tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关文章
当前位置:首页 >> >>

归一化频率自适应梳状滤波器的稳定性分析


第 36 卷 第 11 期
2010 年 11 月

自 动 化 学 报
ACTA AUTOMATICA SINICA

Vol. 36, No. 11 November, 2010

归一化频率自适应梳状滤波器的稳定性分析
储昭碧 1 丁 明1 杜少武 1 冯小英 1
摘 要 采用多个归一化频率估计器并联形成梳状滤波器, 以跟踪和检测平稳概周期信号各正弦成分的未知频率和未知幅 值. 滤波器包括相互耦合的状态估计和频率估计两个非线性微分方程. 运用慢积分流形实现两个微分方程之间的解耦, 获得关 于多个频率估计值的概周期非线性动力系统, 再应用平均方法导出估计频率的非线性自治方程. 分析了自治系统的三种局部 稳定性: 孤立平衡点的指数稳定性, 中心流形存在性与半稳定性以及结构扰动下的有界性. 说明幅值估计与信号跟随的收敛性 和有界性. 给出滤波器参数对频率跟踪和幅值估计的暂态和稳态性能的影响. 算法实现了在给定频率区间而不是给定数值条 件下的正弦分量及其幅值的准确跟随, 并且响应速度不受正弦分量幅值大小的影响. 通过仿真验证了算法的有效性. 关键词
DOI

梳状滤波器, 归一化频率估计, 慢积分流形, 稳定性分析, 半稳定性
10.3724/SP.J.1004.2010.01581

Stability Analysis of Normalized Frequency Adaptive Comb Filter
CHU Zhao-Bi1 DING Ming1 DU Shao-Wu1 FENG Xiao-Ying1 Abstract A normalized frequency adaptive comb ?lter composed of a number of normalized frequency estimators in parallel is proposed to track unknown frequency and unknown amplitude of each component of an almost periodic signal. The ?lter consists of two coupled nonlinear di?erential equations respectively for updating frequencies and estimating state variables. A nonlinear autonomous equation for frequency estimation is deduced after average method is applied to the almost periodic dynamic system resulting from system decoupling by slow integral manifold. Three kinds of local stability of the autonomous system: the exponential stability of isolated equilibrium point, the semistability on center manifold, and the robustness under unknown periodic disturbance are proved. The convergence and the boundedness of amplitude estimation and signal tracking as well as the e?ect of parameters on the transient and steady-state performance of frequency and amplitude are investigated. Each sinusoidal component and its amplitude are accurately tracked on the condition of given intervals instead of the values of frequencies. The response speed is independent of the component amplitude. Simulation results reveal the validity of the proposed algorithm. Key words Comb ?lter, normalized frequency estimation, slow integral manifold, stability analysis, semistability

工程中的许多信号, 包括电力系统谐波和间谐 波、机械振动、语音信号, 常可归结为若干个频率未 知的正弦信号叠加形成的概周期函数, 其时频分析 的主要目标是检测各个正弦分量的频率、幅值以及 实现对正弦分量本身的跟随. 近年来自适应陷波滤 波器 (Adaptive notch ?lter, ANF) 逐渐应用于这 类分析[1?21] . 本文所讨论的这类 ANF 算法, 先由 Regalia 提 出了离散时间形式以估计单个正弦信号的未知频 率[1] , 后由 Bodson 等[2] 将其改写为连续时间形式, 用以消除未知频率的正弦扰动. 接着 Hsu 等[3] 指出 正弦信号的幅值与频率是高度耦合的, 使得有些频
收稿日期 2010-04-23 录用日期 2010-07-20 Manuscript received April 23, 2010; accepted July 20, 2010 国家自然科学基金 (50837001), 合肥工业大学科学研究发展基金 (105037527), 合肥工业大学博士学位专项基金 (105-4115103001) 资助 Supported by National Natural Science Foundation of China (50837001), Science and Research Development Fund of Hefei University of Technology (105-037527), and Special Fund for Doctors of Hefei University of Technology (105-4115103001) 1. 合肥工业大学电气与自动化工程学院 合肥 230009 1. School of Electrical Engineering and Automation, Hefei University of Technology, Hefei 230009

率估计算法的暂态响应速度受输入幅值大小的影响, 称之为非归一化算法, 而把收敛速度基本不受幅值 大小影响的算法称为归一化频率估计算法. 他们提 出了全局收敛的非归一化算法和归一化算法: 非归 一化算法采用常数频率自适应增益, 计算简单, 改进 了暂态响应性能, 扩大了稳定域; 归一化算法的频率 自适应增益通过一个多达 5 个参数的公式计算得到, 计算复杂且不易调整参数. Mojiri 等沿用了常数频 率自适应增益的非归一化算法计算简单的优点, 改 善了暂态性能[4] 以及更加便于实现正弦信号跟随[5] . 在文献 [1?5] 的非归一化算法中, 除频率自适应增 益以外, 还有一个参数是阻尼系数. 基于最小方差原则与梯度下降算法, KarimiGhartemani 等[6?7] 提出幅值、相位模型 (Amplitude phase model, APM) 与幅值、 相位、 频率模型 (Amplitude phase frequency model, APFM) 两种 非线性时变强耦合滤波器, 分别跟踪已知和未知频 率的单个正弦信号[6?7] . APFM 方法属于非归一化 频率估计算法. 这两种算法的两个参数 ?1 和 ?2 与 正弦幅值 U 之间只有保持 ?1 = ?2 U , 才能使得算

1582











36 卷

法近似于线性时不变系统, 从而达到最优的暂态性 能. 而在文献 [1?5] 的算法中, 以一个参数 ? 取代两 个参数 ?1 和 ?2 的作用, 这使得 APFM 算法关于 信号幅值变换的鲁棒性相对较差. 基于内模原理, Brown 等提出了归一化的频率 估计算法, 用以辨识未知频率的周期信号[8] 或者消 除未知频率的周期扰动[9] , 随后又对该算法进行简 化处理[10] , 进一步应用于指数衰减正弦信号的跟随 中[11] . 在沿用了文献 [6?7] 的最小方差原则与梯度下 降方法的基础上, 增加旋转变换, 可导出只有一个 参数 ? 的二维线性正弦跟踪算法 (Linear sinusoid tracker, LST), 用以提取给定频率的正弦信号[12] 、 分析谐波和间谐波幅值[13] 以及检测电压闪变[14] . 在 LST 算法中参数 ? 在数值上等于幅值传递函数 的 ?3 dB 带宽, 与 APM 算法相比, LST 算法参数 物理意义更加明确且较易调整, 暂态响应平稳, 暂态 性能受幅值变化影响较小. 基于 LST 方法, 可提出非归一化与归一化两种 频率估计算法, 准确跟随单个正弦信号的频率和幅 值[15] . 非归一化频率估计算法改进了文献 [1?5] 的 同类算法的收敛速度受制于输入频率数值的不足; 暂态响应相当于文献 [6?7] 的 APFM 算法的参数 始终保持在 ?1 = ?2 U 条件下最优性能, 且参数较 少、 鲁棒性较好. 归一化频率估计算法是基于估计频 率的导数, 而不是估计频率的偏移量[10] . 上述针对单个正弦信号的跟踪算法, 被推广用 于多种信号的分析. 文献 [16?17] 推广到三相电力 系统的谐波和间谐波分析中. 文献 [5] 分析基波频 率未知、谐波和间谐波次数已知的多个正弦成分叠 加的概周期信号, 实现了对基波频率以及整数次谐 波的跟随; 文献 [18] 采用一个 APFM 与多个 APM 并联, 文献 [19] 采用一个非归一化频率估计算法以 及多个 LST 并联, 都能估计基波频率、基波幅值以 及谐波和间谐波幅值. 这些算法事实上构成了非归 一化基波频率估计器. 针对基波、谐波与间谐波频 率都未知的多正弦成分叠加的信号, 文献 [20] 采用 多个 APFM 分析了基波、谐波和间谐波成分, 文献 [21] 采用多个文献 [5] 的频率估计算法实现相同的 目标. 这类采用多个正弦跟踪算法或频率估计算法 并联构成的系统, 其频谱特性具有梳状滤波器的特 点, 即在多个频率点出现幅频特性等于 “1” 的具有 一定宽度的 “梳齿”. 由多个频率估计器并联而形成 的滤波器, 能够自适应跟踪基波、 谐波和间谐波的频 率. 然而, 上述频率自适应梳状滤波器都是基于非归 一化算法, 其响应速度受到基波、 谐波和间谐波幅值 大小的制约. 另外, 前述文献仅分析了各自所提出的 频率自适应梳状滤波器的渐近稳定性, 局限在输入

正弦成分个数恰好等于系统所并联的频率估计器个 数的情况, 而没有考虑小于或大于的情况. 为此, 本文采用多个文献 [15] 所提出的归一化 频率估计算法并联形成归一化频率自适应梳状滤波 器, 分析基波、谐波、间谐波的频率都未知的平稳概 周期信号. 新算法较非归一化算法具有暂态响应速 度不受正弦幅值影响的优点, 鲁棒性较好. 先进行系 统解耦和平均化处理, 以获得估计频率的平均方程, 再依据输入正弦成分个数等于、小于和大于并联频 率估计器个数三种情况, 分别讨论算法的单个孤立 平衡点的稳定性、中心流形和周期扰动下的稳定性, 并讨论幅值估计的收敛性, 最后通过仿真实例验证 算法性能.

1 算法说明
考虑由 K 个正弦分量组成的输入信号
K K

u(t) =
k=1

uk =
k=1

ΓT Uk sin(ωk t + δk ) =Γ K × u (1)

其中, u = [u1 u2 · · · uK ]T 为输入向量, Γ K = [1 1 · · · 1]T 为数值都等于 1 的 K 维列向量, 显 然 u(t) 为关于 t 的概周期函数[19] . 各个输入正弦 分量的幅值 Uk 、角频率 ωk 和初相角 δk 都是未知 的恒值, 但能够确定 Umin ≤ Uk ≤ Umax , ωkmin ≤ ωk ≤ ωkmax (k = 1, 2, · · · , K ). 假定 ωk 互不相 同, 即 [ωkmin ωkmax ] [ωj min ωj max ] = φ 对于任 意 k = j 都成立. 信号时频分析的任务主要是获 得角频率向量 ω = [ω1 ω2 · · · ωK ]T 和幅值向量 U = [U1 U2 · · · UK ]T 的精确估计, 以及实现对 u(t) 及其各个正弦分量 uk (t) 的高精度跟随. 参 考 频 率 估 计 器 并 联 结 构[20?21] , 可 得 到 图 1 上 半 部 分 所 示 的 N 个 频 率 估 计 器 Estimator 1 ? Estimator N 并 联 而 形 成 的 时 频 分 析 算 法, 其 中 每 个 频 率 估 计 器 采 用 归 一 化 算 法[15] , 结 构 如 图 1 中 下 边 的 虚 线 框 内 所 示. u ? 为 系 统 输 出, e 是 总 跟 随 误 差. 第 n (n = 1, 2, · · · , N ) 个 频 率 估 计 器 的 状 态 变 量 是 xn 和 x ?n , 频 率 估 计 值 为 θn , 幅 值 估 计 值 为 an , ?n > 0 是 带 宽 参 数, γ ≥ 0 是 频 率 估 计 自 适 应 增 益. 记 状 态 向 量 为

X =

?T xT x

T

,

x = x ?N
T

x1 x2 · · ·

xN

T

,

?= x x ?1 x ?2 · · ·

.
T

假定状态变量初值为

χ (0) = x (0)T x ? (0)T x10 · · ·

= x ?N 0
T

(2)

xN 0 x ?10 · · ·

11 期

储昭碧等: 归一化频率自适应梳状滤波器的稳定性分析

1583

首先, 确定系统解的存在性和唯一性. 定理 1. 对于连续可微的输入信号 u(t), 在 [0, +∞) × Θ × D 上, 在初值式 (2) 和 (3) 下, 系统 (4) 和 (5) 存在唯一的解. 证明. 简单计算即可验证, 在概周期信号输入 作用下, 状态方程中 X (t, θ , χ ) 关于 (t, θ , χ ) 连续, 频率估计法则中 f (t, χ ) 关于 (t, χ ) 连续, 并且二者 都有连续有界偏导数, 满足 Lipschitz 条件, 故根据 Cauchy-Peano 定理知系统有唯一解.

2 频率与状态解耦
本节利用文献 [22] 提出的积分流形实现状态 估计方程 (4) 与频率更新法则 (5) 之间的解耦. 当 γ = 0 时, 估计频率 θ 不随时间变化而成为固定值, 此时状态方程退化为线性时不变系统, 对于式 (1) 的 输入信号, 状态方程的稳态响应记为

图1
Fig. 1

归一化频率自适应梳状滤波器结构
adaptive comb ?lter

Structure of the proposed normalized frequency

估计频率为 θ = θ1 θ2 · · ·

θN , 初值为 θN 0
T

θ (0) =

θ10 θ20 · · ·

(3)

? T (t, θ ) ? (t, θ ) = x χ ? T (t, θ ) x ? ? (t, θ ) 对 θ 的灵敏度表示为 而χ ? θ (t, θ ) = χ ? ? (t, θ ) χ θ ?θ

T

?N , 记 Λ (θ) = diag{θ1 , θ2 , · · · , θN } 为对角矩阵, Γ N 为数 值全为 1 的 N 维列向量, 0 为零矩阵. 有如下时频 分析算法的非线性系统模型. ˙ = X (t, θ , χ ) = A(θ )χ + Bu u χ ˙ f (t, χ ) = θ = γf γ f1 (t, χ) f2 (t, χ) · · · u ? = ΓN T · x e = u(t) ? u ? an =
其中

设带宽参数向量为 ? = ?1 ?2 · · ·

(4) (5) fN (t, χ)
T

(6) (7) (8) ??Γ T K 0 x ?2 n

有以下结论. 引理 1. 当 γ = 0 时, 以下结论成立: 1) 状态方程的平衡点 χ = 0 是指数稳定的, 存 在常数 α > 0, L > 0, 对于任意 t ≥ t0 ∈ R, θ ∈ Θ 有

x2 n

+

eA(θ )(t?t0 ) ≤ Le?α(t?t0 )

(10)

A(θ ) =

??Γ T Λ (θ ) N , ?Λ (θ ) 0

B=

称式 (4) 为系统的状态估计方程, 称式 (5) 为归一化 频率更新法则, 其表达式为

? (t, θ ) 和 χ ? θ (t, θ ) 都是关于 t 和 θ 的连续有 2) χ 界函数, 存在正常数 ρ3 、 ρ4 、 ρ5 , 对于任意 t ∈ R, θ 1, θ ∈ Θ 有 ? (t, θ ) ≤ ρ3 , χ ? θ (t, θ ) ≤ ρ4 χ θ ? θ1

?n e ˙n = γfn (t, χ ) = γ?n x θ 2 an

(9)

? θ (t, θ ) ? χ ? θ (t, θ 1 ) ≤ ρ5 χ

考虑到在实际系统中都是有限带宽的有界信号, 并 且经模数转换都存在量化误差, 状态空间可定义为

D = {χ | 0 < ρ1 ≤ an ≤ ρ2 , n = 1, · · · , N }
估计频率参数空间定义为

Θ = {θ | 0 ≤ θnmin ≤ θn ≤ θnmax , n = 1, · · · , N }

证明. 据文献 [13] 的命题 2 知, 零点是状态估计 方程的一致全局指数稳定平衡状态, 再由 Lyapunov 指数稳定的逆定理知, 矩阵的特征值都有负实部, 故 式 (10) 成立. 由文献 [13] 的命题 3 知: 在式 (1) 输入信号下,

1584











36 卷

系统状态变量稳态输出记为 ? H1 (ω1 , θ ) · · · ? ? H2 (ω1 , θ ) · · · ? (t, θ ) = ? x . .. ? . . . ?

H1 (ωK , θ ) ? H2 (ωK , θ ) ? ?× . ? . . ? ?

?

定理 2. 存在 γ0 > 0, 当 γ ∈ [0, γ0 ] 时, 有关于 t 的概周期函数 β (t, θ , γ ), 满足 β (t, θ , 0) = 0, 使存 在关于 θ 和 χ 的积分流形, 从而频率更新法则可写 为概周期微分方程

HN (ω1 , θ ) · · · HN (ωK , θ ) ? U1 sin(ω1 t + δ1 + ?(ω1 , θ )) ? ? U2 sin(ω2 t + δ2 + ?(ω2 , θ )) ? . ? . . ?

˙ = γF θ F (t, θ , γ ) = γf f t, χ ? (t, θ ) + β (t, θ , γ )

(11)

? ? ? ? ? UK sin(ωK t + δK + ?(ωK , θ )) ··· ··· .. . ? ? 1 (ωK , θ ) H ? 2 (ωK , θ ) ? H ? ?× . ? . . ? ?

证明. 综合定理 1 和引理 1, 根据文献 [22] 的定 理 3.1 直接可知存在概周期函数

β (t, θ , γ ) = v T (t, θ , γ ) v ?T (t, θ , γ ) v (t, θ , γ ) = v1 (t, θ , γ ) · · · ?(t, θ , γ ) = v v ?1 (t, θ , γ ) · · ·

T

vN (t, θ , γ ) v ?N (t, θ , γ )

T

? 1 (ω1 , θ ) H ? ? ? H2 (ω1 , θ ) ? ? (t, θ ) = ? x . ? . . ?

?

T

使得系统 (4) 和 (5) 具有唯一的积分流形

? N (ω1 , θ ) · · · H ? N (ωK , θ ) H ? U1 cos(ω1 t + δ1 + ?(ω1 , θ )) ? ? U2 cos(ω2 t + δ2 + ?(ω2 , θ )) ? . ? . . ?

N

? (t, θ ) + β (t, θ , γ ) , M = (t, θ , χ )|χ = χ ? γ ∈ [0, γ0 ], θ ∈ Θ, χ ∈ D
在积分流形 M 上估计频率 θ 满足式 (11). 实现估计频率与状态变量之间解耦后, 获得关 于估计频率的概周期微分方程. 此时

? ? ? ? ? UK cos(ωK t + δK + ?(ωK , θ )) ?i ωk 2 ? ωk

a2 xn (t, θ ) + vn (t, θ , γ )) + n (t, θ , γ ) = (? 2 ? (x ?n (t, θ ) + v ?n (t, θ , γ )) (12)
若记
T

2

L(ωk ) =

θ2 i=1 i

则第 n 个跟踪器的状态变量 xn , x ?n 对于第 k 输入分 量 uk 的相移特性为

F (t, θ , γ ) = F1 (t, θ , γ ) · · ·
则有

FN (t, θ , γ )

?(ωk , θ ) = 0.5π ? arcsin(L(ωk ))
幅频特性为

Fn (t, θ , γ ) = ?n ωk
2 ? (θn 2 ωk )

? ?n (x ?n (t, θ ) + v ?n (t, θ , γ )) × 2 an (t, θ , γ )
N

Hn (ωk , θ ) =

1 + L2 (ωk )

u(t) ?
i=1

x ?i (t, θ ) + vi (t, θ , γ )

(13)

? n (ωk , θ ) = H

?n θn
2 ? ω2 ) (θn 1 + L2 (ωk ) k

令 m, n = 1, 2, · · · , N , 有 ? ? ω k = θn ? 1, |Hn (ωk , θ )| = 0, ω k = θm , m = n ? ? (0, 1), ωk = θm 所 以 Hn (jωk , θ ) 是 连 续 有 界 的, 还 可 验 证 ? ? ? Hn (jωk , θ ) 和 ?θ Hn (jωk , θ ) 也是连续有界的, 故 θ θ ?θ ? (t, θ ) 与 χ ? θ (t, θ ) 是关于 t 和 θ 的连续有界概周期 χ 函数. 于是引理成立.

定理 2 中积分流形的存在性与唯一性说明了算 法的整体稳定性, 只要估计频率与状态的初始值处 于积分流形上, 则对于任意时刻估计频率与状态都 处于该积分流形上. 而引理 1 说明在该积分流形上, 算法的稳定性主要决定于估计频率 θ (t) 在 t → +∞ 时的行为, 故以下通过讨论估计频率的稳定性来揭 示算法的稳定性.

3 频率估计稳定性
对式 (13) 运用平均方法[23] , 得到估计频率 θ 的 平均方程

˙ = γF ? (θ ) = γ F ?1 (θ ) F ?2 (θ ) · · · θ

?N (θ ) F

T

11 期

储昭碧等: 归一化频率自适应梳状滤波器的稳定性分析

1585

由于
2 ? a2 ?2 ?n (t, θ ) n (t, θ , 0) = x n (t, θ ) + x ?n (t, θ ) ?n x ? Fn (t, θ , 0) = 2 u(t) ? an (t, θ , 0)

为方便讨论, 定义中心为 ω 、 半径为 r 的球域为

Br (θ , ω ) = {θ |
N

θ ? ω ≤ r, θ ∈ Θ}

x ?i (t, θ )
i=1

分三种情况讨论频率估计平均方程的局部稳定性.

3.1 孤立平衡点的指数稳定性
若输入正弦成分个数等于频率估计器个数, 即 N = K , 再假设输入信号各个频率的范围已知, 即 对于 k = 1, · · · , K 都满足条件

于是在式 (1) 的输入下有

a ?2 n (θ ) =

?2 n 2 a ? (θ ) = 2 n 1 T 2 an (t, θ , 0)dt = lim T →∞ T 0
K 2 2 2 (θn + ωk )Uk 2 ? ω 2 )2 (1 + L2 (ω )) (θn k k

[ωkmin , ωkmax ] ? [θkmin , θkmax ]

(17)

?2 n 2

(14)

k=1

? = ω , 此时系统 则平均系统有唯一的孤立平衡点 θ 有如下特性. 定理 3. 对孤立平衡点 ω , 存在常数 r1 > 0 与 M1 > 0 和有限的时间 T > t0 , 使对于任意初始值 θ (t0 ) ∈ Br1 (θ , ω ) 和任意时刻 t ≥ T , 估计频率满足 θ (t) ? ω ≤ M1 θ (t0 ) ? ω e?γ (t?t0 ) (18) ? 邻域对 F ? (θ ) 证明. 采用局部线性化方法, 在 θ 进行一阶近似, 平均方程可改写为 ˙ = γF ?) + γ ? F ?)(θ ? θ ?) ? (θ ? (θ θ θ ?θ 令 m = n, 由式 (15) 得到 ? ? Fn (θ )= 4 ?θm
K 2 ? (θn K 2 2 2 (θn + ωk )Uk 2 ? ω 2 )2 (1 + L2 (ω )) (θn k k

?n (θ ) = lim 1 F T →∞ T ?1 a ?2 n (θ )
由于
K

T

Fn (t, θ , 0)dt =
0 2 θn Uk 2 ? ω 2 )(1 + L2 (ω )) (θn k k

(15)

k=1

(19)

θn →ωk

lim

2 2 2 1 (θn ? ωk ) = 2 2 1 + L (ωk ) (?n ωk )

?2

? (θ ) 是连续有界函数, 将其写成矩阵形式 所以 F ? ? 2 a ?? 1 (θ ) ? ? .. ? (θ ) = ? ? ?× F . ? ? 2 a ?? ( θ ) N ? ?? ? θ 2 U1 θ1 1 ··· 2 2 2 ? ? 1 + L2 (ω ) ? ? θ1 ? ω2 θ1 ? ωK 1 ? ? θ 1 ?? 2 ? θ U2 2 2 ? ?? ? ? ··· ? 2 2 2 2 ?? 2 θ2 ? ωK ? ? 1 + L (ω2 ) ? ? θ2 ? ω1 ? ? ?? . . ? . .. ? ?? . . . ? . . . . ?? ? ? ? θN 2 ? θN ? ? UK · · · 2 2 2 2 θN ? ω1 θN ? ωK 1 + L2 (ωK )
由于 θ1 , θ2 , · · · , θN 互不相同, ω1 , ω2 , · · · , ωK 互不 2 相 同, a ?? n (θ ) = 0, 所 以 平 均 方 程 的 平 衡 点 即 ? (θ ) = 0 只有平凡解 F

×

k=1

k=1 K

2 θn Uk 2 ωk )(1 +

L2 (ωk ))

×

k=1

2 2 2 ?m θm ωk (θn + ωk )Uk ? 2 ? ω 2 )2 (θ 2 ? ω 2 )2 (1 + L2 (ω ))2 (θn k m k k K 2 2 2 (θn + ωk )Uk 2 ? ω 2 )2 (1 + L2 (ω )) (θn k k ?1

4
k=1 K

×

k=1

2 ?m θm ωk θn Uk 2 ? ω 2 )(θ 2 ? ω 2 )2 (1 + L2 (ω ))2 (θn k m k k ?2

? ? Fn (θ ) = 4 ?θn
K

K

k=1

2 2 2 (θn + ωk )Uk 2 ? ω 2 )2 (1 + L2 (ω )) (θn k k

×

(1 + L (ω1 ))
从而有
N

2

?1

···

(1 + L (ωK ))

2

?1

T

=0

k=1 K

2 ? (θn

2 θn Uk 2 ωk )(1 +

L2 (ωk ))

×

k=1 N 2 2 (θn ? ω1 ) ··· 2 2 (θn ? ωK ) n=1 T

2 2 2 ?n θn ωk (θn + ωk )Uk ? 2 ? ω 2 )4 (1 + L2 (ω ))2 (θn k k K 2 2 2 (θn + ωk )Uk 2 ? ω 2 )2 (1 + L2 (ω )) (θn k k ?1

=0

(16)

4
k=1

×

n=1

1586
K


2 2 ?n θn ωk Uk ? 2 ? ω 2 )3 (1 + L2 (ω ))2 (θn k k K 2 2 2 (θn + ωk )Uk 2 ? ω 2 )2 (1 + L2 (ω )) (θn k k ?2






?1



36 卷

k=1

2
k=1 K

×

k=1 K

2 θn Uk × 2 ? ω 2 )(1 + L2 (ω )) (θn k k 2 2 2 θn (θn + 3ωk )Uk +1 2 ? ω 2 )3 (1 + L2 (ω ))2 (θn k k

k=1

? 代入得 以θ =θ ? ? ? ? ? ? Fn (θ ) = 0, Fn (θ ) = ?1 ?θm ?θn
于是有负单位矩阵

(20)

? ? ? F (θ ) = diag {?1, ?1, · · · , ?1} θ ?θ

(21)

? = ω 是平均方程的局部指数稳定平衡点, 则 故θ 根 据 Lyapunov 局 部 指 数 稳 定 性 定 理, 存 在 球 域 Br1 (θ , ω ) 使定理成立. 并且局部的频率收敛速度 不受制于输入分量的幅值. ? (θ ) 连续可微, 且 ? F ? (θ ) 在 Θ 上有界, 由于 F θ ?θ 据局部指数稳定平衡点的 Lyapunov 逆定理, 由文 献 [24] 定理 4.14 直接得到以下结论. 引理 2. 当 ω 是平均系统的指数稳定平衡点时, 存在函数 V1 (θ , ω ) : Θ → R, 满足不等式 c1 θ ?ω
2

? (0) 中不对 η 作限制, η 可为任何值, 系统 由于 F 的平衡点不是孤立平衡点, 而是连续平衡点集. 文献 [25] 指出渐近稳定性概念不适合这类系统, 而应该 用半稳定性来分析. 半稳定性理论在文献 [26] 得到 较深入研究并被应用于非连续自治系统[27] 和控制 网络一致性规约[28] 的稳定性分析中. 以下定义选自 文献 [26]. ˙ = f (x ) 平衡点 定义 1. 设非线性动力系统 x ?1 ?1 集记为 f (0), 称 x e ∈ f (0) 是半稳定的, 如果 它是 Lyapunov 稳定的, 并且存在包含 x e 的开子集 Q, 使得起始于初值 x (t0 ) ∈ Q 的所有轨线都收敛, 即 x (∞) = limt→+∞ x (t) 存在, 且 x (∞) 也是 Lyapunov 稳定的. 如果所有的平衡点都是半稳定的, 则 称系统是半稳定的. 在上述定义中, x (∞) 可能不等于 x e . 对于半稳 定性分析, 我们不加证明地引用文献 [26] 的定理 3.1 作为如下引理. ?1 引理 3. 记 Q 是平衡点集 f (0) 的开邻域, 假 设存在某个连续可微函数 V : Q → R 使得 ?V (x )f (x ) < 0, x ?x x ∈ Q\f ?1 (0)

若系统是 Lyapunov 稳定的, 那么系统是半稳定的. 此时频率估计稳定性描述如下: 定理 4. 若 θ 满足式 (17), 存在常数 r2 > 0 与 ?(t0 ) ∈ Br (θ ?, ω ), M2 > 0, 对于任意初始值 θ 2

η (∞) = lim η (t) = Constant
t→∞

(22) (23)

≤ V1 (θ , ω ) ≤ c2

θ ?ω
2

2

θ (∞) = lim θ (t) = ω
t→∞

? ? (θ ) ≤ ?c3 θ ? ω V1 (θ , ω )F θ ?θ ? V1 (θ , ω ) ≤ c4 θ ? ω θ ?θ 其中, c1 , c2 , c3 , c4 为正常数. 3.2 中心流形与半稳定性

并且存在有限的时间 T > t0 , 使得对于任意时刻 t ≥ T 满足

θ (t) ? ω ≤ M2

θ (t0 ) ? ω

e?γ (t?t0 )

(24)

? ? = [ω T η ?T ]T 的邻 证明. 考虑在某个平衡点 θ 域, 根据式 (20) 把平均方程的近似式 (19) 改为 ? ?)(θ ? ω ) ˙= ?F ? (θ θ θ ?θ ˙ =0 η
? ? ? ?) 是式 (21) 的负单位矩阵, 根据中心流 其中, ?θ F (θ θ 形定理, 存在 N1 维中心流形

若 输 入 正 弦 成 分 个 数 小 于 频 率 估 计 器 个 数, 即 N1 = N ? K > 0 时, 把 估 计 频 率 改 写 为 T ? = θ T η T , 其中 θ

θ = θ1 · · · η = η1 · · ·

θK ηN1

T

T

? = θT ηT Mc = θ

T

| θ = h (η )

?) = 0, 所以 ? (θ 若 θ 满足式 (17), 只要 θ = ω , 总有 F 平均方程有平衡点连续体 ?∈Θ ? ?1 (0) = θ | θ = ω , θ ? F

˙ = 0, 所以在该流形上 η 为常数. 再由文献 由于 η ? ? 处是局部 Lya[24] 的推论 8.1 确定平均系统在 θ punov 稳定的.

11 期

储昭碧等: 归一化频率自适应梳状滤波器的稳定性分析

1587

?) = V1 (θ , ω ) 为 Lyapunov 函 由引理 2 选择 V (θ 数, 则 ?V ? ? ? (θ )F (θ ) < 0, ? ?θ ?∈Θ ? \F ? ?1 (0) ?θ

其中 F (t, θ , γ ) 由式 (12) 和 (13) 决定, 而

g (t, θ , γ ) = g1 (t, θ , γ ) · · · gn (t, θ , γ ) =

gN (t, θ , γ )

T

由引理 3 知平均系统是局部半稳定的. 根据半稳定 性的定义知式 (22) 和 (23) 成立. 另 外, 由 于 对 应 于 ηi 的 幅 值 ai 很 小, 使 得 fi (t, χ ) 很大, 所以 η 的收敛速度较 θ 快, 经过 有限时间 T 后, η 就达到中心流形 Mc 或边界点上, ? 的 K + N1 维平均方程退 此时恒定的 η 使得关于 θ 化为关于 θ 的 K 维自治方程, 由定理 3 知 θ 按指数 规律收敛到 ω , 所以式 (24) 成立. 综合定理 3 和定理 4, 经过有限时间 T 后, 估 计频率 θ 都按指数规律趋向 ω , 即 θ = ω 是平均方 ˙ = γF ? (θ ) 的指数平衡点. 依据概周期动力系 程θ 统的平均定理[23] , 平均方程的指数稳定平衡点也是 ˙ = γF F (t, θ , γ ) 的局部指数稳定平衡 原概周期方程 θ ? 点, 由于 F (t, θ , γ ) 一致连续可微, 且 ?θ F (t, θ , γ ) 在 θ Θ 上一致有界, 据局部指数稳定平衡点的 Lyapunov 逆定理, 由文献 [24] 的定理 4.14 直接得到以下结果. 引理 4. 当 ω 是平均系统的指数稳定平衡点 时, 概周期微分方程 F (t, θ , γ ) 存在函数 V2 (t, θ , ω ) : [0, +∞) × Θ → R, 满足不等式

? ?n (x ?n (t, θ ) + v ?n (t, θ , γ )) u ?(t) 2 an (t, θ , γ )

˙ = γF F (t, θ , γ ) 的指数稳定平衡 考虑 ω 是标称系统 θ g (t, θ , γ ) 作为标称系统的结构扰动, 分析扰 点, 把 γg 动系统的有界性, 有以下定理. 定理 5. 记 ?M = max(?1 , · · · , ?N ) 为带宽参 数的最大值, 存在正常数 γ ?, ? ? , M3 , ? b, r3 与某个有 限的时刻 T , 当 γ ∈ (0, γ ? ], ?M ∈ (0, ? ?] 且 γ?M < ? b 时, 则对于所有初值 θ (t0 ) ∈ Br3 (θ , ω ), 扰动系统的 解 θ (t) 当 t0 ≤ t < t0 + T 时满足: θ (t) ? ω ≤ M3
当 t ≥ T + t0 时满足
K1

θ (t0 ) ? ω

e?γ?M bM (t?t0 )

θ (t) ? ω ≤ γ?M b0
k=1

?k U

(27)

证明. 由于 g (t, θ , γ ) 是有界域 Θ 上的一致连续 g (t, θ , γ ) 有如下的边界 函数, 且扰动量 γg

?0 g (t, θ , γ ) ≤ γ?M L γg
其中

K1

?k U

(28)

c5

θ ?ω

2

≤ V2 (t, θ , ω ) ≤ c6

θ ?ω

2

k=1

? ? V2 (t, θ , ω ) + V2 (t, θ , ω )F (t, θ , γ ) ≤ θ ?t ?θ ? c7 θ ? ω 2 ? V2 (t, θ , ω ) ≤ c8 θ ?θ 其中, c5 , c6 , c7 , c8 为正常数. 3.3 周期扰动下的有界性
由于实际信号频率成分复杂, 难免存在未知频 率成分, 考虑在式 (1) 的输入信号中迭加周期扰动 信号, 由 K1 个未知频率的正弦成分组成
K1

θ ?ω

当 ω 是 标 称 系 统 的 指 数 稳 定 平 衡 点 时, 存 在 引 理 4 所列的函数 V2 (t, θ , ω ) 和常数 c5 , c6 , c7 , c8 , 令 0 < λ < 1, 取

c7 ? b≤ c8

c5 λ r3 c6 ? K1 ? L0 Uk
k=1

对给定的 r3 > 0, 总可以选择 γ ?, ? ?, 当 γ ≤ γ ? , ?M ≤ ? ? ? 使得 0 < γ?M ≤ b, 从而

g (t, θ , γ ) ≤ γg ?i ) ?i sin(ξi t + δ U
T T T

u ?(t) =
i=1

(25) c6 , c5

c7 c8

c5 λ r3 c6 ?0 c6 L c5 λ

根据文献 [24] 的引理 9.2 知, 令

? = [ω ξ ] , 其 中, ω = 把输入频率改写为 ω T [ω1 · · · ωK ] 是 K 个 已 知 范 围 的 频 率, ξ = [ξ1 · · · ξK1 ]T 是 K1 个未知范围的频率, ξ ∈ Ξ, Ξ ∩ Θ = φ. 此时平均系统不存在精确的平衡点. 把估计频率的概周期微分方程改写为 ˙ = γF F (t, θ , γ ) + γg g (t, θ , γ ) θ (26)

M3 =

bM =

(1 ? λ)c7 , 2c6

b0 =

c8 c7

即可使得定理成立. 综上所述, 估计频率的暂态响应速度主要取决 于参数 γ , γ 越大收敛越快, 受带宽参数的影响相对 很小. 当所有输入成分的频率范围已知时, 频率估计

1588











36 卷

方程处于指数稳定或半稳定状态, 估计频率收敛到 输入信号频率. 当输入信号包含有未知频率范围的 正弦成分时, 估计频率 θ 不趋向于恒值, 而在输入频 率 ω 的邻域内振荡, 振荡范围决定于最终边界, 该值 与算法参数乘积 γ?M 的大小成比例.

仍获得输入信号的各个成分及其幅值的准确估计. 设输入信号由式 (1) 的 K 个已知频率范围的正 弦成分与式 (25) 的 K1 个未知频率范围的正弦分量 叠加, 已知范围频率的估计值为 θ = [θ1 · · · θK ]T , 令 1 ≤ n ≤ K , 状态变量为

4 幅值估计与信号跟随
由式 (4) ? (8) 知, 估计幅值对时间 t 的变化率 为

xn = Un sin(ωn t + δn ) +
K1

?i + ?(ξi , θ )) ?i sin(ξi t + δ Hn (ξi , θ )U

i=1

d 2 ˙ n = 2?n xn e a (t) = 2xn x ˙ n + 2? xn x ? dt n
这说明估计幅值 an 的收敛速度主要决定于带宽参 数 ?n , 受参数 γ 的影响相对较小. 当 N = K , 估计频率具有指数稳定的孤立平衡 点时, 暂态响应结束后, 在稳态过程中, θ (t) 变化缓 慢, 依据慢流形思想, 可将其视为常数以简化分析. ? (jω , θ ) 有 以 θ = ω 代入 H (jω , θ ) 和 H

x ?n = Un cos(ωn t + δn ) +
K1

?i + ?(ξi , θ )) ? n (ξi , θ )U ?i cos(ξi t + δ H

i=1

? 不能趋向于稳定的单一的正 此 时 状 态 变 量 x, x 弦 信 号, 而 是 多 个 频 率 正 弦 信 号 的 叠 加. 记 状 ? 态变量的标准值为 x ?n = Un sin(ωn t + δn ), x ?n = Un cos(ωn t + δn ), 状态跟随误差为 |en | = |xn ? x ?n | ≤
K1

? k (jωk , θ ) = j, Hk (jωk , θ ) = 1, H

k = 1 , 2, · · · , K n=k

? n (jωk , θ ) = 0, Hn (jωk , θ ) = 0, H
从而

?n
i=1

?i ξi U
2 ? ξ2| |θn i

1 + L2 (ξi )

H (jω , θ ) = IK ×K ,
于是稳态状态变量成为

? (jω , θ ) = jIK ×K H

? |e ?n | = |x ?n ? x ?n | ≤
K1

?n
i=1

?i θn U
2 ? ξ2| |θn i

x (∞) = [U1 sin(ω1 t + δ1 ) · · · UK sin(ωK t + δK )]T ? (∞) = [U1 cos(ω1 t + δ1 ) · · · UK cos(ωK t + δK )]T x
可见 x (∞) = u , 此时 u ?(∞) = n=1 xn = u(t), 可 准确跟随输入信号及其各个正弦成分. 另外,
N

1 + L2 (ξi )

此 时 幅 值 估 计 an 也 不 等 于 恒 值, 同 样 叠 加 了 多 个 频 率 的 正 弦 信 号. 显 然 幅 值 的 标 准 值 为 ? x ?2 ?2 a ?n = n +x n = Un , 根据测量误差的合成原 理, 幅值估计误差可表示为

an (∞) =

x2 ?2 n (∞)+ x n (∞) = Un , n = 1, 2, · · · , K

同时能够获得各个正弦成分幅值的准确估计. 对于频率估计是半稳定的情况, 稳态频率为 ?T ]T , 其中 η ? 为常数, 所以稳态频率特 θ (∞) = [ω T η 性矩阵具有以下形式

|?an | = |an ? a ?n | =

? x ?n en + x ?n e ?n = 2 2 ? x ?n + x ?n

H (jω , θ ) =

IK ×K 0 ? (jω , θ ) = jIK ×K 0 ,H 0 0 0 0

| sin(ωn t + δn )en + cos(ωn t + δn )? en | ≤ K1 ?i (θn + ξi )U ?n 2 ? ξ2| |θn 1 + L2 (ξi ) i i=1
上述表明, 存在未知频率的正弦成分时, 稳态幅 值估计与状态跟随误差都随着 ?n 的增大而增大, 受 参数 γ 的影响较小, 误差也随着未知正弦分量的幅 值的增大而增大.

于是当 1 ≤ n ≤ K 时,

xn (∞) = Un sin(ωn t + δn ) x ?n (∞) = Un cos(ωn t + δn ) an (∞) = Un
而当 K < n ≤ N 时,

5 应用仿真
假设输入信号包含 5 个正弦成分
5 5

xn (∞) = x ?n (∞) = 0,

an (∞) = 0

u(t) =
k=1

uk (t) =
k=1

Uk sin(2πfk t + δk )

11 期

储昭碧等: 归一化频率自适应梳状滤波器的稳定性分析

1589

采 用 5 个 频 率 估 计 器 并 联, 估 计 频 率 θ1 , θ2 , θ3 , θ4 , θ5 的单位定为 Hz, 对应的的数值区间设为 [40, 59]、[90, 109]、[140, 159]、[190, 209]、 [240, 259], 带 宽 参 数 相 等 都 为 ?, 采 样 频 率 选 为 10 kHz, 在 Simulink 环境下, 选择龙格 – 库塔算法进行仿真. 为防止积分器深度饱和, 对状态变量设置 ±1.5 的限 幅.

(a) 曲线 U1 和 a1 (a) Curves of U1 and a1

5.1 跟随性能
选择 γ = 4π , ? = 20π , 图 2 给出各个频率的实 际值 fk 和估计值 θk 曲线, 图 3 是各个正弦成分幅 值的实际值 Uk 和估计值 ak 曲线.

(b) 曲线 U2 和 a2 (b) Curves of U2 and a2

(a) 曲线 f1 和 θ1 (a) Curves of f1 and θ1 (c) 曲线 U3 和 a3 (c) Curves of U3 and a3

(b) 曲线 f2 和 θ2 (b) Curves of f2 and θ2 (d) 曲线 U4 和 a4 (d) Curves of U4 and a4

(c) 曲线 f3 和 θ3 (c) Curves of f3 and θ3 (e) 曲线 U5 和 a5 (e) Curves of U5 and a5

图3
Fig. 3

幅值跟随性能

Amplitude performances of tracking

(d) 曲线 f4 和 θ4 (d) Curves of f4 and θ4

(e) 曲线 f5 和 θ5 (e) Curves of f5 and θ5

图2
Fig. 2

频率跟随性能

Frequency performances of tracking

经过 1.2 s 时间, 估计频率 θ1 , θ2 , θ3 , θ4 , θ5 从各 自初始值 50 Hz, 100 Hz, 150 Hz, 200 Hz, 250 Hz 准 确跟随到实际频率 50 Hz, 100 Hz, 152 Hz、200 Hz, 252 Hz, 估计幅值 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 都从同一个初始 值 1.0 准确跟随到实际幅值 1.0, 0.1, 0.5, 0.1, 0.3, 此时 5 个正弦分量的幅值都不等于 0, 频率估计算法 存在稳定的孤立平衡点, 估计频率按指数规律趋于 真值. 在 t = 2.0 s 时两个正弦分量的幅值 U2 、 U4 变 为 0, 估计频率由指数稳定的孤立平衡点转向稳定的 中心流形, 在该流形上 θ2 = 101 Hz, θ4 = 198.5 Hz 为常数. U2 , U4 变化并没有引起其他三个正弦分量

1590











36 卷

的估计频率或幅值曲线的较大变动, 说明状态变量 与估计频率之间的解耦是有效的. 在 t = 4.0 s 时刻, f1 , f2 , f3 , f4 , f5 分别有 2.0 Hz, 2.0 Hz, ?2.0 Hz, 2.0 Hz, ?2.0 Hz 的跳变, 由于 U2 = U4 = 0, 估计频率处于半稳定状态, θ (t) 从中心流形的一个平衡点转向另一个平衡点, 由于 a2 , a4 很小, 受制于边界条件, θ2 , θ4 很快收敛到其 最小值 90 Hz, 190 Hz, 此后, 其余的估计频率再按 指数规律趋向各自的平衡态. 到 t = 5.2 s 时, 暂态 过程结束, 频率和幅值的估计值即准确跟随了实际 值. 注意到 f1 , f2 , f4 的跳变方向为正, f3 , f5 的跳 变为负, 说明各个估计频率具有独立跟随性能. 在 t = 8.0 s 时刻, f1 , f3 , f5 分别有 ?4.0 Hz, 3.0 Hz, ?1.0 Hz 的跳变, U2 , U4 , U5 分别有 0.1, 0.1, 0.2 的 跳变, 注意到此时算法又从半稳定状态恢复到指数 稳定状态. 幅值与频率跳变的叠加使得幅值的暂态 响应比较剧烈, 暂态响应过程稍长, 直到 t = 10.0 s 才结束. 在 t = 12.0 s 时刻, 在保持频率不变的同时使 U1 , U3 , U5 分别有 ?0.1, 0.1, ?0.1 的跳变, 由此引 发的暂态变化主要局限在状态变量, 对估计频率的 影响很小, 显示频率估计算法对输入信号幅值的跳 变具有较好的鲁棒性, 不同方向的幅值跳变展示了 幅值估计算法的相对独立的跟随性能. 图 4 的跟随误差定义为 ek = uk ? xk (k = 1, 2, · · · , 5), 图中显示稳态时状态变量 xk 对输入正 弦成分 uk 具有良好的跟随性能. 注意到在指数稳定 状态与半稳定中心流形下, 稳态时都能够实现频率、 幅值与信号分量本身无差的精确跟随.

数 γ , ? 的大小只影响暂态性能, 不影响稳态估计精 确度.

(a) 曲线 e1 (a) The curve of e1

(b) 曲线 e2 (b) The curve of e2

(c) 曲线 e3 (c) The curve of e3

(d) 曲线 e4 (d) The curve of e4

5.2 参数影响
为考察参数 γ , ? 对算法性能的影响, 在 t = 12 s 时保持所有正弦分量的频率不变而改变其幅值, 在 t = 13 s 时保持所有正弦分量的幅值不变而改变其 频率, 分别选择不同的参数值, 得到估计幅值 a1 曲 线、 估计频率 θ1 曲线列在图 5 和图 6 中. 从图 5 的 θ1 曲线显示, 参数 γ 越大, 估计频率 θ 的动态响应越快, 而数值小的 γ 使估计频率和幅 值跟随暂态过程加长. 在 t = 12 s 处的 γ = 10π 与 γ = 2π 对应的两条幅值 a1 曲线基本重合, 展示参数 γ 的大小对单纯幅值跳变引起的幅值跟随性能影响 不大. 从图 6 幅值 a1 曲线显示, 较大的 ? 值使幅值具 有较好的快速跟随性能, 因频率变化而导致的超调 量也较小. 在 t = 13 s 处的 ? = 50π 与 ? = 10π 对 应的两条幅值 θ1 曲线基本重合, 展示参数 ? 的大小 对单纯频率跳变引起的频率跟随暂态性能影响不大. 在指数稳定平衡点和半稳定的中心流形上, 参

(e) 曲线 e5 (e) The curve of e5

图4
Fig. 4

跟随误差曲线

Curves of tracking error

5.3 有界性
当输入信号中正弦分量的频率不在估计频率的 设定范围中时, 各个频率与幅值的稳态估计值除受 未知成分影响外, 还受到参数 γ , ? 数值的影响. 在 输入信号中加入正弦分量

u6 (t) = 1.0 sin(2π × 230t)
其频率 230 Hz 不处于任何估计频率空间中, 保持其

11 期

储昭碧等: 归一化频率自适应梳状滤波器的稳定性分析

1591

他频率不变, 改变参数 γ , ? 数值, 得到各稳态估计 值列在表 1 和表 2 中. 在表 1 中, 输入信号的 5 个正弦分量的幅值都 不等于 0, 此时扰动系统的标称系统处于指数稳定状 态. 在表 2 中, 由于对应 θ2 , θ4 的两个正弦分量幅 值都等于 0, 此时扰动系统的标称系统处于半稳定状 态.

两行幅值的振荡范围基本相同, 说明稳态幅值估计 精度主要决定于参数 ?, 受 γ 的影响较小. 表中 ? 与 γ 乘积相同的两行频率的振荡范围基本相同, 说 明频率幅值估计精度主要决定于乘积 γ · ?. 选择较 小的参数能够增强算法的鲁棒性, 提高估计精度, 但 会降低动态响应速度, 延长动态响应时间. 较小的 ? 值使算法的带宽变窄, 从而能够降低频谱泄露导致 的检测误差.

(a) 频率跟随性能 (a) Frequency tracking performances (a) 频率跟随性能 (a) Frequency tracking performances

(b) 幅值跟随性能 (b) Amplitude tracking performances

图5
Fig. 5

? = 20π 跟随性能

(b) 幅值跟随性能 (b) Amplitude tracking performances

Tracking performances when ? = 20π

由于未知正弦分量的扰动作用, 估计频率和幅 值在真值上都叠加了高频振荡. 每个表中 ? 相同的

图6
Fig. 6

γ = 4π 跟随性能

Tracking performances when γ = 4π

1592











36 卷

表 2 中频率 θ2 和 θ4 受 u6 (t) 的影响, 都等于上 限值, 其对时间的导数都等于 0, 维持了中心流形存 在性. 表 2 中幅值 a2 和 a4 的振荡中心都偏离了其 真值 0, 偏移量随着 ? 的增大而增大, 从而形成伪信 号, 这可认为是一种由频率格栅效应导致的频谱泄 露现象. 本算法把频率轴划分为多个区间, 在每个区 间内具有自适应跟随性能, 其频率格栅效应是基于 区间的, 是对傅里叶变换的基于点的格栅效应的较 大改进.

and a phase-locked loop. International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, 2004, 18(1): 23?53 8 Brown L J, Zhang Q. Identi?cation of periodic signals with uncertain frequency. IEEE Transactions on Signal Processing, 2003, 51(6): 1538?1545 9 Brown L J, Zhang Q. Periodic disturbance cancellation with uncertain frequency. Automatica, 2004, 40(4): 631?637 10 Zhang Q, Brown L J. Noise analysis of an algorithm for uncertain frequency identi?cation. IEEE Transactions on Automatic Control, 2006, 51(1): 103?110 11 Lu J, Brown L J. Internal model principle-based control of exponentially damped sinusoids. International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, 2010, 24(3): 219?232 12 Chu Zhao-Bi, Zhang Chong-Wei, Feng Xiao-Ying. A new linear band-adjustable algorithm for real-time signal analysis in power system. Proceedings of the CSEE, 2009, 29(1): 94?99 (储昭碧, 张崇巍, 冯小英. 一种可调带宽的线性电力信号实时分析 新算法. 中国电机工程学报, 2009, 29(1): 94?99) 13 Chu Zhao-Bi, Zhang Chong-Wei, Feng Xiao-Ying. Adaptive ?lter-based time-frequency analysis. Acta Automatica Sinica, 2009, 35(11): 1420?1428 (储昭碧, 张崇巍, 冯小英. 基于自适应滤波器的时频分析. 自动化学 报, 2009, 35(11): 1420?1428) 14 Chu Zhao-Bi, Zhang Chong-Wei, Feng Xiao-Ying. Detection of voltage ?icker based on parallel ?lter. Journal of Electronic Measurement and Instrument, 2009, 23(3): 110?115 (储昭碧, 张崇巍, 冯小英. 基于并联滤波器的电压闪变检测. 电子测 量与仪器学报, 2009, 23(3): 110?115 15 Chu Zhao-Bi, Zhang Chong-Wei, Feng Xiao-Ying. Adaptive notch ?lter-based frequency and amplitude estimation. Acta Automatica Sinica, 2010, 36(1): 60?66 (储昭碧, 张崇巍, 冯小英. 基于自适应限波滤波器的频率和幅值估 计. 自动化学报, 2010, 36(1): 60?66) 16 Karimi-Ghartemani M, Karimi H, Bakhshai A R. A ?ltering technique for three-phase power system. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2009, 58(2): 389?396 17 Yazdani D, Bakhshai A, Joos G, Mojiri M. A real-time three-phase selective-harmonic-extraction approach for gridconnected converters. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2009, 56(10): 4097?4106 18 McNamara D M, Ziarani A K, Ortmeyer T H. A new technique of measurement of nonstationary harmonics. IEEE Transactions on Power Delivery, 2007, 22(1): 387?395 19 Chu Zhao-Bi, Zhang Chong-Wei, Feng Xiao-Ying. Multiharmonics anlysis based on fundamental frequency estimate. Acta Automatica Sinica, 2009, 35(5): 532?539 (储昭碧, 张崇巍, 冯小英. 基于基波频率估计的多谐波分析. 自动化 学报, 2009, 35(5): 532?539) 20 Karimi-Ghartemani M, Iravani R M. Measurement of harmonics/inter-harmonics of time-varying frequencies. IEEE Transactions on Power Delivery, 2005, 20(1): 23?31

6 结论
本文把多个归一化频率估计器并联形成梳状滤 波器, 应用于稳定概周期信号的时频分析. 经理论分 析和仿真验证可知: 当输入信号的正弦分量的频率 都在设定范围变化内时, 算法处于指数稳定状态或 半稳定状态, 能够获得各个正弦分量的频率、幅值 及其本身的无差估计和准确跟随. 频率和幅值估计 的收敛速度分别主要决定于自适应系数和带宽参数, 受输入分量幅值的影响较小. 当输入信号中包含不 在设定范围内的正弦分量时, 算法的鲁棒性使得可 以通过减小带宽参数来提高幅值估计精度, 通过减 小带宽参数或自适应增益来提高频率估计精度. 算 法把频率轴划分为多个区间, 每个区间内自适应跟 踪性能使估计频率收敛到恒定的整数或小数, 从而 提高对含有谐波和间谐波的概周期信号时频分析的 性能. 增加频率估计器的个数, 对频率轴进行精细划 分, 能够减小频率格栅效应, 提高时频分析性能.

References
1 Regalia P A. An improved lattice-based adaptive IIR notch ?lter. IEEE Transactions on Signal Processing, 1991, 39(9): 2124?2128 2 Bodson M, Douglas S C. Adaptive algorithms for the rejection of sinusoidal disturbances with unknown frequency. Automatica, 1997, 33(12): 2213?2221 3 Hsu L, Ortega R, Damm G. A globally convergent frequency estimator. IEEE Transactions on Automatic Control, 1999, 44(4): 698?713 4 Mojiri M, Bakhshai A R. An adaptive notch ?lter for frequency estimation of a periodic signal. IEEE Transactions on Automatic Control, 2004, 49(2): 314?318 5 Mojiri M, Karimi-Ghartemani M, Bakhshai A. Timedomain signal analysis using adaptive notch ?lter. IEEE Transactions on Signal Processing, 2007, 55(1): 85?93 6 Karimi-Ghartemani M, Ziarani A K. Periodic orbit analysis of two dynamical systems for electrical engineering applications. Journal of Engineering Mathematics, 2003, 45(2): 135?154 7 Karimi-Ghartemani M, Ziarani A K. Performance characterization of a nonlinear system as both an adaptive notch ?lter

11 期

储昭碧等: 归一化频率自适应梳状滤波器的稳定性分析

1593

21 Mojiri M, Bakhshai A R. Estimation of n frequencies using adaptive notch ?lter. IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs, 2007, 54(4): 338?342 22 Riedle B, Kokotovic P. Integral manifolds of slow adaptation. IEEE Transactions on Automatic Control, 1986, 31(4): 316?324 23 Lin Zhen-Sheng. Almost Periodic Di?erential Equations and Integral Manifolds. Shanghai: Shanghai Science and Technology Press, 1982. 166?219 (林振声. 概周期微分方程与积分流形. 上海: 上海科学技术出版社, 1982. 166?219) 24 Khalil H K. Nonlinear System. Beijing: Publishing House of Electronics Industry, 2007. 87?422 25 Bhat S P, Bernstein D S. Arc-length-based Lyapunov tests for convergence and stability in systems having a continum of equilibria. In: Proceedings of the American Control Conference. Denver, USA: IEEE, 2003. 2961?2966 26 Hui Q, Haddad W M, Bhat S P. Lyapunov and converse Lyapunov theorems for semistability. In: Proceedings of the 46th IEEE Conference on Decision and Control. New Orleans, USA: IEEE, 2007. 5870?5874 27 Hui Q, Haddad W M, Bhat S P. Semistability, ?nite-time stability, di?erential inclusions, and discontinuous dynamical systems having a continuum of equilibria. IEEE Transactions on Automatic Control, 2009, 54(10): 2465?2470 28 Hui Q, Haddad W M, Bhat S P. On robust control algorithms for nonlinear network consensus protocols. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 2010, 20(3): 269?284

储昭碧 合肥工业大学副教授. 主要研 究方向为电能质量. 本文通信作者. E-mail: zbchu@hfut.edu.cn (CHU Zhao-Bi Associate professor at Hefei University of Technology. His main research interest is power quality. Corresponding author of this paper.) 丁 明 合肥工业大学教授. 主要研究方 向为电力系统分析. E-mail: ming ding@hfut.edu.cn (DING Ming Professor at Hefei University of Technology. His main research interest is power system analysis.

杜少武 合肥工业大学教授. 主要研究 方向为电力电子技术. E-mail: dushaowu1965@126.com (DU Shao-Wu Professor at Hefei University of Technology. His main research interest is power electronies technology.) 冯小英 合肥工业大学高级实验师. 主 要研究方向为自动化仪表. E-mail: czbfxy@126.com (FENG Xiao-Ying Senior laboratory engineer at Hefei University of Technology. Her main research interest covers automation instruments.)


推荐相关:

基于自适应陷波滤波器的频率和幅值估计_图文.pdf

关键词 DOI 自适应陷波滤波器, 频率估计, 归一化频率估计, 稳定性分析,

归一化LMS算法自适应滤波器的MATLAB仿真与DSP实现.pdf

2010 归一化 LMS 算法自适应滤波器的 MATLAB 仿真与 DSP 实现曾照福,赵巧红(...自适应滤波器的结构可以采用 FIR 或 IIR 结构, 由于 IIR 滤波器存在稳定性...

基于自适应陷波滤波器的频率和幅值估计.pdf

通过仿真证实了算法的有效性. 关键词 DOI 自适应陷波滤波器, 频率估计, 归一化频率估计, 稳定性分析, 积分流形 10.3724/SP.J.1004.2010.00060 Adaptive ...

归一化LMS算法自适应滤波器的MATLAB仿真与DSP实现.pdf

归一化LMS算法自适应滤波器的MATLAB仿真与DSP实现 - 第 25 卷第

自适应滤波器原理 第四讲-NLMS算法_图文.ppt

NLMS算法推导过程 NLMS算法稳定性 NLMS算法在回 第四讲 归一化最小均方 (NLMS)自适应滤波算法 Y.J.Pang...

自适应滤波的几种算法的仿真.pdf

O( M),阶次递推自适应滤波基于格形结构,快速横 向滤波器数值稳定性不好。 ...2.2 归一化 LMS 算法 M= LMS 算法的失调条件为 ? ∑λ 2 k =1 M k ...

基于频率自适应改进型梳状滤波器的并网锁相环技术.pdf

首先分析梳状 滤波器的基本原理和滤波特性。针对梳状滤波器锁 相环(CFPLL)...归一化频率自适应梳状滤... 324人阅读 13页 1下载券 基于全数字锁相环的电网...

归一化频率.doc

通过傅里叶变换进行频域分析一样, 离散时间系统也可...计算公式为: = :滤波器归一化频率(Hz) 2 2 :...归一化频率自适应梳状滤... 13页 1下载券 喜欢...

归一化LMS算法自适应滤波器的MATLAB仿真与DSP实现_曾照福.pdf

归一化LMS算法自适应滤波器的MATLAB仿真与DSP实现_曾照福_计算机软件及应用_IT/...自适应滤波器的结构可以采用 FIR 或 IIR 结构, 由于 IIR 滤波器存在稳定性...

自适应滤波器原理第四讲-NLMS算法介绍_图文.ppt

自适应滤波器原理第四讲-NLMS算法介绍 - 第四讲 归一化最小均方 (NLMS)自适应滤波算法 Y.J.Pang 2018/10/14 自适应信号处理 1 CONTENT ? NL...

自适应滤波器原理 第四讲-NLMS算法.._图文.ppt

第四讲 归一化最小均方 (NLMS)自适应滤波算法 Y.J.Pang 2018/10/15 自适应信号处理 1 CONTENT ? NLMS算法推导过程 NLMS算法稳定性 NLMS算法在回声消除中的...

自适应滤波算法原理及其应用.doc

信号的特性自适应调整滤波器的系数, 实现最优滤波。...(1)归一化变步长自适应滤波算法 ?j ? ? ? ? ...基本的变换包括频率域变换,余弦变换,小波变换, 分数...

智能天线自适应滤波器算法研究及分析比较_图文.pdf

智能天线自适应滤波器算法研究及分析比较万政伟.惠...进行归一化来实现自适 应滤波器输出信号的稳定和...智能天线是解决频率资源匮 乏的有效途径。近年来,...

基于频率选择性滤波的归一化最小均方算法研究-论文_图文.pdf

提 出了基 于频率选择 性 的归一化滤 波最 小均...通过合理地选取 自适应滤波器 的结构 、滤 波器 ...长 图9 自适 应滤波器的稳定权系数 春: 吉林...

自适应陷波滤波器频率估计新方法及性能分析.pdf

算法稳定性差的问题,为此,提出一种ANF频率估计新方法.首先,分析现有ANF方法...归一化频率自适应梳状滤... 325人阅读 13页 1下载券 基于LMS算法的自适应...

累积梳状(CIC)滤波器分析与设计.doc

下面分析一下梳状滤波器的幅频特 性。 把 z = e jω 代入可得 H 2 ( .../ R 的归一化频率,把(16)式代入(15)式得到 CIC 滤波器的幅频特性为: ? ...

自适应滤波器在噪声消除中的应用与研究_图文.pdf

南昌航空大学 硕士学位论文 自适应滤波器在噪声消除...[1] 念,即根据给定的频率特性指标(低通、高通、带...其中, 收敛速度快的同时又保持了稳定性的算法归一化...

基于LMS算法自适应滤波器的设计_图文.ppt

LMS算法 因其结构简单、稳定性好,一直是自适应滤波...归一化的步长调整方式,使得随着滤波器权值的收 敛,...设置2000个采样点, 构造一 个阶次为2,截止频率为...

08 频率归一化与转换_图文.ppt

巴特沃斯滤波器设计 数字滤波器设计 实例分析 回顾 FIR滤波器 稳定系统 的条件?...归一化频率自适应梳状滤... 13页 1下载券 统计频率,频数,累计频率... ...

梳状滤波器详述_图文.ppt

归一化归一化原理: 如果,我们需要把在角频率ω 呈现的阻抗移动到角频率ω...结果 36 小结 一般不对最后的滤波器实体模型作参数分析;优 化和稳定性分析。...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com