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江苏高考数学理一轮复习课件8.7立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角_图文

第7讲 立体几何中的向量方法(Ⅱ) ——求空间角 考点梳理 1.设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2,则l1与l2的 夹角θ满足cos θ=|cos〈m1,m2〉|. 2.设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m,n,则 直线l与平面α的夹角θ满足sin θ=|cos〈m,n〉|. 3.求二面角的大小 a.如图①,AB、 CD 是二面角 α - l -β 的两个面内 → → 与棱 l 垂直的直线,则二面角的大小 θ=〈AB,CD〉 . b.如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面 α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cos θ=cos〈n1, n2〉或-cos〈n1,n2〉. 【助学· 微博】 一个考情解读 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角是近年 高考的常见内容.在新课程标准下,立体几何的基本理论 知识要求有所降低,因此应用向量这一工具解题尤为重 要.特别是对于易建系的空间图形,应尽量建立空间直角 坐标系解决,以降低解题难度. 考点自测 1.如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向 向量分别是a=(1,0,1),b=(0,1,1),那么,这条斜线与 平面所成的角是________. 解析 1 1 ∵cos 〈a,b〉= = ,又∵〈a,b〉∈[0,π], 2· 2 2 ∴〈a,b〉=60° . 答案 60° 2.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则 两平面所成的二面角的大小为________. 解析 m· n 1 2 cos〈m,n〉= = = ,即〈m,n〉= |m||n| 1× 2 2 45° ,其补角为 135° ,∴两平面所成的二面角为 45° 或 135° . 答案 45°或135° 3.已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向 1 量, 若 cos 〈m, n〉 =- , 则 l 与 α 所成的角为________. 2 1 解析 设 l 与 α 所成的角为 θ,则 sin θ=|cos〈m,n〉|= , 2 ∴θ=30° . 答案 30° 4. 在如图所示的正方体A1B1C1D1-ABCD中, E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC夹 角的余弦值为________. 解析 如图建立直角坐标系 D- xyz,设 ? ? 1 DA = 1 , A(1,0,0) , C(0,1,0) , E ?0, , 1? . 2 ? ? → 则AC= (- 1,1,0), ? → ? 1 DE=?0, , 1?,若异面直线 DE 与 AC 所 2 ? ? → → 10 成的角为 θ, cos θ= |cos 〈 AC, DE〉 |= . 10 10 答案 10 5. 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中, AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1, ∠ABC=90°,点E、F分别是棱AB、 BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是 ________. 解析 建立如图的空间直角坐标系. 设 AB=BC=AA1=2, 则 C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1) → → 则EF=(0,-1,1),BC1=(2,0,2), → → ∴EF· BC1=2, → → ∴cos〈EF,BC1〉= 2 1 = , 2× 2 2 2 ∴EF 和 BC1 所成角为 60° . 答案 60° 考向一 求异面直线所成的角 【例 1】 (2013· 常州质检)如图, 在四棱锥 O -ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的 π 菱形,∠ABC= .OA⊥底面 ABCD,OA 4 =2,M 为 OA 的中点,N 为 BC 的中点. (1)证明:直线 MN∥平面 OCD; (2)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小. (1)证明 作 AP⊥ CD 于点 P. 如图,分别以 AB, AP, AO 所在直线 为 x, y, z 轴建立直角坐标系. A(0,0,0) , B(1,0,0) , P ? D?- ? ? ?0, ? ? 2 , , 0? ? 2 ? 2 2 , , 0?, O(0,0,2), M(0,0,1), ? 2 2 ? 2 2 , , 0? . ? 4 4 ? N?1- ? ? → ? 2 2 (1)MN=?1- , ,- 1?, ? ? 4 4 ? ? ? → ? → 2 2 2 OP=?0, ,- 2?,OD=?- , ,- 2?. ? ? ? ? 2 2 2 设平面 OCD 的法向量为 n=(x, y, z), ? 2 ? 2 y- 2z= 0, → → 则 n· OP= 0, n· OD= 0.即? ?- 2x+ 2y- 2z= 0. ? 2 2 取 z= 2,解得 n= (0,4, 2). ? ? → 2 2 ∵MN· n= ?1- , ,- 1?· (0,4, 2)= 0, ? ? 4 4 ∴ MN∥平面 OCD. (2)解 设 AB 与 MD 所成角为 θ, ? → → ? 2 2 ∵AB= (1,0,0),MD=?- , ,-1?, ? ? 2 2 → → ? |AB· MD| 1 π? ∴cos θ= = ,θ∈?0, ?, → → 2 2? ? |AB|· |MD| π π ∴θ= .∴直线 AB 与 MD 所成的角为 . 3 3 π [方法总结 ] 异面直线所成角范围是 (0, ],若异面直线 a,b 2 的方向向量为 m, n,异面直线 a, b 所成角为 θ,则 cos θ = |cos〈 m, n〉 |.解题过程是: (1)建系; (2)求点坐标; (3)表 示向量;(4)计算. 【训练 1】 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都相等,P → → 为 A1B 上的点,A1P=λA1B,且 PC⊥AB. (1)求 λ 的值; (2)求异面直线 PC 与 AC

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