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河南省六市2015届高考数学二模试卷(文科)

河南省六市 2015 届高考数学二模试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 2 1.已知集合 A={0,b},B={x∈Z|x ﹣3x<0},若 A∩B≠?,则 b 等于( ) A.1 B.2 C .3 D.1 或 2 2.若复数 z 满足(2﹣i)z=|1+2i|,则 z 的虚部为( A.﹣ B. C. ) D.﹣

3.下列函数中,在其定义域内既是偶函数又在(﹣∞,0)上单调递增的函数是( 2 |x| A.f(x)=x B.f(x)=﹣log2|x| C.f(x)=3 D.f(x)=sinx 4.下列有关命题的说法正确的是(
2

)

)
2

A.命题“?x∈R,均有 x ﹣x+1>0”的否定是:“?x∈R,使得 x ﹣x+1<0” 2 B.“x=3”是“2x ﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件 C.若“p∧(¬q)”为真命题,则“p∧q”也为真命题 D.存在 m∈R,使 f(x)=(m﹣1)
﹣4m+3

是幂函数,且在(0,+∞)上是递增的

5. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 若输入 n 的值为 100, 则输出 S 的值为(

)

A.﹣1050

B.5050

C.﹣5050 )

D.﹣4950

6.某几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为(

A.3+3

B.8+3

C.6+6

D.8+6 )

7.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm﹣1=5,Sm=﹣11,Sm+1=21,则 m=( A.3 B.4 C .5 D.6
2 2

8.过点 M(1,2)的直线 l 与圆 C: (x﹣3) +( y﹣4) =25 交于 A、B 两点,C 为圆心, 当∠ACB 最小时,直线 l 的方程是( ) A.x﹣2y+3=0 B.2x+y﹣4=0 C.x﹣y+1=0 D.x+y﹣3=0

9.定义式子运算为

=a1a4﹣a2a3 将函数 f(x)=

的图象向左平移 n(n ) D.

>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为( A. B. C.

10. 已知函数 ( f x) =

+2ax+c, a≠0, 则它们的图象可能是(

)

A.

B.

C.

D.
2

11.已知抛物线的方程为 y =4x,过其焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,若 S△ AOF=3S△ BOF(O 为坐标原点) ,则|AB|=( ) A. B. C. D.4

12.设函数 y=f(x)的定义域为 D,若对于任意的 x1,x2∈D,当 x1+x2=2a 时,恒有 f(x1) 3 +f(x2)=2b,则称点(a,b)为函数 y=f(x)图象的对称中心.研究函数 f(x)=x +sinx+1 的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到 f(﹣2015)+f(﹣2014)+f(﹣ 2013)+…+f+f=( ) A.0 B.2014 C.4028 D.4031

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. 已知向量 = ( , 1) , = (0, ﹣1) , = (t, ) , 若 ﹣2 与 共线, 则 t=__________.

14.设 x,y 满足

,则 z=2x﹣y 的最大值为 3,则 m=__________.

15.一个所有棱长均为 的正三棱锥(底面是正三角形,顶点在底面的射影是底面的中心) 的顶点与底面的三个顶点均在某个球的球面上,则此球的体积为__________.
n

16. 对正整数 n, 设曲线 y=x(1﹣x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an, 则数列 的前 n 项和的公式是__________.

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.已知函数 f(x)=cosxcosx(x+ (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 f(c)=﹣ ,a=2,且△ ABC 的面积为 2 ,求边长 c 的值. ) .

18.某市一水电站的年发电量 y(单位:亿千瓦时)与该市的年降雨量 x(单位:毫米)有 如下统计数据: 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 降雨量 x(毫米) 1500 1400 1900 1600 2100 发电量 y(亿千瓦时) 7.4 7.0 9.2 7.9 10.0 (Ⅰ)若从统计的 5 年中任取 2 年,求这 2 年的发电量都低于 8.0(亿千瓦时)的概率;

(Ⅱ)由表中数据求得线性回归方程为 =0.004x+ .该水电站计划的发电量不低于 9.0 亿 千瓦时,现由气象部门获悉的降雨量约为 1800 毫米,请你预测能否完成发电任务,若不能, 缺口约为多少亿千瓦时? 19.如图,在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面是边长为 棱 B1B 上运动. (Ⅰ)证明:AC⊥D1E; 的正方形,AA1=3,点 E 在

(Ⅱ)若三棱锥 B1﹣A1D1E 的体积为 时,求异面直线 AD,D1E 所成的角.

20. 已知椭圆 C:

+

=1 (a>b>0) 的离心率为

, 四个顶点所围成菱形的面积为 8



(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)已知直线 L:y=kx+m 与椭圆 C 交于两个不同点 A(x1,x2)和 B(x2,y2) ,O 为坐 标原点,且 kOA?kOB=﹣ ,求 y1,y2 的取值范围.

21.已知函数 f(x)=

﹣1.

(1)判断函数 f(x)的单调性; (2)设 m>0,求 f(x)在[m,2m]上的最大值; (3)证明:?n∈N ,不等式 ln(
*

)<

e



【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,梯形 ABCD 内接于⊙O,AD∥BC,过点 C 作⊙O 的切线,交 BD 的延长线于点 P,交 AD 的延长线于点 E. 2 (1)求证:AB =DE?BC; (2)若 BD=9,AB=6,BC=9,求切线 PC 的长.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 O、P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. ,射线 OM:θ= 与圆 C 的交点为 为参数) .以 O 为极点,x

【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)=| x+1|+|x|(x∈R)的最小值为 a. (I)求 a; (Ⅱ)已知两个正数 m,n 满足 m +n =a,求 + 的最小值.
2 2

河南省六市 2015 届高考数学二模试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 2 1.已知集合 A={0,b},B={x∈Z|x ﹣3x<0},若 A∩B≠?,则 b 等于( A.1 B.2 C .3 D.1 或 2

)

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:解不等式求出集合 B,进而根据 A∩B≠?,可得 b 值. 2 解答: 解:∵集合 B={x∈Z|x ﹣3x<0}={1,2},集合 A={0,b}, 若 A∩B≠?,则 b=1 或 b=2, 故选:D. 点评:本题考查的知识点是集合的交集及其运算,难度不大,属于基础题.

2.若复数 z 满足(2﹣i)z=|1+2i|,则 z 的虚部为( A.﹣ B. C.

) D.﹣

考点:复数代数形式的混合运算. 专题:计算题. 分析: 设复数 z=a+bi (a, b∈R) , 由于复数 z 满足 (2﹣i) z=|1+2i|, 可得 2a+b+ (2b﹣a) i= 利用复数相等即可得出. 解答: 解:设复数 z=a+bi(a,b∈R) , ∵复数 z 满足(2﹣i)z=|1+2i|,∴(2﹣i) (a+bi)= ∴2a+b+(2b﹣a)i= ∴ ,解得 , . , ,

故选:B. 点评:本题考查了复数的运算和相等,属于基础题. 3.下列函数中,在其定义域内既是偶函数又在(﹣∞,0)上单调递增的函数是( A.f(x)=x
2

)

B.f(x)=﹣log2|x|

C.f(x)=3

|x|

D.f(x)=sinx

考点:奇偶性与单调性的综合. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数奇偶性和单调性的定义和性质分别进行判断即可. 解答: 解:A.f(x)=x 是偶函数,在(﹣∞,0)上单调递减,不满足条件. B.f(x)=﹣log2|x|是偶函数,在(﹣∞,0)上单调递增,满足条件. |x| C.f(x)=3 是偶函数,在(﹣∞,0)上单调递减,不满足条件. D.f(x)=sinx 是奇函数,不满足条件. 故选:B 点评:本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,比较基础. 4.下列有关命题的说法正确的是( ) 2 2 A.命题“?x∈R,均有 x ﹣x+1>0”的否定是:“?x∈R,使得 x ﹣x+1<0” 2 B.“x=3”是“2x ﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件 C.若“p∧(¬q)”为真命题,则“p∧q”也为真命题 D.存在 m∈R,使 f(x)=(m﹣1)
﹣4m+3

2

是幂函数,且在(0,+∞)上是递增的

考点:命题的真假判断与应用. 专题:简易逻辑. 分析:利用命题的否定判断 A 的正误;利用充要条件判断 B 的正误;利用命题的真假判断 C 的正误;幂函数的定义判断 D 的正误;

解答: 解:对于 A,命题“?x∈R,均有 x ﹣x+1>0”的否定是:“?x∈R,使得 x ﹣x+1<0”, 不满足特称命题与全称命题的否定关系,所以 A 不正确; 对于 B,“x=3”可以推出“2x ﹣7x+3=0”成立,但是 2x ﹣7x+3=0,不一定有 x=3,所以“x=3” 2 是“2x ﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件,所以 B 正确. 对于 C,若“p∧(¬q)”为真命题,说明 P,¬q 是真命题,则“p∧q”也为假命题,所以 C 不 正确; 对于 D,存在 m∈R,使 f(x)=(m﹣1)
0
﹣4m+3

2

2

2

2

是幂函数,可得 m=2,函数化为:f(x)

=x =1,所函数在(0,+∞)上是递增的是错误的,所以 D 不正确; 故选:B. 点评:本题考查命题的真假的判断,命题的否定、充要条件、复合命题的真假以及幂函数的 性质的应用,基本知识的考查. 5. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 若输入 n 的值为 100, 则输出 S 的值为( )

A.﹣1050

B.5050

C.﹣5050

D.﹣4950

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值,模 拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 2 解答: 解:由已知的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S=1 2 2 2 2 2 ﹣2 +3 ﹣4 +…+99 ﹣100 的值, 2 2 2 2 2 2 ∵S=1 ﹣2 +3 ﹣4 +…+99 ﹣100 =(1﹣2) (1+2)+(3﹣4) (3+4)+…+(99﹣100) (99+100) =﹣(1+2+3+4+…+99+100) =﹣ =﹣5050, 故选:C. 点评:本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确 的结论,属于基础题.

6.某几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为(

)

A.3+3

B.8+3

C.6+6

D.8+6

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析: 由已知中三视图可得该几何体为一个棱台, 根据已知分析各个面的形状, 求出面积后, 相加可得该几何体的表面积 解答: 解:由已知中三视图可得该几何体为一个棱台, 下底面为边长为 2 的正方形,面积为 4; 上底面为边长为 1 的正方形,面积为 1; 左侧面和后侧面是上底为 1,下底为 2,高为 1 的梯形,每个面的面积为 右侧面和前侧面是上底为 1,下底为 2,高为 故该几何体的表面积为 4+1+2× +2× =8+3 的梯形,每个面的面积为

故选:B 点评:本题考查的知识点是由三视图,求表面积,其中根据已知分析出几何体的形状及棱长 是解答的关键. 7.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm﹣1=5,Sm=﹣11,Sm+1=21,则 m=( A.3 B.4 C .5 D.6 考点:等比数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析:根据等比数列的通项公式和前 n 项和公式,建立方程组即可解得 m 的值. 解答: 解:在等比数列中, ∵Sm﹣1=5,Sm=﹣11,Sm+1=21, ∴am=Sm﹣Sm﹣1=﹣11﹣5=﹣16,am+1=Sm+1﹣Sm=21﹣(﹣11)=32, 则公比 q= , )

∵Sm=﹣11, ∴ 又 ,② ,①

两式联立解得 m=5,a1=﹣1, 故选:C. 点评: 本题主要考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式的计算和应用, 考查学生的计算能 力. 8.过点 M(1,2)的直线 l 与圆 C: (x﹣3) +( y﹣4) =25 交于 A、B 两点,C 为圆心, 当∠ACB 最小时,直线 l 的方程是( ) A.x﹣2y+3=0 B.2x+y﹣4=0 C.x﹣y+1=0 D.x+y﹣3=0 考点:直线与圆相交的性质. 专题:计算题;直线与圆. 分析: 当直线 AB 与直线 CM 垂直时, ∠ACB 最小, 由 M 与 C 的坐标求出直线 CM 的斜率, 利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1 求出直线 AB 的斜率, 由 M 坐标与求出的斜率即可得出 此时直线 l 的方程. 解答: 解:将圆的方程化为标准方程为(x﹣3) +(y﹣4) =25, ∴圆心坐标 C 为(3,4) , ∵M(1,2) , ∴kCM= =1,
2 2 2 2

∴kAB=﹣1, 则此时直线 l 的方程为 y﹣2=﹣(x﹣1) ,即 x+y﹣3=0. 故选:D. 点评:此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离公 式,直线与圆的位置关系由 d 与 r 的大小关系来判断,当 d>r 时,直线与圆相离;当 d=r 时,直线与圆相切;当 d<r 时,直线与圆相交(d 为圆心到直线的距离,r 为圆的半径) .根 据题意得出当直线 AB 与直线 CM 垂直时∠ACB 最小是解本题的关键.

9.定义式子运算为

=a1a4﹣a2a3 将函数 f(x)=

的图象向左平移 n(n )

>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为( A. B. C. D.

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;二阶矩阵. 专题:计算题;压轴题. 分析:先根据题意确定函数 f(x)的解析式,然后根据左加右减的原则得到平移后的解析 式,再根据偶函数的性质可确定 n 的值.

解答: 解:由题意可知 f(x)=

cosx﹣sinx=2cos(x+

) )为偶函数

将函数 f(x)的图象向左平移 n(n>0)个单位后得到 y=2cos(x+n+ ∴2cos(﹣x+n+ ∴cosxcos(n+ ∴sinxsin(n+ ∴sinxsin(n+ ∴n=﹣ +kπ )=2cos(x+n+ )+sinxsin(n+ )=﹣sinxsin(n+ )=0∴sin(n+ ) )=cosxcos(n+ ) )=0∴n+ =kπ )﹣sinxsin(n+



n 大于 0 的最小值等于 故选 C. 点评:本题主要考查两角和与差的余弦公式、三角函数的奇偶性和平移变换.平移时根据左 加右减上加下减的原则进行平移.

10. 已知函数 ( f x) =

+2ax+c, a≠0, 则它们的图象可能是(

)

A.

B.

C.

D.

考点:函数的图象. 专题:函数的性质及应用. 分析:求出函数 f(x)的导数,判断导函数的对称轴,排除选项,利用函数的单调性排除 C, 推出结果. 解答: 解:因为 f(x)= ,f′(x)=ax +2ax+c,
2

则函数 f′(x)即 g(x)图象的对称轴为 x=﹣1,故可排除 A,D; 由选项 C 的图象可知,当 x>0 时,f'(x)>0,故函数 上单调递增, 但图象中函数 f(x)在(0,+∞)上不具有单调性,故排除 C. 在(0,+∞)

本题应选 B. 故选:B. 点评:本题考查函数的图象的判断,导数的应用,考查分析问题解决问题的能力. 11.已知抛物线的方程为 y =4x,过其焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,若 S△ AOF=3S△ BOF(O 为坐标原点) ,则|AB|=( ) A. B. C. D.4
2

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:根据对称性可设直线的 AB 的倾斜角为锐角,利用 S△ AOF=3S△ BOF,求得 yA=﹣3yB, 设出直线 AB 的方,与抛物线方程联立消去 x,利用韦达定理表示出 yA+yB 和 yAyB,进而求 得利用 + ,求得 m,最后利用斜率和 A,B 的坐标求得|AB|.

解答: 解:设直线的 AB 的倾斜角为锐角, ∵S△ AOF=3S△ BOF, ∴yA=﹣3yB, 2 ∴设 AB 的方程为 x=my+1,与 y =4x 联立消去 x 得, 2 y ﹣4my﹣4=0, ∴yA+yB=4m,yAyB=﹣4. ∴
2

+

=

=

﹣2=

=﹣3﹣ ,

∴m = , ∴|AB|= ? = .

故选:A. 点评:本题主要考查了抛物线的概念和性质,直线和抛物线的综合问题.要注意解题中出了 常规的联立方程,用一元二次方程根与系数的关系表示外,还可考虑运用某些几何性质. 12.设函数 y=f(x)的定义域为 D,若对于任意的 x1,x2∈D,当 x1+x2=2a 时,恒有 f(x1) 3 +f(x2)=2b,则称点(a,b)为函数 y=f(x)图象的对称中心.研究函数 f(x)=x +sinx+1 的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到 f(﹣2015)+f(﹣2014)+f(﹣ 2013)+…+f+f=( ) A.0 B.2014 C.4028 D.4031 考点:函数的值. 专题:函数的性质及应用. 3 分析:函数 f(x)=x +sinx+1 图象的对称中心的坐标为(0,1) ,即 x1+x2=0 时,总有 f(x1) +f(x2)=2,再利用倒序相加,即可得到结论 3 2 解答: 解:∵f(x)=x +sinx+1,∴f′(x)=3x ﹣cosx,f''(x)=6x+sinx

又∵f''(0)=0 而 f(x)+f(﹣x)=x +sinx+1+﹣x ﹣sinx+1=2, 3 函数 f(x)=x +sinx+1 图象的对称中心的坐标为(0,1) , 即 x1+x2=0 时,总有 f(x1)+f(x2)=2, ∴f(﹣2015)+f(﹣2014)+f(﹣2013)+…+f+f =2×2015+f(0) =4030+1 =4031. 故选:D. 点评: 本题考查函数的对称性, 确定函数的对称中心, 利用倒序相加 x1+x2=0 时, 总有 f (x1) +f(x2)=2,是解题的关键. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知向量 =( ,1) , =(0,﹣1) , =(t, ) ,若 ﹣2 与 共线,则 t=1.
3 3

考点:平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题:平面向量及应用. 分析:由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若 ﹣2 的坐标,再由向量共线的坐标表示列 式求得 t 的值. 解答: 解:∵ =( ∴ ﹣2 = 又 =(t, ) ,且 ﹣2 与 共线, ,1) , =(0,﹣1) , ,

则 ,解得:t=1. 故答案为:1. 点评:平行问题是一个重要的知识点,在 2015 届高考题中常常出现,常与向量的模、向量 的坐标表示等联系在一起,要特别注意垂直与平行的区别.若 =(a1,a2) , =(b1,b2) , 则 ⊥ ?a1a2+b1b2=0, ∥ ?a1b2﹣a2b1=0,是基础题.

14.设 x,y 满足

,则 z=2x﹣y 的最大值为 3,则 m=



考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用.

分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合 z=2x﹣y 的最大值为 3,利用数形结合即可得到结论. . 解答: 解:由 z=2x﹣y,得 y=2x﹣z,作出不等式对应的可行域(阴影部分) , 平移直线 y=2x﹣z,由平移可知当直线 y=2x﹣z, 经过点 A 时,直线 y=2x﹣z 的截距最小,此时 z 取得最大值 3,



,解得

,即 A( , ) .

将 A 的坐标代入 x﹣y+m=0,得 m=y﹣x= ﹣ = 故答案为: .



点评:本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法. 15.一个所有棱长均为 的正三棱锥(底面是正三角形,顶点在底面的射影是底面的中心) .

的顶点与底面的三个顶点均在某个球的球面上,则此球的体积为

考点:球内接多面体. 专题:立体几何. 分析:求出正四棱锥底面对角线的长,判断底面对角线长,就是球的直径,即可求出球的体 积. 解答: 解:正三棱锥的边长为 ,则该正三棱锥所在的正方体也为外接球的内接几何体. 所以正方体的体对角线为外接球的直径. 正方体的边长为 1,所以所求球的半径为:r= 所以球的体积为:V 球= 故答案为: 点评:本题是中档题,考查空间想象能力,注意正三棱锥和正方体的转化,正方体额对角线 的长是球的直径是解题的关键点,考查计算能力. . ,

16. 对正整数 n, 设曲线 y=x(1﹣x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an, 则数列 的前 n 项和的公式是 2
n+1

n

﹣2.

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;数列的求和. 专题:计算题;压轴题. 分析:欲求数列 的前 n 项和,必须求出在点(1,1)处的切线方程,须求出其斜率

的值即可,故先利用导数求出在 x=2 处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线 的斜率即得直线方程进而得到切线与 y 轴交点的纵坐标.最后利用等比数列的求和公式计 算,从而问题解决. 解答: 解:y′=nx ﹣(n+1)x , n n﹣1 n 曲线 y=x (1﹣x)在 x=2 处的切线的斜率为 k=n2 ﹣(n+1)2 n 切点为(2,﹣2 ) , n 所以切线方程为 y+2 =k(x﹣2) , n 令 x=0 得 an=(n+1)2 , 令 bn= 数列 . 的前 n 项和为 2+2 +2 +…+2 =2
n+1 2 3 n n+1 n﹣1 n

﹣2.

故答案为:2 ﹣2. 点评:本题考查应用导数求曲线切线的斜率,数列通项公式以及等比数列的前 n 项和的公 式.解后反思:应用导数求曲线切线的斜率时,要首先判定所经过的点为切点.否则容易出 错. 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.已知函数 f(x)=cosxcosx(x+ (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 f(c)=﹣ ,a=2,且△ ABC 的面积为 2 ,求边长 c 的值. ) .

考点:余弦定理;三角函数的周期性及其求法. 专题:解三角形. 分析: (1)由三角函数公式化简可得 f(x)= cos(2x+ (2)结合(1)可得 C= )+ ,由周期公式可得;

,由题意和面积公式可得 ab 的值,进而由余弦定理可得 c 值. )

解答: 解: (1)化简可得 f(x)=cosxcosx(x+ =cosx( cosx﹣ sinx)= cos x﹣
2

sinxcosx

=



sin2x= cos(2x+ =π;

)+ ,

∴f(x)的最小正周期 T=

(2)由题意可得 f(C)= cos(2C+ ∴cos(2C+ )=﹣1,∴C= , ab=2

)+ =﹣ ,

又∵△ABC 的面积 S= absinC= ∴ab=8,∴b= = =4,



由余弦定理可得 c =a +b ﹣2abcosC=12, ∴c=2 点评:本题考查余弦定理,涉及三角函数的周期性和三角形的面积公式,属中档题. 18.某市一水电站的年发电量 y(单位:亿千瓦时)与该市的年降雨量 x(单位:毫米)有 如下统计数据: 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 降雨量 x(毫米) 1500 1400 1900 1600 2100 发电量 y(亿千瓦时) 7.4 7.0 9.2 7.9 10.0 (Ⅰ)若从统计的 5 年中任取 2 年,求这 2 年的发电量都低于 8.0(亿千瓦时)的概率; (Ⅱ)由表中数据求得线性回归方程为 =0.004x+ .该水电站计划的发电量不低于 9.0 亿 千瓦时,现由气象部门获悉的降雨量约为 1800 毫米,请你预测能否完成发电任务,若不能, 缺口约为多少亿千瓦时? 考点:线性回归方程. 专题:应用题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)确定从统计的 5 年发电量中任取 2 年的基本事件、2 年发电量都低于 8.0(亿千 瓦时)的基本事件,即可求出这 2 年的发电量都低于 8.0(亿千瓦时)的概率; (Ⅱ)先求出线性回归方程,再令 x=1800,即可得出结论. 解答: 解: ( I)从统计的 5 年发电量中任取 2 年的基本事件为(7.4,7.0) , (7.4,9.2) , (7.4,7.9) , (7.4,10.0) , (7.0,9. 2) , (7.0,7.9) , (7.0,10.0) , (9.2,7.9) , (9.2,10.0) , (7.9,10.0)共 10 个. 其中 2 年发电量都低于 8. 0(亿千瓦时)的基本事件为(7.4,7.0) , (7.4,7.9) , (7.0,7.9) , 共 3 个. 所以这 2 年发电量都低于 8.0(亿千瓦时)的概率 ( II)∵ . . ,

2

2

2

又直线 ∴ 解得 ∴ 当 x=1800 时, , .

过点 ,





所以不能完成发电任务,缺口量为 0.3(亿千瓦时) . 点评:本题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解 能力以及应用意识,考查或然与必然思想、化归与转化思想. 19.如图,在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面是边长为 棱 B1B 上运动. (Ⅰ)证明:AC⊥D1E; 的正方形,AA1=3,点 E 在

(Ⅱ)若三棱锥 B1﹣A1D1E 的体积为 时,求异面直线 AD,D1E 所成的角.

考点:异面直线及其所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)首先,连结 BD,可以首先,证明 AC⊥平面 B1BDD1,然后,得到 AC⊥D1E; (Ⅱ)首先,可以得到∠A1D1B1 为异面直线 AD,D1E 所成的角,然后,根据 求解得到,∠A1D1E=60°. 解答: 解: (Ⅰ)如下图所示: ,

连接 BD, ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AC⊥BD, ∵四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 是直棱柱, ∴B1B⊥平面 ABCD, ∵AC?平面 ABCD, ∴B1B⊥AC, ∴AC⊥平面 B1BDD1. ∵D1E?平面 B1BDD1, ∴AC⊥D1E. (Ⅱ)∵ ∴ ∵ ∴ . , ,EB1⊥平面 A1B1C1D1, .

∴EB1=2.∵AD∥A1D1, ∴∠A1D1B1 为异面直线 AD,D1E 所成的角. 在 Rt△ EB1D1 中,求得 ∵D1A1⊥平面 A1ABB1, ∴D1A1⊥A1E. 在 Rt△ EB1D1 中,得 , ∴∠A1D1E=60°. ∴异面直线 AD,D1E 所成的角为 60°. 点评:本题重点考查了线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成的角等知识,属于 中档题. .

20. 已知椭圆 C:

+

=1 (a>b>0) 的离心率为

, 四个顶点所围成菱形的面积为 8



(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)已知直线 L:y=kx+m 与椭圆 C 交于两个不同点 A(x1,x2)和 B(x2,y2) ,O 为坐 标原点,且 kOA?kOB=﹣ ,求 y1,y2 的取值范围.

考点:直线与圆锥曲线的关系. 专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)利用菱形的面积和椭圆的性质即可得出;

(II)联立直线方程和椭圆方程,消去 y,运用韦达定理和判别式大于 0,以及直线的斜率 公式,化简整理,即可得到 y1y2 的范围. 解答: 解: (I)由已知可得 e= = 又 a =b +c , 2 解得 c=2,b=2,a =8. ∴椭圆的方程为 + =1.
2 2 2

, ?2a?2b=8



(II)直线 L:y=kx+m 与椭圆 C 交于两个不同点 A(x1,x2)和 B(x2,y2) , 联立
2 2

,得(1+2k )x +4kmx+2m ﹣8=0,
2 2 2 2

2

2

2

△ =16k m ﹣4(1+2k ) (2m ﹣8)>0,化为 8k +4>m ,① ∴x1+x2= ,x1x2= .

∵满足 kOA?kOB=﹣ ,



=﹣ .

∴y1y2=﹣ x1x2=﹣ ?
2

=﹣


2

y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=k x1x2+km(x1+x2)+m =k ?
2

+km?

+m =

2



∴﹣
2 2

=



∴4k +2=m , 即有 y1y2=﹣ =﹣ = ﹣2,

则 y1y2∈(﹣2,2]. 点评: 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、 直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到 根与系数的关系、直线的斜率公式、菱形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法,考查 了推理能力和计算能力,属于中档题.

21.已知函数 f(x)=

﹣1.

(1)判断函数 f(x)的单调性;

(2)设 m>0,求 f(x)在[m,2m]上的最大值; (3)证明:?n∈N ,不等式 ln(
*

)<

e



考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:计算题;综合题;分类讨论;转化思想. 分析: (1)利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键,利用导函数的正负 确定出函数的单调性; (2)利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题,注意分类讨论思想的运用; (3)利用导数作为工具完成该不等式的证明,注意应用函数的最值性质. 解答: 解: (1)函数 f(x)的定义域是: (0,+∞) 由已知 令 f′(x)=0 得,1﹣lnx=0,∴x=e ∵当 0<x<e 时, ,

当 x>e 时, ∴函数 f(x)在(0,e]上单调递增,在[e,+∞)上单调递减, (2)由(1)知函数 f(x)在(0,e]上单调递增,在[e,+∞)上单调递减 故①当 0<2m≤e 即 ∴ 时,f(x)在[m,2m]上单调递增 ,

②当 m≥e 时,f(x)在[m,2m]上单调递减 ∴ ③当 m<e<2m,即 ∴ , 时 . , ,

(3)由(1)知,当 x∈(0,+∞)时, ∴在(0,+∞)上恒有 即 且当 x=e 时“=”成立, ,

∴对?x∈(0,+∞)恒有 ∵ ,

∴ 即对?n∈N ,不等式
*

恒成立.

点评:此题是个中档题.本题考查导数在函数中的应用问题,考查函数的定义域思想,考查 导数的计算,考查导数与函数单调性的关系,考查函数的最值与导数的关系,体现了等价转 化的数学思想和分类讨论的思想,同时考查了学生的计算能力. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,梯形 ABCD 内接于⊙O,AD∥BC,过点 C 作⊙O 的切线,交 BD 的延长线于点 P,交 AD 的延长线于点 E. (1)求证:AB =DE?BC; (2)若 BD=9,AB=6,BC=9,求切线 PC 的长.
2

考点:相似三角形的判定;相似三角形的性质;圆的切线的性质定理的证明. 专题:计算题;证明题. 2 分析:对于(1)求证:AB =DE?BC,根据题目可以判断出梯形为等腰梯形,故 AB=CD, 然后根据角的相等证△ CDE 相似于△ BCD,根据相似的性质即可得到答案. 对于(2)由 BD=9,AB=6,BC=9,求切线 PC 的长.根据弦切公式可得 PC =PD?PB,然 后根据相似三角形边成比例的性质求出 PD 和 PB 代入即可求得答案. 解答: 解: (1)∵AD∥BC ∴AB=DC,∠EDC=∠BCD, 又 PC 与⊙O 相切,∴∠ECD=∠DBC, ∴△CDE∽△BCD,∴
2 2 2



∴CD =DE?BC,即 AB =DE?BC. (2)由(1)知, ∵△PDE∽△PBC, ∴ . ,

又∵PB﹣PD=9, ∴ .









点评:此题主要考查由相似三角形的性质解三角形的一系列问题,其中应用到弦切公式,题 目属于平面几何的问题,涵盖的知识点比较多,有一定的技巧性,属于中档题目. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 O、P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 考点:简单曲线的极坐标方程;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题:坐标系和参数方程. 分析:解: (I)利用 cos φ+sin φ=1,即可把圆 C 的参数方程化为直角坐标方程.
2 2

为参数) .以 O 为极点,x

,射线 OM:θ=

与圆 C 的交点为

(II)设(ρ1,θ1)为点 P 的极坐标,由

,联立即可解得.设(ρ2,θ2)为

点 Q 的极坐标,同理可解得.利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出. 解答: 解: (I)利用 cos φ+sin φ=1,把圆 C 的参数方程 (x﹣1) +y =1, 2 ∴ρ ﹣2ρcosθ=0,即 ρ=2cosθ.
2 2 2 2

为参数)化为

(II)设(ρ1,θ1)为点 P 的极坐标,由

,解得



设(ρ2,θ2)为点 Q 的极坐标,由

,解得



∵θ1=θ2,∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2. ∴|PQ|=2. 点评:本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)=| x+1|+|x|(x∈R)的最小值为 a. (I)求 a;

(Ⅱ)已知两个正数 m,n 满足 m +n =a,求 + 的最小值.

2

2

考点:绝对值三角不等式;基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (I)化简函数的解析式,再利用函数的单调性求得函数的最小值,再根据函数的最小 值为 a,求得 a 的值. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 m +n =1,利用基本不等式求得 小值.
2 2

≥2,再利用基本不等式求得 + 的最

解答: 解: (I)函数 f(x)=| x+1|+|x|=



当 x∈(﹣∞,0]时,f(x)单调递减;当 x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增, 所以当 x=0 时,f(x)的最小值 a=1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 m +n =1,由 m +n ≥2mn,得 mn≤ ,∴ 故有 + ≥2 ≥2 ,当且仅当 m=n= . 时取等号.
2 2 2 2

≥2

所以 + 的最小值为 2

点评:本题主要考查带有绝对值的函数,利用函数的单调性求函数的最值,基本不等式的应 用,属于中档题.


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