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4-1函数的单调性与极值_图文

第3章

函数的单调性 与极植
一、函数单调性的判定法

二、函数的极值及其求法

函数的单调性与导数的符号有关



在闭区间 [a , b] 上连续,

在开区间 (a , b) 内可导, (1) 若对于任意的 x ? (a , b), f ?( x ) ? 0,

则 f (x) 在[a , b]上单调增加;
(2) 若对于任意的 x ? (a , b),

f ?( x ) ? 0,

则 f (x) 在[a , b]上单调减少.

(1) 任取 x1 , x2 ? [a , b],
根据拉格朗日中值定理,得

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ?(? )( x2 ? x1 ) ? 0 f ?( x ) ? 0, x ? (a , b)


f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,
在 [a , b] 上单调增加.

因此

[a , b]可换成任何区间.

例1 讨论函数 y ? e x ? x ? 1的单调性 .



? y? ? e ? 1, x ? ( ??,??).
x

在( ?? , 0)内, y? ? 0, ?函数 y在( ?? , 0]上单调减少;
在(0, ? ? )内,

y ? ? 0,

?函数 y在[0, ? ?)上单调增加 .

f ?( x ) ? 0 (?x ? (a , b ))
(<)

f ( x )在(a , b )上单调增加. (减少)
例如, ① f ( x ) ? x 3在( ??,?? )上单调增加,
但 f ?(0) ? 0.
3 f ( x ) ? x在( ?? ,?? )上单调增加, ②

但 f ?(0) ? ? , 不存在.

事实上,定理4.1可推广为: 定理3.1? 设 y ? f ( x )在[a , b]上连续,在 (a , b )

内除去有限个点外 , f ?( x ) ? 0, 则 y ? f ( x )在 [a , b]上单调增加. (减少)
(<)

例2 讨论 f ( x ) ? x ? cos x 在[0, 2 π]上的单调性 .

解 当x ? [0,2 π]时, f ?( x ) ? 1 ? sin x ? 0, π 2 π] 内 且只在一点 x ? 处 f ?( x ) ? 0, 故函数在[0, 2 单调递增.

讨论 f (x) 单调性的步骤:

1? 确定f ( x )的定义区间;
2? 求使 f ?( x ) ? 0及 f ?( x )不存在的点;

若这些点只有有限个 : a ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? b
3? 划分区间 ( a, x1 ), ( x1 , x2 ), ? , ( xn , b ) 4? 列表 查 f ?( x )的符号, 并指出 f ( x )的单调性 ,
及单调区间.

的单调区间 .

解 1° 确定定义区间

f ( x )在( ?? ,?? )内连续
2° 求驻点及导数不存在的点
2 ? x3
1 3?

f ?( x ) ?

2 ? (1 ? x ) ? x 3

?

2 ? 5x , x ? 0, 3 3 x

令 f ?( x ) ? 0 , 得驻点:
导数不存在的点:

2 x? ; 5 x ? 0.

3° 列表判别

2 (0 , ) x ( ?? , 0) 0 5 f ?( x ) - 不存在 +

2 5 0

2 ( , ? ?) 5



f ( x)


2 的单调增区间为 [0 , ] , 5 2 ? 5x f ?( x ) ? 3 , x ? 0 2 3 x 的单调减区间为 ( ??, 0]和[ , ? ? ]. 5

π x3 . 例4 证明:当0 ? x ? 时, tan x ? x ? 2 3 3 x ? 证 令f ( x ) ? tan x ? ( x ? ), 则 f ( x )在[0, )上连续 3 2 2 2 ? f ( x ) ? sec x ? (1 ? x ) π 2 2 ? tan x ? x ? 0 (0 ? x ? ) 2 π 故f ( x )在[0,)单调增,从而 2 π 当0 ? x ? 时,f ( x ) ? f (0) ? 0, 2 x3 即 tan x ? x ? . 3

(1) 证明不等式



在闭区间 [a , b] 上连续,

在开区间 (a , b) 内可导,

(1) 若?x ? (a , b ), f ?( x ) ? g?( x ), 且 f (a ) ? g(a ), 则在 (a , b)内f (x) > g (x);
(2) 若 ?x ? (a , b ), f ?( x ) ? g?( x ), 且 f (b) ? g(b), 则在 (a , b)内f (x) > g (x). 此推论可用来证明函数不等式.

y ? f ( x) y
方程: f ( x ) ? 0 思路: 1? 确定 f ( x )的单调区间 : ( xi ?1 , xi ), ( i ? 1,2, ?, n);
x1 O x2 x3 x

2 查 f ( xi ?1 ), f ( xi ) 或

?

? ? f ( xi ?1 ),f ( xi )的符号;

3? 利用零点定理查 f ( x ) 在( xi ?1 , xi )内零点的存在性,
利用 f ( x )的单调性可知 f ( x )在( xi ?1 , xi )内零点 的唯一性 .

设 a , b 适合 3a 2 ? 5b ,则方程 x 5 ? 2ax 3 ? 3bx ? 4c ? 0 ( C ) (A) 有 5 个不同的实根 (C) 有唯一实根 (B) 有 3 个不同的实根 (D)无实根

5 3 f x ? x ? 2 ax ? 3bx ? 4c 解 :设 ? ? 4 2 则 f ? ? x ? ? 5 x ? 6ax ? 3b

x ???

? ? 2 3a ? 2 15b ? 9a 2 ? ?0 ? 5? ? x ? ? ? ? ?? ? 5 25 ? ? ? f ? x ? ? ?? lim f ? x ? ? ?? xlim ???

方程 ln x ? ax (a ? 0)有几个实根?
解 令f ( x ) ? ln x ? ax , D ? (0,?? ).

1 f ?( x ) ? ? a , x

令f ?( x ) ? 0, 得x ? 1 , a 1 且当0 ? x ? 时, f ?( x ) ? 0, f ( x )单调增加; a 1 当x ? 时, f ?( x ) ? 0, f ( x )单调减少, a

又 lim f ( x ) ? ?? ,
x ? 0?

1 f ( ) ? ? (ln a ? 1) x x O O a ln x lim f ( x ) ? lim x ( ? a ) ? ?? , x ? ?? x x ? ?? 1 (1) 当f ( ) ? ? (ln a ? 1) ? 0, 即0 ? a ? 1时, a e f ( x ) ? 0有两个不同的实根; f ( x ) ? ln x ? ax 1 ( 2) 当a ? 时, f ( x ) ? 0有且仅有一个实根 x ? e; e 1 ( 3) 当a ? 时, f ( x ) ? 0无实根 . e

1 f (a )

y y

1 a 1 a

1. 定义3.1 总有

若当

(1)
则称

f ( x ) ? f ( x0 ) ,
为 的极大值点,



为 f (x)的极大值;

( 2)
则称


f ( x ) ? f ( x0 ) ,
为 的极小值点,
为 f (x) 的极小值.
极大值点与极小值 点统称为极值点.

极值

最值

2° 区间端点一定不是极值点.

定理3.2(必要条件) 若 f (x)在 x0 处取得极值,且 在 x0 处可导,则必有 f ?( x0 ) ? 0.

注 1° 若 f ?( x0 ) ? 0,则称 x0 为 f (x)的驻点.
2° 可导函数的极值点 例如, y ? x 3 ,
y ? ( 0 ) ? 0,
但 x ? 0 不是极值点.

驻点 y O

y ? x3
x

3° 极值点

驻点

极值可疑点:驻点、 导数不存在(但函数有定义) 的点.
问题:如何判定极值可疑点是否是函数的极值点 ?

设函数 f ( x )在 U ( x0 )内连续,在 U ( x0 )内可导, 对 ?x ? U ( x0 ), (1) 若当 x ? x0时, f ?( x ) ? 0, 当 x ? x0时,f ?( x ) ? 0, 则 f ( x )在 x0处取得极大值; (2) 若当 x ? x0时, f ?( x ) ? 0, 当 x ? x0时,f ?( x ) ? 0,


?

则 f ( x )在 x0处取得极小值;
(3) 若 f ?( x ) 的符号保持不变, 则 f (x)在x0处没有 极值.

f ( x ) ? (1 ?

2 x) x 3

2 (0 , ) x ( ?? , 0) 0 5 f ?( x ) - 不存在 +

2 5 0

2 ( , ? ?) 5



f ( x)

极小值

极大值

是极小值点,其极小值为 f (0) ? 0 ,

2 是极大值点, 其极大值为 f ( ) ? 5 5 5

2 3 2 3 ( ) .

1? 确定f ( x )的定义域,并求导数 f ?( x );
2? 求极值可疑点:驻点, 导数不存在( 但连续)的点.

3 列表,检查 f ?( x ) 在极值可疑点左右的正 负号,
?

判断极值点;
4? 求极值 .

求 f ( x ) ? ( x ? 1)3 ( x


2 ? 1) 3 的极值 .

f ( x )在( ?? ,?? )内连续.

1? 找极值可疑点

f ?( x ) ? 3( x ? 1)2 ( x
?
1 3

2 ? 1) 3

2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) 3
3

?

1 3

( x ? 1) 2[9( x ? 1) ? 2( x ? 1)] 3( x ? 1)

?

( x ? 1) 2 (11 x ? 7 ) 3( x ? 1)
1 3

7 ? 令f ( x ) ? 0, 得驻点:x ? ?1, x ? 11
导数不存在的点: x ? 1.

f ?( x ) ?
2? 列表
x

( x ? 1) 2 (11 x ? 7 ) 3( x ? 1)
1 3

f ?( x )
f ( x)
?

7 7 不 ( ??, ?1) ? 1 ( ?1, ) 11 11 存 在

(

7 ,1) 1 11

(1, ??)

+

0

+

0

极小值

+

非极值

极大值

7 3 求极值. 极大值 f ( ) ? 2.2, 极小值 f (1) ? 0. 11

极值的判定法1 (定理3.3)是 充分条件,

不是必要的.

1 ? 2 ? 2 ? x (2 ? sin ), x ? 0, f ( x) ? ? x ? x?0 ? 2,

二阶导数 , 且

f ?( x0 ) ? 0 , f ??( x0 ) ? 0,
则 则 在点 在点 处取得极大值 ; 处取得极小值 .
记忆方法: y ? x
2

?

?

在x=0 处取得极小值

y??(0) ? 2 ? 0

设 y ? y( x )由方程: y? ? y 2 ? x ? 0 所确定 , 且 y?( x0 ) ? 0. 问:y( x )在x0处是否取得

极值?若取得极值,是 极大值还是极小值?
分析由 y? ? y 2 ? x , 在x ? x0的两侧, 不能判定 y?的符号,
故不能用第一充分判定 法,
由 y? ? y 2 ? x , y可导, 知 y?? 存在

考虑用第二充分判定法 .



y?( x ) ? y 2 ( x ) ? x ? 0
y??( x ) ? 2 y( x ) y?( x ) ? 1 ? 0 y??( x ) ? 2 y( x ) y?( x ) ? 1

?

y??( x0 ) ? 2 y( x0 ) y?( x0 ) ? 1 ? 1 ? 0
= 0

? y( x )在 x0 处取得极小值 .

定理4.4失效,
极值第一判定法或极值定义等其他方法,判定 x0 是否为极值点. 例如,(1) f ( x ) ? x 4 ,

y y ? x4
O

f ?( x ) ? 4 x 3 , f ??( x ) ? 12 x 2

f ?(0) ? f ??(0) ? 0

x

? 当 x ? 0时,f ?( x ) ? 0, 当 x ? 0时,f ?( x ) ? 0

?

x ? 0是f ( x )的极小值点.

( 2) f ( x ) ? x 3
f ?( x ) ? 3 x , f ??( x ) ? 6 x
2

y
O

y ? x3
x

f ?(0) ? f ??(0) ? 0

? 当 x ? 0时,f ?( x ) ? 0,
? x ? 0不是 f ( x )的极值点.

2? 极值的判别法2 (定理4.4 ) 也是充分条件,
不是必要的.

设 f ( x )在某U (0)内连续,且 f (0) ? 0,

f ( x) lim ? 2. 问:f ( x )在x ? 0处是否取得极值? x ? 0 1 ? cos x
f ( x) 解 ? lim ?2?0 x ?0 1 ? cos x f ( x) ? ? 当 x ? U (0)时, 1 ? cos x ? 0

又 ? 1 ? cos x ? 0, x ? U (0)
? f ( x ) ? 0 ? f (0), x ? U ( 0 )
?

?

?

f ( x )在x ? 0处是取得极小值 .

若函数 f ( x )在闭区间[a , b]上连续,除有限 且至多在有限个点处导数为零,则 个点外可导, ? f ( x )在[a , b]上必定存在着最大值和最小值; ? 最大(最小)值可能在端点处取得; ? 最大(最小)值可能在开区间(a , b)内取得, 此时最大(最小)值必是 f ( x ) 的一个极大 (极小)值,而且相应的点必是 f ( x ) 的驻点 或不可导点;

因此,求函数 f ( x ) 在[a , b]上最值的步骤如下:
(1) 求f ( x )在(a , b)内的全部驻点和不可导点; (2) 计算区间端点及驻点和不可导点的函数值; 最小者 (3) 比较这些函数值的大小, 最大者即为f ( x ) 在 最小值. [a , b]上的最大值 那么最大 特别地,若f ( x )在[a , b]上是单调函数, 值和最小值分别在区间[a , b]的两个端点处取得.

1. 可导函数单调性判别 f ?( x ) ? 0, x ? I

f ( x )在 I 上严格单调递增

f ?( x ) ? 0, x ? I
2. 连续函数的极值

f ( x )在 I 上严格单调递减

(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件

f ?( x )过 x0由正变负 f ?( x )过 x0由负变正

f ( x0 ) 为极大值
f ( x0 ) 为极小值

(3) 第二充分条件 为极大值 为极小值

?

?

1. f ?( x0 ) ? 0




f ( x )在某U ( x0 )上单调增加.

反例: 1 ? 2 ? x ? 2 x sin , x ? 0 f ( x) ? ? , x ? x?0 ? 0, 虽然 f ?( 0) ? 1 ? 0,但 f ( x )在任何 U (0)内不单调增. 事实上,
f ?( 0 ) ? lim
x ?0

f ( x ) ? f (0) x?0

1 ? lim (1 ? 2 ? x ? sin ) ? 1 ? 0 x ?0 x

虽然 f ?( 0) ? 1 ? 0,但 f ( x )在任何 U (0)内不单调增.
事实上,
f ( x ) ? f (0) f ?( 0 ) ? lim x ?0 x?0

1 ? lim (1 ? 2 ? x ? sin ) ? 1 ? 0 x ?0 x 1 1 但 f ?( x ) ? 1 ? 4 x sin ? 2 cos , x ? 0 x x 1 当 xk ? 时,f ?( xk ) ? ?1 ? 0 2 k?

当 k ? ?时,xk ? 0? , 因此,在x=0 的任何邻域
U (0)内,f ( x )不单调增加.
?

若不然, 假设 f(x) 在点x ? 0的某一邻域 ( ?? , ? )内 单调增加, 则 对于充分小的 ?x ? 0, 使

xk ? ?x ? ( ?? , ? ),
则当 ?x ? 0 时,f ( xk ) ? f ( xk ? ?x ) (<) (>)
f ( xk ? ?x ) ? f ( xk ) 于是 ?0 ?x f ( xk ? ?x ) ? f ( xk ) ≥0 故 f ?( xk ) ? lim ?x ?x ? 0

这与 f ?( xk ) ? ?1 ? 0 相矛盾!

对于充分小的 ?x ? 0, 使 xk ? ?x ? ( ?? , ? ), 则当 ?x ? 0 时,f ( xk ) ? f ( xk ? ?x ) 当 ?x ? 0 时,f ( xk ) ? f ( xk ? ?x )
于是 故 f ( xk ? ?x ) ? f ( xk ) ?0 ?x f ( xk ? ?x ) ? f ( xk ) f ?( xk ) ? lim ≥0 ?x ?x ? 0

这与 f ?( xk ) ? ?1 ? 0 相矛盾!

2. 已知y ? f ( x )的导函数在区间[? , ? ]上的图形,

试写出:
(1) y ? f ( x )的单调增区间与单调减 区间;

( 2) y ? f ( x )的极值,是极大值还是 极小值?
解 单调增区间?a , c ?,
y
y ? f ?( x )

单调减区间[? , a ]和[c , ? ],
极小值 f (a ), 极大值f (c ).
O

?

a b c

?

x

f ( x ) 在 x ? 0 的某邻域内连续, 且 f (0) ? 0 ,
f ( x) lim ? 2 , 则在点 x ? 0 处 f ( x ) ( D ). x ? 0 1 ? cos x
(A) 不可导 ; (B) 可导, 且 f ?(0) ? 0 ; (C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 . 提示: 利用极限的保号性 .

的单调性.


D ? ( ??, ? ? ).

f ?( x ) ?

2 3 x
3

,

x ? 0.

x ? ( ??, 0)时,

当 x = 0 时, 导数不存在,且当

f ?( x ) ? 0, 当x ? (0, ? ? )时, f ?( x ) ? 0, 故
的单调增区间为[0 , ? ? ), 单调减区间为( ?? , 0]. 可见, 讨论 f ( x ) 的单调性区间时, 应以f ?( x )

为零及 f ?( x ) 不存在的点来划分定义区间.

确定函数 f ( x ) ? x ? 1的单调区间.


? x ? 1, x ? 1 f ( x) ? ? D ? ( ??,?? ). ?1 ? x , x ? 1, 单调递增区间 ? (1) ? ?1, f ? ? (1) ? 1, ? f?

?

f ( x )在x ? 1处不可导, 且
?1, x ? 1, f ?( x ) ? ? ? ? 1, x ? 1.

故函数的单调递减区间 为( ??, 1], 为[1, ? ? ).

讨论函数

的单调性.
y

解 f ?( x ) ? 3 x 2 ? 2 x ? 5 ? ( 3 x ? 5)( x ? 1), O 5 1 5 令 f ?( x ) ? 0 , 得x ? ? , x ? 1. 驻点 ? 3 3 5 5 5 ( ? , 1) 1 (1, ? ? ) x ( ?? , ? 3 ) ? 3 3 ? 0 0 ? ? f ?( x ) f ( x)

x



5 的单调增区间为( ?? , ? ] 和[1 , ? ? ); 3 5 的单调减区间为[? , 1]. 3



π 证明:当0 ? x ? 时, sin x ? tan x ? 2 x . 2 令f ( x ) ? sin x ? tan x ? 2 x , 则

f ?( x ) ? cos x ? sec2 x ? 2,

f ??( x ) ? 2 sec x tan x ? sin x
2

π (0 ? x ? ) 2

? sin x( 2 sec3 x ? 1) ? 0,
π π 故f ?( x )在(0, )上单调递增, 从而当0 ? x ? 时, 2 2 f ?( x ) ? f ?(0) ? 0.

f ?( x ) ? f ?(0) ? 0.
π π 因此当0 ? x ? 时, 于是f ( x )在(0, )单调递增, 2 2

f ( x ) ? f (0) ? 0,

即 sin x ? tan x ? 2 x .
f ( x ) ? sin x ? tan x ? 2 x

1 π 证明:当 x ? 0时, arctan x ? ? . x 2 1 π 证 令f ( x ) ? arctan x ? ? , x 2 1 1 ? f ?( x ) ? ? 2 ? 0, 2 1? x x

? f ( x )在[0, ? ? )上单调递减,
又 lim f ( x ) ? 0, 故当x ? 0时, f ( x ) ? 0,
x ? ??



1 π arctan x ? ? . x 2

设x ? ( 0,1), 证明(1 ? x ) ln 2 (1 ? x ) ? x 2 .


令f ( x ) ? (1 ? x ) ln 2 (1 ? x ) ? x 2 , 则
f ?( x ) ? ln 2 (1 ? x ) ? 2 ln(1 ? x ) ? 2 x ,
2 f ??( x ) ? [ln(1 ? x ) ? x ]. 1? x

令g( x ) ? ln(1 ? x ) ? x , 则
?x 1 ? 0 ( x ? (0,1)), g ?( x ) ? ?1 ? 1? x 1? x

从而 所以g ( x )在(0,1)内单减,
g( x ) ? g(0) ? 0, f ??( x ) ? 0,
于是f ?( x )在(0,1)内单减,从而f ?( x ) ? f ?(0) ? 0, 因此f ( x )在(0,1)内单减,f ( x ) ? f (0) ? 0,
即 (1 ? x ) ln 2 (1 ? x ) ? x 2 .

f ( x ) ? (1 ? x ) ln 2 (1 ? x ) ? x 2

设b ? a ? e, 证明ba ? a b .
证 (方法1) 令f ( x ) ? x ln a ? a ln x , x ? [a ,?? ),

a 则f ?( x ) ? ln a ? ? 0, x

于是f ( x )在[a ,?? )上单调递增,
分析 f (b ) f (a ?0 0., ??b ln a)? 故当b ? 即要证 a ? e时, a ln

于是可设 f ( x ) ? x ln a ?ba ln x , x ? [a ,?? ). a 即a ln b ? b ln a , 从而b ? a .

ln x (方法2) 令f ( x ) ? , x ? [e,?? ). x

1 ? ln x f ?( x ) ? . 2 x a b b ?a , 当x ? e时, ln x ? 1, f ?( x ) ? 0,

而 b ? a ? e, 故f ( x )在[e,?? )上单调递减,

于是 f (a ) ? f (b), 即ba ? a b .
分析

ln b ln a 即a ln b ? b ln a , 变形为 ? , b a ln x 于是可令 f ( x ) ? , 只要证 f ( x )在[e,?? )上单减. x

求函数 y ?


1 x 3 (1 ?

2 x ) 3 的极值 .

y? ?
令 y? ? 0 ,

1 ? 3x
2 3 x 3 (1 ? 1 x )3

?

1 ? 3x 33 x 2 (1 ? x )

.

导数不存在的点为 x ? 0及x ? 1.

x ( ?? , 0)
y? y

0

1 ( 0, ) 3

1 3

1 ( , 1) 3

1

(1, ? ? )

?

?

0

?

?

x ( ?? , 0)
y? y

0

1 ( 0, ) 3

?

1 3

1 ( , 1) 3

1

(1, ? ? )

?

0
(极大)

?
(极小)

?

是极大值点,其极大值为 是极小值点, 其极小值为

1 ? 2 ? x ? 2 ( t ? 1) 求由参数方程 ? ? y ? 1 ( t ? 1)2 ? 2

( t ? 0)

所确定的函数 y ? f ( x )的极值. d y t ? 1 解 令 ? ? 0, 解得驻点 t ? 1, dx t ?1 dy dy 且当0 ? t ? 1时, ? 0, 当t ? 1时, ? 0, dx dx
从而当t ? 1时对应的 x ? 2为y ? f ( x )的极小值点 ,

此时,极小值 y ? 0.

求函数y ? x 3 ? 9(a ? x )3的极值.


D ? ( ??,?? ).
y? ? 3 x 2 (a ? x )2 ? 3(4 x ? 3a )(3a ? 2 x )

3 3 ? 令y ? 0, 得x1? a , x2 ? a . 4 2 y?? ? 6 x ? 54(a ? x ) ? 6(9a ? 8 x ),

3 3 故y??( a ) ? 18a , y??( a ) ? ?18a . 4 2

3 9 3 (1) a ? 0时, 函数有极小值 y( a ) ? a , 4 16 3 9 3 极大值 y( a ) ? a . 2 4 3 9 3 函数有极小值 y( a ) ? a , ( 2) a ? 0时, 2 4 3 9 3 无极值 . 极大值 y( a ) ? a . 4 16

( 3) a ? 0时, 函数为y ? ?8 x 3 ,
3 3 y??( a ) ? 18a , y??( a ) ? ?18a . 4 2

由方程x 3 ? y 3 ? 3 xy ? 0所确定的函数 y ?

f ( x )在x ? 0范围内的极值点.


方程 两边关于 x求导一次,有

dy 3x ? 3 y ? 3 y ? 3x ? 0, dx dx
2

2 dy

d y y ? x2 因此 ? 2 . dx y ? x

dy 令 ? 0, 可得 y ? x 2 , dx

代入原方程, 便得 x 6 ? 2 x 3 ? 0.

于是可求得 y ? f ( x )的驻点为 x ? 3 2 . 又
dy dy 2 2 ( ? 2 x )( y ? x )( 2 y ? 1 )( y ? x ) 2 d y dx dx ? , 2 2 2 dx ( y ? x)

d2 y 从而有 2 ? ?2 ? 0, 所以3 2是函数 y ? f ( x ) d x x?3 2

的极大值点.

d y y ? x2 ? 2 dx y ? x

的极值 . 解 1° 求导数 f ?( x ) ? 6 x ( x 2 ? 1)2 ,
2 2 ? ? f ( x ) ? 6 ( x ? 1)(5 x ? 1).

2° 求驻点
令 f ?( x ) ? 0 , 得驻点 x1 ? ?1 , x2 ? 0 , x3 ? 1. 3° 判别 因 f ??(0) ? 6 ? 0 , 故 为极小值 ;

又 f ??( ?1) ? f ??(1) ? 0 , 故需用第一判别法判别.

综上所述,

y
f ?( x ) ? 6 x ( x 2 ? 1)2 ,
2 2 ? ? f ( x ) ? 6 ( x ? 1)(5 x ? 1)

?1 O 1 x


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