复 习
等差数列的概念？ 等差数列的通项公式？
你知道高斯是怎么计算的吗？
1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? 97 ? 98 ? 99 ? 100
＋ ＋ ＋ ＋
? 50 ?101 ? 5050 .
思考：
(1) 高斯是如何快速求和的？他抓住了问题的什么特征？
(2) 如果换成１+２+３+?+200=？我们能否快速求和？ 如何求？
(3) 根据高斯的启示，如何计算18+21+24+＋27?+624=？ (4) 等差数列{an}的首项为a1,公差为d，如何计算
a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an ? ?
一般的，我们称
a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an
为数列 {an} 的前n项和，用Sn表示，即
Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an .
对于公差为d的等差数列，如何求它的前n项和？
Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ? ? ? ? [a1 ? (n ?1)d ].
用两个式子表示前n项和
倒序相加法
Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ? ? ? ? [a1 ? (n ?1)d ].
由①＋②得到
①
Sn ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ? ? ? ? [an ? (n ?1)d ]. ② 2Sn ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? ? ? ? ? (a1 ? an ).
? n(a1 ? an ).
n个
由此得到等差数列{an} 的前n项和的公式
n( a1 ? an ) Sn ? . 2
n( a1 ? an ) Sn ? . 2
在已知首项和尾项时使用此公式。 用 an ? a1 ? (n ?1)d 代入上面的公式，得到
n[a1 ? a1 ? (n ? 1)d ] n(n ? 1)d Sn ? ? na1 ? . 2 2
n(n ? 1)d S n ? na1 ? . 2
在已知首项和公差时使用此公式。
例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校 通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目 标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的 校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校 通”工程中的总投入是多少？
解： 根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通” 工程的经费都比上一年增加50万元。所以，可以建立一 个等差数列{an},表示从2001年起各年投入的资金，其中
a1 ? 500 , d ? 50.
那么，到2010年(n=10),投入的资金总额为
S10 ? 10 ? 500 ? 10 ? (10 ? 1) ? 50 ? 7250 (万元 ). 2
答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的 总投入是7250万元。
练习：等差数列-10，-6，-2，2， ?的前多少项的和为54？ 解： 设题中的等差数列是｛an｝，前n项和为Sn. 则a1＝-10，d＝-6-（-10）＝4，Sn＝54. 由等差数列前n项和公式，得
n(n ? 1) ? 10 n ? ? 4 ? 54. 2
解得
n1＝9，n2＝－3（舍去）.
因此，等差数列的前9项和是54.
例2. 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和 是 1220 ，由这些条件能确定这个等差数列的前 n 项和的公 式吗？ 解： 由题设： S10 ? 310 S20 ? 1220
? 10a1 ? 45d ? 310 得： ? ?20a1 ? 190d ? 1220
?a1 ? 4 ?? ?d ? 6
n(n ? 1) ? S n ? 4n ? ? 6 ? 3n 2 ? n 2
小结
本节课学习了以下内容：
n(a1 ? an ) 1.等差数列的前项和公式1：S n ? 2
n(n ? 1) d 2.等差数列的前项和公式2： S n ? na1 ? 2
课堂练习
* 1．求集合 M ? m m ? 7 n, n ? N 且m ? 100? 的元素个数，
?
并求这些元素的和.
解： 由 7 n ? 100 得 n ?
100 2 ? 14 7 7
∴正整数 n 共有14个即 M 中共有14个元素 即：7，14，21，…，98 是以 a1 ? 7 为首项， 以 a14 ? 98 为末项的等差数列.
14 ? (7 ? 98) ? 735 ∴ Sn ? 2
答：略
例3.堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一 层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个 V形架上共放着多少支铅笔？ 由题意可知，这个V形架上共放着120层 解： 铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差 数列，记为｛an｝， (an表示自下而上第n层所放的铅笔数) 其中a1=1,a120=120. 根据等差数列前n项和的公式，得 S120 ? 答：V形架上共放着7260支铅笔.
120 ? (1 ? 120 ) ? 7260 2
课堂练习
5. 等差数列 ?an ? 中，若前100项之和等于前10项和的100倍，
a100 求 。 a10
a100
a10
=
199 19
作业
P45练习：1. P46习题2.3A组：2，3, 4.