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2003-2017年全国高中数学联赛分类汇编(精编版)

2003-2017 年全国高中数学联赛分类汇编(精编版)01 不等式部分 4 9 1、 (2003 一试 5)已知 x,y 都在区间(-2,2)内,且 xy=-1,则函数 u= + 的最小 2 2 4-x 9-y 值是( (A) 8 5 ) (B) 24 11 (C ) 12 7 (D) 12 5 【答案】D 2、 (2004 一试 3)不等式 1 3 log2x-1+ log1x +2>0 的解集为( 2 2 ) A.[2,3) 【答案】C 【解析】令 log2x=t≥1 时, B.(2,3] C.[2,4) D.(2,4] t-1> t-2.t∈[1,2),?x∈[2,4),选 C. ) 3 2 3、 (2005 一试 1)使关于 x 的不等式 x ? 3 ? 6 ? x ? k 有解的实数 k 的最大值是( A. 6 ? 3 【答案】D B. 3 C. 6 ? 3 D. 6 4、 (2006 一试 2)设 log x (2x2 ? x ?1) ? log x 2 ?1 ,则 x 的取值范围为( ) 第 1 页 共 16 页 A. 1 ? x ?1 2 B. x ? 1 ,且 x ? 1 2 C. x ? 1 D. 0 ? x ? 1 【答案】B 5、 (2007 一试 2)设实数 a 使得不等式|2x?a|+| 3x?2a|≥a 对任意实数 x 恒成立,则满足 2 条件的 a 所组成的集合是( A. [? , ] 【答案】A ) C. [? 1 1 3 3 B. [ ? 1 1 , ] 2 2 1 1 , ] 4 3 D. [?3,3] 1 2 a ,则有 | a |? ,排除 B、D。由对称性排除 C,从而只有 A 正确。 3 3 3 4 1 2 一般地,对 k∈R,令 x ? ka ,则原不等式为 | a | ? | k ? 1 | ? | a | ? | k ? |?| a | ,由此易知 2 2 3 3 4 原 不 等 式 等 价 于 | a |?| k ? 1 | ? | k ? | , 对 任 意 的 k ∈ R 成 立 。 由 于 2 3 4 ?5 k? ?2 k ? 3 3 3 4 ? 4 ? 1 | k ? 1 | ? | k ? |? ?1 ? k 1 ? k ? , 2 3 ? 2 3 5 ?3 ? k k ?1 ? ? 2 3 4 1 1 所以 min{| k ? 1 | ? | k ? |} ? ,从而上述不等式等价于 | a |? 。 k?R 2 3 3 3 【解析】令 x ? ?y≥0 ? 6、 (2009 一试 3)在坐标平面上有两个区域 M 和 N , M 为 ? y ≤ x , N 是随 t 变化的区 ?y≤2 ? x ? 域,它由不等式 t ≤ x ≤ t ? 1 所确定, t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 1 ,则 M 和 N 的公共面积是函 数 f ?t ? ? . 第 2 页 共 16 页 【答案】 ?t 2 ? t ? 【解析】 1 2 y A C O D F E B x 1 1 1 2 由题意知 f ? t ? ? S阴影部分面积 ? S?AOB ? S?OCD ? S?BEF ? 1 ? t 2 ? ?1 ? t ? ? ?t 2 ? t ? 2 2 2 7、 (2009 一试 4)使不等式 小正整数 a 的值为. 【答案】2009 1 1 ? ? n ?1 n ? 2 ? 1 1 ? a ? 2007 对一切正整数 n 都成立的最 2n ? 1 3 8、 (2011 一试 3)设 a , b 为正实数, 【答案】-1 【解析】由 1 1 ? ? 2 2 , (a ? b) 2 ? 4(ab) 3 ,则 loga b ? . a b 1 1 ? ? 2 2 ,得 a ? b ? 2 2ab .又 a b (a ? b) 2 ? 4ab ? (a ? b) 2 ? 4ab ? 4(ab) 3 ? 4 ? 2 ab? (ab) 3 ? 8(ab) 2 , 即 a ? b ? 2 2ab ①于是 a ? b ? 2 2ab ② ? ? ?a ? 2 ? 1, ?a ? 2 ? 1, 再由不等式①中等号成立的条件,得 ab ? 1 .与②联立解得 ? 或? 故 ? ? ?b ? 2 ? 1, ?b ? 2 ? 1, loga b ? ?1 . 第 3 页 共 16 页 9、 (2012一试3)设 x, y, z ?[0,1] ,则 M ? | x ? y | ? | y ? z | ? | z ? x | 的最大值是. 【 答案】 2 ? 1 【解析】不妨设 0 ? x ? y ? z ? 1, 则 M ? 因为 y ? x ? z ? y ? z ? x. y ? x ? z ? y ? 2[( y ? x) ? ( z ? y)] ? 2( z ? x). 所以 M ? 2( z ? x) ? z ? x ? ( 2 ?1) z ? x ? 2 ?1. 当且仅当 y ? x ? z ? y , x ? 0, z ? 1, y ? 1 时上式等号同时成立.故 M max ? 2 ?1. 2 10、 (2014 一试 2)设集合 { ? b | 1 ? a ? b ? 2} 中的最大值与最小值分别为 M , m , 则M ?m =_________. 【答案】 5 ? 2 3 3 a 11、 (2015 一试 6)在平面直角坐标系 xOy 中点 K ? {( x, y) | (| x | ? | 3 y | ?6)(| 3x | ? | y | ?6) ? 0} 所对应的平面区域的面积为. 【答案】24 【解析】设 K1 ? {( x, y) || x | ? | 3 y | ?6 ? 0} ,先考虑 K1 在第一象限中的部分,此时有 x+3y

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