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【2016年高考数学总复习】(第43讲)曲线与方程、抛物线(44页)_图文

第43讲 曲线与方程、抛物线 一、聚焦重点 求曲线方程的一般方法 . 二、廓清疑点 什么是曲线的方程和方程的曲线? 主要内容 三、破解难点 抛物线的几何性质的应用 . 聚焦重点:求曲线方程的一般方法 ? 如何建立适当的坐标系? 问题研究 例 1 求平面上到两个定点 A, B 的距离比等于 2 的动点 M 的轨迹方程 . 1 经典例题 思路分析 思路 2 以 A, B 所在的直线为 x 轴, 以 A 为原点, 建立直角坐标系. 思路 3 以 A, B 所在的直线为 x 轴, 以 B 为原点, 建立直角坐标系. 思路 1 以 A, B 所在的直线为 x 轴, 线段 AB 的 垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系.(经典设法) 思路 4 以 A, B 所在的直线为 x 轴,线段 AB 的 延长线上取一点 O 为原点,使 AB=3BO,建立直角 坐标系.(另类设法) 解法 1 以 A, B 所在的直线为 x 轴,线段 AB 的 垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标 系,如图所示.设 AB=2a,则 A(-a,0), B(a,0),设动点 M 的坐标为(x,y). 据题意 AM=2BM,即 求解过程 A(-a,0) O y . M(x,y) . B(a,0) . . x ( x + a )2 + y 2 ? 2 ( x ? a ) 2 ? y 2 . 化简得 3 x 2 + 3 y 2 ? 10ax + 3a 2 = 0. ∴所求点 M 的轨迹方程为 3 x 2 + 3 y 2 ? 10ax + 3a 2 = 0. 解法 2 以 A, B 所在的直线为 x 轴,以 A 为原点, 建立直角坐标系,如图所示 .设 AB=3a ,则 A(0,0) , B(3a,0),设动点 M 的坐标为(x,y). 据题意 AM=2BM,即 y x + y ? 2 ( x ? 3a ) ? y . 2 2 求解过程 2 2 2 化简得 x + y ? 8ax +12a 2 2 A(0,0) . B (3a. ,0) . . = 0 .O M(x,y) x ∴所求点 M 的轨迹方程为 x 2 + y 2 ? 8ax +12a 2 = 0 . 解法 3 以 A, B 所在的直 线为 x 轴,以 B 为原点,建 立直角坐标系,如图所示. 设动点 M 的坐标为(x,y). 2 2 2 y B(0,0) .A(-3a,0) .O . . M(x,y) x 设 AB=3a,则 A(-3a, 0),B(0,0), 求解过程 仿解法 2 可得点 M 的轨迹方程为 x + y ? 2ax ? 3a = 0. 解法 4 以 A, B 所在的直线为 x 轴,线段 AB 的 延长线上取一点 O 为原点,使 AB=3BO,建立直角 坐标系,如图所示. 设 AB=3a,则 A(-4a, 0),B(- a,0),设动点 M 的坐标为(x,y). 据题意 AM=2BM,即 求解过程 A(-4a,0) y . ( x + 4a )2 + y 2 ? 2 ( x + a )2 ? y 2 . 化简得 x 2 + y 2 ? 4a 2 = 0. M(x,y) . B(-a,0) O .. x ∴所求点 M 的轨迹方程为 x 2 + y 2 = 4a 2 . 求曲线方程的一般方法: 1. 建立适当的坐标系.(建系) 2.设曲线上任意一点 M 的坐标为(x,y).(设点) 3. 列出符合条件 p(M)的方程 f(x,y)=0.(列式) 回顾反思 4. 化方程 f(x,y)=0 为最简形式.(化简) 5. 证明以化简后的方程的解为坐标的点都在 曲线上.(证明). 怎样建立的坐标系才是适当的呢?一般有三 种考虑: 1.建立的坐标系有利于求出题目的结果; 2.尽可能多地使图形上的点 (或已知点) , 落在 坐标轴上; 回顾反思 3.充分利用图形本身的对称性. 解法 1 的建系法比较常规,解法 2 和解法 3 的 建系法考虑将特殊点放在坐标原点, 解法 4 比较另 类,一般不宜用之. 另外有两小点提醒注意: 1. 求动点轨迹时应注意它的完备性和纯粹性 . 化简过程有时破坏了方程的同解性(即等价性) , 因此要注意补上遗漏的点或去掉多余的点. 回顾反思 2. 求 “ 轨迹 ” 与求 “ 轨迹方程 ” 是两个不同的概 念,前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征, 后者指方程(包括范围). 例 2 如图,过点 P(2,4)作相 互垂直的直线 l1、l2,若 l1 交 x 2, 轴于点 A, l2 交 y 经典例题 轴于点 B 求线 .P(2,4) . M B . . O A l1 y l2 x 段 AB 中点 M 的轨迹方程. 思路 1 借助 l1⊥l2 建立方程. 思路分析 思路 2 借助 AB=2PM 建立方程 . 解法 1 设 M (x,y)为所求轨迹上的任意一点. ∵M 为 AB 中点,∴A(2x,0),B(0,2y). ∵l1⊥l2,且 l1、l2 过点 P(2,4), ∴PA⊥PB,即 kPA·kPB=-1. 求解过程 4-2y 4 ( x ? 1) , k PB = ∵ k PA = , 2 2 - 2x 4 4-2y ? ? ?1,即 x+2y-5=0 ( x ? 1) . ∴ 2 - 2x 2 当 x=1 时,A(2,0),B(0,4),此时 AB 中点 M 的坐标为(1,2),它也满足方程 x+2y-5=0. 求解过程 ∴所求点 M 的轨迹方程为 x+2y-5=0. 解法 2 设 M (x,y)为所求轨迹上的任意一点, 则 A(2x,0),B(0,2y),连接 PM. ∵l1⊥l2,∴△PAB 为直角三角形, ∴AB=2PM, 化简得 x+2y-5=0. ∴所求点 M 的轨迹方程为 x+2y-5=0. 即 4 x 2 +

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