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2012浦东新区高三年级二模试卷


2014 年上海市高三年级二模试卷——数学
2014 年 4 月 一、填空题(本大题 56 分,每小题 4 分) 1.抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标是
2

.

1 (其中 i 是虚数单位) ,则 z = 1? i ? ? 3.向量 a ? (3, 4) 在向量 b ? (1, 0) 方向上的投影为
2.复数 z ?

. .

4.若集合 A ? {x x 2 ? 5 x ? 6 ? 0} ,集合 B ? {x ax ? 2 ? 0, a ? Z } ,且 B ? A ,则实数 a = 5.已知三个球的表面积之比是 1 : 2 : 3 ,则这三个球的体积之比为 6. 在△ ABC 中,若 b ? 1 , c ?

3 , ?C ?

2? ,则 S ?ABC ? ______. 3
_.
开始 输入n

? 7.在极坐标系中,点 A(2, ) 关于直线 l : ? cos? ? 1 的对称点到极点的距离是 2

8.甲、乙、丙三位旅行者体验城市生活,从地铁某站上车,分别从前方 10 个地铁站中随机选 择一个地铁站下车,则甲、乙、丙三人不在同一站下车有________种方法(用数字作答). 9.执行右面的程序框图,如果输入的 n 是 4,则输出的 P=___
2

_.

s ? 0 , t ? 1, k ? 1, p ? 1
k?n 是 p ?s ?t

10.若数 f ( x) ? x ? a ? 1 ? x 有且只有一个零点,则实数 a =__________.
* 11.已知数列 ?an ? (n ? N ) ,首项 a1 ?



5 2 ,若二次方程 an x ? an ?1 x ? 1 ? 0 的根 ? 、 ? 且满 6

__ . 足 3? ? ?? ? 3? ? 1,则数列 ? an ? 的前 n 项和 S n ? __________
12. (理)毕业生小王参加人才招聘会,分别向 A 、 B 两个公司投递个人简历.假定小王得到

s ?t , t ? p
k ? k ?1
输出p

1 A 公司面试的概率为 ,得到 B 公司面试的概率为 p ,且两个公司是否让其面试是独立 3 1 的。记 ? 为小王得到面试的公司个数.若 ? ? 0 时的概率 P(? ? 0) ? ,则随机变量 ? 的 2 数学期望 E(? ) ?
? x ? y ? 1 ? 0, ? 12.(文)已知点 P( x, y) 的坐标满足 ? x ? y ? 3 ? 0, 点 O 为坐标原点,则 PO 的最小值为 ? x ? 2, ?
13.手机产业的发展催生了网络新字“孖”.某学生准备在计算机上作出其对应的图像,其中
1

结束


y
B

A(2, 2) ,如图所示.在作曲线段 AB 时,该学生想把函数 y ? x 2 , x ? [0,2] 的图像作适当变换, 3] 上对应的函数解析式________ 得到该段函数的曲线.请写出曲线段 AB 在 x ? [2,
14. 在证明恒等式 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

2

A

.

O

2 3 x

1 n(n ? 1)(2n ? 1) (n ? N* ) 时,可利用组合数表示 6 n(n ? 1) 2 3 3 3 3 2 1 * n 2 ,即 n2 ? 2Cn ] (n ? N* ) 时,也可 ?1 ? Cn ( n ? N ) 推得.类似地,在推导恒等式 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? [ 2
3 3

以利用组合数表示 n 推得.则 n =______________. 二、选择题(本大题满分 20 分,每小题 5 分)

15.已知非零向量 a 、 b , “函数 f ( x) ? (ax ? b) 为偶函数”是“ a ? b ”的
2

?

?

?

?

?

?





A. 充分非必要条件 C. 充要条件

B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 )

16.设 z1 、 z 2 为复数,下列命题一定成立的是(
2 A.如果 z1 ? z 2 ? 0 ,那么 z1 ? z 2 ? 0 2

B. 如果 z1 ? z 2 ,那么 z1 ? ? z 2 D. 如果 z1 ? a , a 是正实数,那么 z1 ? z1 ? a
2

C. 如果 z1 ? a , a 是正实数,那么 ? a ? z1 ? a

x2 y2 x2 y 2 17.若双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1( a1 ? 0, b1 ? 0) 和双曲线 C2 : 2 ? 2 ? 1(a2 ? 0, b2 ? 0) 的焦点相同,且 a1 ? a2 给出 a1 b1 a2 b2
下列四个结论:① a1 ? a2 ? b2 ? b1 ;
2 2 2 2



a1 b2 ? ; a2 b1

③双曲线 C1 与双曲线 C2 一定没有公共点; ④ a1 ? a2 ? b1 ? b2 ; 其中所有正确的结论序号是( A. ①② B, ①③ C. ②③ ) D. ①④

1 ? 2 x, 0 ? x ? ? ? 2 ,且 f ( x) ? f ( x) , f ( x) ? f ( f ( x)) , n ? 1, 2,3,? .则满足方程 18.已知函数 f ( x) ? ? 1 n n ?1 ? 2 ? 2 x, 1 ? x ? 1 ? ? 2

f n ( x) ? x 的根的个数为(
A 、 2n 个 B、 2n 个
2

) C、 2 个
n

D、 2(2 ? 1) 个
n

三、解答题(本大题 74 分,19 题 12 分;20 题 14 分;21 题 14 分;22 题 16 分;23 题 18 分) 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 cos x ,
2

(1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)将函数 y ? f ( x) 图像向右平移

? 个单位后,得到函数 y ? g ( x) 的图像,求方程 g ( x) ? 1 的解. 4

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BA ? BC . (1)若 BA ? BB1 ,求证: AB1 ? 平面 A1 BC ; (2)若 BA ? BC ? BB1 ? 2 , M 是棱 BC 上的一动点.试确定点 M 的位 置,使点 M 到平面 A1 B1C 的距离等于

2 . 2

21. (本大题满分 14 分)本大题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满 5 分,第 3 小题满 5 分.

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,左右焦点分别为 F1 , F2 ,长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角 a2 b2 形,直线 l 经过点 F2 ,倾斜角为 45? ,与椭圆交于 A , B 两点.
已知椭圆

|F1 F2 |? 2 2 ,求椭圆方程; (1)若
(2)对(1)中椭圆,求 ?ABF1 的面积; (3) M 是椭圆上任意一点,若存在实数 ? , ? ,使得 OM ? ? OA ? ? OB ,试确定 ? , ? 的关系式.

22. (本大题满分 16 分)本大题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满 6 分,第 3 小题满 6 分. 记数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n .已知向量 a ? ? cos ( n ? N )满足 a / / b .
*

?

?

?

? ?

? ? n? n? ? n? n? ? ? sin ,1? ( n ? N* )和 b ? ? an ,cos ? sin ? 3 3 ? 3 3 ? ?

(1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)求 S3n ; (3)设 bn ? 2 an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 Tn .
n

23、 (本大题满分 18 分)本大题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满 6 分,第 3 小题满 8 分. 已知函数 y ? f ( x), x ? D ,如果对于定义域 D 内的任意实数 x ,对于给定的非零常数 m ,总存在非零常数 T ,恒 有 f ( x ? T ) ? m ? f ( x) 成立,则称函数 f ( x) 是 D 上的 m 级类增周期函数,周期为 T .若恒有 f ( x ? T ) ? m ? f ( x) 成立,则称函数 f ( x) 是 D 上的 m 级类周期函数,周期为 T . (1)已知函数 f ( x) ? ? x ? ax 是 ?3, ? ? ? 上的周期为 1 的 2 级类增周期函数,求实数 a 的取值范围;
2

(2) 已知 T ? 1 ,y ? f ( x) 是 ?0, ? ? ? 上 m 级类周期函数, 且 y ? f ( x) 是 ?0, ? ? ? 上的单调递增函数, 当 x ? ?0, 1? 时, f ( x) ? 2 ,求实数 m 的取值范围;
x

(3)下面两个问题可以任选一个问题作答,问题(Ⅰ)6 分,问题(Ⅱ)8 分,如果你选做了两个,我们将按照问 题(Ⅰ)给你记分. (Ⅰ)已知当 x ? ?0, 4?时,函数 f ( x) ? x ? 4 x ,若 f ( x) 是 ?0, ? ? ? 上周期为 4 的 m 级类周期函数,且 y ? f ( x)
2

的值域为一个闭区间,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 k ,使函数 f ( x) ? cos kx 是 R 上的周期为 T 的 T 级类周期函数,若存在,求出实数 k 和 T 的 值,若不存在,说明理由.

2012 年浦东新区高三年级二模数学试卷(理科) 参考答案和评分标准
说明: 1、本解答仅列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解答中的评分精神 进行评分. 2、评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当 考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时, 可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的 概念性错误,就不给分.
一、填空题 1、 (1,0) 2、

1 1 ? i 2 2

3、3
1 2

4、0 或 1
n 2 1 1 2 3

5、 1: 2 2 : 3 3

6、

3 4

7、 2 2
1

8、990

9、3
3

10、 ? 2
1 3

11、 ? ? ? ( )n
2 1 *

12、

7 12

2 13、 y ? ( 2 x ? 2) ?2

14、 6Cn ?1 ? Cn 或6Cn ? 2 ? 6Cn ?1 ? Cn (n ? N ) 二、选择题 15、C 三、解答题 19、 (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 【解答】 (1) f ( x) ? 由 2k? ? 16、D 17、B 18、C

2 sin(2 x ? ? 2k? ?

?
4

) ? 1,

?
2

? 2x ?

?
4

?
2

(k ? Z ) 得:

3? ?? ? , k? ? ? (k ? Z ) ; f ( x) 的单调递增区间是 ?k? ? 8 8? ?
(2)由已知, g ( x) ?

?? ? 2 sin? 2 x ? ? ? 1, 4? ?
? ?

由 g ( x) ? 1,得 2 sin? 2 x ?

?? ? ? 0, 4?

?x ?

k? ? ? , (k ? Z ) . 2 8
(1)证明:当 BA ? BB1 ,可知, AB1 ? A1 B .

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 【解答】 又? BC ? BA , BC ? BB1 ,且 BA ? BB1 ? B ,

? BC ? 平面 ABB1 .

而 AB1 ? 平面 ABB1 ,? AB1 ? BC .

? AB1 ? A1 B ? ? AB1 ? 平面 A1 BC . ? 由 ? AB1 ? BC ? A B ? BC ? B ? 1
(2)解:如图所示,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为 C ?0 , 0 ,2? 、 B1 ?0 , 2 , 0? 、 A1 ?2 , 2 , 0? 、并设

M?0 , 0 , h? .

? 设平面 A1B1C 的法向量为 n ? ? u , v , w ? ,则 n ? CB1 , n ? A1 B1 .

?CB1 ? ?0 , 2 , ? 2? , A1 B1 ? ?? 2 , 0 , 0? ,
且 n ? CB1 ? 0 , n ? A1 B1 ? 0 ,? ?

?2v ? 2w ? 0 ?w ? v ?? ,取 v ? 1 , ?? 2u ? 0 ?u ? 0

得平面 A1B1C 的一个法向量为 n ? ?0 ,1,1? , 且n ?

2 ,又?MB1 ? ?0 , 2 , ? h ? ,于是点 M 到平面 A1B1C 的距离
? 0 ? 0 ? 1? 2 ? h 2 ? 2?h 2 ? 2 ? h ? 1 ,或 h ? 3 (舍) 2
2 . 2

d?

n ? MB1 n

所以,当点 M 为棱 BC 的中点时,点 M 到平面 A1 B1C 的距离等于

21. (本大题满分 14 分)本大题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满 5 分,第 3 小题满 5 分. 【解答】 (1)由已知,可得 c ?
2 2 2

2 , a ? 3b ,

∵ a ? b ? c ,∴ a ? 3 , b ? 1 , ∴

x2 ? y 2 ? 1. 3

(2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,直线 l : y ? x ? 2 , 代入椭圆方程得 4x ? 6 2 x ? 3 ? 0 , x1 ? x2 ?
2

3 3 2 , x1 x2 ? , 2 4

| x1 ? x2 |?
∴ S? ?

6 6 , | y1 ? y2 |?| x1 ? x2 |? , 2 2

1 6 ?2 2? ? 3. 2 2
①,

(3)由已知椭圆方程为 x 2 ? 3 y 2 ? 3b2 右焦点 F 的坐标为 ( 2b , 0) ,

直线 AB 所在直线方程为 y ? x ? 2b 由①②得: 4 x2 ? 6 2bx ? 3b2 ? 0 , 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

②,

设 M ( x , y) ,由 OM ? ? OA ? ? OB 得,

???? ?

??? ?

??? ?

3 2 3b2 , b , x1 x2 ? 2 4

x ? ? x1 ? ? x2 , y ? ? y1 ? ? y2 ,
∵点 M 在椭圆上,

∴ (? x1 ? ? x2 )2 ? 3(? y1 ? ? y2 )2 ? 3b2 ,
2 2 整理得: ? 2 ( x12 ? 3 y12 ) ? ? 2 ( x2 ? 3 y2 ) ? 2?? ( x1 x2 ? 3 y1 y2 ) ? 3b2 ,

x1 x2 ? 3 y1 y2 ? x1 x2 ? 3( x1 ? 2b)( x2 ? 2b) ? 4 x1 x2 ? 3 2b( x1 ? x2 ) ? 6b 2 ? 0
又点 A , B 在椭圆上,故 x12 ? 3 y12 ? 3b2 由③④⑤式得 ? ? ? ? 1 .
2 2 2 2 ④, x2 ? 3 y2 ? 3b2

③,

⑤,

22. (本大题满分 16 分)本大题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满 6 分,第 3 小题满 6 分. 【解答】 (1)∵ a / / b ∴ an = ? cos = cos
2

?

?

? ?

n? n? ? ? n? n? ? ? sin ? sin ? ? cos ? 3 3 ?? 3 3 ?

n? n? ? sin 2 3 3 2n? = cos 3 2n? ∴ an ? cos ; 3 1 1 1 1 (2)数列 ?an ? : ? , ? ,1, ? , ? ,1,? 为周期为 3 的周期数列且 a3k ? 2 ? a3k ?1 ? a3k ? 0 ? k ? N ? ? . 2 2 2 2

S3n ? a 1? a 2? ? ? a n 3
? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a4 ? a5 ? a6 ? ? ? ? ? a3n ?2 ? a3n ?1 ? a3n ?

? 1 1 ? ? n ? ? ? ? 1? ? 0. ? 2 2 ?
(3) bn ? 2 an ? 2 cos
n n

2n? . 3
? 1 ? 3k ?1 ? 1 ? 3k 3 k ?3 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ?1 ? 5 ? 2 . ? 2? ? 2?
3 k ?3

? 当 n ? 3k k ? N 时,

?

?

∵ b3k ? 2 ? b3k ?1 ? b3k ? 2

3k ? 2

∴ Tn ? T3k ? 5 1 ? 2 ? ? ? 2
3
? 当 n ? 3k ? 1 k ? N 时,

?

5 ?? 7 ?2

3k

? 1? ?

5 n ? 2 ?1?. 7

?

?

Tn ? T3k ?1 ? T3k ? b3k ?

? 当 n ? 3k ? 2 k ? N 时,

?

?

5 3k 23k ?1 ? 5 2n ? 2 ? 5 2 ? 1? ? 23k ?1 ? ? ?? . ? 7 7 7
23k ?1 ? 5 3k ?1 ? 1 ? 23 k ? 2 ? 5 2n ? 5 ? 2 ??? ? ? ? ?? . 7 7 7 ? 2?

Tn ? T3k ?2 ? T3k ?1 ? b3k ?1 ? ?
?5 n ? 7 ? 2 ? 1? , ? n?2 ? 2 ?5 , 故 Tn ? ?? 7 ? ? 2n ? 5 , ?? 7 ?

? n ? 3k ? , ? n ? 3k ? 1? , ? k ? N ? ? . ? n ? 3k ? 2 ? ,

23、 (本大题满分 18 分)本大题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满 6 分,第 3 小题满 8 分. 【解答】 (1)由题意可知: f ( x ? 1) ? 2 f ( x) , 即 ? ( x ? 1) ? a( x ? 1) ? 2(? x ? ax) 对一切 ?3, ? ? ? 恒成立,
2 2

?x ? 1?a ? x 2 ? 2 x ? 1 ,

∵x?3 ∴a ?

令 x ? 1 ? t ,则 t ? ?2, ? ? ? ,

x 2 ? 2 x ? 1 ?x ? 1? ? 2 2 , ? ?x ? 1? ? ? x ?1 x ?1 x ?1
2

2 g (t ) ? t ? 在 ?2, ? ? ? 上单调递增, t ∴ g (t ) min ? g (2) ? 1,
∴ a ? 1. (2)∵ x ? ?0, 1? 时, f ( x) ? 2 ,
x

∴当 x ? ?1, 2? 时, f ( x) ? mf ( x ? 1) ? m ? 2
2

x ?1


n

当 x ? ?n, n ? 1? 时, f ( x) ? mf ( x ? 1) ? m f ( x ? 2) ? ? ? m f ( x ? n) ? m ? 2
n

x?n



即 x ? ?n, n ? 1? 时, f ( x) ? m ? 2
n

x ?n

, n ? N* ,

∵ f ( x) 在 ?0, ? ? ? 上单调递增, ∴m ? 0且m ?2
n n?n

? m n?1 ? 2 n??n?1? ,

即m ? 2.

(3)问题(Ⅰ)∵当 x ? ?0,4? 时, y ? ?? 4,0? ,且有 f ( x ? 4) ? mf ( x) , ∴当 x ? ? 4n, 4n ? 4? , n ? Z 时, 当 0 ? m ? 1 时, f ( x) ? ?? 4,0? ; 当 ? 1 ? m ? 0 时, f ( x) ? ?? 4,?4m?; 当 m ? ?1 时, f ( x) ? ?? 4,4? ; 当 m ? 1 时, f ( x) ? ?? ?,0? ; 当 m ? ?1 时, f ( x) ? ?? ?,??? ; 综上可知: ? 1 ? m ? 0 或 0 ? m ? 1 . 问题(Ⅱ) :由已知,有 f ( x ? T ) ? Tf ( x) 对一切实数 x 恒成立, 即 cos k ( x ? T ) ? T cos kx 对一切实数恒成立, 当 k ? 0 时, T ? 1 ; 当 k ? 0 时, ∵ x ? R ,∴ kx? R , kx ? kT ? R ,于是 cos kx ? ?? 1, 1?, 又∵ cos(kx ? kT) ? ?? 1, 1? , 故要使 cos k ( x ? T ) ? T cos kx 恒成立,只有 T ? ?1 , 当 T ? 1 时, cos(kx ? k ) ? cos kx 得到 k ? 2n? , n ? Z 且 n ? 0 ; 当 T ? ?1 时, cos(kx ? k ) ? ? cos kx 得到 ? k ? 2n? ? ? , 即 k ? (2n ? 1)? , n ? Z ; 综上可知:当 T ? 1 时, k ? 2n? , n ? Z ; 当 T ? ?1 时, k ? (2n ? 1)? , n ? Z 。
2 f ( x) ? mf ( x ? 4) ? ? ? m n f ( x ? 4n) ? m n ?x ? 4n ? ? 4?x ? 4n ? ,

?

?


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