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安徽省滁州市定远县育才学校2018_2019学年高二数学上学期期中试题(实验班)理

育才学校 2018-2019 学年度第一学期期中考试卷 高二实验班理科数学试题

满分:150 分,考试时间:120 分钟; 命题人:

第I卷

选择题

60 分

一、选择题(12 小题,共 60 分) 1.设 ? , ? , ? 表示平面, l 表示直线,则下列命题中,错误的是( A. 如果 ? ? ? ,那么 ? 内一定存在直线平行于 ? B. 如果 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? l ,那么 l ? ? C. 如果 ? 不垂直于 ? ,那么 ? 内一定不存在直线垂直于 ? D. 如果 ? ? ? ,那么 ? 内所有直线都垂直于 ? )

M 和 N 分别为 BC 、C1C 的中点, 2.在正方体 ABCD ? A 那么异面直线 MN 1B 1C1D 1 中,
与 AC 所成角的大小为( )

A. 30 D. 90 3. 在三菱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,

B. 45

C. 60

ABC 是等边三角形, AA1 ? 平面 ABC , AB ? 2 ,


AA1 ? 2 ,则异面直线 AB1 和 BC1 所成角的正弦值为(
A. 1 B.

7 7

C.

1 2

D.

3 2


4.点 P 在平面 ABC 外, 若 PA ? PB ? PC , 则点 P 在平面 ABC 上的射影是 ABC 的 ( A. 外心 心 D. 垂心 B. 重心

C. 内

5.已知两点 M ? 2, ? 3? , N ? ?3, ? 2? ,直线 l 过点 P ?1, 1? 且与线段 MN 相交,则直线的 斜率 k 的取值范围是( A. ?4 ? k ? ) B. k ? ?4 或 k ?

3 4

3 4

C.

3 ?k?4 4

D.

?

3 ?k?4 4

6.若 l1 : x ? ? m ? 1? y ? ? m ? 2? ? 0 , l2 : mx ? 2 y ? 8 ? 0 的图象是两条平行直线,则 m 的 值是( ) B. m ? 1 C. m ? ?2 D.

A. m ? 1 或 m ? ?2 的值不存在

m

2 7. 过点 P ? 2, 2? 的直线与圆 ? x ? 1? ? y ? 5 相切,且与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? 2



) B. 1 C.

A. 2 D. ?

1 2

1 2
) B.

8.直线 y ? kx ? 2k ? 1 恒过定点 C ,则以 C 为圆心, 5 为半径的圆的方程为( A.

? x ? 2?
2

2

? ? y ? 1? ? 5
2 2

? x ? 2?
C.

? ? y ? 1? ? 25
2

? x ? 2?
2

? ? y ? 1? ? 25
2 2

D.

? x ? 2?

? ? y ? 1? ? 5

9.某几何体的三视图如图所示 (单位:

)则该几何体的体积 (单位:

)是 (



A.

B.

C.

D.

10.《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论术比西方早一千多年,其中 有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几 何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深 1 寸,锯道长 1 尺.问这块圆柱形木料的直径是多少?长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体 中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦 AB ? 1 尺,弓形高 CD ? 1 寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )

(注:1 丈=10 尺=100 寸, ? ? 3.14 , sin22.5? ?

5 ) 13

A. 633 立方寸 D. 600 立方寸

B. 620 立方寸

C. 610 立方寸

11.在正方体 ABCDA?B?C ?D? 中, P 为棱 AA? 上一动点, Q 为底面 ABCD 上一动点, M 是 PQ 的中点,若点 P, Q 都运动时,点 M 构成的点集是一个空间几何体,则这个几何体是 ( )

A. 棱 柱 D. 球的一部分

B. 棱 台

C. 棱 锥

12.如图所示,平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD=

,BD⊥CD,将其沿对角线 BD

折成四面体 ABCD,使平面 ABD⊥平面 BCD,若四面体 ABCD 的顶点在同一个球面上,则该球 的体积为( )

A. D. 2π 第 II 卷 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

B. 3π

C.

非选择题

90 分

13.半径为 10 的球面上有 A、B、C 三点,且 AB ? 8 3, ?ACB ? 60 ,则球心 O 到平面 ABC 的距离为_______. 14.已知矩形 接球的体积为 ,沿对角线 将它折成三棱椎 . ,若三棱椎 外

,则该矩形的面积最大值为

P 为 BC 的中点, Q 为线段 CC1 上的 15.如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1,
动点, 过点 A、 P、 Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S .则下列命题正确的是__________(写 出所有正确命题的编号). ①当 0 ? CQ ?

1 1 3 时, S 为四边形;②当 CQ ? 时, S 为等腰梯形;③当 ? CQ ? 1 时, 2 2 4

S 为六边形;④当 CQ ? 1 时, S 的面积为

6 . 2

16.已知经过点 M ? 2, 1? 作圆 C : ? x ? 1? ? y 2 ? 1 的两条切线,切点分别为 A , B 两点,
2

则直线 AB 的方程为__________. 三、解答题(70 分) 17. (10 分)已知直线 l1 : x ? y ?1 ? 0 ,直线 l2 : x ? y ? 3 ? 0 (1)求直线 l1 与直线 l2 的交点 P 的坐标; (2)过点 P 的直线与 x 轴的非负半轴交于点 A ,与 y 轴交于点 B ,且 S?AOB ? 4 ( O 为坐 标原点) ,求直线 AB 的斜率 k . 18. (12 分) 如图, 正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 棱长为 a , 连接 A?C ? , A?D , A?B , BD ,

BC ? , C ?D ,得到一个三棱锥,求:

(1)三棱锥 A? ? BC ?D 的表面积与正方体表面积的比值; (2)三棱锥 A? ? BC ?D 的体积.

AB ? BC , AA1 ? AC ? 2 , BC ? 1 , 19. (12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,
BC 的中点. E , F 分别是 AC 1 1,

(Ⅰ)求证:平面 ABE ? 平面 B1BCC1 ; (Ⅱ)求证: C1F // 平面 ABE ; (Ⅲ)求三棱锥 E ? ABC 的体积.
2 2 20. (12 分)已知圆 C1 : x ? ? y ? 2 ? ? 4 与圆 C2 : ? x ? 4 ? ? y ? 4 2 2

(1)若直线 mx ? y ? ? m ?1? ? 0 ? m ? R ? 与圆 C1 相交于 A, B 两个不同点,求 AB 的最小 值; (2)直线 x ? 3 上是否存在点 P ,满足经过点 P 有无数对互相垂直的直线 l1 和 l2 ,它们分 别与圆 C1 和圆 C2 相交,并且直线 l1 被圆 C1 所截得的弦长等于直线 l2 被圆 C2 所截得的弦 长?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 21. (12 分)在正方体 ABCD-A1B1C1D 中,M 为 DD1 的中点,O 为 AC 的中点,AB=2.

(I)求证:BD1∥平面 ACM; (Ⅱ)求证:B1O⊥平面 ACM; (Ⅲ)求三棱锥 O-AB1M 的体积. 22. (12 分)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的 侧视图、俯视图,在直观图中,M 是 BD 的中点,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三

角形,有关数据如图所示. (1)若 N 是 BC 的中点,证明:AN∥平面 CME; (2)证明:平面 BDE⊥平面 BCD. (3)求三棱锥 D﹣BCE 的体积.

高二实验班理科数学试题 参考答案与解析 1.D【解析】由上图可得选项 A 中:

?

内存在直线 CC1

? ,故 A 正确;选项 B

中:直线 l 即为直线 BB1 ,故 B 正确;选项 C 中:可用反证法假设存在直线

?a ? ? , a ? ? ? ? ? ?
,与已知矛盾,故 C 正确;选项 D 中: ?CC1 ? ? , CC1 应选 D. 2.C【解析】连接 AD1 , D1C, ,

? ,故 D 错误.综上

MN / / AD1,??D1 AC 为异面直线 MN 与 AC 所成的角,

而 ?D1 AC 为正三角形, ??D1 AC ? 60?, 故选 C. 3.A 【解析】 如图, 作 BD / / AB1 交 A1B1 的延长线于 D , 连接 DC1 , 则 ?DBC1 就 是 异 面 直 线 AB1 和 BC1 所 成 的 角 ( 或 其 补 角 ), 由 已 知

BD ? 22 ?

? 2?

2

?

6



BC1 ? 6, C1D ? 2 3





BD2 ? BC12 ? C1D2 ,知 ?DBC1 ? 90 ,?异面直线 AB1 和 BC1 所成的角为直
角,正弦值为 1 ,故选 A. 4.A 【 解 析 】 设 点 P 作 平 面 ABC 的 射 影 O , 由 题 意 ,

PA ? PB ? PC, PO ? 底面 ABC, ??PAO, ?POB, ?POC 都为直
角三角形, ??PAO ? ?POB ? ?POC ,即 OA ? OB ? OC,?O 为三 角形的外心,故选 A.

5.B【解析】如图所示,直线 PM 的斜率为 k PM ?

1 ? ? ?3? 1? 2

? ?4 ;

直 线 PN 的 斜 率 为 kPM ?

1 ? ? ?2? 1 ? ? ?3?

?

3 ,当斜率为正时, 4

k ? kPN ,即 k ?

3 ;当斜率为负时, k ? kPM ,即 k ? ?4 ,直 4

线的斜率 k 的取值范围是 k ? ?4 或 k ? 6.B 【 解 析 】 显 然 m ? 0

3 ,故选 B. 4
时两条直线不培训,则由题意可得

或 m ?1 ? 0

?

m 2 8 .故选:B. = ? ,解得 m ? 1 1 m ?1 m ? 2
2

2 7.A【解析】因为点 P(2,2)满足圆 ? x ? 1? ? y ? 5 的方程,所以 P 在圆上, 2 又过点 P(2,2)的直线与圆 ? x ? 1? ? y ? 5 相切,且与直线 ax? y+1=0 垂直, 2

所以切点与圆心连线与直线 ax? y+1=0 平行, 所以直线 ax? y+1=0 的斜率为: a ?

2?0 ? 2 .故选 A. 2 ?1

8.B【解析】直线 y ? kx ? 2k ? 1 ,化为 y ? ( k x ? 2) ? 1 , x ? 2 时,总有 y ? 1 ,即直线

(2, 1) (2, 1) 直线 y ? kx ? 2k ? 1过定点 ,圆心坐标为 ,又因为圆的半径是 5 ,所以圆的标准
方程是 ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 25 ,故选 B.
2 2

9.B【解析】由三视图易知该几何体为三棱锥. 该几何体的体积 .故答案为:B

10.A【解析】如图: AB ? 10 (寸),则 AD ? 5 (寸), CD ? 1 (寸) 设圆 O 的半径为 x (寸),则 OD ? ? x ?1? (寸) 在 Rt

ADO 中,由勾股定理可得:
2

52 ? ? x ? 1? ? x 2 ,解得 x ? 13 (寸),

? sin ?AOD ?

AD 5 ? ,即 ?AOD ? 22.5? ,则 ?AOB ? 45? AO 13
ACB

S弓形ACB ? S扇形OACB ? S

?

45? ?132 1 ? ?10 ?12 ? 6.33 平方寸 360 2
。故答案选 A

故该木材镶嵌在墙中的体积 V ? S弓形ACB ?100 ? 633立方寸

11.A【解析】由题意知:当 P 在 A ' 处, Q 在 AB 上运动时, M 的轨迹为过 AA ' 的中点, 在平面 AA ' B ' B 内平行于 AB 线段(靠近 AA ' ) ,当 P 在 A ' 处, Q 在 AD 上运动时, M 的轨迹为过 AA ' 的中点,在平面 AA ' D ' D 内平行于 AD 线段(靠近 AA ' ) ,当 Q 在 B 处,

P 在 AA ' 上运动时, M 的轨迹为过 AB 的中点,在平面 AA ' B ' B 内平行于 AA ' 线段(靠
近 AB ) , 当 Q 在 D 处, P 在 AA ' 上运动时, M 的轨迹为过 AD 的中点, 在平面 AA ' B ' B 内平行于 AA ' 线段 (靠近 AD ) , 当 P 在 A 处, Q 在 BC 上运动时, M 的轨迹为过 AB 的 中点,在平面 ABCD 内平行于 AD 线段(靠近 AB ) ,当 P 在 A 处, Q 在 CD 上运动时,

M 的轨迹为过 AD 的中点,在平面 ABCD 内平行于 AB 线段(靠近 AB ) ,同理得到: P
在 A ' 处, Q 在 BC 上运动, P 在 A ' 处, Q 在 CD 上运动; P 在 A ' 处, Q 在 C 处,

P 在 AA ' 上运动, P, Q 都在 AB, AD, AA ' 上运动的轨迹,进一步分析其它情形即可得到 M 的轨迹为棱柱体,故选 A.
12.A【解析】由题意平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= 2 ,BD⊥CD,将其沿对角线 BD 折成四面体 A′﹣BCD,使平面 A′BD⊥平面 BCD,若四面体 A′﹣BCD 顶点在同一个球面 上,可知 A′B⊥A′C,所以 BC 是外接球的直径,所以 BC= 3 ,球的半径为:

3 ;所 2

4? 以球的体积为: 3

? 3? 3 ? ? . ? ? ? 2 ? 2 ? ?

3

13.6【解析】由题意在 ?ABC 中, AB ? 8 3cm, ?ACB ? 60 ,由正弦定理可求得其外接

圆的直径为

8 3 ? 16 ,即半径为 8 ,又球心在面 ABC 上的射影是 ?ABC 外心,故球心 sin60

到面的距离,求的半径、三角形外接圆的半径三者构成了一个直角三角形,设球面距为 d ,
2 2 2 球半径为 10 ,故有 d ? 10 ? 8 ? 36 ,解得 d ? 6 ,故答案为 6 .

14. 【解析】因为在矩形 形,则 的中点 ,则 为三棱锥

中,



均为以

为斜边的直角三角 为外接球的直径,设外 ,则 时取等号),即该矩形

的外接球的球心, ,解得 (当且仅当 ,即

接球的半径为 该矩形的面积

的面积最大值为 8.故答案为:8. 15.①②④ 【解析】

连接 AP 并延长交 DC 于 M ,再连接 MQ ,对于①,当 0 ? CQ ?

1 时, MQ 的延长线交 2

线线段 D1D 与点 N ,且 N 在 D1 与 D 之间,连接 AN 则截面为四边形 APQN ,①正确;

当 CQ ?

1 5 1 时,即 Q 为 CC1 中点,此时可得 PQ / / AD1 , AP ? QD1 ? 1 ? ? ,故可得 2 4 2
1 ,只需 2

截面 APQD1 为等腰梯形,故②正确;由上图当点 Q 向 C 移动时,满足 0 ? CQ ? 即可得截面为四边形 APQM , 故①正确; ③当 DD1 上取点 M 满足 AM / / PQ ,

3 ? CQ ? 1 4

时,只需点 Q 上移即可,此时的截面形状是下图所示的 APQRS ,显然为五边形,故③不 正确;

④当 CQ ? 1 时, Q 与 C1 重合,取 A1D1 的中点 F ,连接 AF ,可证 PC1 / / AF , 且

PC1 ? AF ,可知截面为 APC1F 为菱形,故其面积为

1 1 6 ,故 AC1 ? PF ? ? 3 ? 2 ? 2 2 2

正确,故答案为①②④. 16. 3x ? y ? 2 ? 0 【解析】结合点的坐标和圆的方程可得直线 y ? 1 与圆相切,切点为 ? ?1,1? , 且直线 AB 与直线 CM 垂直,其中: kCM ?

0 ?1 1 ? ,故 k AB ? ?3 , ?1 ? 2 3

直线 AB 的点斜式方程为: y ?1 ? ?3? x ? 1? ,整理为一般式即: 3x ? y ? 2 ? 0 . 17.(1) ? 2,1? ; (2) k ? ?

1 3 或k ? ? 2 . 2 2

【解析】 (1)联立两条直线方程: {

x ? y ?1 ? 0 x?2 ,解得 { , x ? y ?3 ? 0 y ?1

所以直线 l1 与直线 l2 的交点 P 的坐标为 ? 2,1? . (2)设直线方程为: y ?1 ? k ? x ? 2? . 令x ?0 得 y ? 1 ? 2k ,因此 B ? 0,1 ? 2k ? ;

令 y ? 0得 x ? 2 ?

1 2k ? 1 1 1 ? ? ? 0 ? k ? 或k ? 0 ,因此 A ? 2 ? , 0 ? . k k 2 k ? ?
解得 k ? ?

? S?AOB ?

1 1? ?1 ? 2k ? ? ?2? ? ? 4 , 2 k? ?
1 3

1 3 或k ? ? 2 . 2 2

3 18.(1) 3 : 3 ; (2) a

【解析】 (1)正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 的棱长为 a ,则三棱锥 A? ? BC ?D 的棱长为 2a , 表面积为 4 ?

3 ? 4

?

2a

?

2

? 2 3a 2 ,正方体表面积为 6 a 2 ,∴三棱锥 A? ? BC ?D 的表面积

与正方体表面积的比值为 3 : 3
3 (2)三棱锥 A? ? BC ?D 的体积为 a ? 4 ? ?

1 1 3 1 3 a ? a 3 2 3

19.(Ⅰ)证明:在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,

BB1 ? 底面 ABC ,所以 BB1 ? AB .
又因为 AB ? BC , BB1

BC ? B ,

所以 AB ? 平面 B1BCC1 , 又 AB ? 平面 ABE , 所以平面 ABE ? 平面 B1BCC1 (Ⅱ)证明:取 AB 的中点 G ,连接 EG , FG .

BC , AB 的中点, 因为 E , F , G 分别是 AC 1 1,
所以 FG // AC ,且 FG ?

1 1 AC , EC1 ? A1C1 . 2 2

因为 AC // AC 1 1 ,且 AC ? AC 1 1 ,所以 GF // EC1 ,且 GF ? EC1 , 所以四边形 FGEC1 为平行四边形,所以 C1F // EG . 又因为 EG ? 平面 ABE , C1F ? 平面 ABE ,所以 C1F // 平面 ABE .

BC ? 1 , AB ? BC ,所以 AB ? (Ⅲ)因为 AA 1 ? AC ? 2 ,
所以三棱锥 E ? ABC 的体积

AC 2 ? BC 2 ? 3 .

1 1 1 3 . V ? S?ABC ? AA1 ? ? ? 3 ?1? 2 ? 3 3 2 3

20.(1) 2 2 ; (2)存在点 P ?3, ? 3? 满足题意 【解析】 (1)直线 mx ? y ? ? m ?1? ? 0 ? m ? R ? 过定点 M ? ?1, ?1? , AB 取最小值时,

AB ? C1M

C1M ?

? 0 ? 1? ? ? ?2 ? 1?
2

2

? 2 ,∴ AB ? 2 4 ? C1M ? 2 2

2

(2)设 P ? 3, a ? ,斜率不存在时不符合题意,舍去;斜率存在时,则 l1 : y ? k ? x ? 3? ? a 即

kx ? y ? a ? 3k ? 0



l2 : y ? ?

1 ? x ? 3? ? a k



x ? ky ? ak ? 3 ? 0



d1 ?

2 ? a ? 3k k ?1
2

, d2 ?

1 ? ak k 2 ?1 2 ? a ? 3k k ?1
2

由题意可知,两弦长相等也就是 d1 和 d2 相等即可,故 d1 ? d 2 ,∴

?

1 ? ak k ?1
2



9 ? a2 ? 0 2 2 2 化简得: ? 9 ? a ? k ? ?12 ? 4a ? k ? a ? 4a ? 3 ? 0 对任意 k 恒成立, 故 { 12 ? 4a ? 0 , a 2 ? 4a ? 3 ? 0
解得 a ? ?3 故存在点 P ?3, ? 3? 满足题意. 21.(I)证明: 连结 BD,设 BD 与 AC 的交点为 O, ∵AC,BD 为正方形的对角线,故 O 为 BD 中点; 连结 MO, ∵O,M 分别为 DB,DD1 的中点, ∴OM∥BD1, ∵OM? 平面 ACM,BD1?平面 ACM ∴BD1∥平面 ACM. (II)∵AC⊥BD,DD1⊥平面 ABCD,且 AC? 平面 ABCD, ∴AC⊥DD1;且 BD∩DD1=D,∴AC⊥平面 BDD1B1 OB1? 平面 BDD1B1,∴B1O⊥AC, 连结 B1M,在△B1MO 中 OM ? 3, OB1 ? ∴ OM ? OB1 ? MB1
2 2 2

6, MB1 ? 3

∴B1O⊥OM…(10 分) 又 OM∩AC=O,∴B1O⊥平面 AMC; . (II) V= ?

1 1 ? 3? 6 ? 2 ?1 3 2

22.(1)证明:连接 MN,则 MN 是△ BCD 的中位线,∴MN∥CD,MN= CD. 由侧视图可知 AE∥CD,AE= CD, ∴MN=AE,MN∥AE. ∴四边形 ANME 为平行四边形, ∴AN∥EM.∵AN? 平面 CME,EM? 平面 CME, ∴AN∥平面 CME. (2)证明:由俯视图可知 AC=AB,∵N 是 BC 的中点, ∴AN⊥BC,又平面 ABC⊥平面 BCD,平面 ABC∩平面 BCD=BC,AN? 平面 ABC, ∴AN⊥平面 BCD.由(1)知 AN∥EM, ∴EM⊥平面 BCD.又 EM? 平面 BDE, ∴平面 BDE⊥平面 BCD. (3)解:由俯视图得 AB⊥AC,AB=AC=2, ∴BC= AB=2 , ,∴EM= .

∵N 是 BC 中点,∴AN= BC=

由侧视图可知 CD=4,CD⊥BC, ∴S△ BCD= BCXCD= X2 X4=4 . × = .

∴VD﹣BCE=VE﹣BCD= S△ BCD?|EM|= × 4


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