原点到达点 O′，点 O′的坐标是
15、 16 的平方根是_______________ 。
16、如右图，点 P 在∠AOB 的平分线上，若使△AOP≌△BOP，则需添
加的一个条件是
（只写一个即可，不添加辅助线）。
A P
17、已知△ABC≌△A′B′C′,A 与 A′，B 与 B′是对应点，△A′B′C′周O长为
B
9cm,AB=3cm，BC=4cm，则 A′C′=
cm。
18、小明上午在理发店理发时，?从镜子内看到背后墙上普通时钟
的时针与分
针的位置如图所示，此时时间是__________． 19、如下图，在△ABC 中，AB=8，BC=6，AC 的垂直平分线 MN 交
20、AB、AC 于点 M、N。则△BCM 的周长为_________。
（第 19 题图）
20、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线 BC 或 AC 上取一点 P，使得△PAB
为等腰三角形，则符合条件的点 P 共有___个
A
三、静心画一画（本大题共 2 小题，共 11 分） 21、（6 分）如图，在所给网格图（每小格均为边长是 1 的正方形）中完成下列B 各题：（C用直
尺画图）（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线 DE 对称的△A1B第1C12；（0 题2 分）
(2)在 DE 上画出点 P，使 PB1 ? PC 最小；（2 分） （3）在 DE 上画出点 Q，使 QA ? QC 最小。（2 分）
D
36
C
22（5 分）某市政府计划修建一处公共服务设施，使它到三所公寓 A、B、C 的距离
相等。
（1）若三所公寓 A、B、C 的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点
P 表示）的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3 分）
（2）若∠BAC＝56?，则∠BPC＝
?. （2 分）
四、耐心求一求（本大题共 5 小题，共 39 分） 23、求下列式子的值：（5 分）
（— 4）2 +2 3 — 1 ? 2 3 — 72 — 3 8
24、（1）求 x 值： 4x2 ? 25 （5 分） （2）求 x 值： (x ? 0.7)3 ? 0.027 （5 分）
25．（8 分）已知：点 B、E、C、F 在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF． 求证：⑴ △ABC≌△DEF； ⑵ BE＝CF．
37
26、（8 分）如图，在四边形 ABCD 中 BC=CD，点 E 是 BC 的中点，点 F 是 CD 的中点，且 AE⊥BC，
AF⊥CD。 （1）求证：AB=AD。 （2）请你探究∠EAF，∠BAE，∠DAF
A D
之间有什么数量关系？并证明你的结论。
F
B
E
C
27、（8 分）如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D 是垂足，连接 CD，且交 OE 于点 F. （1）求证：OE 是 CD 的垂直平分线. （2）若∠AOB=60?，请你探究 OE，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论。
38
五、全心探一探：(10 分) 28、如图 15，(1)P 是等腰三角形 ABC 底边 BC 上的一人动点，过点 P 作 BC 的垂线，交 AB 于点 Q，交 CA 的延长线于点 R。请观察 AR 与 AQ，它们有何关系？并证明你的猜想。 (2)如果点 P 沿着底边 BC 所在的直线，按由 C 向 B 的方向运动到 CB 的延长线上时，(1)中所 得的结论还成立吗？请你在图 15(2)中完成图形，并给予证明。
八年级数学上册期中测试卷（B）
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）： 1．下列运算正确的是（ ）
A． 4 = -2
B． ? 3 =3
C． 4 ? ?2
D． 3 9 =3
2．计算（ab2）3 的结果是（ ）
A．ab5
B．ab6
C．a3b5
D．a3b6
39
3．若式子 x ? 5 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A．x>5
B．x ? 5
C．x ? 5
4．如图所示，在下列条件中，不能判断△ABD≌
△BAC 的条件是（ ）
A．∠D=∠C，∠BAD=∠ABC
B．∠BAD=∠ABC，∠ABD=∠BAC
C．BD=AC，∠BAD=∠ABC
D．AD=BC，BD=AC
5．下列“表情”中属于轴对称图形的是（ ）
D．x ? 0
D
C
A
B
(第4题图)
A．
B．
C．
D．
6．在下列个数：301415926、 49 、0.2、 1 、 7 、131 、3 27 中无理数的个数是（ ）
100
?
11
A．2
B．3
C．4
D．5
7．下列图形中，以方程 y-2x-2=0 的解为坐标的点组成的图像是（ ）
y
y
y
y
1
x
02
x
01 -2
2 x
-1 0
2 x
01
A
B
C
D
8．任意给定一个非零实数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）
m
平方
-m
?m
+2
结果
A．m
B．m+1
C．m-1
D．m2
9．如图，是某工程队在“村村通”工程中修筑的公路长度（m）与时间（天）之间的关系
图象，根据图象提供的信息，可知道公路的长度为（ ）米.
A ． 504
B ． 432
y
C ． 324
D
C
D．720
x
10．如图，在 0 A
B
面
直角坐标系
( 第 10 题 图)
平
行四边形
ABCD 的顶点 A、B、D 的坐标分别为（0，0）、（5，0）、（2，3），则顶点 C 的坐标为（
A．（3，7）
B．（5，3）
C．（7，3）
D．（8，2）
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）：
平 中，
）
40
11．若 2 ? x +y2=0，那么 x+y= .
12．若某数的平方根为 a+3 和 2a-15，则 a= .
13．等腰三角形的一个外角是 80°，则其底角是 .
14．如图，已知：在同一平面内将△ABC 绕 B 点旋转到△A/BC/的位置时，AA/∥BC，∠ABC=70°，
∠CBC/为
.
15．如图，已知函数 y=2x+b 和 y=ax-3 的图象交于点 P（-2，-5），则根据图象可得不等式
2x+b>ax-3 的解集是
.
16．如图，在△ABC 中，∠C=25°，AD⊥BC，垂足为 D，且 AB+BD=CD，则∠BAC 的度数是 .
三、解答题（本大题 8 个小题，共 72 分）：
C/
A/
A
B
C
(第14题图)
y y=2x+b y=ax-3
2
-2
2
x
-2
0
C
(第15题图)
A
DB (第16题图)
17．（10 分）计算与化简：
（1）化简：
18 ? (? ?1) 0 ? 4
1 ?1( 22
2 ?1) ；
（2）计算：（x-8y）（x-y）.
18．（10 分）分解因式： （1）-a2+6ab-9b2；
（2）（p-4）（p+1）+3p.
19．（7 分）先化简，再求值：（a2b-2ab2-b3）÷b-（a+b）（a-b），其中 a= 1 ，b= -1. 2
20．（7 分）如果 a?2b?5 a ? 3b 为 a-3b 的算术平方根，2a?b?11? a2
为 1-a2 的立方根，求 2a-3b 的平方根.
C D
21．（8 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交
A
E
B
(第21题图)
41
AC 于点 D，垂足为 E，若∠A=30°，CD=2.
（1）求∠BDC 的度数； （2）求 BD 的长.
22．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，点 P（x，y）是第一象限直 y
线 y=-x+6 上的点，点 A（5，0），O 是坐标原点，△PAO 的面积为
P(x,y)
S. （1）求 s 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （2）探究：当 P 点运动到什么位置时△PAO 的面积为 10.
x
O
A
（第22题图）
23．（10 分）2008 年 6 月 1 日起，我国实施“限塑令”，开始有偿使用环保购物袋. 为了满
足市场需求，某厂家生产 A、B 两种款式的布质环保
购物袋，每天共生产 4500 个，两种购物袋的成本和 售价如下表，设每天生产 A 种购物袋 x 个，每天共获 利 y 元.
成本（元/个） 售价（元/个）
A
2
2.3
B
3
3.5
（1）求出 y 与 x 的函数关系式；
（2）如果该厂每天最多投入成本 10000 元，那
么每天最多获利多少元？
八年级数学上册期中测试卷（A）答案: 一、精心选一选： 1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．A 7．D 8．B 9．B 10．A .
42
二、细心填一填：
11.(-3，-4) 12 . 5 ? 3 . 13.-1．14. π , 15.± 2，16 .略。 17．2cm .
18、10 点 45 分，19、 14 . 20、 6 个. 三、静心画一画： 21 略． 22、略．（2）112 度. 四、耐心求一求： 23、8．
24(1) ? 5 . (2) 1. 2
25、证明：(1)∵AC∥DF ∴∠ACB＝∠F 在△ABC 与△DEF 中
??ACB ? ?F ???A ? ?D ?? AB ? DE
∴△ABC≌△DEF (2) ∵△ABC≌△DEF ∴BC=EF ∴BC–EC=EF–EC 即 BE=CF 26、证明：(1) 连接 AC ∵点 E 是 BC 的中点，AE⊥BC ∴AE 是 BC 的垂直平分线. ∴AB=AC 同理：AD=AC ∴AB=AD。
（2）∠EAF=∠BAE+∠DAF 理由如下：
43
)∵AB=AC，AE⊥BC ∴∠BAE=∠CAE
同理：∠DAF=∠CAF ∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=∠BAE+∠DAF 27、证明：(1)∵E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA
∴ED=EC ∵OE=OE ∴Rt△OED≌Rt△OEC ∴OC=OD ∵OE 平分∠AOB ∴OE 是 CD 的垂直平分线. （2）OE=4EF 理由如下： ∵OE 平分∠AOB, ∠AOB=60?， ∴∠AOE=∠BOE=30? ∵ED⊥OA ∴OE=2DE ∵∠EFD=90?，∠DEO=90?-∠DOE=90?-30?=60? ∴∠EDF=30? ∴DE=2EF ∴OE=4EF 五、全心探一探： 28、解：（1）AR=AQ,理由如下： ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵RP⊥BC ∴∠B+∠BQP=∠C+∠PRC=90? ∴∠BQP=∠PRC ∵∠BQP=∠AQR ∴∠PRC=∠AQR
44
∴AR=AQ （2）猜想仍然成立。证明如下： ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C ∵∠ABC=∠PBQ ∴∠PBQ=∠C ∵RP⊥BC ∴∠PBQ+∠BQP=∠C+∠PRC=90? ∴∠BQP=∠PRC ∴AR=AQ
八年级数学上册期中测试卷（B）答案: 一、选择题：
BDBCC.ACBAC.
45
二、填空题： 11．2；
三、解答题：
12.4；
13.40o；
14.40o；
15.x>-2；
17.（1）解原式=3 2 ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 1 = 3 2 ? 3 ； 222 2
（2）解：（x-8y）（x-y）=x2-xy-8xy+8y2=x2-9xy+8y2. 18．（1）原式=-（a2-6ab+9b2）=-（a-3b）2；
（2）原式=p2-3p-4+3p=p2-4=（p+2）（p-2）. 19．解原式=a2-2ab-b2-（a2-b2）=a2-2ab-b2-a2+b2=-2ab，
将 a= 1 ，b=-1 代入上式得：原式=-2× 1 ×（-1）=1.
2
2
20．解：由题意得：
?a ? 2b ??2a ? b
? ?
5? 1?
2 3
，解得：
?a ??b
? ?
1 ?2
，
16.105o.
∴2a-3b=8，∴± 2a ? 3b ? ? 8 ? ?2 2 .
21．（1）∵DE 垂直平分 AB，∴DA=DB，∴∠DBE=∠A=30°，∴∠BDC=60°； （2）在 Rt△BDC 中，∵∠BDC=60°，∴∠DBC=30°，∴BD=2CD=4.
22．解：（1）s=- 5 x+15（0<x<6）； 2
（2）由- 5 x+15=10，得：x=2，∴P 点的坐标为（2，4）. 2
23．解：（1）根据题意得：y=（2.3-2）x+（3.5-3）（4500-x）=-0.2x+2250； （2）根据题意得：2x+3（4500-x）≦10000，解得：x≧3500 元. ∵k=-0.2<0，∴y 随 x 的增大而减小， ∴当 x=3500 时，y=-0.2×3500+2250=1550.
答：该厂每天至多获利 1550 元.
复习总目
第四章 图形与坐标
46
1、掌握平面直角坐标系的建立和坐标点的描述 2、根据需要建立适当的直角坐标系，并在直角坐标系中画出图形 3、掌握坐标平面内的图形的轴对称和平移的变换
知识点概要
1、平面上物体的位置可以用有序实数对来确定。
2、在平面内确定物体的位置一般需要几个数据?有哪些方法?
(1)用有序数对来确定;
(2)用方向和距离（方位）来确定;
3、在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，就构成了平面直角坐标系。简称直角坐 标系,坐标系所在的平面就叫做坐标平面
4、掌握各象限上及 x 轴，y 轴上点的坐标的 特点：
第一象限（+，+）；第二象限（－，+）；第三象限（－，－）；第四象限（+，－）
5、x 轴上的点纵坐标为 0，表示为（x，0）；y 轴上的点横坐标为 0，表示为（0，y）
6、(1)关于 x 轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数。
(2)关于 y 轴对称的两点：纵坐标相同，横坐标互为相反数。 (3)关于原点对称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数。 7、平移 点 a（x1,y1）向右、左平移 h 个单位，则得到的新坐标 a’（x1+/-h,y1） 点 b（x2,y2）向上、下平移 g 个单位，则得到的新坐标 a’（x2,y2+/-g） 中考规律盘点及预测
通过对近几年各地的中考试题的研究发现，对有关图形的轴对称、平移、旋转、相似、 图形与坐标等知识点的考查呈发展趋势，题型以选择、填空、作图、解答等多面孔出现。
典型分析
y
3 E
2
1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
47
-1
-2
-3
图图 11
例 1:如图 1，在平面直角坐标系中，点 E 的坐标是
（
）
A．(1， 2) B．(2， 1) C．(－1， 2)
D．(1，－2)
分析:过点 E 向 x 轴画垂线,垂足在 x 轴上对应的实数是 1,因此点 E 的横坐标为 1;同理,过点 E 向 y 轴画垂线,点 E 的纵坐标为 2,所以点 E 的坐标为(1,2),选 A．
点评：此题考查坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的
例 2:如图 2，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋，为记 录棋谱方便，横线用数字表示，纵线用英文字母表示，这样，黑棋①的 位置可记为(C，4)，白棋②的位置可记为(E，3)，则黑棋⑨的位置应记 为____________．
分析：这是一道用两个有序量来表达点的位置的情境题目，题目已经确
图2
定了两个量的顺序，因此白棋⑨的位置应记为（D，6）.
点评：此题考查坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的
例 3: 如图 3,在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图案中
左右眼睛的坐标分别是(－4，2)、(－2，2)，右图中左眼的坐标是(3，4)，则右图案中右
眼的坐标是
.
y 分析:在图 3 中,平移前左眼的坐标是(-4,2),平移后左眼的坐标
3
是(3,4),它的横坐标增加了 7,纵坐标增加了 2.根据这个规律和
2
平移的特征,平移后右眼的坐标是(5,4). 点评：此题考查图形在坐标平面内变换后点的坐标
1
x
－3 －2－－11O 1 2 3
－2 图 3
例 4:已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A'B'C' 与△ABC 关于 y 轴对称，
那么点 A 的对应点 A'的坐标为（
）．
A．(－4，2)
B．(－4，－2) C．(4，－2)
D．(4，2)
分析:关于 y 轴对称的点,纵坐标相同,横坐标相反.在图 4 中,A 点的坐标是 (-4,2),则 A 点关于 y 轴对称的对应点 A? 的坐标为(4,2),故选 D.
点评:在平面直角坐标系中，求图形经过几何变换后点的坐标,应先准确作图,
图4
48
然后求坐标. N
例 5:如图，8×8 方格纸上的两条对称轴 EF、MN 相交于中心点 O，对△ABC
Q
分别作下列变换：
P
R
E
O
F
①先以点 A 为中心顺时针方向旋转 90°，再向右平移 4 格、向上平移 4 格；
A
②先以点 O 为中心作中心对称图形，再以点 A 的对应点为中心逆时针方向 旋转 90°；
BC
M 图5
③先以直线 MN 为轴作轴对称图形，再向上平移 4 格，再 以点 A 的对应点为中心顺时针方向旋转 90°．
其中，能将△ABC 变换成△PQR 的是（ ）
A.②
B.③
C.③ D.①②③
分析：根据两个三角形的位置关系，△ABC 经过①②③的变换可以得到△PQR，所以选 D.
点评：此题考查几何图形的变换与作图
例 6:如图 6，在10 ?10 正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位．将 △ABC 向下 平移 4 个单位，得到 △A?B?C? ，再把 △A?B?C? 绕点 C? 顺时针旋转 90 ，得到△A??B??C? ， 请你画出 △A?B?C? 和 △A??B??C? （不要求写画法）．
分析:按照平移、旋转的定义所作的图形如图 7 所示.
点评：关于几何变换的作图，特别是要注意抓住各种几何变换的基本要素和特征.
A
B
C
A
C
B
B??
A? A??
B?
C?
图6
图7
基础练习
49
一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、点 A（3，－2）关于 x 轴对称的点是＿＿＿＿＿。 ２、P（2，3）关于原点对称的点是＿＿＿＿＿。 ３、P（－2，3）到 y 轴的距离是＿＿＿＿＿。 ４、小红坐在第 5 排 24 号用（5，24）表示，则（6，27）表示小红坐在第＿＿排＿ ＿号。 ５、以坐标平面内点 A（2，4），B（1，0），C（－2，0）为顶点的三角形的面积是＿ ６、如图１，△AOB 的顶点 A 的坐标为＿＿＿＿＿。 ７、如图１，△AOB 沿 x 轴向右平移 1 个单位后，得到△A'O'B'，则点 A'的坐标为＿ ＿＿。 ８、如图２，矩形 ABOC 的长 OB＝3，宽 AB＝2，则点 A 的坐标为＿＿＿＿。 ９、如图３，正方形的边为 2 ，则顶点Ｃ的坐标为＿＿＿＿＿。 10、如图４，△AOB 和它缩小后得到的△COD。则△AOB 和△COD 的相似比为＿＿ ＿。
y
4 3
A A'
y A
2
1
O
B B'
123 4
x
B
C
O
x
（1）
y
（3）
A 3
北
2C
y
1
A3 A2
A
C
B
Ox
DB x
12 3
（4）
西 A4
A1
东
A5
11、小东要（在2电）话中告诉同学如图５的图形，他应当怎样描南述。（6）
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
12、如图６，一个机器人从 O 点出以，向正东方走 3 米到达 A 点，再向正北方走 6 米
到达 A2 点，再向正西方向走 9 米到达 A3 点，再向正南方向走 12 米到达 A4 点，再向正 东走 15 米到达 A5 点，按如此规律走下去，当机器人走到 A6 点时，离Ｏ点的距离是＿ ＿＿＿＿米。
二、选择题：（每题 4 分，共 24 分）
１、若点 A（m，n）在第三象限，则点 B（－m，n)，在（ ）
A、第一象限
B、第二象限
C、第三名象限
D、第四象限
２、若 P（m，2）与点 Q（3，n）关于 y 轴的对称，则 m、n 的值是（ ）
A、－3，2
B、3，－2
C、－3，－2
D、3，2
３、A 在 B 的北偏东 30°方向，则 B 在 A 的（ ）
A、北偏东 30° B、北偏东 60° C、南偏西 30° D、南偏西 60°
４、下列说法正确的是（ ）
A、两个等腰三角形必是位似图形
B、位似图形必是全等图形
C、两个位似图形对应点连线可能无交点 D、两个位似形对应点连线只有一个交点
50
５、将△ABC 的三个顶点的纵坐标乘以－1，横坐标不变，则所得图形与原图形的关系是
（）
A、关于 x 轴对称
B、关于 y 轴对称
C、关于原点对称
D、原图形向 y 轴负方向平移 1 个单位
６、如图，每个小正方形的边长为 1 个单位，对于 A、B 的位置，下列说法错误的是（ ）
A、B 向左平移 2 个单位再向下移 2 个单位与 A 重合
B、A 向左平移 2 个单位再向下移 2 个单位与 B 重合
C、B 在 A 的东北方向且相距 2 2 个单位
D、若点 B 的坐标为（0，0），则点 A 的坐标为（－2，－2）
三、解答题：（每题 9 分，共 54 分）
１、在如图所示的国际象棋棋盘中，双方四只子的位置分别是 A（b，3），B（d，5），
C（f，7），D（h，2），请在图（1）中描出它们的位置。
图（1）
图（2）
２、小明的家在学校的北偏东 45°方向，距离学校 3km 的地方，请在图（2）中 标出小明家 P 的位置。
３、将图中的△ABC，沿 y 轴正方向平移 3 个单位，画出相应的图形，指出三 个顶点的坐标所发生的变化。
４、下列是小明所在学校的平面示意图小明可以如何描述他所住的宿舍位置，以 便来访的小学同学能顺利地找到他的宿舍。
５、小海龟位于图中点 A 处，按下述中令移动：向前前进 3 格；向右移 90°，前进 5 格；
51
向左移 90°，前进 3 格；向左移 90°，前进 6 格，向右移 90°，后退 6 格；最后向右移 90°， 前进 1 格，用粗线将小海龟经过的路线描绘出来，看一看是什么图形。
６、假期中，小王与同学到某海岛上旅游，按照旅游图（如图），他们在 A 点登陆后应当如 何走才能到达景点 B？ 四、（12 分）某城市 A 地和 B 地之间经常有车辆来
往，C 地和 D 地也经常有车辆来往，建立如图所示 的直角坐标条，四地的坐标为 A（－3，2）， B（－1，－4），C（－5，－3），D（1，1） 拟建一座加油站，那么加油站建在哪里， 对大家都方便？给出具体位置。
五、（12 分）如图是某镇的部分单位的示意图，若用（2，5）表示图上镇政府的位置，试在 图上建立直角坐标系，并用坐标表示出其他各单位的位置。
六、（12 分）在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成 OA1B1，第二次将△OA1B1 变换成
52
△OA2B2，第三次将△OA2B2 变换成△OA3B3，已知 A(1，3) ，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8， 3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)。
y
A A1
A2
A3
B
B1
B2
B3
x
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA3B3 变 换成△OA4B4，则 A4 的坐标为＿＿＿＿＿＿，B4 的坐标为＿＿＿＿＿＿。
（2）按以上规律将△OAB 进行 n 次变换得到△AnBn，则可知 An 的坐标为＿＿＿ ＿＿，Bn 的坐标为＿＿＿＿＿＿。
（3）可发现变换的过程中 A、A1、A2…An 纵坐标均为＿＿＿＿＿＿。
参考答案
53
一、1、(3, 2) 2、(－2, －3) 3、2 4、6 27 5、6 6、(1, 3) 7、(2, 3)
8、(－3, 2)
9、(1, 1) 10、3∶2 11、建立坐标，告诉各点的坐标 12、15
二、1、D 2、A 3、C 4、D 5、A 6、B
三、1－2、略 3、横坐标不变 纵坐标加 3 4、略 5、一面旗子 6、向东
前进 800 米，再向北前进
200 米，再向西走 300 米，再向北前进 600 米，最后向东前进 100 米，就可以到达
B点
四、找出 AB 与 CD 的交叉点，P（－2，－15）
五、小学（3, 6） 中学（5, 6） 市场（4, 2） 公司（5, 1） 化工厂（－1, 1）
供电所（－1, 3） 六、（1）（16, 3）（32, 0）
（2）（2n, 3）（2n＋1, 0）
（3）3
第五章 一次函数
54
复习总目
1、能用待定系数法求一次函数的解析式 2、会根据一次函数的图象解相应的问题并会取得函数解析式的基本方法和步骤 3、掌握一次函数的性质
知识点概要
1、一次函数：形如 y=kx+b (k≠0, k, b 为常数)的函数。
注意：（1）k≠0,否则自变量 x 的最高次项的系数不为 1； （2）当 b=0 时，y=kx，y 叫 x 的正比例函数。
2、图象：一次函数的图象是一条直线， （1）两个常有的特殊点：与 y 轴交于（0，b）；与 x 轴交于（- ，0） （2）由图象可以知道，直线 y=kx+b 与直线 y=kx 平行，例如直线：y=2x+3 与直线 y=2x-5
都与直线 y=2x 平行。 3、性质：
(1)图象的位置:
(2)增减性 k>0 时，y 随 x 增大而增大 k<0 时，y 随 x 增大而减小
4．求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种 (1)由已知函数推导或推证
55
(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析 式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。
(3)用待定系数法求函数解析式。 “待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过 引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的 系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：
①利用一次函数的定义
构造方程组。 ②利用一次函数 y=kx+b 中常数项 b 恰为函数图象与 y 轴交点的纵坐标，即由 b 来定点； 直线 y=kx+b 平行于 y=kx，即由 k 来定方向 。 ③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。 ④利用题目已知条件直接构造方程 。
中考规律盘点与预测 通过对近几年各地的中考试题的研究发现，对关于一次函数往往与反比例函
数结合起来出现在选择题中，与三角形结合出现在计算题中。
56
典型分析
例 1：已知 y= ，其中 = (k≠0 的常数)， 与 成正比例，求证 y 与 x 也成正比 例。 证明：∵ 与 成正比例，
设 =a (a≠0 的常数), ∵y= , = (k≠0 的常数), ∴y= ·a =akx， 其中 ak≠0 的常数， ∴y 与 x 也成正比例。 例 2：已知一次函数 =(n-2)x+ -n-3 的图象与 y 轴交点的纵坐标为-1，判断 =(3- ) 是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位 置及增减性。
解：依题意，得
解得 n=-1， ∴ =-3x-1,
=(3- )x,
是正比例函数；
=-3x-1 的图象经过第二、三、四象限， 随 x 的增大而减小；
=(3- )x 的图象经过第一、三象限， 随 x 的增大而增大。 点评：由于一次函数的解析式含有待定系数 n，故求解析式的关键是构造关于 n 的方程，此 题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与 y 轴交点纵坐标”来构造方程。 例 3：直线 y=kx+b 与直线 y=5-4x 平行，且与直线 y=-3(x-6)相交，交点在 y 轴上，求此直 线解析式。 分析：直线 y=kx+b 的位置由系数 k、b 来决定：由 k 来定方向，由 b 来定与 y 轴的交点，若 两直线平行，则解析式的一次项系数 k 相等。例 y=2x,y=2x+3 的图象平行。
解：∵y=kx+b 与 y=5-4x 平行，
57
∴k=-4, ∵y=kx+b 与 y=-3(x-6)=-3x+18 相交于 y 轴， ∴b=18， ∴y=-4x+18。 点评：一次函数 y=kx+b 图象的位置由系数 k、b 来决定：由 k 来定方向，由 b 来定点，即函 数图象平行于直线 y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定 k，由与 y 轴交 点定 b。 例 4：直线与 x 轴交于点 A（-4，0），与 y 轴交于点 B，若点 B 到 x 轴的距离为 2，求直线 的解析式。 解：∵点 B 到 x 轴的距离为 2， ∴点 B 的坐标为（0，±2）， 设直线的解析式为 y=kx±2, ∵直线过点 A（-4，0）， ∴0=-4k±2, 解得：k=± ,
∴直线 AB 的解析式为 y= x+2 或 y=- x-2. 点评：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式 必备的。
（1）图象是直线的函数是一次函数； （2）直线与 y 轴交于 B 点，则点 B（0， ）；
（3）点 B 到 x 轴距离为 2，则| |=2；
（4）点 B 的纵坐标等于直线解析式的常数项，即 b= ；
（5）已知直线与 y 轴交点的纵坐标 ，可设 y=kx+ ， 下面只需待定 k 即可。 例 5：已知一次函数的图象，交 x 轴于 A（-6，0），交正比例函数的图象于点 B，且点 B 在 第三象限，它的横坐标为-2，△AOB 的面积为 6 平方单位，求正比例函数和一次函数的解析 式。
58
分析：自画草图如下： 解：设正比例函数 y=kx， 一次函数 y=ax+b， ∵点 B 在第三象限，横坐标为-2， 设 B（-2， ），其中 <0，
∵
=6，
∴ AO·| |=6，
∴ =-2， 把点 B（-2，-2）代入正比例函数 y=kx，得 k=1 把点 A（-6，0）、B（-2，-2）代入 y=ax+b，
得
解得：
∴y=x, y=- x-3 即所求。 点评：（1）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式，注意两个 函数中的系数要用不同字母表示；
（2）此例需要把条件（面积）转化为点 B 的坐标。这个转化实质含有两步：一是利用 面积公式 AO·BD=6（过点 B 作 BD⊥AO 于 D）计算出线段长 BD=2，再利用| |=BD 及点 B 在第三象限计算出 =-2。若去掉第三象限的条件，想一想点 B 的位置有几种可能，结果 会有什么变化？（答：有两种可能，点 B 可能在第二象限（-2，2），结果增加一组 y=-x, y= (x+3).
59
基础练习
一、填空
1、已知一个正比例函数的图象经过点（-2，4），则这个正比例函数的表达式是
。
2、若函数 y= -2xm+2 是正比例函数，则 m 的值是
。
3、已知一次函数 y=kx+5 的图象经过点（-1，2），则 k=
。
4、已知 y 与 x 成正比例，且当 x＝1 时，y＝2，则当 x=3 时，y=____
。
5、点 P（a，b）在第二象限，则直线 y=ax+b 不经过第
象限。
6、已知一次函数 y=kx-k+4 的图象与 y 轴的交点坐标是(0，-2)，那么这个一次函数的表达
式是______________。
7、已知点 A(- 1 ，a), B(3，b)在函数 y=-3x+4 的象上,则 a 与 b 的大小关系是____
。
2
8、地面气温是 20℃,如果每升高 100m,气温下降 6℃,则气温 t（℃）与高度 h（m）的函数
关系式是__________。
9、一次函数 y=kx+b 与 y=2x+1 平行,且经过点(-3,4),则表达式为：
。
10、写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式（写出一个即可）
。
（1）y 随着 x 的增大而减小， （2）图象经过点（1，-3）。
二、选择题
11、下列函数（1）y=π x (2)y=2x-1 (3)y=1x
(4)y=2-1-3x 中，是一次函数的有（
）
（A）4 个
（B）3 个
（C）2 个
（D）1 个
y
12、下面哪个点不在函数 y ? ?2x ? 3 的图像上（ ）
1
（A）（-5，13） （B）（0.5，2） （C）（3，0） （D）（1，1） 13、直线 y=kx+b 在坐标系中的位置如图，则( )
O
2x
（第 13 题图）
（A）k ? ? 1 ,b ? ?1 （B）k ? ? 1 ,b ? 1
2
2
14、下列一次函数中，随着增大而减小而的是 （
（C）k ? 1 ,b ? ?1 2
）
（D）k ? 1 ,b ? 1 2
（A） y ? 3x （B） y ? 3x ? 2 （C） y ? 3 ? 2x （D） y ? ?3x ? 2
60
15、已知一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，则 k，b 的符号是( )
(A) k>0，b>0
(B) k>0，b<0
(C) k<0，b>0
(D) k<0，b<0
16、函数 y=(m+1)x-(4m-3)的图象在第一、二、四象限，那么 m 的取值范围是( )
（A） m ? 3 4
（B） ?1 ? m ? 3 4
（C） m ? ?1
（D） m ? ?1
17、一支蜡烛长 20 厘米,点燃后每小时燃烧 5 厘米,燃烧时剩下的高度 h (厘米)与燃烧时间
t (时)的函数关系的图象是( )
(A)
(B)
（C）
（D）
18、下图中表示一次函数 y＝mx+n 与正比例函数 y＝m nx(m ，n 是常数，且 mn<0)图像的是
( )．
三、计算题 19、已知一个正比例函数和一个一次函数的图象相交于点 A(1，4)，且一次函数的图象与 x
轴交于点 B(3，0) (1)求这两个函数的解析式； (2)画出它们的图象；
61
20、已知 y -2 与 x 成正比，且当 x=1 时，y= -6
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式
(2)若点(a，2)在这个函数图象上，求 a 的值
21、已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点(-1，
-5)，且与正比例函数 y=
1 2
x 的图象相交于
点(2，a)，求
(1)a 的值
(2)k，b 的值
(3)这两个函数图象与 x 轴所围成的三角形的面积。
22、某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水 3000 吨，计划内用水每
吨收费 1.8 元，超计划部分每吨按 2.0 元收费。
（1）写出该单位水费 y（元）与每月用水量 x（吨）之间的函数关系式：_________________
①当用水量小于等于 3000 吨
；②当用水量大于 3000 吨
。
（2）某月该单位用水 3200 吨，水费是
元；若用水 2800 吨，水费
元。
（3）若某月该单位缴纳水费 9400 元，则该单位用水多少吨？
23、已知函数 y=(2m+1)x+m -3 (1)若函数图象经过原点，求 m 的值 (2)若这个函数是一次函数，且 y 随着 x 的增大而减小，求 m 的取值范围。
62
24、如图是某市出租车单程收费 y (元)与行驶路程 x (千米)之间的函数关系图象，根据图
象回答下列问题：
(1)当行使路程为 8 千米时，收费应为
元；
(2)从图象上你能获得哪些信息?(请写出 2 条)
①
② (3)求出收费 y (元)与行使路程 x (千米) (x≥3)之间的函数关系式。
63
参考答案
一、填空
1、y=-2x 2、-1 3、3 4、6 5、三 6、y=6x-2
7、a＞b 8、t=-0.06h+20 9、y=2x+10 10、y=-3x 或 y=-2x-1 等。
二、选择题
11、B 12、C 13、B 14、D 15、D 16、C 17、D 18、C
三、计算题
19(1)y=4x,y=x+3,（2）略
20(1)y=-8x+2 (2)a=0,21(1)a=1 (2)k=2,b=-3 (3)3/4
22(1)①y=1.8x
②y=2x-600
(2)5800,5040(3) 5000
23(1)m=3 (2)m＜-1/2
24(1) 11 (2) ①出租车的起步价是 5 元 ②出租车起步价的路程范围是 3 公里之内（包
括 3 公里） （3）y=1.2x+1.4(x≥3)
25(1) 8,32
(2)57 (3) y=-x+57(x≥25) (4) 30
64
八年级数学上册期末测试卷（A）
一、选择题（下面各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的。12×3=36 分）
1、 16 的算术平方根是（ ）
A、±4
B、4
C、±2
D、2
2、函数 y ? x ? 2 ? (x ? 3)0 中自变量的取值范围是（ ）
A、 x ? 2
B、 x ? 2
C、 x 2且x ? 3
D、 x ? 2且x ? 3
3、下列运算正确的是（ ）
A、a+2a2=3a3
B、(a3)2=a6
C、a3?a2=a6
D、a6÷a2=a3
4、下列美丽的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5、一次函数 y ? ?3x ? 6 的图象不经过（ ）
A 第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
6、点（—2，4）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ）
A(－2,－4)
B、(－2,4)
C、(2,—4)
D、(2,4)
7、如图，∠ACB=900，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE 于 D，AD=2.5cm，DE=1.7cm，则 BE=
A、1cm
B、0.8cm
C、4.2cm
D、1.5cm
8、下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A、x2+2xy－y2 B、x2－xy+4y2
C、x2－xy+ y2 4
D、x2—5xy+10y2
9、点 (x1, y1) 、 (x2 , y2 ) 在直线 y ? ?x ? b 上，若 x1 ? x2 ，则 y1 与 y2 大小关系是（
）
A、 y1 ? y2
B、 y1 ? y2
C、 y1 ? y2
D、无法确定
10、如图，过边长为 1 的等边△ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于 E，Q 为 BC 延长线
上一点，当 PA＝CQ 时，连 PQ 交 AC 边于 D，则 DE 的长为（
）
A． 1 3
B． 1 2
C． 2 3
D．不能确定
65
B E
D
C
题7图
A 题 10 图
题 11 图
11、如图中的图像(折线 ABCDE)描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发 地的距离 s(千米)和行驶时间 t(小时)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下 列说法：①汽车共行驶了 120 千米；②汽车在行驶途中停留了 0.5 小时；③汽车在整 个行驶过程中的平均速度为 80.8 千米／时；④汽车自出发后 3 小时至 4.5 小时之间行 驶的速度在逐渐减小．⑤汽车离出发地 64 千米是在汽车出发后 1.2 小时时。其中正确 的说法共有( ) A.1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
12、如图，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=900，AE 平分∠BAC 交 BC 于 E，BD⊥AE 于 D，
DM⊥AC 交 AC 的延长线于 M，连接 CD。下列结论：
①AC+CE=AB；②CD=
1 AE 2
，③∠CDA=450
，④
AM AC ? AB 为定值。
M C
y
y＝x＋1
A4
D
E
A3 A2
B3
A
B
A1
B2 B1
题 12 图
O C1 C2
C3
(第 14 题图)
二、填空题（每小题 3 分，共 12 分）
B4
x C4
y
B
O
x
A
题 15 图
13、－8 的立方根是
?(?2)2 =
(a ? 2b)2 =
14、如图所示，直线 y＝x＋1 与 y 轴相交于点 A1，以 OA1 为边作正方形 OA1B1C1，记作第一个 正方形；然后延长 C1B1 与直线 y＝x＋1 相交于点 A2，再以 C1A2 为边作正方形 C1A2B2C2， 记作第二个正方形；同样延长 C2B2 与直线 y＝x＋1 相交于点 A3，再以 C2A3 为边作正方形 C2A3B3C3，记作第三个正方形；…依此类推，则第 n 个正方形的边长为________________．
15、如图，直线 y ? kx ? b 经过 A（－2，－1）、B（－3，0）两点，则不等式组 1 x ? kx ? b ? 0 2
的解集为
.
66
16、已知，一次函数 y ? kx ? b 的图像与正比例函数 y ? 1 x 交于点 A，并与 y 轴交于点 3
B(0, ?4) ，△AOB 的面积为 6，则 kb ?
。
三、解答题（本大题 72 分） 17、（本题 6 分）①分解因式： 6xy2 ? 9x2 y ? y3
② 3 ? 2 ? 3 ? 8 ? (?2)2 ? ? 2
18、（本题 6 分）先化简，再求值：
(2a ? b)(2a ? b) ? b(2a ? b) ? 4a2b ? b ，其中 a ? ? 1 , b ? 2 . 2
19、（本题 6 分）如图，C 是线段 AB 的中点，CD 平分∠ACE，CE 平分∠BCD，CD=CE． (1)求证：△ ACD≌△ BCE； (2)若∠D=50°，求∠B 的度数．
20、（本题 7 分）已知一次函数 y ? kx ? b 的图像可以看作是由直线 y ? 2x 向上平移 6 个单位 长度得到的，且 y ? kx ? b 与两坐标轴围成的三角形面积被一正比例函数分成面积的比 为 1:2 的两部分，求这个正比例函数的解析式。
21、（7 分）如图，在平面直角坐标系中，函数 y ? x 的图象 l 是第一、三象限的角平分线． 实验与探究：由图观察易知 A（0，2）关于直线 l 的对称点 A? 的坐标为（2，0），请在
图中分别标明 B(5,3) 、C(-2,5) 关于直线 l 的对称点 B? 、 C? 的位置，并写出它们的坐标:
67
B?
、 C?
；
归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点 P(m,n)
关于第一、三象限的角平分线 l 的对称点 P? 的坐标为
；
运用与拓广：已知两点 D(0,-3)、E(-1,-4)，试在直线 l 上确定一点 Q，使点 Q 到 D、E
两点的距离之和最小，并求出 Q 点坐标．
22、（本题 8 分）如图所示，已知△ABC 中，点 D 为 BC 边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE，
（1）求证：△ABC≌△ADE
A
2
E
（2）若 AE∥BC，且∠E= 1 ∠CAD，求∠C 的度数。
1
3
3
B
D
C
23、（本题 10 分）某公司有 A 型产品 40 件， B 型产品 60 件，分配给下属甲、乙两个商店
销售，其中 70 件给甲店，30 件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元） 如下表：
A 型利润
B 型利润
68
甲店
200
170
乙店
160
150
（1）设分配给甲店 A 型产品 x 件，这家公司卖出这 100 件产品的总利润为W （元），求W 关于 x 的函数关系式，并求出 x 的取值范围；
（2）若公司要求总利润不低于 17560 元，有多少种不同分配方案，哪种方案总利润最大， 并求出最大值。
24、（本题 10 分）已知△ABC 是等边三角形，点 P 是 AC 上一点，PE⊥BC 于点 E，交 AB
于点 F，在 CB 的延长线上截取 BD=PA，PD 交 AB 于点 I， PA ? nPC .
（1）如图 1，若 n ?1 ，则 EB =
， FI =
；
BD
ED
F
F
A
P I
F A
P I
D
D B EC
D B EC
图1
图2
（2）如图 2，若∠EPD=60?，试求 n 和 FI 的值；
ED
A
B
CE
I
P
图3
（3）如图 3，若点 P 在 AC 边的延长线上，且 n ? 3 ，其他条件不变，则 EB =
.(只
BD
写答案不写过程)
69
25、（本题 12 分）如图 1，在平面直角坐标系中，A（ a ，0），B（0， b ），且 a 、 b 满足
b?
a2 ? 4 ?
4 ? a2 ?16
.
a?2
（1）求直线 AB 的解析式；
（2）若点 M 为直线 y ? mx 在第一象限上一点，且△ABM 是等腰直角三角形，求 m 的值.
（3）如图 3 过点 A 的直线 y ? kx ? 2k 交 y 轴负半轴于点 P，N 点的横坐标为-1，过 N 点的
直线 y ? k x ? k 交 AP 于点 M，给出两个结论：① PM ? PN 的值是不变；② PM ? PN 的
22
NM
AM
值是不变，只有一个结论是正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值。.
y
y
B
B
y M
O 图1
A x
O 图2
A x
O N
Ax
P 图3
70
八年级数学上册期末测试卷（B）
一、细心填一填（本题共 10 小题；每小题 4 分，共 40 分．）
1.若 x2+kx+9 是一个完全平方式，则 k=
.
2.点 M（-2，k）在直线 y=2x+1 上，则点 M 到 x 轴的距离是
.
3.已知一次函数的图象经过（-1，2），且函数 y 的值随自变量 x 的增大而减小，请写出一个
符合上述条件的函数解析式
.
4.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，BC=10cm，BD=7cm，则点 D 到 AB 的距离
是
.
5.在△ABC 中，∠B=70°，DE 是 AC 的垂直平分线，且∠BAD:∠BAC=1:3，则∠C=
.
A A
E
B
D
C
4题
BD
C
5 题图
6.一等腰三角形的周长为 20，一腰的中线分周长为两部分，其中一部分比另一部分长 2，则
这个三角形的腰长为
.
7.某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户收费办法调整为：若每户/月不超过 12 吨则每吨
收取 a 元；若每户/月超过 12 吨，超出部分按每吨 2a 元收取.若小亮家 5 月份缴纳水费 20a
元，则小亮家这个月实际用水
8. 如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合），在 AE 同侧分别作正△ABC 和正△CDE，
AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结 PQ．以下五个结论：
B
① AD=BE；② PQ∥AE；③ AP=BQ；④ DE=DP；⑤ ∠AOB=60°．
一定成立的结论有____________（把你认为正确的序号都填上）．
P
OD Q
A
C
E
71
ab
10
9．对于数 a，b，c，d，规定一种运算 =ad－bc，如
=1×(－2）－0×2=－2，
cd
2 (?2)
那么当 (x ?1) (x ? 2) =27 时，则 x= (x ? 3) (x ?1)
10、已知 x ? y ? 5, xy ? 3, 则 x2 ? y2 =
二、精心选一选（本题共 10 小题；每小题 4 分，共 40 分） 11、下列四个图案中，是轴对称图形的是 （ ）
12、等腰三角形的一个内角是 50°，则另外两个角的度数分别是（ ） A、65°，65° B、50°，80° C、65°，65°或 50°，80° D、50°，50
13、下列命题 ：（1）绝对值最小的的实数不存在；（2）无理数在数轴上对应点不存在；（3） 与本身的平方根相等的实数存在；（4）带根号的数都是无理数；（5）在数轴上与原点距
离等于 2 的点之间有无数多个点表示无理数，其中错误的命题的个数是( )
A、2
B、3
C、4
D、5
14.对于任意的整数 n，能整除代数式(n+3)(n－3)－(n+2)(n－2)的整数是 ( )
A.4
B.3
C.5
D.2
1 15.已知点（－4，y1），（2，y2）都在直线 y=－ 2 x+2 上，则 y1 、y2 大小关系是 （ ）
A． y1 > y2
B． y1 = y2
C．y1 < y2
D． 不能比较
16.下列运算正确的是
()
A.x2+x2=2x4
B.a2·a3= a5
C.(－2x2)4=16x6
D.(x+3y)(x－3y)=x2－3y2
17．如图，把矩形纸片 ABCD 纸沿对角线折叠，设重叠部分 为△EBD，那么，下列说法错误的是（ ） A．△EBD 是等腰三角形，EB=ED B．折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等
C
E
A
D
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
B
D．△EBA 和△EDC 一定是全等三角形
18．如图，△ABC 中边 AB 的垂直平分线分别交 BC、AB 于点 D、
72
E，AE=3cm，△ADC?的周长为 9cm，则△ABC 的周长是（ ）
A．10cm
B．12cm
C．15cm
D．17cm
19. .两个一次函数 y=ax+b 和 y=bx+a，它们在同一坐标系中的图象大致是（ ）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
ox
A
B
C
D
20.一名学生骑自行车出行的图象如图，其中正确的信息是（ ）
A.整个过程的平均速度是 7 千米/时 60
B.前 20 分钟的速度比后半小时慢 C.该同学途中休息了 10 分钟 D.从起点到终点共用了 50 分钟
y/千米
7 6 5
4 3 2
1
O 10 20 30 40 50 60 x/分
三．用心做一做
21.计算（10 分，每小题 5 分）
（1）分解因式 6xy2-9x2y-y3
（2） (a2b ? 2ab2 ? b3) ? b ? (a ? b)(a ? b)
22. （10 分） 如图，（1）画出△ABC 关于 Y 轴的对称图形△A1B1C1 （2）请计算△ABC
的面积
（3）直接写出△ABC 关于 X 轴对称的三角形△A2B2C2 的各点坐标。
23. （10 分）先化简，再求值：[(x ? y)2 ? y(2x ? y) ? 8x] ? 2x ，其中 x ＝－2 .
73
24．（10 分）甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由 A 地到 B 地，行驶过程中路程与时间的 函数关系的图象如图. 根据图象解决下列问题：
(1) 谁先出发？先出发多少时间？谁先到达终点？先到多少时间？ (2) 分别求出甲、乙两人的行驶速度； (3) 在什么时间段内，两人均行驶在途中(不包括起点和终点)？在这一时间段内，请你
根据下列情形，分别列出关于行驶时间 x 的方程或不等式(不化简，也不求解)：① 甲 在乙的前面；② 甲与乙相遇；③ 甲在乙后面.
25．（10 分）如图，小明在完成数学作业时，遇到了这 样一个问题，AB=CD，BC=AD，请说明： OA=OC 的 道理，小明动手测量了一下，发现 OA 确实与 OC 相等，但他不能说明其中的道理，你能帮 助他说明这个道理吗？试试看。
AC
O
B （第 25 题） D
26．（10 分）如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D,垂足
为 E，若∠A = 30°,CD = 2. （1） 求∠BDC 的度数；
C D
（2）求 BD 的长.
A
E
B
（第 26 题）
74
27. （10 分） 08 年 5 月 12，四川省汶川等地发生强烈地震。在抗震救灾中，甲、乙两重
灾区急需一批大型挖掘机，甲地需 25 台，乙地需 23 台；A、B 两省获知情况后慷慨相助，
分别捐赠挖掘机 26 台和 22 台并将其全部调往灾区．若从 A 省调运一台挖掘机到甲地要耗资
0.4 万元，到乙地要耗资 0.3 万元；从 B 省调运一台挖掘机到甲地要耗资 0.5 万元，到乙地
要耗资 0.2 万元．设从 A 省调往甲地 x 台，A、B 两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资 y
万元． （1）求出 y 与 x 之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围； （2）若要使总耗资不超过 15 万元，有哪几种调运方案？ （3）怎样设计调运方案能使总耗资最少？最少耗资是多少万元？
A省捐赠 26台
甲灾区 需25台
B省捐赠 22台
乙灾区 需23台
75
八年级数学上册期末测试卷（A）答案:
一、选择题
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 D D B D A A B C C B B D
二、填空题 13、 －2 －4 三、解答题
a2 ? 4ab ? 4b2 14、 n 15、 ?3 x ?2 16、
4或 ? 20 3
17、①解：原式= －y(y2－6xy+9y2) ………………………………
1分
= －y(y－3x) 2 或 －y(3x－y) 2 …………………
3分
②解：原式= = =
2 ? 3 ? (?2) ? ?2 ? 2 2? 3?2?2?2 ?3
…………………
1分
…………………
2分
…………………
3分
18、解： (2a ? b)(2a ? b) ? b(2a ? b) ? 4a2b ? b
? 4a2 ? b2 ? 2ab ? b2 ? 4a2
………………………… 3 分
? 2ab
……………………………………………… 4 分
当a ? ? 1 ,b ? 2时 2
原式 ? 2?（- 1）? 2=-2 ……………………………………… 6 分 2
19、解：（1）
C为AB的中点 ? AC=CB 又 CD平分∠ACE ?∠1=∠2 同理：∠2=∠3
……………………………… 1 分
?∠1=∠3
………………………………… 2 分
? 在△ACD和△BCE中
AC ? CB ∠1=∠3
（2）
DC ? CE ?△ACD≌△BCE（SAS）………………………………… 4 分
由（1）得∠1=∠2=∠3
∠A=∠B
又 ∠1+∠2+∠3=1800
?∠1=600 ?在△ADC中
………………………………… 5 分 ………………………………… 6 分
∠A=1800 ?∠D-∠1=700
?∠B=700
76
20、解： y ? kx ? b的图像是由 y ? 2x 向上平移 6 个单位长度得来的
∴一次函数的解析式为： y ? 2x ? 6 ……………………………… 1 分 ∴如图 y ? 2x ? 6 与两坐标轴围成的三角形的面积为
S△AOB=
1 2
?
?3
?
6
=
9
又∵一正比例函数将它分成面积为 1:2 两部分
∴分成的两三角形分别为 6,3
当 S△AOC=3 时
……………………………… 2 分
B C
E
∵OA= 3 CD=2 又∵OB=6 CE=2
∴C（2,2） ∴y=x
AD O
……………………………… 4 分 ……………………………… 5 分
当 S△AOC = 6 时
∵OA= 3 CD=4 又∵OB=6 CE = 1
∴C（－1,4） ∴y=－4x
……………………………… 7 分
21、解：（1）如图： B?(3,5) ， C?(5, ? 2)
………………………………… 2 分
(2)(n,m) ………………………………………………………………3 分
(3)由(2)得，D(0,-3) 关于直线 l 的对称点 D? 的坐标为(-3,0)，连接 D? E 交直线
l 于点 Q，此时点 Q 到 D、E 两点的距离之和最小 …………………4 分
设过 D? (-3,0) 、E(-1,-4)的设直线的解析式为 y ? kx ? b ，
则
??3k ? b ? 0， ???k ? b ? ?4．
∴ y ? ?2x ? 6 ．
∴
?k ??b
? ?
?2， ?6．
由
? ? ?
y y
? ?
?2x x．
?
6，
得
? ? ?
x y
? ?
?2， ?2．
∴所求 Q 点的坐标为（-2，-2）………………………………………7 分
22、解：（1）设 AC 与 DE 的交点为 M 可证∠BAC=∠DAE
……………………………………… 1 分
在△AME 和△DMC 中可证∠C=∠E ……………………………… 2 分 在△ABC 和△ADE 中
∠BAC=∠DAE ∠C=∠E
AC=AE ∴△ABC≌△ADE(AAS)
……………………………… 4 分
（2）∵AE∥BC ∴∠E=∠3 ∠DAE=∠ADB
……………………………… 5 分
77
又∵∠3=∠2=∠1 令∠E=x
则有：∠DAE=3x+x=4x=∠ADB
……………………………… 6 分
又∵由（1）得 AD=AB ∠E=∠C
∴∠ABD=4x
………………………………
7分
∴在△ABD 中有：x+4x+4x=1800
∴x=200
∴∠E=∠C=200
………………………………
8分
23、（1）解： y ? 200x ?170(70 ? x) ?160(40 ? x) ?150(x ?10) ……………………（1 分）
? 20x ?16800
………………………………………… （2 分）
?x ? 0
又
??70 ??40
? ?
x x
? ?
0 0
?
10
?
x
?
40
??x ? 10 ? 0
…………………………………
（4 分）
∴y ? 20x ?16800 （10 ? x ? 40 ）……………………………… （5 分）
（2）解：20x + 16800 ≥17560
x ≥38
…………………………………………
（6 分）
∴38≤x≤40
∴有 3 种不同方案。 ………………………………………… （7 分）
∵k = 20＞0
当 x = 40 时，ymax = 17600
………………………………… （9 分）
分配甲店 A 型产品 40 件，B 型 30 件，分配乙店 A 型 0 件，B 型 30 件时总利润最大。最
大利润为 17600 元
………………………………………… （10 分）
2
24、（1） EB = 3 ， FI = 1
BD
ED
；…………………………………………2 分
(2)如右图设 PC= a，则 PA=an；连 BP，且过 P 作 PM⊥AB 于 M；过 P 点作 PN∥BC
交 AB 于 N
F
可判断 ANP 为等边三角形 所以 AP=PN=AN ∴△PNI≌△DBI(AAS)
∴IB= 1 a 2
又∵∠PED=900
A
M N
P
I
D B EC
∴∠D=∠BID= 300
图2
∴BI=BD
1 a =an 2
∴n= 1 2
………………………………………… 5 分
在三角形 AMP 中可得 AM= 1 an 2
∴BM=BE= a ? an ? 1 an ? a ? 1 an
2
2
78
又 DB=PA
∴DE= a ? 1 an ? an ? a ? 3 an
2
2
又∵∠EPC=∠APF=300
而∠CAF=1200
∠F=300
AF=AP= an
∴FI=2an+ 1 a 2
(3) EB = 5 BD 6
∴
FI
2an ? 1 a
=
2=
4n ?1 = 6
ED 3 an ? a 3n ? 2 7
2
…………………8 分
………………………………………… 10 分
25、解：（1）由题意求得 A(2,0) B(0,4) ………………………………………… 1 分 利用待定系数法求得函数解析式为： y ? ?2x ? 4 ……………… 3 分
（2）分三种情况（求一种情况得 1 分；两种情况得 2 分；三种情况得 4 分）
当 BM⊥BA 且 BM=BA 时 △ BMN≌△ABO(AAS) 得 M 的坐标为（4,6 ）
m= 3 2
当 AM⊥BA 且 AM=BA 时 当 AM⊥BM △BOA≌△ANM(AAS) 得 M 的坐标为（6, 4 ）
m= 2 3
且 AM=BM 时
构建正方形 m=1
（3）结论 2 是正确的且定值为 2 ………………………………………… 8 分
设 NM 与 x 轴的交点为 H，分别过 M、H 作 x 轴的垂线垂足为 G，HD 交 MP 于 D 点，
由 y ? k x ? k 与 x 轴交于 H 点可得 H(1,0) 22
…………9 分
由 y ? k x ? k 与 y ? kx ? 2k 交于 M 点可求 M(3，K)
22
而 A(2,0) 所以 A 为 HG 的中点
N
所以△AMG≌△ADH(ASA)
…………10 分
y M
H
O
A Gx
C D
又因为 N 点的横坐标为－1，且在 y ? k x ? k 上
P
22
所以可得 N 的纵坐标为－K，同理 P 的纵坐标为－2K
图3
所以 ND 平行于 x 轴且 N、D 的很坐标分别为－1、1
所以 N 与 D 关于 y 轴对称
所以可证△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC
所以 PN=PD=AD=AM
所以 PM ? PN = 2 AM
……………………………… （12 分）
79
N
M
y B
O 1种
A x
_y _B
M
_A
_O
_x
N
2种
_y _B M
_A
_O
_x
80
八年级数学上册期末测试卷（B）答案:
一．
1．±6 ，2. 3, 3. y=－x+1, 4.3cm, 5.40°, 6.22/3cm 或 6cm,
7. 16 吨， 8.①.②.③.⑤,
9.22, 10.19
二
11.c, 12.C, 13.B, 14.C, 15.A, 16.B, 17.B, 18.C, 19.B, 20.C
三 21．① -y(3x-y)2
② -2ab
22. ① 略
② s△ABC=13 2
③ A2(－3, －2), B2(－4, 3), C2(－ 1, 1)
23
解：原式=
1 2
x
?
4
当 x=－2 时，原式=－5
24．
解：(1)甲先出发，先出发 10 分钟。乙先到达 终点，先到达 5 分钟。
……………………2 分
(2)甲的速度为：V 甲=
6 1
? 12( 千米/小时）
2
……………………3 分
乙的速度为：V
乙=
6 25 ?10
? 24（千米/时）
60
……………………4 分
(3)当 10＜X＜25 分钟时两人均行驶在途中。设 S 甲=kx,因为 S 甲=kx 经过
（30，6）所以 6=30k,故 k= 1 .∴S 甲= 1 x.
5
5
设 S 乙=k1x+b,因为 S 乙=k1x+b 经过（10，0）,(25,6) 所以
{
{ 81
0=10k1+b 6=25k1+b
k1= 2 5
b=－4
所以 S 乙= 2 x－4 5
① 当 S 甲＞S 乙时，即 1 x＞ 2 x－4 时甲在乙的前面。 55
② 当 S 甲=S 乙时，即 1 x= 2 x－4 时甲与乙相遇。 55
③ 当 S 甲＜S 乙时，即 1 x＜ 2 x－4 时乙在甲的前面。 55
25.．证明：在△ABD 与△CBD 中， AB=CD
AC
AD=CB
BD=DB
O
∴ △ABD≌△CBD（SSS）
∴ ∠A=∠C
∵ ∠AOB=∠COD AB=CD ∴ △AOB≌△COD
B （第 26 题） D
∴OA=OC
26．
⑴ ∠BDC=60°
⑵ BD=4
27．⑴ y＝0.4X＋0.3(26-X) ＋0.5(25－X) ＋0.2〔23－(26-X)〕
=19.7－0.2X (1≤X≤25)
⑵ 19.7－0.2X≤15
解得:X≥23.5 ∵ 1≤X≤25
∴ 24≤X≤25
即有 2 种方案，方案如下：
方案 1：A 省调运 24 台到甲灾区，调运 2 台到乙灾区,
B 省调运 1 台到甲灾区，调运 21 台到乙灾区；
方案 2：A 省调运 25 台到甲灾区，调运 1 台到乙灾区,
B 省调运 0 台到甲灾区，调运 22 台到乙灾区；
⑶ y＝19.7－0.2X, y 是关于 x 的一次函数，且 y 随 x 的增大而减小，要使耗资
最少，则 x 取最大值 25。
即：y 最小=19.7－0.2×25=14.7(万元)
82