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【步步高】高考数学 二轮专题复习 专题4第2讲 空间中的平行与垂直课件


第2讲 【高考真题感悟】 空间中的平行与垂直 (2011· 江苏)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD, ∠ BAD= 60° ,E, F 分别是 AP, AD 的 中点. 求证:(1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD. 证明 (1)如图,在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD. 又因为 EF?平面 PCD,PD?平面 PCD, 所以直线 EF∥平面 PCD. (2)连结 BD.因为 AB= AD,∠BAD= 60° ,所以△ABD 为正三 角形. 因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF?平面 BEF,所以平面 BEF⊥ 平面 PAD. 考题分析 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位 置关系,考查空间想象能力和推理论证能力,难度较小. 易错提醒 (1) 不能准确运用线面平行的判定定理,易漏掉 条件:EF?平面 PCD. (2) 线面关系的转化运用不熟练 . 如要证平面 BEF⊥ 平面 PAD,只需证 BF⊥平面 PAD,只需证 BF⊥AD. (3)书写解题过程混乱,条件不充分,表达不规范. 主干知识梳理 1.点、线、面的位置关系 (1)公理 1 ∵ A∈α,B∈α,∴AB?α. (2)公理 2 ∵P∈α,且 P∈β,∴α∩β=l,且 P∈l. (3)公理 3 ∵ A,B,C 三点不共线,∴A, B,C 确定一个 平面. 三个推论:①过一条直线和直线外一点有且只有一个平面. ②过两条相交直线有且只有一个平面. ③过两条平行直线有且只有一个平面. (4)公理 4 ∵ a∥c, b∥c,∴a∥b. (5)等角定理 ∵OA∥O1A1,OB∥ O1B1, ∴∠AOB=∠ A1O1B1 或∠ AOB+∠ A1O1B1= 180° . 2.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理 ∵a? α,b? α,a∥ b,∴a∥ α. (2)线面平行的性质定理 ∵a∥α,a? β,α∩ β=b,∴ a∥b. (3)面面平行的判定定理 ∵a?β, b? β,a∩ b=P,a∥α, b∥ α,∴ α∥ β. (4) 面面平行的性质定理 ∴a∥b. 3.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理 ∵m?α,n? α,m∩n=P,l⊥m, l⊥ n,∴l⊥α. (2)线面垂直的性质定理 ∵a⊥α, b⊥ α,∴ a∥b. (3)面面垂直的判定定理 ∵a?β, a⊥α,∴α⊥β. (4)面面垂直的性质定理 ∴a⊥β. ∵α⊥β, α∩ β=l, a?α,a⊥l, ∵α∥β , α∩γ = a , β∩γ = b , 4.异面直线所成的角 (1)定义 . π (2)范围:θ∈(0, ]. 2 (3)求法:先通过取中点或作平行线找到两异面直线所成的 角,然后解含有这个角的三角形.若求得的角为钝角,则这 个角的补角才为所求的角. 5.直线与平面所成的角 (1)定义 . π (2)范围:θ∈[0, ]. 2 (3)求法:先找到 (或作出 )过斜线上一点垂直于平面的直线, 斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影,该斜线与射 影的夹角就是所求的线面角,解这个角所在的直角三角形 可得 . 6.二面角 (1)定义 . (2)范围:θ∈[0, π]. (3)找二面角平面角的方法 ①定义法 .②

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