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3.1.1《不等关系与不等式》(人教版必修5)


3.1.1 不等关系与不等式

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在考察事物之间的数量关系时,经常

要对数量的大小进行比较,我们来看下
面的例子。 国际上常用恩格尔系数(记为n)来衡 量一个国家和地区人民的生活水平的高低。 它的计算公式是
n ? 食品消费额 消费支出总额 ? 100%



有关机构还制定了各种类型的家庭应达 到的恩格尔系数的取值范围:
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家庭 类型 n

贫穷 n>60%

温饱

小康

富裕

最富裕 n≤30%

50%<n≤6 40%<n≤5 30%<n≤4 0% 0% 0%

例.根据某乡镇家庭抽样调查的统计,2003年 每户家庭年平均消费支出总额为1万元,其中食 品消费额为0.6万元。预测2003年后,每户家庭 年平均消费支出总额每年增加3000元,如果 2005年该乡镇居民生活状况能达到小康水平 (即恩格尔系数n满足条件40%<n≤50%),试 问这个乡镇每户食品消费额平均每年的增长率 至多是多少?(精确到0.1)
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现实世界和日常生活中,既有相等 关系,又存在着大量的不等关系,如: 1、今天的天气预报说:明天早晨最低温 度为7℃,明天白天的最高温度为13℃; 7℃≤t≤13℃ 2、三角形ABC的两边之和大于第三边; AB+AC>BC或…… 3、a是一个非负实数。 a≥0
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4、右图是限速40km/h的路标,指 示司机在前方路段行驶时,应使汽 车的速度v不超过40km/h ,写成不 等式是:_________ v≤40

40

5、某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的 含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于 2.3%,用不等式可以表示为:( )

A. f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3%
B. f ≥ 2.5%且p ≥ 2.3%
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C.

? f ≥ 2.5% ? ? p ≥ 2.3%

某人为自己制定的月支出计划中,规定

手机费不超过150元,他所选用的中国电
信卡的收费标准为:
月租费 中国电信卡 30元 每分钟通话费 0.40元

求这个人月通话时间的取值范围。 即:30+0.4x≤150. 解得x≤300.
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我们用数学符号“≠”,“>”,“<”, “≥”,“≤”连接两个数或代数式,以表 示它们之间的不等关系。含有这些不等号 的式子叫做不等式。 数轴上的任意两点中,右边点对应的 实数比左边点对应的实数大。
x A O B

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练习1:若需在长为4000mm圆钢上,截出长 为698mm和518mm的两种毛坯,问怎样写出 满足上述所有不等关系的不等式组?

分析:
设698mm与 518mm分别x 与y个

?698 x ? 518 y ? 4000 ? ?x ? 0 ? ?y ? 0 ? x, y ? N ?
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练习2 、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料, 生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐 4吨、硝酸盐18吨;生产1车皮乙种肥料需要 的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现有 库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨,在此基础上 进行生产。请用不等式组把此实例中的不等 关系表示出来。 4 x ? y ? 10 分析:设分别生产 甲.乙两种肥料为 x吨,y吨
? ? ?1 8 x ? 1 5 y ? 6 6 ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

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在数轴上,如果表示实数a和b的两个点分别 为A和B,则点A和点B在数轴上的位置关系有 以下三种: (1)点A和点B重合;
(2)点A在点B的右侧; (3)点A在点B的左侧。 在这三种位置关系中,有且仅有一种成立,由 此可得到结论: 对于任意两个实数a和b,在a=b,a>b,a<b 三种关系中有且仅有一种关系成立。
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如果a-b是正数,则a>b;如果a>b, 则a-b为正数; 如果a-b是负数,则a<b;如果a<b, 则a-b为负数; 如果a-b等于零,则a=b;如果a=b, 则a-b等于零。 通常,“如果p,则q”为正确命题,则 简记为 ? p
q

,读作“p推出q”.
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如果

p ? q且 q ? p

都是正确的命题,记为

p ? q 读作“p等价于q或q等价于p”。

上述结论可以写成:
a?b ? 0? a ?b
a?b ? 0 ? a ?b

a?b ? 0? a ?b

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判断两个实数大小的依据是:
a ? b ? a?b ? 0 a ? b ? a?b ? 0 a ? b ? a?b ? 0

作差比较法

这既是比较大小(或证明大小)的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
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例1.比较x2-x与x-2的大小。 解:(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2

=(x-1)2+1,
因为(x-1)2≥0, 所以(x2-x)-(x-2)>0, 因此x2-x>x-2.
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例2.当p,q都是正数且p+q=1时,试比 较代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小。 解:(px+qy)2-(px2+qy2)
=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy. 因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p, 因此(px+qy)2-(px2+qy2) =-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2,

因为p,q为正数,因此(px+qy)2<px2+qy2. 当且仅当x=y时,不等式中等号成立。
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例 3 比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小.

解: ∵ ( a ? 3)( a ? 5) ? ( a ? 2 )( a ? 4 )
? (a ? 2 a ? 15) ? (a ? 2 a ? 8)
2 2

? ?7

∴ ( a ? 3)( a ? 5) ? ( a ? 2 )( a ? 4 ) <0
∴ ( a ? 3)( a ? 5) ?
( a ? 2 )( a ? 4 )

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例 4 已知 a 、 、 m 都是正数,且 a b
b?m a?m b a ?

? b

,求证:

b?m a?m

?

b a

证明: ∵

?

?

(b ? m ) a ? ( a ? m )b (a ? m )a

ab ? m a ? ab ? bm (a ? m )a m (a ? b) (a ? m )a

?

∵ a 、 、 m 都是正数,且 a ? b b ∴ m ? 0, m ? a ? 0, a ? 0, a ? b ? 0



b?m a?m

?

b a

? 0∴

b?m a?m

?

b a

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课堂练习: 在下列各题的横线中填入适当的不等号.
⑴ ( 3? 2 ) _____ 6 ? 2 6 ;
2

<

⑵ ( 3?

2 ) _ _ _ _ ( 6 ? 1) ;
2 2

<



1 5 ?2

______

<

1 6 ? 5

;

⑷若0 ? a ? b,

l o g 1 a _ _ _ _ lo g 1 b .
2 2

>

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2. 比较

3 x 与 x 2 ? x ? 1 的大小.

解:x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1 =x2(x-1)+(x-1) =(x-1)(x2+1), ∵ x2+1>0, ∴ 当x>1时,x3>x2-x+1; 当x=1时,x3=x2-x+1,

当x<1时,x3<x2-x+1.
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