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2.3.等差数列的前n项和(第一课时)_图文

复 习
等差数列的概念? 等差数列的通项公式?

你知道高斯是怎么计算的吗?

1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? 97 ? 98 ? 99 ? 100
+ + + +

? 50 ?101 ? 5050 .

思考:
(1) 高斯是如何快速求和的?他抓住了问题的什么特征?

(2) 如果换成1+2+3+?+200=?我们能否快速求和? 如何求?
(3) 根据高斯的启示,如何计算18+21+24++27?+624=? (4) 等差数列{an}的首项为a1,公差为d,如何计算

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an ? ?

一般的,我们称

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an

为数列 {an} 的前n项和,用Sn表示,即

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an .
对于公差为d的等差数列,如何求它的前n项和?

Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ? ? ? ? [a1 ? (n ?1)d ].

用两个式子表示前n项和

倒序相加法

Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ? ? ? ? [a1 ? (n ?1)d ].
由①+②得到



Sn ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ? ? ? ? [an ? (n ?1)d ]. ② 2Sn ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? ? ? ? ? (a1 ? an ).

? n(a1 ? an ).

n个

由此得到等差数列{an} 的前n项和的公式

n( a1 ? an ) Sn ? . 2

n( a1 ? an ) Sn ? . 2
在已知首项和尾项时使用此公式。 用 an ? a1 ? (n ?1)d 代入上面的公式,得到

n[a1 ? a1 ? (n ? 1)d ] n(n ? 1)d Sn ? ? na1 ? . 2 2
n(n ? 1)d S n ? na1 ? . 2
在已知首项和公差时使用此公式。

例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校 通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目 标:从2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的 校园网。据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元。为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校 通”工程中的总投入是多少?

解: 根据题意,从2001~2010年,该市每年投入“校校通” 工程的经费都比上一年增加50万元。所以,可以建立一 个等差数列{an},表示从2001年起各年投入的资金,其中

a1 ? 500 , d ? 50.
那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为
S10 ? 10 ? 500 ? 10 ? (10 ? 1) ? 50 ? 7250 (万元 ). 2

答:从2001~2010年,该市在“校校通”工程中的 总投入是7250万元。

练习:等差数列-10,-6,-2,2, ?的前多少项的和为54? 解: 设题中的等差数列是{an},前n项和为Sn. 则a1=-10,d=-6-(-10)=4,Sn=54. 由等差数列前n项和公式,得
n(n ? 1) ? 10 n ? ? 4 ? 54. 2

解得

n1=9,n2=-3(舍去).

因此,等差数列的前9项和是54.

例2. 已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和 是 1220 ,由这些条件能确定这个等差数列的前 n 项和的公 式吗? 解: 由题设: S10 ? 310 S20 ? 1220

? 10a1 ? 45d ? 310 得: ? ?20a1 ? 190d ? 1220

?a1 ? 4 ?? ?d ? 6
n(n ? 1) ? S n ? 4n ? ? 6 ? 3n 2 ? n 2

小结
本节课学习了以下内容:

n(a1 ? an ) 1.等差数列的前项和公式1:S n ? 2

n(n ? 1) d 2.等差数列的前项和公式2: S n ? na1 ? 2

课堂练习

* 1.求集合 M ? m m ? 7 n, n ? N 且m ? 100? 的元素个数,

?

并求这些元素的和.
解: 由 7 n ? 100 得 n ?
100 2 ? 14 7 7

∴正整数 n 共有14个即 M 中共有14个元素 即:7,14,21,…,98 是以 a1 ? 7 为首项, 以 a14 ? 98 为末项的等差数列.

14 ? (7 ? 98) ? 735 ∴ Sn ? 2
答:略

例3.堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一 层都比它下面一层多放一支,最上面一层放120支,这个 V形架上共放着多少支铅笔? 由题意可知,这个V形架上共放着120层 解: 铅笔,且自下而上各层的铅笔数成等差 数列,记为{an}, (an表示自下而上第n层所放的铅笔数) 其中a1=1,a120=120. 根据等差数列前n项和的公式,得 S120 ? 答:V形架上共放着7260支铅笔.
120 ? (1 ? 120 ) ? 7260 2

课堂练习
5. 等差数列 ?an ? 中,若前100项之和等于前10项和的100倍,
a100 求 。 a10

a100

a10

=

199 19

作业

P45练习:1. P46习题2.3A组:2,3, 4.


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