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y含参数的一元二次不等式的解法


解答下列问题: x (1)不等式 >1 的解集是________. x-1 (2)不等式 x2+|x|-2>0 的解集是________. (3)不等式 x- x+1≥1 的解集为________. x (4) <0 的解集是{x|-2<x<0},则不等式 ax2+5x+7>0 x-a 的解集为________.

[答案] (1){x|x>1} (2){x<-1 或 x>1} (3){x|x≥3} 7 (4){x|-1<x<2}

[解析]

x x (1) >1 化为 -1>0, x-1 x-1

1 ∴ >0,∴x>1. x-1 (2)解法一:不等式化为|x|2+|x|-2>0, ∴|x|≥0,∴|x|>1,∴x<-1 或 x>1.

2 ? ?x +x-2>0 解法二:化为? ? ?x≥0 2 ? ?x -x-2>0 或? ? ?x<0

(Ⅰ)

(Ⅱ)

由(Ⅰ)得,x>1;由(Ⅱ)得,x<-1. ∴原不等式的解集为{x|x<-1 或 x>1}.

(3)将不等式变形为 x-1≥ x+1,①
? ?x-1≥0 显然? ? ?x+1≥0

,∴x≥1,

在此条件下,将不等式①两边平方得 x2-2x+1≥x+1,∴ x2-3x≥0,∴x≤0 或 x≥3, 又 x≥1,∴x≥3.

(4)由条件知,a=-2,∴不等式 ax2+5x+7>0, 即-2x2+5x+7>0,∴2x2-5x-7<0, 7 ∴-1<x< . 2

1.一元分式不等式一般要转化为整式不等式求解. f?x? >0?f(x)· g(x)>0; g?x?
? g?x?≥0 ?f?x?· f?x? ≥0?? ?f(x)· g(x)>0 或 g?x? ? g ? x ? ≠ 0 ? ? ?f?x?=0 ? ? ?g?x?≠0

.

2.一元高次不等式的解法(数轴标根法). (1) 将不等式通过移项分解因式化为 f(x) = a(x - x1)(x - x2)?(x-xn)>0(或<0)的形式, 其中 xk(k=1,2??n)是方程的 n 个不同的根,且每个因式中 x 的系数为 1.

(2)将 n 个不同的根标在数轴上,然后穿线.穿线时从轴上 最右边一个根开始,由 x 轴上方向下穿过第一个根然后向左依 次自下而上,自上而下画一条曲线连续穿过 n 个根. (3)数轴上方的曲线对应区间就是 f(x)>0 的解集;数轴下 方的曲线对应区间就是 f(x)<0 的解集. (4)如果分解因式后有重根,则“奇过偶不过”,即乘方指 数是奇数的画线时穿过 x 轴,乘方指数是偶数的,画线时到此 根对应 x 轴上点后返回,不穿过去.

3.含根号的不等式求解一般用平方法,但平方时一定要 注意符合不等式性质的要求. 4.含参数的不等式要弄清何种情况下需要讨论.

命题方向

分式不等式的解法

[例 1]

x-1 (1)(2010~2011· 鹿邑三高高二期中)不等式 x )

≥2 的解集为( A.[-1,0)

B.[-1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1]∪(0,+∞)

2x-1 (2)不等式 >1 的解集为________. 3-4x
2 3 (1)A (2){x| <x< } 3 4

[答案]

[ 分析]

f?x? 此类不等式求解,要先移项通分化为 > 0(或 g?x?

f?x? <0)的形式再化为整式不等式.转化必须保持等价. g?x?

[解析]

x-1 -x-1 (1) -2≥0∴ ≥0, x x ,∴-1≤x<0.

? ?x?x+1?≤0 ∴? ? ?x≠0

6x-4 (2)原不等式化为: <0, 4x-3 2 3 ∴(6x-4)(4x-3)<0,∴3<x<4, 2 3 ∴原不等式的解集为{x|3<x<4}.

3x-1 不等式 ≥1 的解集是( 2-x 3 A.{x| ≤x≤2} 4 3 C.{x|4≤x<2}

)

3 B.{x|x≤ 或 x>2} 4 D.{x|x<2}

[答案] C

[解析]

3x-1 4x-3 不等式 ≥1,化为: ≥0, 2-x 2-x

3 ∴ ≤x<2. 4

命题方向

简单高次不等式解法

*[例 2]

x?x+2? 不等式 <0 的解集为( x-3

)

A.{x|x<-2,或 0<x<3} B.{x|-2<x<2,或 x>3} C.{x|x<-2,或 x>0} D.{x|x<0,或 x<3}

[答案] A

[分析]

A 原不等式左端是分式,右端为 0,属于B<0 型,可

等价转化为 AB<0, 即 x(x+2)(x-3)<0, 依次令 x=0, x+2=0, x-3=0 得,x1=0,x2=-2,x3=3,将数轴按此三数对应点 分成四段,令 y=x(x+2)(x-3)列出 x 与 y 的对应值如表: x y (-∞, - - 2) - 2 0 (-2,0) 0 (0,3) + 0 - 3 0 (3,+ ∞) +

故不等式 x(x+2)(x-3)<0 的解集为(-∞,-2)∪(0,3).

[解析]

原不等式等价于 x(x+2)(x-3)<0.

结合数轴穿根法(如图)可知:

x<-2 或 0<x<3.

不等式 2x3-3x2+x>0 的解集为________.

[答案]

1 {x|0<x<2或 x>1}

[解析]

不等式化为 x(x-1)(2x-1)>0,

方程 x(x-1)(2x-1)=0 的三个根为 1 x1=0,x2=1,x3=2, 如图

1 ∴不等式的解集为{x|0<x<2或 x>1}.

解关于x的不等式:
() 1 x ? (1 ? a) x ? a ? 0
2

(2)x ? (a ? 2) x ? 2a ? 0
2

1 (3)x ? (a ? ) x ? 1 ? 0 a
2

(4)mx ? 2(m ? 1) x ? 4 ? 0
2

(5)ax ? ax ? 1 ? 0.
2

含参数的不等式的解法
对于含有参数的不等式,由于参数的 取值范围不同,其结果就不同,因此必须 对参数进行讨论,那么如何讨论呢?

例题讲解
2 例1 解关于 x 的不等式 ax ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0?

分析: 因为 a ? 0 且 ? ? 0 ,所以我们只要讨论二次项系 数的正负. 解: ? a( x2 ? 5x ? 6) ? a?x ? 2??x ? 3? ? 0
∴(1)当 a ? 0 时,原不等式变形为: ?x ? 2??x ? 3? ? 0 ∴当 a ? 0 时,原不等式解集为: ?x | x ? 2或x ? 3? ∴(2)当 a ? 0 时,原不等式变形为: ∴当 a ? 0 时,原不等式解集为:

?x ? 2??x ? 3? ? 0
?x | 2 ? x ? 3?

综上所述: a ? 0时,原不等式解集为: ?x | x ? 2或x ? 3?
a ? 0时,原不等式解集为: ?x | 2 ? x ? 3?

例题讲解
2 2 x ? kx ? k ? 0 例2:解关于x的不等式:

分析:由于 x的系数大于0,对应方程的根只需考虑△的符号. 解:? ? ? k 2 ? 8k
(1)当 (2)当

原不等式解集为 ? k 2 ? 8k ? 0 即 ?8 ? k ? 0 时,
k 2 ? 8k ? 0 即 k ? 0 或 k ? ?8 时

2 ? x x ? 0? ∴(a)当 k ? 0 时,原不等式即为 2 X ? 0 解集为: 2 2 x ? 8x ? 8 ? 0 ∴(b)当 k ? ?8时,原不等式即为
2 k ? 8k ? 0 即 k ? 0 或 k ? ?8 时, (3)当

解集为: ? x x ? 2?

原不等式解集为

? ?k ? k 2 ? 8k ? ? ?k ? k 2 ? 8k ? ?x? ?x ? 4 4 ? ? ? ?

综上所述,

(1)当 k ? ?8 时,不等式解集为
? ?k ? k 2 ? 8k ? ? ?k ? k 2 ? 8k ? x ? x ? ? ? 4 4 ? ? ? ? (2)当 k ? ?8 时,不等式解集为 ? x x ? 2?

(3)当 ?8 ? k ? 0 时,不等式解集为

?

(4)当 k ? 0 时,不等式解集为 ? x x ? 0? (5)当 k ? 0 时,不等式解集为
? ?k ? k 2 ? 8k ? ? ?k ? k 2 ? 8k ? ?x? ?x ? 4 4 ? ? ? ?

例题讲解 例3:解不等式 x 2 ? 5ax ? 6a 2 ? 0 (a ? 0) 2 2 2 此不等式 ? ? ? 5 a ? 24 a ? a ?0 ? ? 分析 :
又不等式即为 (x-2a)(x-3a)>0 故只需比较两根2a与3a的大小.

?x ? 2a?( x ? 3a) ? 0 解: 原不等式可化为:
) ? 0 的两根为 x1 ? 2a, x2 ? 3a 相应方程 ?x ? 2a ?( x ? 3a,

∴(1)当 2a ? 3a 即 a ? 0 时,原不等式解集为 ?x | x ? 2a或x ? 3a? (2)当 2a ? 3a 即 a ? 0 时,原不等式解集为 ?x | x ? 3a或x ? 2a?

综上所述: a ? 0时,原不等式解集为: ?x | x ? 2a或x ? 3a?
a ? 0时,原不等式解集为: ?x | x ? 3a或x ? 2a?

典型题选讲
例4.

( 含参不等式的解法)

x2 + 5ax + 6 > 0

解:由题意,得:⊿=25a2-24

1.当⊿

=25a2-24>0

2 2 ,即a ? 6 或 a ? ? 6 时 5 5

2 2 ? ? ? 5 a ? 2 5 a ? 24 ? 5 a ? 2 5 a ? 24 ? ? 解集为: ? x x ? 或x ? ? 2 2 ? ? ? ?;

2.当⊿=25a2-24=0 解集为:

? 5 ? ? x x ? R 且x ? ? a ? 2 ?; ?

2 , 即a ? ? 6时 5

3.当⊿=25a2-24<0, 解集为:R.

2 2 即? 6 ?a? 6时 5 5

变式1.

x2 + 5ax + 6a2 > 0

解:因式分解,得:(x+3a)(x+2a) > 0, 方程(x+3a)(x+2a) =0的两根为-3a、-2a. ①当-3a >-2a 即a <0时, 解集为:{x︱x>-3a 或 x<-2a};

②当-3a =-2a 即a =0时, 原不等式为 x2>0
解集为:{x︱x∈R且x≠0}; ③当-3a <-2a 即a >0时, 解集为:{x︱x> -2a 或 x< -3a}. 综上: 当a <0时,解集为:{x︱x> -3a或x< -2a}; 当a =0时,解集为: {x︱x∈R且x≠0}; 当a >0时,解集为:{x︱x> -2a或x< -3a}.

变式2.

ax2 + (6a+1)x + 6 > 0

? ? 1 解集为 : ? x x ? ? 或x ? ?6? a ? ?

一、当a=0时, 解集为?x | x ? ?6? 二、当a≠0时,
因式分解, 得:?ax ? 1??x ? 6 ? ? 0

1 1 当 ? ? ?6, 即a ? 时 a 6

1 ⑵ 当 ? ? ?6, 即a ? 时 方程?ax ? 1?? x ? 6? ? 0的两根 为 ? ,?6 a 6 a 1 解集为 : x x ? R或x ? ?6 ①当a<0时,? ? 0, a 1 1 ? 1? ⑶ 当 ? ? ?6, 即0 ? a ? 时 解集为? x ? 6 ? x ? ? ? a 6 a? ? 1 ? 1?

1

1

?

?

? ?0 ②当a>0时, a

解集为 : ? x x ? ?6或x ? ? ? a? ?

∴综上,得
2.当a ? 0时,解集 为?x x ? ?1?;
1 4.当a ? 时,解集 为?x x ? R且x ? ?6?; 6

? 1? 1.当a ? 0时,解集为 ?x ? 6 ? x ? ? ? a ?; ?

? 1 1? 3.当0 ? a ? 时, 解 集为? x x ? ?6或x ? ? ? 6 a ?; ?

? ? 1 1 5.当a ? 时,解集为 x x ? ? 或 x ? ? 6 ? ? 6 a ? ?.

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ax ? (a ? 2) x ? 1 ? 0. 1、解关于x的不等式:
2

2、解关于x的不等式:x

2

? ax ? 4 ? 0

3、解关于x的不等式 m2 ? 1 x 2 ? 4x ? 1 ? 0?m ? R?
1 4、解关于 x的不等式 x ? (a ? ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) a
2

?

?

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1、解关于x的不等式:ax ? (a ? 2) x ? 1 ? 0.
2
2

解: ? ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a2 ? 4 ? 0
解得方程ax2 ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0两根为:
? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 x1 ? ,x2 ? 2a 2a

? ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ? 当a ? 0时,解集为 或x ? ?x | x ? ? 2a 2a ? ? ? ?
2 ? ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ?a?2? a ?4 ? 当a ? 0时,解集为 x | ? x ? ? ? 2a 2a ? ? ? ?

1 当a ? 0时不等式可化为:   2 x ? 1 ? 0,解集为 {  x | x ? ? } 2

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2、 解不等式
2

x ? ax ? 4 ? 0
2

解:∵ ? ? a ? 16 ∴ 当a ? ? ?4,4?即? ? 0时


原不等式解集为

R

? a? 当a ? ?4即? ? 0时, 原不等式解集为? x x ? R且x ? ? ? 2? ?
当a ? 4或a ? ?4即? ? 0时, 此时两根分别为 ;
,

? a ? a ? 16 x1 ? 2 显然 x1 ? x 2
2



,

? a ? a 2 ? 16 x2 ? 2

? ? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? ? ∴原不等式的解集为: ? x x ? 或x〈 ? 2 2 ? ? ? ?

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3、解不等式 m ? 1 x ? 4x ? 1 ? 0?m ? R?
2 2

?

?

解? m ? 1 ? 0, ? ? (?4) ? 4 m ? 1 ? 4 3 ? m
2 2 2

?

? ?

2

?



1? ? 当? ? 0即m ? ? 3时,解集为: ?x | x ? ? 2? ?
? 2 ? 3 ? m2 2 ? 3 ? m2 ? ? ? 当? ? 0即 ? 3 ? m ? 3时,解集为: 或x〈 ?x x ? ? 2 2 m ?1 m ?1 ? ? ? ?

当? ? 0即m ? ? 3或m ?

3时,解集为 R

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1 4、解不等式 x ? (a ? ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) a
2

1 1 ?x ? a ?( x ? ) ? 0,令 a ? , 可得 a ? ?1 解:原不等式可化为: a a

1 当a ? 即a ? 1或a ? ?1时,解集为 ? a

1 1? ? 当a ? 即a ? ?1或0 ? a ? 1时,解集为 ?x | a ? x ? ? a a? ?
1 ? 1 ? 当a ? 即 ? 1 ? a ? 0或a ? 1时,解集为 ?x | ? x ? a? a ? a ?

知识拓展

解关于x的不等式ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0.
2

{x | x ? 1}. 解: (一)当 a ? 0 时, 原不等式即为 ? x ? 1 ? 0 解集为: (二)当 a ? 0 时, 原不等式变形为: (ax ? 1)(x ? 1) ? 0 1 其解的情况应由对应的两根 与1的大小关系决定,故有: a 1 (1)当 a ? 0 时,原不等式的解集为:{x | x ? 或x ? 1} a (2)当 a ? 0 时,有:
(a)当 (b ) 当 (c ) 当
1 ? 1 即 a ? 1时,原不等式的解集为: a 1 ? 1即 a ? 1 时,原不等式的解集为:? a
1 ?1 a

{x |

1 ? x ? 1} a



1 { x |1 ? x ? } 0 ? a ?1 时,原不等式的解集为: a

综上所述, (1)当 a ? 0 时,原不等式的解集为 (2)当 a ? 0 时,原不等式的解集为
? 1 ? x x ? 或 x ? 1 ? ? a ? ?

? x x ? 1?
? 1? ?x 1 ? x ? ? a? ?

(3)当 0 ? a ? 1 时,原不等式的解集为 (4)当 a ? 1 时,原不等式的解集为 ? (5)当 a ? 1 时,原不等式的解集为

? 1 ? ? x ? 1? ?x ? a ?

当堂检测
1 1、若0 ? a ? 1, 则不等式(x ? a) ( x ? ) ? 0的解是( a 1 1

A)

A.a<x<

a

2、当a<0时,不等式 42x2 ? ax ? a2 ? 0 的解集为(A )
?a a? A. ? 7 , ? 6 ? ? ?

1 B. <x<a a

C.x> 或x<a a 1 D.x< 或x>a a

B.

? a a? ?? , ? ? 6 7?

C. ? a , ? 2a ? ? ?
?7 7 ?

D.

?

3:解关于x的不等式 2 x 2 ? ax ? 2 ? 0 (a ? 0)

当堂检测

3、解关于x的不等式2x2+ax+2>0

由于判别式△=a2-16=(a-4)(a+4)中含有参数因 此须对△的符号进行讨论,即对a在-4点与4点处分 开讨论,则 ①当△>0 即a>4或a<-4时,,方程2x2+ax+2≤0
? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ,x2 ? 的两根为: x1 ? 4 4
? ? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? ? 所以原不等式的解集为 : x x ? 或 x ? ? ? 4 4 ? ? ? ?

②当△=0 即a=±4时,,原不等式解集为: ③当△<0 即-4<a<4时,原不等式解集为R.

注:

解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨
论的标准有:

1、讨论a 与0的大小; 2、讨论⊿与0的大小; 3、讨论两根的大小;

(二)含参不等式恒成立的问题
知识概要
(1)二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
?a ? 0 ?? 2 ? ? b ? 4ac ? 0 ? (2)二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立 ?a ? 0 ?? 2 ? ? b ? 4ac ? 0 ?

例题:已知关于x的不等式:
(a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立, 试求a的取值范围.
解:由题意知: ①当a -2=0,即a =2时,不等式化为 1 ≥ 0,它恒成立,满足条件. ②当a -2≠0,即a ≠2时,原题等价于 ?a ? 2 ? 0 ?a ? 2 ? 即? 2 ( a ? 2) ? 4( a ? 2) ? 0 ? ?(a ? 2)(a ? 6) ? 0

(3)二次不等式a x2 +bx +c ≥ 0恒成立 ?a ? 0 ?? 2 ? ? b ? 4ac ? 0 ? (4)二次不等式a x2 +bx +c ≤ 0恒成立 ?a ? 0 ?? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0

?a ? 2 即? ?2 ? a ? 6

所以2 ? a ? 6

综上: 2 ? a ? 6

三、课堂小结
一、内容分析
1 、解含参数的不等式 2、已知不等式的解集,求参数的值或范围
、 函数 ?1 ? ?2、 分离参数后用最值 ?3 ? 、 用图象

不等式中的恒成立问题

二、运用的数学思想
1、分类讨论的思想 2、数形结合的思想 3、等与不等的化归思想

课堂小结
一、按二次项系数是否含参数分类:
2 x 当二次项系数含参数时,按 项的系数 a

的符号分类,即分 a ? 0, a ? 0, a ? 0 三种情况.
二、按判别式 ? 的符号分类,即分 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 三种情况 三、按对应方程 ax ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x 2 的大小分类,即分 x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x 2 三种情况.
2

作业
导学案 课后作业 第1、2题


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