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高考数学二轮复习:专题训练(九) 等差数列、等比数列


专题训练(九)

等差数列、等比数列

A 级——基础巩固组
一、选择题 1.(2014· 山东青岛二模)数列{an}为等差数列,a1,a2,a3 成等比数列,a5=1,则 a10= ( ) A.5 C.0 解析 故选 D 答案 D 2.(2014· 河北邯郸二模)在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则该数列 前 13 项的和是( A.13 C.52 B.26 D.156 ) B.-1 D.1
2 ? ? ?a1+d =a1a1+2d, ?a1=1, 设公差为 d, 由已知得? 解得? 所以 a10=a1+9d=1, ?a1+4d=1, ? ? ?d=0,

解析 ∵a3+a5=2a4,a7+a10+a13=3a10, ∴6a4+6a10=24,即 a4+a10=4, ∴S13= 答案 B 5 5 3.(2014· 河北唐山一模)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3= ,a2+a4= , 2 4 Sn 则 =( an A.4n C.2n )
-1

a1+a13 = 2

a4+a10 =26. 2

B.4n-1 D.2n-1 5
1 3

-1

解析

?a +a =2, ∵? 5 ?a +a =4,
2 4 1 1 2

?a +a q =2,① ∴? 5 ?a q+a q =4,②
1 1 3

5

1

1+q2 1 由①除以②可得 3=2,解得 q= , 2 q+q 代入①得 a1=2,

?1?n-1= 4n, ∴an=2× ?2? 2 ?1-?1?n? 2× ? ?2? ? ? 1 ? ∴Sn= =4?1-2n?, 1 1- 2
1 4?1- n? Sn ? 2 ? ∴ = =2n-1,选 D. an 4 2n 答案 D 4.(2014· 福建福州一模)记等比数列{an}的前 n 项积为Ⅱn,若 a4· a5=2,则Ⅱ8=( A.256 C.16 B.81 D.1 )

解析 由题意可知 a4a5=a1a8=a2a7=a3a6=2, 则Ⅱ8=a1a2a3a4a5a6a7a8=(a4a5)4=24=16. 答案 C 5.(2014· 辽宁卷)设等差数列{an}的公差为 d,若数列{2a1an}为递减数列,则( A.d<0 C.a1d<0 B.d>0 D.a1d>0 )

解析 依题意得 2a1an>2a1an+1,即(2a1)an+1-an<1,从而 2a1d<1,所以 a1d<0,故选 C. 答案 C 6.(2014· 四川七中二模)正项等比数列{an}满足:a3=a2+2a1,若存在 am,an,使得 aman 1 4 =16a2 1,则 + 的最小值为( m n 25 A. 6 7 C. 3 13 B. 4 3 D. 2 )

解析 由 a3=a2+2a1, 得 q2=q+2,∴q=2(q=-1 舍去),
m 1 n 1 由 aman=16a2 2 =16, 1得 2
- -

∵m+n-2=4,m+n=6, 1 4 m+n? 1 4? + 所以 + = m n 6 ?m n?

2

n 4m 1 1+4+ + ? = ? m n? 6? 1 ≥ ?5+2 6? 答案 D 二、填空题 7.(2014· 安徽卷)数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数 列,则 q=________. 解析 设等差数列的公差为 d,则 a3=a1+2d,a5=a1+4d, ∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得 d=-1. a3+3 a1-2+3 ∴q= = =1. a1+1 a1+1 答案 1 15 9 8.(2014· 河北衡水中学二模)在等比数列{an}中,若 a7+a8+a9+a10= ,a8· a9=- , 8 8 1 1 1 1 则 + + + =________. a7 a8 a9 a10 1 1 a7+a10 1 1 a8+a9 解析 ∵ + = , + = , a7 a10 a7a10 a8 a9 a8a9 而 a8a9=a7a10, 15 8 a + a + a + a 1 1 1 1 5 7 8 9 10 ∴ + + + = = =- . a7 a8 a9 a10 a7a10 9 3 - 8 5 答案 - 3 1 9.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则 Sn=a1+a2+…+an 的取值范围是________. 4 解析 因为{an}是等比数列, 所以可设 an=a1qn 1.


n 4m? 3 · = . m n? 2

1 因为 a2=2,a5= , 4

?a1q=2, ?a1=4, ? ? 所以? 4 1 解得? 1 ?a1q =4, ? ? ?q=2. ?1?n? 4? 1 - ? ?2? ? ?1?n. 所以 Sn=a1+a2+…+an= =8-8× ?2? 1 1- 2
1?n 1 因为 0<? ?2? ≤2,所以 4≤Sn<8.
3

答案

[4,8)

三、解答题 10.(2014· 课标全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1, 其中 λ 为常数. (1)证明:an+2-an=λ; (2)是否存在 λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. 解 (1)由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1.

两式相减得 an+1(an+2-an)=λan+1. 由于 an+1≠0,所以 an+2-an=λ. (2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得 a2=λ-1. 由(1)知,a3=λ+1. 令 2a2=a1+a3,解得 λ=4. 故 an+2-an=4,由此可得 {a2n-1}是首项为 1,公差为 4 的等差数列,a2n-1=4n-3; {a2n}是首项为 3,公差为 4 的等差数列,a2n=4n-1. 所以 an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在 λ=4,使得数列{an}为等差数列. 11.(2014· 山东菏泽一模)已知数列{an},a1=-5,a2=-2,记 A(n)=a1+a2+…+an, B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2(n∈N*),若对于任意 n∈N*,A(n),B(n), C(n)成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前 n 项和. 解 (1)根据题意 A(n),B(n),C(n)成等差数列,

∴A(n)+C(n)=2B(n), 整理得 an+2-an+1=a2-a1=-2+5=3. ∴数列{an}是首项为-5,公差为 3 的等差数列, ∴an=-5+3(n-1)=3n-8.
? ?-3n+8,n≤2, (2)|an|=? ?3n-8,n≥3, ?

记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn. n +8-3n 3n2 13 当 n≤2 时,Sn= =- + n; 2 2 2 n- +3n- 3n2 13 当 n≥3 时,Sn=7+ = - n+14; 2 2 2

4

?-2n + 2 n,n≤2, 综上,S =? 3 13 ?2n - 2 n+14,n≥3.
2 n 2

3

13

B 级——能力提高组
?a11 a12 a13? 1.(2014· 九江市七校联考)已知数阵?a21 a22 a23?中,每行的 3 个数依次成等差数列, ? ? ?a31 a32 a33?
每列的 3 个数也依次成等差数列,若 a22=2,则这 9 个数的和为( A.16 C.9 B.18 D.8 )

?a11 a12 a13? 解析 已知数阵?a21 a22 a23?中,每行的 3 个数依次成等差数列,每列的 3 个数也依 ? ? ?a31 a32 a33?
次成等差数列,若 a22=2,由等差数列的性质得:a11+a12+a13+a21+a22+a23+a31+a32+ a33=9a22=18. 答案 B 4 1 2.(2014· 江苏南京一模)已知等比数列{an}的首项为 ,公比为- ,其前 n 项和为 Sn, 3 3 1 若 A≤Sn- ≤B 对 n∈N*恒成立,则 B-A 的最小值为________. Sn 1?n ?8 ? ? 4? 1 ?8 4? 解析 易得 Sn=1-? ?-3? ∈?9,1?∪?1,3?,而 y=Sn-Sn在?9,3?上单调递增,所以 17 7 ? 7 ? 17? 59 y∈? ?-72,12?? [A,B],因此 B-A 的最小值为12-?-72?=72. 答案 59 72

3.(2014· 山东淄博一模)若数列{An}满足 An+1=A2 n,则称数列{An}为“平方递推数列”.已 知数列{an}中,a1=9,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中 n 为正整数. (1)证明数列{an+1}是“平方递推数列”,且数列{lg(an+1)}为等比数列; (2)设(1)中“平方递推数列”的前 n 项积为 Tn,即 Tn=(a1+1)(a2+1)…(an+1),求 lgTn; (3)在(2)的条件下,记 bn= 最小值. 解 (1)由题意得:an+1=a2 n+2an, lgTn ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn,并求使 Sn>4 026 的 n 的 an+

即 an+1+1=(an+1)2, 则{an+1}是“平方递推数列”. 对 an+1+1=(an+1)2 两边取对数得 lg(an+1+1)=2lg(an+1),
5

所以数列{lg(an+1)}是以 lg(a1+1)为首项,2 为公比的等比数列. (2)由(1)知 lg(an+1)=lg(a1+1)· 2n 1=2n
- -1

lgTn=lg(a1+1)(a2+1)…(an+1)=lg(a1+1)+lg(a2+1)+…+lg(an+1)= (3)bn= 2n-1 1?n-1 lgTn = n-1 =2-? 2? ? an+ 2

-2n n =2 -1 1-2

1 1- n 2 1 Sn=2n- =2n-2+ n-1 1 2 1- 2 1 1 又 Sn>4 026,即 2n-2+ n-1>4 026,n+ n>2 014 2 2 1 又 0< n<1,所以 nmin=2 014. 2

6


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