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2.1.3函数的单调性


建立函数的目的是研究函数值与自变量的 关系,自变量的变化对函数值变化的影响是经 常受到关注的问题.例如水位的涨落随时间变 化的规律,是防涝抗旱工作中必须解决的实际 问题.下面我们通过一组图像,开始研究函数在 这方面的一个主要性质——函数的单调性.

在函数y=f(x)的图象上任取两点A(x1, y1),
B(x2, y2),记 △x=x2-x1,△y=f(x2)-f(x1)=y2-y1,

△x表示自变量x的改变量,△y表示因变
量y的改变量.

1、增函数与减函数定义

一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间M ?A, 如果取区间M中的任意两个值x1 、x2,改变量 在区间M上是增函数. 当△y=f(x2) -f(x1)<0时,就称y=f(x)在区 间M上是减函数.

△x=x2-x1>0,当△y=f(x2) -f(x1)>0时,就称y=f(x)

⒉ 单调性与单调区间
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函
数,则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)

单调性, 这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.
此时也说函数y=f(x)是这一区间上的单调函数. 在单调区间上,增函数的图象是 上升的,减函数的图象是下降的.

注意:
①函数的单调性是相对某个区间而言, 不能直接说某函数是增函数或减函数。 ②讨论函数的单调性和书写函数的 单调区间是两个不同的问题。 ③函数的单调区间是其定义域上的 子集.

如何描述函数f(x)的单调性呢?
y

y ? f ( x)
f ( x2 )

在给定区间上任取, x2 , x1
x1 ? x2
f ( x1 ) ? f ( x2 )

f ( x1)
O

x1

x2

x

函数f(x)在给定 区间上为增函数。

y

y ? f ( x)
f ( x1)

在给定区间上任取, x2 , x1
x1 ? x2
x

f ( x1 ) ? f ( x2 )

f ( x2 )
O

x1

x2

函数f (x)在给定 区间上为减函数。

例1:下图是定义在[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说
出y=f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上,y=f(x)是增函数 还是减函数.

解:

y=f(x)的单调区间有

[-5,-2),[-2,1)

[1,3),[3,5].

其中y=f(x)在[-5,-2), [1,3)上

是减函数,在[-2,1), [3,5)上是增函数.

y

3
2 1

作图是发 现函数单 调性的方 法之一. 1 -1 -2 2 3 4 5 x

-5

-4

-3

-2

-1 O

练习 : 判断函数 ( x) ? x ? 2 x的单调区间 1 f
2

y

单调递减区间: f ( x) ? x 2 ? 2 x (? ?, 1] 单调递增区间:
1

o

2

x

[1 ,? ?)

例 2 . 证 明 函 数 ( x ) ? 2 x ? 1在 区 间 f (? ?, ?) 上 是 增 函 数 。 ? 证明: 设x1 , x2 是区间 ??,??)内任意 (

两个实数,且1 ? x2 。 (设条件) x
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (2 x1 ? 1) ? (2 x2 ? 1) ? 2(x1 ? x2 )

? x1 ? x2 , ? x1 ? x2 ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即f ( x1 ) ? f ( x2 ) (论证结果) 则函数 ( x ) ? 2 x ? 1在区间 ??,??) f (
是 增 函数(下结论) 。

1 例3.函 数f ( x ) ? 在(0, ? ? )上 是 增 函 数 还 是 x 减函数 减函数?证明你的结. 论
证明: 设x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则
1 f ( x2 ) ? x2 1 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 x2 1 f ( x1 ) ? , x1

y
-1 1 1

f(x)在定义域 上是减函数吗?

取x1=-1,x2=1 O x f(-1)=-1 x2 ? x1 -1 f(1)=1 ? x1 x2 -1<1 f(-1)<f(1) ? x1 , x2 ? (0,??) ? x1 x2 ? 0? f( ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? 0 ?

1 ? 函 数f ( x ) ? 在(0, ? ? )上 是 减 函 数 . x

练习 .证明函数 f ( x ) ? 3 x ? 2在R上是增函数 2 .
证明:设x1,x2是R上的任意两个实数,且x1<x2,则

f(x1)=3x1+2, f(x2)=3x2+2
f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) =3(x1-x2) 由x1<x2,得 x1-x2<0
? f(x1)-f(x2)<0 ?

f(x1)< f(x2)

?函数f ( x ) ? 3 x ? 2在R上是增函数 .

思考:判断函数f(x)=x2+1在(0,+∞)上

是增函数还是减函数?并给予证明。
解: 函数f(x)=x2+1在(0,+∞)上是增函数.
下面给予证明: 设x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2

y
2 2

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ( x1 ? 1) ? ( x 2 ? 1) ? x1 ? x 2 ? ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 )
2 2

1
O 1

x

? x1 , x2 ? (0,??) ? x1 ? x2 ? 0 ?

? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 ? f ? ( x1 ) ? f ( x2 )

∴ 函数f(x)=x2+1在(0,+∞)上是增函数.

小结:
增函数 图象
y2 y1
O

减函数
y1

y
y2
x1 x2
O

y
x1 x2

x

x

图象 特征 数量 特征

自左至右,图象上升. 自左至右,图象下降. y随x的增大而增大.当 y随x的增大而减小.当 x1<x2时,y1<y2 x1<x2时,y1>y2

函数单调性简单性质总结
①函数y=f(x) 在区间I上为增(减)函数,则 函数y=af(x)+b (a>0)在区间I上为增(减)函数 ②函数f(x)和g(x)在区间I上为增(减)函数, 则f(x)+g(x)在I上为增(减)函数。

③函数f(x)和g(x)在区间I上分别为增函数和减函数, 则f(x)-g(x)在I上为增函数。
④函数f(x)和g(x)在区间I上为增(减)函数,且 f(x)>0,g(x)>0,则f(x)g(x)在I上为增(减)函数。

补充练习:
1、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c (a>0)满足

f(2+t)=f(2-t),试比较f(1)、f(2)、f(4)的大小.

f(4)>f(1)>f(2)

2、函数y=x2+bx+c在[0,+∞)上是单调函数的充

分必要条件是( A ).
(A) b≥0 (B) b≤0 (C ) b>0 (D) b<0

3.(1)已知函数y ? x ? 2(a ? 2) x ? 5
2

在(??,4]是减函数,在[4, ??)是增函数, 求a.
2

a ? ?2

(2)已知函数y ? x ? 2(a ? 2) x ? 5 在[4, ??)是增函数,求a的取值范围.

a ? ?2

4、求函数 f ( x) ? ? x ? 2 | x | ?3 的单调区间.
2

当x≥0时, f(x)=-x2+2x+3,对称轴为x=1, 抛物线开口向下,所以x∈[0,1]时,f(x)为增 函数;x∈[1,+∞)时,f(x)为减函数; 当x<0时, f(x)=-x2-2x+3,对称轴为x=-1, 抛物线开口向下,所以x∈[-∞,-1]时,f(x)为 增函数;x∈[-1,0]时,f(x)为减函数;

f? x ? = -x 2 +2? x +3

6.已知函数f ( x)在(0, ??)上是减函数, 3 2 则f ( )与f (a ? a ? 1)的大小关系为 _____ . 4
解:a2-a+1=(a-
1 2 3 3 )+4 ≥ 4 2

又函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,

3 ? f ( ) ? f (a 2 ? a ? 1) 4

a 6、讨论函数f ( x )=x ? (a>0)的单调性. x


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